జ్యామితి, ఒక తార్కిక వ్యవస్థగా, పిల్లలు వారి స్వంత ఆత్మ యొక్క శక్తిని అనుభవించేలా చేయడానికి ఒక మార్గం మరియు మానవ ఆత్మ యొక్క బలాన్ని అనుభవించేలా చేయడానికి అత్యంత శక్తివంతమైన మార్గం కూడా. - H. FREUDENTHAL

9.1 పరిచయం

మేము మునుపటి తరగతుల నుండి రెండు-మితీయ నిరూపక జ్యామితితో పరిచయం కలిగి ఉన్నాము. ప్రధానంగా, ఇది బీజగణితం మరియు జ్యామితి యొక్క కలయిక. బీజగణితం యొక్క ఉపయోగం ద్వారా జ్యామితి యొక్క క్రమబద్ధమైన అధ్యయనాన్ని మొదటిసారిగా ప్రసిద్ధ ఫ్రెంచ్ తత్వవేత్త మరియు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు రెనే డెస్కార్టెస్, అతని పుస్తకం ‘లా జియోమెట్రీ, 1637లో ప్రచురించబడింది, దీనిలో నిర్వహించారు. ఈ పుస్తకం వక్రరేఖ యొక్క సమీకరణం యొక్క భావన మరియు సంబంధిత విశ్లేషణాత్మక పద్ధతులను జ్యామితి అధ్యయనంలో పరిచయం చేసింది. ఫలితంగా విశ్లేషణ మరియు జ్యామితి కలయికను ఇప్పుడు విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి అని సూచిస్తారు. మునుపటి తరగతులలో, మేము నిరూపక జ్యామితి అధ్యయనాన్ని ప్రారంభించాము, అక్కడ మేము నిరూపక అక్షాలు, నిరూపక తలం, బిందువులను ఒక

తలంలో గుర్తించడం, రెండు బిందువుల మధ్య దూరం, విభాగ సూత్రాలు మొదలైనవి గురించి అధ్యయనం చేసాము. ఈ అన్ని భావనలు నిరూపక జ్యామితి యొక్క మూలాధారాలు.

మునుపటి తరగతులలో చేసిన నిరూపక జ్యామితిని సంక్షిప్తంగా గుర్తుకు తెద్దాం. సంగ్రహంగా చెప్పాలంటే, బిందువులు $(6,-4)$ మరియు $(3,0)$ యొక్క స్థానం XY-తలంలో Fig 9.1లో చూపబడింది.

Fig. 9.1

బిందువు $(6,-4)$ అనేది $y$-అక్షం నుండి ధన $x$-అక్షం వెంబడి 6 యూనిట్ల దూరంలో మరియు $x$-అక్షం నుండి ఋణ $y$-అక్షం వెంబడి 4 యూనిట్ల దూరంలో ఉందని మనం గమనించవచ్చు. అదేవిధంగా, బిందువు $(3,0)$ అనేది $y$-అక్షం నుండి ధన $x$-అక్షం వెంబడి 3 యూనిట్ల దూరంలో ఉండి, $x$-అక్షం నుండి సున్నా దూరం కలిగి ఉంటుంది. సూత్రాలు:

మేము అక్కడ క్రింది ముఖ్యమైనవి కూడా అధ్యయనం చేసాము:

I. బిందువులు $P(x_1, y_1)$ మరియు $Q(x_2, y_2)$ మధ్య దూరం

$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}} $

ఉదాహరణకు, బిందువులు $(6,-4)$ మరియు $(3,0)$ మధ్య దూరం

$$ \sqrt{(3-6)^{2}+(0+4)^{2}}=\sqrt{9+16}=5 \text{ units. } $$

II. బిందువులు $(x_1, y_1)$ మరియు $(x_2, y_2)$ లను కలిపే రేఖాఖండాన్ని అంతరంగా, $m: n$ నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువు యొక్క నిరూపకాలు $(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n})$.

ఉదాహరణకు, A $(1,-3)$ మరియు $B(-3,9)$ లను కలిపే రేఖాఖండాన్ని అంతరంగా, $1: 3$ నిష్పత్తిలో విభజించే బిందువు యొక్క నిరూపకాలు $x=\frac{1 .(-3)+3.1}{1+3}=0$ $\text{ and } y=\frac{1.9+3 \cdot(-3)}{1+3}=0$ ద్వారా ఇవ్వబడతాయి.

III. ప్రత్యేకించి, $m=n$ అయితే, బిందువులు $(x_1, y_1)$ మరియు $(x_2, y_2)$ లను కలిపే రేఖాఖండం యొక్క మధ్యబిందువు యొక్క నిరూపకాలు $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$.

IV. శీర్షాలు $(x _{1,} y_1),(x_2, y_2)$ మరియు $(x_3, y_3)$ గా ఉన్న త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం

$\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)| .$

ఉదాహరణకు, శీర్షాలు $(4,4),(3,-2)$ మరియు $(-3,16)$ గా ఉన్న త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం

$ \frac{1}{2}|4(-2-16)+3(16-4)+(-3)(4+2)|=\frac{|-54|}{2}=27 $

ప్రత్యేక గమనిక త్రిభుజం $ABC$ యొక్క వైశాల్యం సున్నా అయితే, ఆ మూడు బిందువులు $A, B$ మరియు $C$ ఒకే రేఖపై ఉంటాయి, అనగా, అవి సరేఖీయాలు.

ఈ అధ్యాయంలో, మేము నిరూపక జ్యామితి అధ్యయనాన్ని సరళమైన జ్యామితీయ ఆకృతి - సరళ రేఖ యొక్క లక్షణాలను అధ్యయనం చేయడానికి కొనసాగిస్తాము. దాని సరళత ఉన్నప్పటికీ, రేఖ జ్యామితి యొక్క ఒక ముఖ్యమైన భావన మరియు అనేక ఆసక్తికరమైన మరియు ఉపయోగకరమైన మార్గాల్లో మన రోజువారీ అనుభవాల్లోకి ప్రవేశిస్తుంది. ప్రధాన దృష్టి రేఖను బీజగణితంగా సూచించడంపై ఉంటుంది, దీనికి వాలు అత్యంత అవసరమైనది.

9.2 ఒక రేఖ యొక్క వాలు

నిరూపక తలంలో ఒక రేఖ $x$-అక్షంతో రెండు కోణాలను ఏర్పరుస్తుంది, అవి పూరకాలు. రేఖ $l$ చేత ధన $x$-అక్షం దిశతో ఏర్పడే కోణం (అనుకోండి) $\theta$ మరియు అపసవ్య దిశలో కొలవబడినది ఆ రేఖ యొక్క ఏటవాలు అంటారు. స్పష్టంగా $0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}$ (Fig 9.2).

Fig 9.2

$x$-అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే రేఖలు, లేదా $x$-అక్షంతో ఏకీభవించే రేఖలు, $0^{\circ}$ యొక్క ఏటవాలు కలిగి ఉంటాయని మనం గమనించవచ్చు. ఒక నిలువు రేఖ ($y$-అక్షానికి సమాంతరంగా లేదా ఏకీభవించేది) యొక్క ఏటవాలు $90^{\circ}$.

నిర్వచనం 1 $\theta$ అనేది ఒక రేఖ $l$ యొక్క ఏటవాలు అయితే, $\tan \theta$ ను రేఖ $l$ యొక్క వాలు లేదా ప్రవణత అంటారు.

ఏటవాలు $90^{\circ}$ గా ఉన్న రేఖ యొక్క వాలు నిర్వచించబడదు. ఒక రేఖ యొక్క వాలు $m$ చే సూచించబడుతుంది.

అందువలన, $m=\tan \theta, \theta \neq 90^{\circ}$ $x$-అక్షం యొక్క వాలు సున్నా మరియు $y$-అక్షం యొక్క వాలు నిర్వచించబడదని గమనించవచ్చు.

9.2.1 రేఖపై ఏవైనా రెండు బిందువుల నిరూపకాలు ఇవ్వబడినప్పుడు రేఖ యొక్క వాలు

రేఖపై రెండు బిందువులు ఇవ్వబడినప్పుడు అది పూర్తిగా నిర్ణయించబడుతుందని మనకు తెలుసు. అందువలన, రేఖపై ఉన్న రెండు బిందువుల నిరూపకాల పరంగా రేఖ యొక్క వాలును కనుగొనడానికి మేము కొనసాగుతాము.

$P(x_1, y_1)$ మరియు $Q(x_2, y_2)$ లు అనిలంబ రేఖ $l$ పై రెండు బిందువులుగా ఉండనివ్వండి, దీని ఏటవాలు $\theta$. స్పష్టంగా, $x_1 \neq x_2$, లేకుంటే రేఖ $x$-అక్షానికి లంబంగా మారుతుంది మరియు దాని వాలు నిర్వచించబడదు. రేఖ $l$ యొక్క ఏటవాలు లఘు కోణం లేదా గురు కోణం కావచ్చు. ఈ రెండు సందర్భాలను తీసుకుందాం.

లంబాలు $QR$ ని $x$-అక్షానికి మరియు $PM$ ని $RQ$ కి గీయండి, Figs. 9.3 (i) మరియు (ii)లో చూపినట్లు.

సందర్భం 1 కోణం $\theta$ లఘు కోణం అయినప్పుడు:

Fig 9.3

(i) లో, $\angle MPQ=\theta \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

అందువలన, రేఖ $l=m=\tan \theta$ యొక్క వాలు.

కానీ $\triangle MPQ$ లో, మనకు $\tan \theta=\frac{MQ}{MP}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2)$ ఉంది

సమీకరణాలు (1) మరియు (2) నుండి, మనకు ఉంది

$ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $

సందర్భం II కోణం $\theta$ గురు కోణం అయినప్పుడు:

Fig 9.3

(ii) లో, మనకు $\angle MPQ=180^{\circ}-\theta$ ఉంది.

అందువలన, $\theta=180^{\circ}-\angle MPQ$.

ఇప్పుడు, రేఖ $l=m=\tan \theta$ యొక్క వాలు.

$$ \begin{aligned} & =\tan \left(180^{\circ}-\angle \mathrm{MPQ}\right) \\ & =-\tan \angle \mathrm{MPQ} \\ & =-\frac{\mathrm{MQ}}{\mathrm{MP}}=-\frac{y _{2}-y _{1}}{x _{1}-x _{2}}=\frac{y _{2}-y _{1}}{x _{2}-x _{1}} . \end{aligned} $$

పరిణామంగా, రెండు సందర్భాల్లోనూ బిందువులు $(x_1, y_1)$ మరియు $(x_2, y_2)$ గుండా పోయే రేఖ యొక్క వాలు $m$ $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ ద్వారా ఇవ్వబడుతుందని మనం చూస్తాము.

9.2.2 రేఖల సమాంతరత మరియు లంబతకు వాలుల పరంగా నియమాలు

ఒక నిరూపక తలంలో, అనిలంబ రేఖలు $l_1$ మరియు $l_2$ లు వరుసగా వాలు $m_1$ మరియు $m_2$ కలిగి ఉన్నాయని అనుకుందాం. వాటి ఏటవాలు వరుసగా $\alpha$ మరియు $\beta$ గా ఉండనివ్వండి. రేఖ $\boldsymbol{l_1}$, $\boldsymbol{l_2}$ కి సమాంతరంగా ఉంటే (Fig 9.4), అప్పుడు వాటి ఏటవాలు సమానం, అనగా,

Fig 9.4

$ \alpha=\beta, \text{ and hence, } \tan \alpha=\tan \beta $

అందువలన $\quad m _{1}=m _{2}$, అనగా, వాటి వాలు సమానం.

వ్యతిరేకంగా, రెండు రేఖలు $l_1$ మరియు $l_2$ యొక్క వాలు ఒకేలా ఉంటే, అనగా,

$$ m_1=m_2 $$

అప్పుడు

$$ \tan \alpha=\tan \beta \text{. } $$

స్పర్శరేఖా ఫలనం యొక్క లక్షణం ద్వారా ($0^{\circ}$ మరియు $180^{\circ}$ మధ్య), $\alpha=\beta$.

అందువలన, రేఖలు సమాంతరంగా ఉంటాయి.

అందువలన, రెండు అనిలంబ రేఖలు $l_1$ మరియు $l_2$ లు సమాంతరంగా ఉంటే మరియు కేవలం వాటి వాలు సమానం అయితే మాత్రమే.

రేఖలు $ \boldsymbol{l_1 } $ మరియు $\boldsymbol{l_2 } $ లు పరస్పరం లంబంగా ఉంటే (Fig 9.5), అప్పుడు $\beta=\alpha+90^{\circ}$.

Fig 9.5

అందువలన, $\quad \tan \beta=\tan (\alpha+90^{\circ})$

$$ =-\cot \alpha=-\frac{1}{\tan \alpha} $$

అనగా, $\quad m_2=-\frac{1}{m_1}$ లేదా $\quad m_1 m_2=-1$

వ్యతిరేకంగా, $m_1 m_2=-1$ అయితే, అనగా, $\tan \alpha \tan \beta=-1$.

అప్పుడు $\tan \alpha=-\cot \beta=\tan (\beta+90^{\circ})$ లేదా $\tan (\beta-90^{\circ})$

అందువలన, $\alpha$ మరియు $\beta$ లు $90^{\circ}$ తేడా ఉంటాయి.

అందువలన, రేఖలు $l_1$ మరియు $l_2$ లు పరస్పరం లంబంగా ఉంటాయి.

అందువలన, రెండు అనిలంబ రేఖలు పరస్పరం లంబంగా ఉంటే మరియు కేవలం వాటి వాలు ఒకదానికొకటి ఋణ పరస్పరాలు అయితే మాత్రమే,

అనగా, $\quad m_2=-\frac{1}{m_1}$ లేదా, $m_1 m_2=-1$.

కింది ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ 1 రేఖల వాలును కనుగొనండి:

(a) బిందువులు $(3,-2)$ మరియు $(-1,4)$ గుండా పోతున్నది,

(b) బిందువులు $(3,-2)$ మరియు $(7,-2)$ గుండా పోతున్నది,

(c) బిందువులు $(3,-2)$ మరియు $(3,4)$ గుండా పోతున్నది,

(d) ధన $x$-అక్షం దిశతో $60^{\circ}$ ఏటవాలు చేస్తున్నది.

సాధన (a) $(3,-2)$ మరియు $(-1,4)$ గుండా పోయే రేఖ యొక్క వాలు

$$ m=\frac{4-(-2)}{-1-3}=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2} $$

(b) బిందువులు $(3,-2)$ మరియు $(7,-2)$ గుండా పోయే రేఖ యొక్క వాలు

$$ m=\frac{-2-(-2)}{7-3}=\frac{0}{4}=0 $$

(c) బిందువులు $(3,-2)$ మరియు $(3,4)$ గుండా పోయే రేఖ యొక్క వాలు

$ m=\frac{4-(-2)}{3-3}=\frac{6}{0} \text{, which is not defined. } $

(d) ఇక్కడ రేఖ యొక్క ఏటవాలు $\alpha=60^{\circ}$. అందువలన, రేఖ యొక్క వాలు

$$ m=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3} \text{. } $$

9.2.3 రెండు రేఖల మధ్య కోణం

మనం ఒక తలంలో ఒకటి కంటే ఎక్కువ రేఖల గురించి ఆలోచించినప్పుడు, ఈ రేఖలు ఖండించుకుంటున్నాయి లేదా సమాంతరంగా ఉన్నాయని మనం కనుగొంటాము. ఇక్కడ మేము వాటి వాలుల పరంగా రెండు రేఖల మధ్య కోణాన్ని చర్చిస్తాము.

$L_1$ మరియు $L_2$ లు వరుసగా వాలు $m_1$ మరియు $m_2$ కలిగిన రెండు అనిలంబ రేఖలుగా ఉండనివ్వండి. $\alpha_1$ మరియు $\alpha_2$ లు వరుసగా రేఖలు $L_1$ మరియు $L_2$ ల యొక్క ఏటవాలు అయితే. అప్పుడు

$$ m_1=\tan \alpha_1 \text{ and } m_2=\tan \alpha_2 . $$

రెండు రేఖలు ఒకదానినొకటి ఖండించుకున్నప్పుడు, అవి రెండు జతల శీర్షాభిముఖ కోణాలను ఏర్పరుస్తాయి, ఏదైనా రెండు ఆసన్న కోణాల మొత్తం $180^{\circ}$ కు సమానం అని మనకు తెలుసు. రేఖలు $L_1$ మరియు $L_2$ ల మధ్య ఆసన్న కోణాలు $\theta$ మరియు $\phi$ లుగా ఉండనివ్వండి (Fig 9.6). అప్పుడు

Fig 9.6

$$ \theta=\alpha_2-\alpha_1 \text{ and } \alpha_1, \alpha_2 \neq 90^{\circ} \text{. } $$

అందువలన $\tan \theta=\tan (\alpha_2-\alpha_1)=\frac{\tan \alpha_2-\tan \alpha_1}{1+\tan \alpha_1 \tan \alpha_2}=\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \quad(.$ ఎందుకంటే $.1+m_1 m_2 \neq 0)$ మరియు $\phi=180^{\circ}-\theta$

కాబట్టి $\tan \phi=\tan (180^{\circ}-\theta)=-\tan \theta=-\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$, ఎందుకంటే $1+m_1 m_2 \neq 0$

ఇప్పుడు, రెండు సందర్భాలు ఏర్పడతాయి:

సందర్భం I $\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$ ధనాత్మకం అయితే, అప్పుడు $\tan \theta$ ధనాత్మకంగా ఉంటుంది మరియు $\tan \phi$ ఋణాత్మకంగా ఉంటుంది, అంటే $\theta$ లఘు కోణం అవుతుంది మరియు $\phi$ గురు కోణం అవుతుంది.

సందర్భం II $\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$ ఋణాత్మకం అయితే, అప్పుడు $\tan \theta$ ఋణాత్మకంగా ఉంటుంది మరియు $\tan \phi$ ధనాత్మకంగా ఉంటుంది, అంటే $\theta$ గురు కోణం అవుతుంది మరియు $\phi$ లఘు కోణం అవుతుంది.

అందువలన, వాలు $m_1$ మరియు $m_2$ కలిగిన రేఖలు $L_1$ మరియు $L_2$ ల మధ్య లఘు కోణం (అనుకోండి $\theta$ ) దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

$ \tan \theta=|\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}|, \text{ as } 1+m_1 m_2 \neq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(1) $

గురు కోణం (అనుకోండి $\phi$ ) $\phi=180^{\circ}-\theta$ ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు.

ఉదాహరణ 2 రెండు రేఖల మధ్య కోణం $\frac{\pi}{4}$ మరియు ఒక రేఖ యొక్క వాలు $\frac{1}{2}$ అయితే, మరొక రేఖ యొక్క వాలును కనుగొనండి.

సాధన వాలు $m_1$ మరియు $m_2$ కలిగిన రెండు రేఖల మధ్య లఘు కోణం $\theta$ దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుందని మనకు తెలుసు

$\quad \tan \theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \right| \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(1)$

$m_1=\frac{1}{2}, m_2=m$ మరియు $\theta=\frac{\pi}{4}$ అనుకుందాం.

ఇప్పుడు, ఈ విలువలను (1)లో ప్రతిక్షేపిస్తే, మనకు లభిస్తుంది

$$ \tan \frac{\pi}{4}=\left|\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}\right| \text{ or } 1=\left|\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}\right| $$

ఇది $\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}=1$ లేదా $\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}=-1$ ని ఇస్తుంది.

అందువలన $m=3$ లేదా $m=-\frac{1}{3}$.

అందువలన, మరొక రేఖ యొక్క వాలు 3 లేదా $-\frac{1}{3}$. Fig 9.7 రెండు సమాధానాల కారణాన్ని వివరిస్తుంది.

Fig 9.7

ఉదాహరణ 3 బిందువులు $(-2,6)$ మరియు $(4,8)$ గుండా పోయే రేఖ, బిందువులు $(8,12)$ మరియు $(x, 24)$ గుండా పోయే రేఖకు లంబంగా ఉంది. $x$ విలువను కనుగొనండి.

సాధన బిందువులు $(-2,6)$ మరియు $(4,8)$ గుండా పోయే రేఖ యొక్క వాలు

$ m_1=\frac{8-6}{4-(-2)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} $

బిందువులు $(8,12)$ మరియు $(x, 24)$ గుండా పోయే రేఖ యొక్క వాలు

$ m_2=\frac{24-12}{x-8}=\frac{12}{x-8} $

రెండు రేఖలు లంబంగా ఉన్నందున, $m_1 m_2=-1$, ఇది ఇస్తుంది

$$ \frac{1}{3} \times \frac{12}{x-8}=-1 \text{ or } x=4 \text{. } $$

9.3 ఒక రేఖ యొక్క సమీకరణం యొక్క వివిధ రూపాలు

ఒక తలంలో ప్రతి రేఖ దానిపై అనంతమైన బిందువులను కలిగి ఉంటుందని మనకు తెలుసు. రేఖ మరియు బిందువుల మధ్య ఈ సంబంధం కింది సమస్యకు పరిష్కారం కనుగొనడానికి మనల్ని నడిపిస్తుంది:

ఇచ్చిన బిందువు ఇచ్చిన రేఖపై ఉందని మనం ఎలా చెప్పగలం? దాని సమాధానం ఇచ్చిన రేఖకు మనకు రేఖపై ఉన్న బిందువులపై ఒక నిర్దిష్ట షరతు ఉండాలి అని కావచ్చు. $P(x, y)$ అనేది XY-తలంలో ఒక ఏకపక్ష బిందువు మరియు $L$ అనేది ఇచ్చిన రేఖ అనుకుందాం. $L$ యొక్క సమీకరణం కోసం, మనం $P$ బిందువు కోసం ఒక ప్రకటన లేదా షరతును నిర్మించాలనుకుంటున్నాము, అది నిజం అవుతుంది, ఎప్పుడైతే $P$, $L$ పై ఉంటుందో, లేకపోతే అసత్యం. వాస్తవానికి ప్రకటన కేవలం చరరాశులు $x$ మరియు $y$ లను కలిగి ఉన్న బీజగణిత సమీకరణం. ఇప్పుడు, మేము వివిధ పరిస్థితుల్లో ఒక రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని చర్చిస్తాము.

9.3.1 క్షితిజ సమాంతర మరియు నిలువు రేఖలు

ఒక క్షితిజ సమాంతర రేఖ $L$ అనేది $x$ అక్షం నుండి $a$ దూరంలో ఉంటే, అప్పుడు ఆ రేఖపై ఉన్న ప్రతి బిందువు యొక్క కోటి $a$ లేదా $-a$ [Fig 9.8 (a)]. అందువలన, రేఖ $L$ యొక్క సమీకరణం $y=a$ లేదా $y=-a$. గుర్తు ఎంపిక రేఖ $y$-అక్షం పైన లేదా కింద ఉన్నట్లుగా రేఖ యొక్క స్థానం మీద ఆధారపడి ఉంటుంది. అదేవిధంగా, $y$-అక్షం నుండి $b$ దూరంలో ఉన్న నిలువు రేఖ యొక్క సమీకరణం $x=b$ లేదా $x=-b$ [ Fig 9.8(b)].

ఉదాహరణ 4 అక్షాలకు సమాంతరంగా మరియు $(-2,3)$ గుండా పోయే రేఖల సమీకరణాలను కనుగొనండి.

Fig 9.9

సాధన రేఖల స్థానం Fig 9.9లో చూపబడింది. $x$-అక్షానికి సమాంతరంగా ఉన్న రేఖపై ప్రతి బిందువు యొక్క $y$-నిరూపకం 3, అందువలన, x-అక్షానికి సమాంతరంగా మరియు $(-2,3)$ గుండా పోయే రేఖ యొక్క సమీకరణం $y=3$. అదేవిధంగా, $y$-అక్షానికి సమాంతరంగా మరియు $(-2,3)$ గుండా పోయే రేఖ యొక్క సమీకరణం $x=-2$.

9.3.2 బిందు-వాలు రూపం

$P_0(x_0, y_0)$ అనేది ఒక అనిలంబ రేఖ $L$ పై ఒక స్థిర బిందువుగా ఉండనివ్వండి, దీని వాలు $m$. $P(x, y)$ అనేది L పై ఒక ఏకపక్ష బిందువుగా ఉండనివ్వండి (Fig 9.10).

Fig 9.10

అప్పుడు, నిర్వచనం ప్రకారం, $L$