13.1 పరిచయం

మన రోజువారీ జీవితంలో మనం వివిధ రకాల చలనాలను చూస్తాము. వాటిలో కొన్ని గురించి మీరు ఇప్పటికే నేర్చుకున్నారు, ఉదా., సరళరేఖీయ చలనం మరియు ప్రక్షేపకం యొక్క చలనం. ఈ రెండు చలనాలు పునరావృతం కానివి. సమవృత్త చలనం మరియు సౌర వ్యవస్థలో గ్రహాల కక్ష్యా చలనం గురించి కూడా మనం నేర్చుకున్నాము. ఈ సందర్భాలలో, చలనం ఒక నిర్దిష్ట కాల వ్యవధి తర్వాత మళ్లీ పునరావృతమవుతుంది, అంటే, అది ఆవర్తన చలనం. మీ బాల్యంలో, మీరు తప్పకుండా ఒక తొట్టిలో ఊగడం లేదా ఒక ఊయలపై ఊగడం ఆనందించి ఉంటారు. ఈ రెండు చలనాలు స్వభావంలో పునరావృతమయ్యేవి కానీ ఒక గ్రహం యొక్క ఆవర్తన చలనం నుండి భిన్నంగా ఉంటాయి. ఇక్కడ, వస్తువు ఒక సగటు స్థానం చుట్టూ ముందుకు వెనుకకు కదులుతుంది. గోడ గడియారం యొక్క లోలకం కూడా ఇలాంటి చలనాన్ని నిర్వహిస్తుంది. ఇలాంటి ఆవర్తన ముందుకు వెనుకకు చలనానికి ఉదాహరణలు అనేకం ఉన్నాయి: నదిలో పైకి కిందకు ఊగుతున్న పడవ, ఒక ఆవిరి యంత్రంలో ముందుకు వెనుకకు వెళ్లే పిస్టన్, మొదలైనవి. అటువంటి చలనాన్ని డోలన చలనం అంటారు. ఈ అధ్యాయంలో మనం ఈ చలనాన్ని అధ్యయనం చేస్తాము.

డోలన చలనం అధ్యయనం భౌతిక శాస్త్రానికి ప్రాథమికం; అనేక భౌతిక దృగ్విషయాలను అర్థం చేసుకోవడానికి దాని భావనలు అవసరం. సితార్, గిటార్ లేదా వయోలిన్ వంటి సంగీత వాయిద్యాలలో, మనం ఆహ్లాదకరమైన ధ్వనులను ఉత్పత్తి చేసే కంపించే తీగలను చూస్తాము. డ్రమ్లలోని పొరలు మరియు టెలిఫోన్ మరియు స్పీకర్ వ్యవస్థలలోని డయాఫ్రమ్లు వాటి సగటు స్థానాల చుట్టూ ముందుకు వెనుకకు కంపిస్తాయి. గాలి అణువుల కంపనాలు ధ్వని ప్రసారాన్ని సాధ్యపరుస్తాయి. ఒక ఘనపదార్థంలో, పరమాణువులు వాటి సమతౌల్య స్థానాల చుట్టూ కంపిస్తాయి, కంపనాల సగటు శక్తి ఉష్ణోగ్రతకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. AC విద్యుత్ సరఫరా సగటు విలువ (సున్నా) చుట్టూ ధనాత్మకంగా మరియు ఋణాత్మకంగా ప్రత్యామ్నాయంగా డోలనం చేసే వోల్టేజ్ను ఇస్తుంది.

ఆవర్తన చలనం యొక్క వివరణ, సాధారణంగా, మరియు డోలన చలనం, ప్రత్యేకంగా, కొన్ని ప్రాథమిక భావనలను అవసరం చేస్తుంది, ఉదాహరణకు, ఆవర్తన కాలం, పౌనఃపున్యం, స్థానభ్రంశం, కంపన పరిమితి మరియు దశ. ఈ భావనలు తరువాతి విభాగంలో అభివృద్ధి చేయబడతాయి.

13.2 ఆవర్తన మరియు డోలన చలనాలు

Fig. 13.1 కొన్ని ఆవర్తన చలనాలను చూపుతుంది. ఒక కీటకం ఒక వాలు పైకి ఎక్కి కింద పడిందని అనుకుందాం, అది తిరిగి ప్రారంభ బిందువుకు వస్తుంది మరియు ప్రక్రియను సరిగ్గా పునరావృతం చేస్తుంది. మీరు భూమి పైన దాని ఎత్తు మరియు సమయం గ్రాఫ్ను గీస్తే, అది Fig. 13.1 (a) లాగా ఉంటుంది. ఒక పిల్లవాడు ఒక మెట్టు పైకి ఎక్కి, కిందికి వచ్చి, ప్రక్రియను సరిగ్గా పునరావృతం చేస్తే, భూమి పైన దాని ఎత్తు Fig. 13.1 (b) లో ఉన్నట్లు ఉంటుంది. మీరు భూమి నుండి బంతిని, మీ అరచేతి మరియు భూమి మధ్య, బౌన్స్ చేసే ఆటను ఆడినప్పుడు, దాని ఎత్తు మరియు సమయం గ్రాఫ్ Fig. 13.1 (c) లో ఉన్నట్లు ఉంటుంది. Fig. 13.1 (c) లోని రెండు వక్ర భాగాలు న్యూటన్ యొక్క చలన సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడిన పరాబొలా యొక్క విభాగాలు అని గమనించండి (విభాగం 2.6 చూడండి),

$h=u t+\frac{1}{2} g t^{2}$ కిందికి చలనం కోసం, మరియు

$h=u t-\frac{1}{2} g t^{2}$ పైకి చలనం కోసం,

ప్రతి సందర్భంలో వివిధ విలువలు $u$ తో. ఇవి ఆవర్తన చలనానికి ఉదాహరణలు. అందువలన, సమయం యొక్క సమాన వ్యవధుల తర్వాత తనను తాను పునరావృతం చేసుకునే చలనాన్ని ఆవర్తన చలనం అంటారు.

Fig. 13.1 ఆవర్తన చలనానికి ఉదాహరణలు. ప్రతి సందర్భంలో ఆవర్తన కాలం T చూపబడింది.

చాలా తరచుగా, ఆవర్తన చలనాన్ని అనుభవిస్తున్న వస్తువు దాని మార్గంలో ఎక్కడో ఒక సమతౌల్య స్థానాన్ని కలిగి ఉంటుంది. వస్తువు ఈ స్థానంలో ఉన్నప్పుడు దానిపై ఎటువంటి నికర బాహ్య బలం పనిచేయదు. అందువలన, అది విశ్రాంతిగా అక్కడ వదిలివేయబడితే, అది అక్కడ శాశ్వతంగా ఉంటుంది. వస్తువుకు ఆ స్థానం నుండి ఒక చిన్న స్థానభ్రంశం ఇవ్వబడితే, వస్తువును సమతౌల్య బిందువుకు తిరిగి తీసుకురావడానికి ప్రయత్నించే ఒక బలం పనిచేస్తుంది, ఇది డోలనాలు లేదా కంపనాలకు దారి తీస్తుంది. ఉదాహరణకు, ఒక గిన్నెలో ఉంచిన బంతి దిగువన సమతౌల్యంలో ఉంటుంది. ఆ బిందువు నుండి కొద్దిగా స్థానభ్రంశం చెందితే, అది గిన్నెలో డోలనాలు చేస్తుంది. ప్రతి డోలన చలనం ఆవర్తనం, కానీ ప్రతి ఆవర్తన చలనం డోలనం కావాల్సిన అవసరం లేదు. వృత్తాకార చలనం ఒక ఆవర్తన చలనం, కానీ అది డోలనం కాదు.

డోలనాలు మరియు కంపనాల మధ్య గణనీయమైన తేడా లేదు. పౌనఃపున్యం తక్కువగా ఉన్నప్పుడు, మనం దానిని డోలనం అని పిలుస్తాము (చెట్టు కొమ్మ యొక్క డోలనం వంటిది), పౌనఃపున్యం ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు, మనం దానిని కంపనం అని పిలుస్తాము (సంగీత వాయిద్యం యొక్క తీగ యొక్క కంపనం వంటిది).

సరళ హార్మోనిక్ చలనం డోలన చలనం యొక్క సరళమైన రూపం. డోలనం చేస్తున్న వస్తువుపై బలం దాని సగటు స్థానం నుండి స్థానభ్రంశానికి నేరుగా అనులోమానుపాతంలో ఉన్నప్పుడు ఈ చలనం ఏర్పడుతుంది, ఇది సమతౌల్య స్థానం కూడా అవుతుంది. ఇంకా, దాని డోలనంలో ఏ బిందువు వద్దనైనా, ఈ బలం సగటు స్థానం వైపు నిర్దేశించబడుతుంది.

వాస్తవంలో, ఘర్షణ మరియు ఇతర శక్తి వ్యయ కారణాల వల్ల అవశోషణ కారణంగా, డోలనం చేస్తున్న వస్తువులు చివరికి వాటి సమతౌల్య స్థానాలలో విశ్రాంతి తీసుకుంటాయి. అయినప్పటికీ, కొన్ని బాహ్య ఆవర్తన ఏజెన్సీ ద్వారా అవి డోలనం చేస్తూనే ఉండేలా బలవంతం చేయబడతాయి. మేము ఈ అధ్యాయంలో తరువాత అవశోషిత మరియు బలవంతపు డోలనాల దృగ్విషయాలను చర్చిస్తాము.

ఏదైనా భౌతిక మాధ్యమాన్ని పెద్ద సంఖ్యలో జతచేయబడిన డోలనాల సమాహారంగా చిత్రీకరించవచ్చు. ఒక మాధ్యమం యొక్క అంశాల సామూహిక డోలనాలు తరంగాలుగా వ్యక్తమవుతాయి. తరంగాల ఉదాహరణలలో నీటి తరంగాలు, భూకంప తరంగాలు, విద్యుదయస్కాంత తరంగాలు ఉన్నాయి. మేము తరువాతి అధ్యాయంలో తరంగ దృగ్విషయాన్ని అధ్యయనం చేస్తాము.

13.2.1 ఆవర్తన కాలం మరియు పౌనఃపున్యం

సమయం యొక్క సమాన వ్యవధుల తర్వాత తనను తాను పునరావృతం చేసుకునే ఏదైనా చలనాన్ని ఆవర్తన చలనం అంటారని మనం చూశాము. చలనం పునరావృతమయ్యే తర్వాత సమయం యొక్క అతి చిన్న విరామాన్ని దాని ఆవర్తన కాలం అంటారు. ఆవర్తన కాలాన్ని $T$ గుర్తుతో సూచిస్తాము. దీని SI ప్రమాణం సెకను. ఆవర్తన చలనాల కోసం, ఇవి సెకన్ల స్కేల్లో చాలా వేగంగా లేదా చాలా నెమ్మదిగా ఉంటాయి, సమయం యొక్క ఇతర సౌకర్యవంతమైన ప్రమాణాలు ఉపయోగించబడతాయి. క్వార్ట్జ్ స్ఫటికం యొక్క కంపనాల ఆవర్తన కాలం మైక్రోసెకన్ల యూనిట్లలో వ్యక్తీకరించబడుతుంది $\left(10^{-6} \mathrm{~s}\right)$ $\mu \mathrm{s}$ గా సంక్షిప్తీకరించబడింది. మరోవైపు, బుధ గ్రహం యొక్క కక్ష్యా ఆవర్తన కాలం 88 భూమి రోజులు. హాలీ యొక్క తోకచుక్క ప్రతి 76 సంవత్సరాలకు ఒకసారి కనిపిస్తుంది.

$T$ యొక్క పరస్పరం యూనిట్ సమయానికి జరిగే పునరావృతాల సంఖ్యను ఇస్తుంది. ఈ పరిమాణాన్ని ఆవర్తన చలనం యొక్క పౌనఃపున్యం అంటారు. ఇది $v$ గుర్తుతో సూచించబడుతుంది. $v$ మరియు $T$ మధ్య సంబంధం

$$ \begin{equation*} v=1 / T \tag{13.1} \end{equation*} $$

$v$ యూనిట్ అందువలన $\mathrm{s}^{-1}$. రేడియో తరంగాల ఆవవికర్త, హెయిన్రిచ్ రుడోల్ఫ్ హెర్ట్జ్ (1857-1894) పేరు మీద, పౌనఃపున్యం యూనిట్కు ఒక ప్రత్యేక పేరు ఇవ్వబడింది. దీనిని హెర్ట్జ్ అంటారు ($\mathrm{Hz}$ గా సంక్షిప్తీకరించబడింది). అందువలన,

1 హెర్ట్జ్ $=1 \mathrm{~Hz}=1$ సెకనుకు డోలనం $=1 \mathrm{~s}^{-1}$

గమనించండి, పౌనఃపున్యం, $v$, తప్పనిసరిగా పూర్ణాంకం కాదు.

ఉదాహరణ 13.1 సగటున, మానవ హృదయం నిమిషానికి 75 సార్లు కొట్టుకుంటుంది. దాని పౌనఃపున్యం మరియు ఆవర్తన కాలాన్ని లెక్కించండి.

సమాధానం హృదయం యొక్క కొట్టుకునే పౌనఃపున్యం $=75 /(1 \mathrm{~min})$

$$ \begin{aligned} & =75 /(60 \mathrm{~s}) \\ & =1.25 \mathrm{~s}^{-1} \\ & =1.25 \mathrm{~Hz} \\ \text { The time period } T \quad & =1 /\left(1.25 \mathrm{~s}^{-1}\right) \\ & =0.8 \mathrm{~s} \end{aligned} $$

13.2.2 స్థానభ్రంశం

విభాగం 3.2 లో, మేము ఒక కణం యొక్క స్థానభ్రంశాన్ని దాని స్థాన సదిశలో మార్పుగా నిర్వచించాము. ఈ అధ్యాయంలో, మనం స్థానభ్రంశం అనే పదాన్ని మరింత సాధారణ అర్థంలో ఉపయోగిస్తాము. ఇది పరిశీలనలో ఉన్న ఏదైనా భౌతిక లక్షణంలో సమయంతో మార్పును సూచిస్తుంది. ఉదాహరణకు, ఉక్కు బంతి యొక్క ఒక తలంపై సరళరేఖీయ చలనం విషయంలో, ప్రారంభ బిందువు నుండి దూరం సమయం యొక్క ఫంక్షన్గా దాని స్థాన స్థానభ్రంశం. మూలం యొక్క ఎంపిక సౌకర్యం యొక్క విషయం. ఒక స్ప్రింగ్కు జోడించబడిన బ్లాక్ను పరిగణించండి, స్ప్రింగ్ యొక్క మరొక చివర దృఢమైన గోడకు స్థిరంగా ఉంటుంది [Fig. 13.2(a) చూడండి]. సాధారణంగా, శరీరం యొక్క స్థానభ్రంశాన్ని దాని సమతౌల్య స్థానం నుండి కొలవడం సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. డోలనం చేస్తున్న సరళ లోలకం కోసం, లంబం నుండి కోణం సమయం యొక్క ఫంక్షన్గా స్థానభ్రంశం వేరియబుల్గా పరిగణించబడుతుంది [Fig. 13.2(b) చూడండి]. స్థానభ్రంశం అనే పదం ఎల్లప్పుడూ స్థానం సందర్భంలో మాత్రమే సూచించబడదు. అనేక ఇతర రకాల స్థానభ్రంశం వేరియబుల్స్ ఉండవచ్చు. ఒక కెపాసిటర్ అంతటా వోల్టేజ్, $\mathrm{AC}$ సర్క్యూట్లో సమయంతో మారుతూ, కూడా ఒక స్థానభ్రంశం వేరియబుల్. అదే విధంగా, ధ్వని తరంగం ప్రసారంలో సమయంలో పీడన వైవిధ్యాలు, కాంతి తరంగంలో మారుతున్న విద్యుత్ మరియు అయస్కాంత క్షేత్రాలు వివిధ సందర్భాలలో స్థానభ్రంశానికి ఉదాహరణలు. స్థానభ్రంశం వేరియబుల్ ధనాత్మక మరియు ఋణాత్మక విలువలు రెండింటినీ తీసుకోవచ్చు. డోలనాల ప్రయోగాలలో, వివిధ సమయాలకు స్థానభ్రంశం కొలవబడుతుంది.

Fig. 13.2(a) ఒక స్ప్రింగ్కు జోడించబడిన బ్లాక్, దీని మరొక చివర దృఢమైన గోడకు స్థిరంగా ఉంటుంది. బ్లాక్ ఘర్షణ లేని తలంపై కదులుతుంది. బ్లాక్ యొక్క చలనాన్ని సమతౌల్య స్థానం నుండి దాని దూరం లేదా స్థానభ్రంశం x పరంగా వివరించవచ్చు

Fig.13.2(b) డోలనం చేస్తున్న సరళ లోలకం; దీని చలనాన్ని లంబం నుండి కోణీయ స్థానభ్రంశం θ పరంగా వివరించవచ్చు.

స్థానభ్రంశాన్ని సమయం యొక్క గణిత ఫంక్షన్ ద్వారా సూచించవచ్చు. ఆవర్తన చలనం విషయంలో, ఈ ఫంక్షన్ సమయంలో ఆవర్తనం. అతి సరళమైన ఆవర్తన ఫంక్షన్లలో ఒకటి దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది

$$ \begin{equation*} f(t)=A \cos \omega t \tag{13.3a} \end{equation*} $$

ఈ ఫంక్షన్ యొక్క ఆర్గ్యుమెంట్, $\omega t$, $2 \pi$ రేడియన్ల పూర్ణాంక గుణకం ద్వారా పెంచబడితే, ఫంక్షన్ విలువ అలాగే ఉంటుంది. ఫంక్షన్ $f(t)$ అప్పుడు ఆవర్తనం మరియు దాని ఆవర్తన కాలం, $T$, దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

$$ \begin{equation*} T=\frac{2 \pi}{\omega} \tag{13.3b} \end{equation*} $$

అందువలన, ఫంక్షన్ $f(t)$ ఆవర్తన కాలం $T$ తో ఆవర్తనం,

$$ f(t)=f(t+T) $$

మనం సైన్ ఫంక్షన్, $f(t)=A \sin \omega t$ని పరిగణిస్తే అదే ఫలితం స్పష్టంగా సరైనది. ఇంకా, సైన్ మరియు కొసైన్ ఫంక్షన్ల యొక్క రేఖీయ కలయిక,

$$ \begin{equation*} f(t)=A \sin \omega t+B \cos \omega t \tag{13.3c} \end{equation*} $$

కూడా అదే ఆవర్తన కాలం $T$ తో ఒక ఆవర్తన ఫంక్షన్. తీసుకోవడం,

$$ A=D \cos \phi \text { and } B=D \sin \phi $$

Eq. (13.3c) ఇలా వ్రాయవచ్చు,

$$ \begin{equation*} f(t)=D \sin (\omega t+\phi), \tag{13.3d} \end{equation*} $$

ఇక్కడ $D$ మరియు $\phi$ స్థిరాంకాలు దీని ద్వారా ఇవ్వబడతాయి

$$ D=\sqrt{A^{2}+B^{2}} \text { and } \varphi=\tan ^{-1} \frac{B}{A} $$

ఆవర్తన సైన్ మరియు కొసైన్ ఫంక్షన్ల గొప్ప ప్రాముఖ్యత ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు జీన్ బాప్టిస్ట్ జోసెఫ్ ఫోరియర్ (1768-1830) నిరూపించిన గొప్ప ఫలితం కారణంగా ఉంది: ఏదైనా ఆవర్తన ఫంక్షన్ను వివిధ సమయ వ్యవధుల సైన్ మరియు కొసైన్ ఫంక్షన్ల సూపర్పొజిషన్గా తగిన గుణకాలతో వ్యక్తీకరించవచ్చు.

ఉదాహరణ 13.2 కింది సమయ ఫంక్షన్లలో ఏవి (a) ఆవర్తన మరియు (b) ఆవర్తనం కాని చలనాన్ని సూచిస్తాయి? ఆవర్తన చలనం యొక్క ప్రతి సందర్భానికి ఆవర్తన కాలం ఇవ్వండి [$\omega$ ఏదైనా ధనాత్మక స్థిరాంకం]

(i) $\sin \omega t+\cos \omega t$

(ii) $\sin \omega t+\cos 2 \omega t+\sin 4 \omega t$

(iii) $\mathrm{e}^{-\omega t}$

(iv) $\log (\omega t)$

సమాధానం

(i) $\sin \omega t+\cos \omega t$ ఒక ఆవర్తన ఫంక్షన్, దీనిని $\sqrt{2} \sin (\omega t+\pi / 4)$ గా కూడా వ్రాయవచ్చు.

ఇప్పుడు $\sqrt{2} \sin (\omega t+\pi / 4)=\sqrt{2} \sin (\omega t+\pi / 4+2 \pi)$

$$=\sqrt{2} \sin [\omega(\mathrm{t}+2 \pi / \omega)+\pi / 4]$$

ఫంక్షన్ యొక్క ఆవర్తన సమయం $2 \pi / \omega$.

(ii) ఇది ఆవర్తన చలనానికి ఒక ఉదాహరణ. ప్రతి పదం వేర్వేరు కోణీయ పౌనఃపున్యంతో ఒక ఆవర్తన ఫంక్షన్ను సూచిస్తుందని గమనించవచ్చు. ఆవర్తన కాలం అనేది ఒక ఫంక్షన్ దాని విలువను పునరావృతం చేసే తర్వాత అతి చిన్న సమయ విరామం కాబట్టి, $\sin \omega t$ ఆవర్తన కాలం $T_{0}=2 \pi / \omega ; \cos 2 \omega t$ కలిగి ఉంటుంది; $\pi / \omega=T_{0} / 2$ ఆవర్తన కాలం $\sin 4 \omega t$ కలిగి ఉంటుంది; మరియు $2 \pi / 4 \omega=T_{o} / 4$ ఆవర్తన కాలం $T_{0}$ కలిగి ఉంటుంది. మొదటి పదం యొక్క ఆవర్తన కాలం చివరి రెండు పదాల ఆవర్తన కాలాల గుణకం. అందువలన, మూడు పదాల మొత్తం పునరావృతమయ్యే తర్వాత అతి చిన్న సమయ విరామం $2 \pi / \omega$, మరియు అందువలన, మొత్తం ఆవర్తన కాలం $e^{-\omega t}$ తో ఒక ఆవర్తన ఫంక్షన్.

(iii) ఫంక్షన్ $t \rightarrow \infty$ ఆవర్తనం కాదు, ఇది సమయం పెరిగేకొద్దీ ఏకదిశాత్మకంగా తగ్గుతుంది మరియు $\log (\omega t)$ గా సున్నాకి మొగ్గు చూపుతుంది మరియు అందువలన, దాని విలువను ఎప్పటికీ పునరావృతం చేయదు.

(iv) ఫంక్షన్ $t$ సమయంతో ఏకదిశాత్మకంగా పెరుగుతుంది $t \rightarrow \infty, \log (\omega t)$. అందువలన, ఇది ఎప్పటికీ దాని విలువను పునరావృతం చేయదు మరియు ఒక ఆవర్తనం కాని ఫంక్షన్. $\infty$ గా $x$ వైవిధ్యం చెందుతుందని గమనించవచ్చు. అందువలన, ఇది ఎలాంటి భౌతిక స్థానభ్రంశాన్ని సూచించదు.

13.3 సరళ హార్మోనిక్ చలనం

ఒక కణం $+A$-అక్షం యొక్క మూలం చుట్టూ $-A$ మరియు $x$ పరిమితుల మధ్య ముందుకు వెనుకకు డోలనం చేస్తుందని పరిగణించండి, Fig. 13.3 లో చూపినట్లు. కణం యొక్క మూలం నుండి స్థానభ్రంశం $A, \omega$ సమయంతో ఈ విధంగా మారితే ఈ డోలన చలనాన్ని సరళ హార్మోనిక్ అంటారు:

$$ \begin{equation*} x(t)=A \cos (\omega t+\phi) \tag{13.4} \end{equation*} $$

Fig. 13.3 x-అక్షం యొక్క మూలం చుట్టూ ముందుకు వెనుకకు కంపిస్తున్న కణం,

• A మరియు –A పరిమితుల మధ్య.

ఇక్కడ $\phi$ మరియు $T / 4$ స్థిరాంకాలు.

అందువలన, సరళ హార్మోనిక్ చలనం (SHM) ఏదైనా ఆవర్తన చలనం కాదు కానీ స్థానభ్రంశం సమయం యొక్క సైనూసోయిడల్ ఫంక్షన్ అయిన ఒక చలనం. Fig. 13.4 డిస్క్రీట్ సమయ విలువ