2.1 పరిచయం

చలనం విశ్వంలోని ప్రతిదానికీ సామాన్యమైనది. మనం నడుస్తాము, పరిగెత్తుతాము మరియు సైకిల్ తొక్కుతాము. మనం నిద్రిస్తున్నప్పుడు కూడా గాలి మన ఊపిరితిత్తులలోకి మరియు బయటకు కదులుతుంది మరియు రక్తం ధమనులు మరియు సిరలలో ప్రవహిస్తుంది. చెట్ల నుండి ఆకులు రాలడం మరియు నీరు ప్రవహించడం అడ్డంకి వెంబడి క్రిందికి ప్రవహించడం మనం చూస్తాము. ఆటోమొబైల్స్ మరియు విమానాలు ప్రజలను ఒక స్థలం నుండి మరొక స్థలానికి తీసుకువెళతాయి. భూమి ప్రతి ఇరవై నాలుగు గంటలకు ఒకసారి తిరుగుతుంది మరియు సూర్యుని చుట్టూ ఒక సంవత్సరంలో ఒకసారి పరిభ్రమిస్తుంది. సూర్యుడు కూడా మిల్కీ వే లో చలనంలో ఉంటాడు, ఇది మళ్ళీ కదులుతూ ఉంటుంది దాని స్థానిక గెలాక్సీల సమూహంలో.

చలనం అనేది ఒక వస్తువు యొక్క స్థానం కాలంతో మార్పు. ఎలా స్థానం కాలంతో మారుతుందా? ఈ అధ్యాయంలో, మనం చలనాన్ని ఎలా వివరించాలో నేర్చుకుంటాము. దీని కోసం, మనం అభివృద్ధి చేస్తాము వేగం మరియు త్వరణం యొక్క భావనలు. మనం పరిమితం చేస్తాము సరళరేఖ వెంబడి వస్తువుల చలన అధ్యయనానికి మనల్ని మనం, రెక్టిలినియర్ మోషన్ అని కూడా పిలుస్తారు. కోసం సమత్వరణంతో రెక్టిలినియర్ మోషన్, సాధారణమైన సమీకరణాల సమితి పొందవచ్చు. చివరగా, సాపేక్షతను అర్థం చేసుకోవడానికి చలనం యొక్క స్వభావం, మేము సాపేక్ష వేగం యొక్క భావనను పరిచయం చేస్తాము.

మన చర్చలలో, మనం చలనంలో ఉన్న వస్తువులను ఇలా చూస్తాము పాయింట్ ఆబ్జెక్ట్స్. ఈ అంచనా చెల్లుబాటు అయ్యేంత వరకు వస్తువు యొక్క దూరం కంటే చాలా చిన్నది సహేతుకమైన కాల వ్యవధిలో. పరిస్థితుల్లో మంచి సంఖ్యలో నిజ జీవితంలో, వస్తువుల పరిమాణాన్ని నిర్లక్ష్యం చేయవచ్చు మరియు అవి చాలా లోపం లేకుండా పాయింట్ లాంటి వస్తువులుగా పరిగణించబడతాయి. కైనమాటిక్స్లో, మనం లేకుండా చలనాన్ని వివరించే మార్గాలను అధ్యయనం చేస్తాము చలన కారణాల్లోకి వెళ్లడం. ఏమి కారణంగా చలనం ఈ అధ్యాయంలో వివరించబడింది మరియు తదుపరి అధ్యాయం ఏర్పడుతుంది అధ్యాయం 4 యొక్క విషయం.

2.2 తాత్కాలిక వేగం మరియు వేగం

సగటు వేగం ఒక వస్తువు ఎంత వేగంగా ఉందో మనకు చెబుతుంది ఇచ్చిన కాల వ్యవధిలో కదులుతున్నప్పటికీ అది ఎంత వేగంగా కదులుతుందో మనకు చెప్పదు ఆ విరామంలో సమయం యొక్క క్షణాలు. దీని కోసం, మేము తాత్కాలిక వేగం లేదా కేవలం నిర్వచించాము క్షణం t వద్ద వేగం v. క్షణం వద్ద వేగం ఇలా నిర్వచించబడింది సగటు వేగం యొక్క పరిమితి కాల వ్యవధిగా ${\Delta T}$ అనంతంగా చిన్నది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే,

$\begin{aligned} v & =\lim _{\Delta \mathrm{t} \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \ & =\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\end{aligned}$

ఇక్కడ చిహ్నం lim ∆t→0 ఆపరేషన్ కోసం నిలబడుతుంది ∆tg0 యొక్క పరిమితిని దాని పైన ఉన్న పరిమాణంగా తీసుకోవడం కుడి. కాలిక్యులస్ భాషలో, పరిమాణం సమీకరణం యొక్క కుడి వైపున. (2.1a) అనేది x యొక్క అవకలన గుణకం tకి సంబంధించి మరియు ద్వారా సూచించబడుతుంది $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ (అనుబంధం 2.1 చూడండి). ఇది కాలానికి సంబంధించి స్థానం యొక్క మార్పు రేటు, ఆ క్షణంలో.

మేము Eq. (2.1a) పొందడానికి క్షణం వద్ద వేగం యొక్క విలువ గ్రాఫికల్గా లేదా సంఖ్యాపరంగా. మనం అనుకుందాం గ్రాఫికల్గా విలువను పొందాలనుకుంటున్నారు సమయం వద్ద వేగం t = 4 s (పాయింట్ P) కోసం చలనం Fig.2.1 లెక్కలో ప్రాతినిధ్యం వహించే కారు. ∆t = 2 s ని t = 4 s కేంద్రంగా తీసుకుందాం. అప్పుడు, సగటు వేగం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం, లైన్ యొక్క వాలు $P_1P_2$ (Fig. 2.1) విలువను ఇస్తుంది 3 s నుండి 5 s వరకు విరామంలో సగటు వేగం

Fig. 2.1 స్థానం-సమయం నుండి వేగాన్ని నిర్ణయించడం గ్రాఫ్. t = 4 s వద్ద వేగం ఆ క్షణంలో గ్రాఫ్కు టాంజెంట్.

ఇప్పుడు, మేము $\Delta t$ విలువను తగ్గిస్తాము $2 \mathrm{~s}$ నుండి 1 s వరకు. అప్పుడు లైన్ $\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$ అవుతుంది $\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$ మరియు దాని వాలు విరామం పై సగటు వేగం యొక్క విలువను ఇస్తుంది $3.5 \mathrm{~s}$ నుండి $4.5 \mathrm{~s}$. పరిమితిలో $\Delta t \rightarrow 0$, లైన్ $\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$ పాయింట్ వద్ద పొజిషన్-టైమ్ కర్వ్కు టాంజెంట్ అవుతుంది $\mathrm{P}$ మరియు వద్ద వేగం $t$ $=4 \mathrm{~s}$ ఆ సమయంలో టాంజెంట్ యొక్క వాలుతో ఇవ్వబడుతుంది. ఈ ప్రక్రియను గ్రాఫికల్గా చూపించడం కష్టం. కానీ మనం సంఖ్యా పద్ధతిని ఉపయోగించి వేగం యొక్క విలువను పొందాలనుకుంటే, పరిమితి ప్రక్రియ యొక్క అర్థం స్పష్టమవుతుంది. Fig. 2.1లో చూపిన గ్రాఫ్ కోసం, $x=0.08 t^3$. టేబుల్ 2.1 విలువను ఇస్తుంది $\Delta x / \Delta t$ కోసం లెక్కించబడింది $\Delta t$ సమానం $2.0 \mathrm{~s}$, $1.0 \mathrm{~s}, 0.5 \mathrm{~s}, 0.1 \mathrm{~s}$ మరియు $0.01 \mathrm{~s}$ కేంద్రీకృతమై $t=$ $4.0 \mathrm{~s}$. రెండవ మరియు మూడవ నిలువు వరుసలు విలువను ఇస్తాయి $t_1=\left(t-\frac{\Delta t}{2}\right)$ మరియు $t_2=\left(t+\frac{\Delta t}{2}\right)$ మరియు నాల్గవ మరియు ఐదవ నిలువు వరుసలు సంబంధిత విలువలను ఇస్తాయి $x$, అనగా. $x\left(t_1\right)=0.08 t_1^3$ మరియు $x\left(t_2\right)=0.08 t_2^3$. ఆరవ నిలువు వరుస తేడాలను జాబితా చేస్తుంది $\Delta x=X\left(t_2\right)-X\left(t_1\right)$ మరియు చివరి కాలమ్ యొక్క నిష్పత్తిని ఇస్తుంది $\Delta x$ మరియు $\Delta t$, అనగా సగటు వేగం విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది $\Delta t$ మొదటి కాలమ్లో జాబితా చేయబడింది.

Table 2.1 పరిమితి విలువ $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ వద్ద $t=4 \mathrm{~s}$

టేబుల్ 2.1 నుండి మనం చూస్తాము, మనం విలువను తగ్గిస్తున్నప్పుడు $\Delta t$ నుండి $2.0 \mathrm{~s}$ కు $0.010 \mathrm{~s}$, సగటు వేగం యొక్క విలువ పరిమితి విలువను సమీపిస్తుంది $3.84 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ ఇది వద్ద వేగం యొక్క విలువ $t=4.0 \mathrm{~s}$, అనగా విలువ $\frac{d x}{d t}$ వద్ద $t=4.0 \mathrm{~s}$.ఈ పద్ధతిలో, మనం కారు యొక్క చలనం కోసం ప్రతి క్షణంలో వేగాన్ని లెక్కించవచ్చు.

తాత్కాలిక వేగం యొక్క గ్రాఫికల్ పద్ధతి ఎల్లప్పుడూ సౌకర్యవంతమైన పద్ధతి కాదు. దీని కోసం, మనం జాగ్రత్తగా స్థానం-సమయ గ్రాఫ్ను ప్లాట్ చేయాలి మరియు సగటు వేగం యొక్క విలువను లెక్కించాలి $\Delta t$ చిన్నది మరియు చిన్నది అవుతుంది. వివిధ క్షణాల్లో స్థానాల డేటా ఉంటే వివిధ క్షణాల్లో వేగం యొక్క విలువను లెక్కించడం సులభం లేదా సమయం యొక్క ఫంక్షన్గా స్థానం యొక్క ఖచ్చితమైన వ్యక్తీకరణ. అప్పుడు, మేము లెక్కిస్తాము $\Delta x / \Delta t$ తగ్గుతున్న విలువ కోసం డేటా నుండి $\Delta t$ మరియు మేము టేబుల్ 2.1లో చేసినట్లుగా పరిమితి విలువను కనుగొనండి లేదా ఇచ్చిన వ్యక్తీకరణ కోసం అవకలన కాలిక్యులస్ని ఉపయోగించండి మరియు లెక్కించండి ⟦83⟈ కింది ఉదాహరణలో చేసినట్లుగా వివిధ క్షణాల్లో.

Example 2.1 x-అక్షం వెంబడి కదిలే వస్తువు యొక్క స్థానం x = a + bt2 ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది, ఇక్కడ a = 8.5 m, b = 2.5 m $s^{–2}$ మరియు t సెకన్లలో కొలుస్తారు. t = 0 s మరియు t = 2.0 s వద్ద దాని వేగం ఎంత. t = 2.0 s మరియు t = 4.0 s మధ్య సగటు వేగం ఎంత?

Answer అవకలన కాలిక్యులస్ సంజ్ఞామానంలో, వేగం

$ v=\frac{d x}{d t}=\frac{d}{d t}\left(a+b t^2\right)=2 b t=5.0 t \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $

వద్ద $t=0 \mathrm{~s}, \quad V=0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ మరియు వద్ద $t=2.0 \mathrm{~s}$, $v=10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$.

$ \text { Average velocity }=\frac{x(4.0)-x(2.0)}{4.0-2.0} $

$\begin{array}{r}=\frac{a+16 b-a-4 b}{2.0}=6.0 \times b \\ =6.0 \times 2.5=15 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\end{array}$

ఏకరీతి చలనం కోసం, వేగం అన్ని క్షణాల్లో సగటు వేగంతో సమానంగా ఉంటుందని గమనించండి

తాత్కాలిక వేగం లేదా కేవలం వేగం అనేది వేగం యొక్క పరిమాణం. ఉదాహరణకు, వేగం $+24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ మరియు వేగం $-24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}-$ రెండూ సంబంధిత వేగాన్ని కలిగి ఉంటాయి $24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$. పరిమిత కాల వ్యవధిలో సగటు వేగం సగటు వేగం యొక్క పరిమాణం కంటే ఎక్కువ లేదా సమానంగా ఉన్నప్పటికీ, ఒక క్షణంలో తాత్కాలిక వేగం ఆ క్షణంలో తాత్కాలిక వేగం యొక్క పరిమాణానికి సమానం అని గమనించాలి. ఎందుకు అలా?

2.3 త్వరణం

ఒక వస్తువు యొక్క వేగం, సాధారణంగా, దాని చలన కోర్సులో మారుతుంది. ఈ మార్పును ఎలా వివరించాలి? దూరంతో లేదా సమయంతో వేగంలో మార్పు రేటుగా దీనిని వివరించాలా? ఇది గెలీలియో కాలంలో కూడా ఒక సమస్య. ఈ మార్పును దూరంతో వేగంలో మార్పు రేటుతో వివరించవచ్చని మొదట భావించారు. కానీ, స్వేచ్ఛగా పడే వస్తువుల చలనం మరియు వంపుతిరిగిన విమానంపై వస్తువుల చలనం గురించి అధ్యయనం ద్వారా, గెలీలియో స్వేచ్ఛగా పడే అన్ని వస్తువుల కోసం చలనం యొక్క స్థిరాంకం వేగంతో సమయంతో మార్పు రేటు అని తీర్మానించాడు. మరోవైపు, దూరంతో వేగంలో మార్పు స్థిరంగా ఉండదు – పడే దూరం పెరిగేకొద్దీ అది తగ్గుతుంది. ఇది త్వరణం యొక్క భావనకు దారితీసింది, ఇది సమయంతో వేగంలో మార్పు రేటు.

సగటు త్వరణం a ఒక కాల వ్యవధిలో వేగంలో మార్పును సమయ విరామంతో భాగించినట్లుగా నిర్వచించబడింది:

$\bar{a}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\quad \quad \quad \quad \quad (2.2)$

ఎక్కడ $v_2$ మరియు $v_1$ తాత్కాలిక వేగాలు లేదా కేవలం సమయం వద్ద వేగాలు $t_2$ మరియు $t_1$. ఇది యూనిట్ సమయానికి సగటు వేగం మార్పు. త్వరణం యొక్క SI యూనిట్ $\mathrm{m} \mathrm{s}^{-2}$.

వేగం మరియు సమయం గ్రాఫ్లో, సగటు త్వరణం సరళ రేఖ యొక్క వాలు పాయింట్లకు అనుగుణంగా కనెక్ట్ చేయడం $\left(v_2, t_2\right)$ మరియు $\left(v_1, t_1\right)$.

తాత్కాలిక త్వరణం తాత్కాలిక వేగం వలె అదే విధంగా నిర్వచించబడింది:

$ a=\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} \quad \quad \quad \quad \quad (2.3) $

క్షణం వద్ద త్వరణం టాంజెంట్ యొక్క వాలు $v-t$ ఆ క్షణంలో వక్రరేఖ.

వేగం పరిమాణం మరియు దిశ రెండింటినీ కలిగి ఉన్న పరిమాణం కాబట్టి, వేగంలో మార్పు ఈ కారకాలలో ఒకటి లేదా రెండింటిని కలిగి ఉండవచ్చు. కాబట్టి, త్వరణం వేగంలో మార్పు (పరిమాణం), దిశలో మార్పు లేదా రెండింటిలో మార్పుల వల్ల ఉండవచ్చు. వేగం వలె, త్వరణం కూడా సానుకూలంగా, ప్రతికూలంగా లేదా సున్నాగా ఉంటుంది. సానుకూల, ప్రతికూల మరియు సున్నా త్వరణంతో కదలిక కోసం స్థానం-సమయ గ్రాఫ్లు వరుసగా Figs. 2.4 (a), (b) మరియు (c)లో చూపబడ్డాయి. సానుకూల త్వరణం కోసం గ్రాఫ్ పైకి వంగి ఉంటుందని గమనించండి; ప్రతికూల త్వరణం కోసం క్రిందికి మరియు ఇది సున్నా త్వరణం కోసం సరళ రేఖ.

Fig. 2.2 (a) సానుకూల త్వరణంతో కదలిక కోసం స్థానం-సమయ గ్రాఫ్; (b) ప్రతికూల త్వరణం, మరియు (c) సున్నా త్వరణం.

త్వరణం సమయంతో మారవచ్చు అయినప్పటికీ, ఈ అధ్యాయంలో మన అధ్యయనం స్థిరమైన త్వరణంతో కదలికకు పరిమితం చేయబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, సగటు త్వరణం విరామంలో త్వరణం యొక్క స్థిరమైన విలువకు సమానం. ఒక వస్తువు యొక్క వేగం $V$ వద్ద $t$ $=0$ మరియు $v$ సమయం వద్ద $t$, మనకు ఉంది

$ \bar{a}=\frac{v-v_o}{t-0} $

$\text { or, } v=v_o+a t \quad (2.4) $

కొన్ని సాధారణ సందర్భాలకు వేగం-సమయం గ్రాఫ్ ఎలా ఉంటుందో చూద్దాం . Fig. 2.3 క్రింది సందర్భాలకు స్థిరమైన త్వరణంతో కదలిక కోసం వేగం-సమయం గ్రాఫ్ను చూపుతుంది:

Fig. 2.3 స్థిరమైన త్వరణంతో కదలికల కోసం వేగం-సమయం గ్రాఫ్. (a) సానుకూల త్వరణంతో సానుకూల దిశలో కదలిక, (b) ప్రతికూల త్వరణంతో సానుకూల దిశలో కదలిక, (c) ప్రతికూల త్వరణంతో ప్రతికూల దిశలో కదలిక, (d) ప్రతికూల త్వరణంతో కదిలే వస్తువు యొక్క కదలిక t1 సమయంలో దిశను మారుస్తుంది. సమయం 0 నుండి మధ్య $t_1$, ఇది సానుకూల x - దిశలో కదులుతుంది మరియు మధ్య $t_1$ మరియు $t_2$ ఇది వ్యతిరేక దిశలో కదులుతుంది.

(a) ఒక వస్తువు సానుకూల త్వరణంతో సానుకూల దిశలో కదులుతోంది.

(b) ఒక వస్తువు ప్రతికూల త్వరణంతో సానుకూల దిశలో కదులుతోంది.

(c) ఒక వస్తువు ప్రతికూల త్వరణంతో ప్రతికూల దిశలో కదులుతోంది.

(d) ఒక వస్తువు సమయం వరకు సానుకూల దిశలో కదులుతోంది $t_1$, ఆపై అదే ప్రతికూల త్వరణంతో తిరిగి వస్తుంది.

ఏదైనా కదిలే వస్తువు కోసం వేగం-సమయం గ్రాఫ్ యొక్క ఆసక్తికరమైన లక్షణం ఏమిటంటే, వక్రరేఖ కింద ఉన్న ప్రాంతం ఇచ్చిన కాల వ్యవధిలో స్థానభ్రంశాన్ని సూచిస్తుంది. ఈ ప్రకటన యొక్క సాధారణ రుజువుకు కాలిక్యులస్ ఉపయోగం అవసరం. అయితే, స్థిరమైన వేగం uతో కదిలే వస్తువు యొక్క సాధారణ సందర్భానికి ఇది నిజమని మనం చూడవచ్చు. దాని వేగం-సమయం గ్రాఫ్ Fig. 2.4లో చూపినట్లుగా ఉంటుంది.

Fig. 2.4 v–t వక్రరేఖ కింద ఉన్న ప్రాంతం ఇచ్చిన కాల వ్యవధిలో వస్తువు యొక్క స్థానభ్రంశానికి సమానం.

v-t వక్రరేఖ సమయ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే సరళ రేఖ మరియు t = 0 మరియు t = T మధ్య దాని కింద ఉన్న ప్రాంతం ఎత్తు u మరియు బేస్ T యొక్క దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యం. కాబట్టి, వైశాల్యం = u × T = uT ఈ సమయ విరామంలో స్థానభ్రంశం. ఈ సందర్భంలో ఒక ప్రాంతం దూరానికి సమానం ఎలా వస్తుంది? ఆలోచించండి! రెండు కోఆర్డినేట్ అక్షాలపై పరిమాణాల కొలతలను గమనించండి మరియు మీరు సమాధానానికి చేరుకుంటారు.

ఈ అధ్యాయంలోని అనేక చిత్రాలలో చూపబడిన x-t, v-t మరియు a-t గ్రాఫ్లు కొన్ని బిందువుల వద్ద పదునైన కింక్లను కలిగి ఉన్నాయని గమనించండి, అంటే ఫంక్షన్లు ఈ బిందువుల వద్ద భేదం చేయలేవు. ఏదైనా వాస్తవిక పరిస్థితిలో, ఫంక్షన్లు అన్ని బిందువుల వద్ద భేదం చేయగలవు మరియు గ్రాఫ్లు మృదువుగా ఉంటాయి.

దీని అర్థం భౌతికంగా త్వరణం మరియు వేగం ఒక క్షణంలో విలువలను అకస్మాత్తుగా మార్చలేవు. మార్పులు ఎల్లప్పుడూ నిరంతరంగా ఉంటాయి.

2.4 ఏకరీతి త్వరణ చలనం కోసం కైనమాటిక్ సమీకరణాలు

ఏకరీతి త్వరణ చలనం కోసం, మనం కొన్ని సాధారణ సమీకరణాలను పొందవచ్చు, అవి స్థానభ్రంశానికి సంబంధించినవి $(x)$, తీసుకున్న సమయం $(t)$, ప్రారంభ వేగం $\left(v_0\right)$, చివరి వేగం $(v)$ మరియు త్వరణం (a). ఇప్పటికే పొందిన సమీకరణం (2.4) చివరి మరియు ప్రారంభ వేగాల మధ్య సంబంధాన్ని ఇస్తుంది $v$ మరియు $v_0$ ఏకరీతి త్వరణంతో కదిలే వస్తువు యొక్క $a$ :

$$ v=v_o+a t (2.4) $$

ఈ సంబంధం గ్రాఫికల్గా Fig. 2.5లో ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుంది. ఈ వక్రరేఖ కింద ఉన్న ప్రాంతం: క్షణాలు 0 మరియు మధ్య ప్రాంతం $t=$ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం $\mathrm{ABC}+$ దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యం $\mathrm{OACD}$

$$ =\frac{1}{2}\left(v-v_0\right) t+v_0 t $$

Fig. 2.5