5.1 పరిచయం

‘పని’, ‘శక్తి’ మరియు ‘సామర్థ్యం’ అనే పదాలు రోజువారీ భాషలో తరచుగా ఉపయోగించబడతాయి. పొలం దున్నుతున్న రైతు, ఇటుకలు మోస్తున్న నిర్మాణ కార్మికుడు, పోటీ పరీక్ష కోసం చదువుతున్న విద్యార్థి, అందమైన ప్రకృతి దృశ్యాన్ని గీస్తున్న కళాకారుడు, వీరందరూ పని చేస్తున్నారని చెప్పబడుతుంది. అయితే, భౌతిక శాస్త్రంలో, ‘పని’ అనే పదం ఒక నిర్దిష్టమైన మరియు ఖచ్చితమైన అర్థాన్ని కలిగి ఉంటుంది. రోజుకు 14-16 గంటలు పని చేసే సామర్థ్యం ఉన్న వ్యక్తి ఎక్కువ స్టామినా లేదా శక్తిని కలిగి ఉన్నాడని చెప్పబడుతుంది. మేము ఒక దూరపు పరుగుదారురాలిని ఆమె స్టామినా లేదా శక్తి కోసం మెచ్చుకుంటాము. అందువలన, శక్తి అనేది మన పని చేసే సామర్థ్యం. భౌతిక శాస్త్రంలో కూడా, ‘శక్తి’ అనే పదం ఈ అర్థంలో పనితో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది, కానీ పైన చెప్పినట్లుగా ‘పని’ అనే పదం చాలా ఖచ్చితంగా నిర్వచించబడింది. ‘సామర్థ్యం’ అనే పదం రోజువారీ జీవితంలో వివిధ అర్థాలతో ఉపయోగించబడుతుంది. కరాటే లేదా బాక్సింగ్లో మనం ‘శక్తివంతమైన’ పంచ్ల గురించి మాట్లాడతాము. ఇవి చాలా వేగంతో ఇవ్వబడతాయి. ఈ అర్థ ఛాయ భౌతిక శాస్త్రంలో ఉపయోగించే ‘సామర్థ్యం’ అనే పదం యొక్క అర్థానికి దగ్గరగా ఉంటుంది. భౌతిక నిర్వచనాలు మరియు ఈ పదాలు మన మనస్సులలో సృష్టించే శరీరధర్మ చిత్రాల మధ్య గరిష్టంగా ఒక సడల సంబంధం మాత్రమే ఉందని మనం కనుగొంటాము. ఈ మూడు భౌతిక పరిమాణాలను అర్థం చేసుకోవడం ఈ అధ్యాయం యొక్క లక్ష్యం. మేము ఈ పనికి వెళ్లే ముందు, ఒక గణిత పూర్వాపేక్షను అభివృద్ధి చేయాలి, అది రెండు సదిశల స్కేలార్ గుణకారం.

5.1.1 స్కేలార్ గుణకారం

మేము అధ్యాయం 3లో సదిశలు మరియు వాటి ఉపయోగం గురించి నేర్చుకున్నాము. స్థానభ్రంశం, వేగం, త్వరణం, బలం మొదలైన భౌతిక పరిమాణాలు సదిశలు. సదిశలు ఎలా కూడబడతాయి లేదా తీసివేయబడతాయో కూడా మనం నేర్చుకున్నాము. ఇప్పుడు సదిశలు ఎలా గుణించబడతాయో తెలుసుకోవాలి. సదిశలను గుణించడానికి రెండు మార్గాలు ఉన్నాయి, అవి: ఒకటి స్కేలార్ గుణకారం అని పిలువబడేది రెండు సదిశల నుండి ఒక స్కేలార్ను ఇస్తుంది మరియు మరొకటి సదిశ గుణకారం అని పిలువబడేది రెండు సదిశల నుండి ఒక కొత్త సదిశను ఉత్పత్తి చేస్తుంది. మేము అధ్యాయం 6లో సదిశ గుణకారాన్ని చూస్తాము. ఇక్కడ మనం రెండు సదిశల స్కేలార్ గుణకారాన్ని తీసుకుంటాము. ఏదైనా రెండు సదిశల A మరియు B యొక్క స్కేలార్ గుణకారం లేదా డాట్ గుణకారం, A.B గా సూచించబడుతుంది (చదవండి $\mathbf{A} \operatorname{dot} \mathbf{B}$) ఇలా నిర్వచించబడింది

$$ \begin{equation*} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=A B \cos \theta \tag{5.1a} \end{equation*} $$

ఇక్కడ $\theta$ అనేది Fig. 5.1(a)లో చూపిన విధంగా రెండు సదిశల మధ్య కోణం. $A, B$ మరియు $\cos \theta$ స్కేలార్లు కాబట్టి, $\mathbf{A}$ మరియు $\mathbf{B}$ యొక్క డాట్ గుణకారం ఒక స్కేలార్ పరిమాణం. ప్రతి సదిశ, $\mathbf{A}$ మరియు $\mathbf{B}$, ఒక దిశను కలిగి ఉంటాయి కానీ వాటి స్కేలార్ గుణకారానికి దిశ ఉండదు.

Eq. (5.1a) నుండి, మనకు ఉంది

$$ \begin{aligned} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} & =A(B \cos \theta) \\ & =B(A \cos \theta) \end{aligned} $$

జ్యామితీయంగా, $B \cos \theta$ అనేది Fig.5.1 (b)లో $\mathbf{B}$ యొక్క $\mathbf{A}$ పై ప్రొజెక్షన్ మరియు $A \cos \theta$ అనేది Fig. 5.1 (c)లో $\mathbf{A}$ యొక్క $\mathbf{B}$ పై ప్రొజెక్షన్. కాబట్టి, A.B అనేది $\mathbf{A}$ యొక్క పరిమాణం మరియు A వెంట $\mathbf{B}$ యొక్క భాగం యొక్క గుణకారం. లేదా, ఇది $\mathbf{B}$ యొక్క పరిమాణం మరియు $\mathbf{A}$ యొక్క $\mathbf{B}$ వెంట భాగం యొక్క గుణకారం.

Eq. (5.1a) స్కేలార్ గుణకారం కమ్యుటేటివ్ నియమాన్ని అనుసరిస్తుందని చూపిస్తుంది:

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}$

స్కేలార్ గుణకారం విభాగన్యాయాన్ని పాటిస్తుంది:

$\mathbf{A} \cdot(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}+\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}$

ఇంకా, $\quad \mathbf{A} \cdot(\lambda \mathbf{B})=\lambda(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})$

ఇక్కడ $\lambda$ ఒక వాస్తవ సంఖ్య.

పై సమీకరణాల రుజువులు మీకు వ్యాయామంగా మిగిల్చబడ్డాయి.

యూనిట్ సదిశలు $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}$ కోసం మనకు ఉంది

$$ \begin{aligned} & \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=1 \\ & \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=0 \end{aligned} $$

రెండు సదిశలు ఇవ్వబడ్డాయి

$$ \begin{aligned} & \mathbf{A}=A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}} \\ & \mathbf{B}=B_{x} \hat{\mathbf{i}}+B_{y} \hat{\mathbf{j}}+B_{z} \hat{\mathbf{k}} \end{aligned} $$

వాటి స్కేలార్ గుణకారం

$$ \begin{align*} & \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\left(A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \cdot\left(B_{x} \hat{\mathbf{i}}+B_{y} \hat{\mathbf{j}}+B_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \\ & =A_{x} B_{x}+A_{y} B_{y}+A_{z} B_{z} \tag{5.1b} \end{align*} $$

స్కేలార్ గుణకారం యొక్క నిర్వచనం మరియు (Eq. 5.1b) నుండి మనకు ఉంది:

$$ \begin{equation*} \text{(i)} \quad \quad \quad \quad \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}=A_{x} A_{x}+A_{y} A_{y}+A_{z} A_{z} \end{equation*} $$

$$\text{Or, } \quad\quad\quad\quad A^{2}=A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2} \tag{5.1c}$$

ఎందుకంటే $\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}=|\mathbf{A}||\mathbf{A}| \cos 0=A^{2}$.

(ii) $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=0$, ఒకవేళ $\mathbf{A}$ మరియు $\mathbf{B}$ లంబంగా ఉంటే.

ఉదాహరణ 5.1 బలం $\mathbf{F}=(3 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}-5 \hat{\mathbf{k}})$ యూనిట్ మరియు స్థానభ్రంశం మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి $\mathbf{d}=(5 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}})$ యూనిట్. $\mathbf{F}$ యొక్క $\mathbf{d}$ పై ప్రొజెక్షన్ను కూడా కనుగొనండి.

సమాధానం $\mathbf{F} \cdot \mathbf{d}=F_{x} d_{x}+F_{y} d_{y}+F_{z} d_{z}$

$$ \begin{aligned} & =3(5)+4(4)+(-5)(3) \\ & =16 \text { unit } \end{aligned} $$

అందువలన $\mathbf{F} \cdot \mathbf{d}=F d \cos \theta=16$ యూనిట్

ఇప్పుడు $\mathbf{F} \cdot \mathbf{F}$ $$ =F^{2}=F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2} $$

$$ \begin{aligned} & =9+16+25 \\ & =50 \text { unit } \end{aligned} $$

మరియు $\mathbf{d} \cdot \mathbf{d} \quad=d^{2}=d_{x}^{2}+d_{y}^{2}+d_{z}^{2}$

$$ =25+16+9 $$

$$ =50 \text { unit } $$

$\therefore \cos \theta=\frac{16}{\sqrt{50} \sqrt{50}}=\frac{16}{50}=0.32$,

$\theta=\cos ^{-1} 0.32$

Fig. 5.1 (a) రెండు సదిశల A మరియు B యొక్క స్కేలార్ గుణకారం ఒక స్కేలార్: A.B = A B cos θ. (b) B cos θ అనేది B యొక్క A పై ప్రొజెక్షన్. (c) A cos θ అనేది A యొక్క B పై ప్రొజెక్షన్.

5.2 పని మరియు గతిశక్తి యొక్క భావనలు: పని-శక్తి సిద్ధాంతం

స్థిర త్వరణం $a$ కింద సరళరేఖా చలనం కోసం క్రింది సంబంధం అధ్యాయం 3లో కనుగొనబడింది,

$$ \begin{equation*} v^{2}-u^{2}=2 a s \tag{5.2} \end{equation*} $$

ఇక్కడ $u$ మరియు $v$ ప్రారంభ మరియు తుది వేగాలు మరియు $s$ ప్రయాణించిన దూరం. రెండు వైపులా $m / 2$ తో గుణించడం, మనకు ఉంది

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m u^{2}=m a s=F s \tag{5.2a} \end{equation*} $$

ఇక్కడ చివరి దశ న్యూటన్ రెండవ నియమం నుండి వస్తుంది. మేము Eq. (5.2) ను సదిశలను ఉపయోగించి మూడు పరిమాణాలకు సాధారణీకరించవచ్చు

$$ v^{2}-u^{2}=2 \text { a.d } $$

ఇక్కడ $\mathbf{a}$ మరియు $\mathbf{d}$ వరుసగా వస్తువు యొక్క త్వరణం మరియు స్థానభ్రంశం సదిశలు. మరోసారి రెండు వైపులా $\mathrm{m} / 2$ తో గుణించడం, మనం పొందుతాము

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m u^{2}=m \mathbf{a} \cdot \mathbf{d}=\mathbf{F} . \mathbf{d} \tag{5.2b} \end{equation*} $$

పై సమీకరణం పని మరియు గతిశక్తి యొక్క నిర్వచనాలకు ఒక ప్రేరణను అందిస్తుంది. సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు ‘ద్రవ్యరాశి సగం సార్లు వేగం యొక్క వర్గం’ అనే పరిమాణంలో దాని ప్రారంభ విలువ నుండి దాని తుది విలువ వరకు వ్యత్యాసం. మేము ఈ పరిమాణాలలో ప్రతి ఒక్కటిని ‘గతిశక్తి’ అని పిలుస్తాము, దీనిని $K$ ద్వారా సూచిస్తాము. కుడి వైపు స్థానభ్రంశం మరియు స్థానభ్రంశం వెంట బలం యొక్క భాగం యొక్క గుణకారం. ఈ పరిమాణాన్ని ‘పని’ అని పిలుస్తారు మరియు దీనిని W ద్వారా సూచిస్తారు. Eq. (5.2b) అప్పుడు

$$ \begin{equation*} K_{f}-K_{i}=W \tag{5.3} \end{equation*} $$

ఇక్కడ $K_{i}$ మరియు $K_{f}$ వరుసగా వస్తువు యొక్క ప్రారంభ మరియు తుది గతిశక్తులు. పని అనేది బలం మరియు అది పనిచేసే స్థానభ్రంశాన్ని సూచిస్తుంది. ఒక బలం శరీరంపై ఒక నిర్దిష్ట స్థానభ్రంశంపై పని చేస్తుంది.

Eq. (5.2) కూడా పని-శక్తి (WE) సిద్ధాంతం యొక్క ఒక ప్రత్యేక సందర్భం: ఒక కణం యొక్క గతిశక్తిలో మార్పు దానిపై నికర బలం చేసిన పనికి సమానం. మేము పై వ్యుత్పత్తిని తరువాతి విభాగంలో మారుతున్న బలానికి సాధారణీకరిస్తాము.

ఉదాహరణ 5.2 వర్షపు బిందువు కిందకు పనిచేసే గురుత్వాకర్షణ బలం మరియు వ్యతిరేక నిరోధక బలం ప్రభావంతో పడటం సుపరిచితం. రెండోది బిందువు యొక్క వేగానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది కానీ లేకపోతే నిర్ణయించబడదు. ద్రవ్యరాశి $1.00 \mathrm{~g}$ ఉన్న ఒక బిందువు ఎత్తు $1.00 \mathrm{~km}$ నుండి పడటాన్ని పరిగణించండి. ఇది $50.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ వేగంతో నేలను తాకుతుంది. (a) గురుత్వాకర్షణ బలం చేసిన పని ఎంత? తెలియని నిరోధక బలం చేసిన పని ఎంత?

సమాధానం (a) బిందువు యొక్క గతిశక్తిలో మార్పు

$$ \begin{aligned} & \Delta K=\frac{1}{2} m v^{2}-0 \\ & =\frac{1}{2} \times 10^{-3} \times 50 \times 50 \\ & =1.25 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

ఇక్కడ మేము బిందువు ప్రారంభంలో విశ్రాంతిగా ఉందని ఊహించాము. $g$ స్థిరాంకం $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ విలువతో ఉందని ఊహిస్తే, గురుత్వాకర్షణ బలం చేసిన పని,

$$ \begin{aligned} W_{g} & =m g h \\ & =10^{-3} \times 10 \times 10^{3} \\ & =10.0 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

(b) పని-శక్తి సిద్ధాంతం నుండి

$$ \Delta K=W_{g}+W_{r} $$

ఇక్కడ $W_{r}$ అనేది వర్షపు బిందువుపై నిరోధక బలం చేసిన పని. అందువలన

$$ \begin{aligned} W_{r} & =\Delta K-W_{g} \\ & =1.25-10 \\ & =-8.75 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

నెగటివ్.

5.3 పని

ముందుగా చూసినట్లుగా, పని బలం మరియు అది పనిచేసే స్థానభ్రంశానికి సంబంధించినది. ద్రవ్యరాశి $m$ ఉన్న వస్తువుపై పనిచేసే స్థిర బలం $\mathbf{F}$ ను పరిగణించండి. వస్తువు Fig. 5.2లో చూపిన విధంగా ధన $x$-దిశలో స్థానభ్రంశం $\mathbf{d}$ ను అనుభవిస్తుంది.

Fig. 5.2 ఒక వస్తువు బలం F ప్రభావంలో స్థానభ్రంశం d ను అనుభవిస్తుంది.

బలం చేసిన పని స్థానభ్రంశం దిశలో బలం యొక్క భాగం మరియు ఈ స్థానభ్రంశం యొక్క పరిమాణం యొక్క గుణకారంగా నిర్వచించబడుతుంది. అందువలన

$$ \begin{equation*} W=(F \cos \theta) d=\mathbf{F} \cdot \mathbf{d} \tag{5.4} \end{equation*} $$

స్థానభ్రంశం లేకపోతే, బలం పెద్దది అయినప్పటికీ పని జరగదని మనం చూస్తాము. అందువలన, మీరు గట్టి ఇటుక గోడకు వ్యతిరేకంగా గట్టిగా నెట్టినప్పుడు, మీరు గోడపై చేసే బలం పని చేయదు. అయినప్పటికీ, మీ కండరాలు ప్రత్యామ్నాయంగా సంకోచించడం మరియు సడలించడం మరియు అంతర్గత శక్తి వినియోగించబడుతుంది మరియు మీరు నిజంగా అలసిపోతారు. అందువలన, భౌతిక శాస్త్రంలో పని యొక్క అర్థం రోజువారీ భాషలో దాని ఉపయోగం నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది.

పని జరగదు ఒకవేళ:

(i) స్థానభ్రంశం సున్నా, పై ఉదాహరణలో చూసినట్లుగా. ఒక వెయిట్ లిఫ్టర్ 150 $\mathrm{kg}$ ద్రవ్యరాశిని $30 \mathrm{~s}$ పాటు స్థిరంగా తన భుజంపై పట్టుకోవడం ఈ సమయంలో లోడ్పై పని చేయదు.

(ii) బలం సున్నా. మృదువైన క్షితిజ సమాంతర బల్లపై కదులుతున్న బ్లాక్ క్షితిజ సమాంతర బలం చేత ప్రభావితం కాదు (ఘర్షణ లేనందున), కానీ పెద్ద స్థానభ్రంశాన్ని అనుభవించవచ్చు.

(iii) బలం మరియు స్థానభ్రంశం పరస్పరం లంబంగా ఉంటాయి. ఇది అలా ఎందుకంటే, $\theta=\pi / 2 \mathrm{rad}$ $\left(=90^{\circ}\right), \cos (\pi / 2)=0$ కోసం. మృదువైన క్షితిజ సమాంతర బల్లపై కదులుతున్న బ్లాక్ కోసం, గురుత్వాకర్షణ బలం $m g$ పని చేయదు ఎందుకంటే అది స్థానభ్రంశానికి లంబ కోణాలలో పనిచేస్తుంది. చంద్రుని కక్ష్య భూమి చుట్టౖ ఖచ్చితంగా వృత్తాకారంలో ఉంటుందని మనం ఊహిస్తే, భూమి యొక్క గురుత్వాకర్షణ బలం పని చేయదు. చంద్రుని తక్షణ స్థానభ్రంశం స్పర్శరేఖీయంగా ఉంటుంది, అయితే భూమి యొక్క బలం వ్యాసార్థంగా లోపలికి ఉంటుంది మరియు $\theta=\pi / 2$.

పని ధనాత్మకం మరియు ఋణాత్మకం రెండూ కావచ్చు. Eq. (5.4) లో $\theta$ $0^{\circ}$ మరియు $90^{\circ}, \cos \theta$ మధ్య ఉంటే ధనాత్మకం. $\theta$ $90^{\circ}$ మరియు $180^{\circ}, \cos \theta$ మధ్య ఉంటే ఋణాత్మకం. అనేక ఉదాహరణలలో ఘర్షణ బలం స్థానభ్రంశాన్ని వ్యతిరేకిస్తుంది మరియు $\theta=180^{\circ}$. అప్పుడు ఘర్షణ చేసిన పని ఋణాత్మకం $\left(\cos 180^{\circ}=-1\right)$.

Eq. (5.4) నుండి పని మరియు శక్తికి ఒకే పరిమాణాలు ఉన్నాయని స్పష్టంగా ఉంది, $\left[\mathrm{ML}^{2} \mathrm{~T}^{-2}\right]$. వీటి SI యూనిట్ జౌల్ (J), ప్రసిద్ధ బ్రిటిష్ భౌతిక శాస్త్రవేత్త జేమ్స్ ప్రెస్కాట్ జౌల్ (1811-1869) పేరు పెట్టబడింది. పని మరియు శక్తి భౌతిక భావనలుగా విస్తృతంగా ఉపయోగించబడినందున, ప్రత్యామ్నాయ యూనిట్లు విస్తరించి ఉన్నాయి మరియు వాటిలో కొన్ని Table 5.1లో జాబితా చేయబడ్డాయి.

Table 5.1 $\mathrm{J}$ లో పని/శక్తి యొక్క ప్రత్యామ్నాయ యూనిట్లు

ఉదాహరణ 5.3 ఒక సైక్లిస్ట్ $10 \mathrm{~m}$ లో జారుతూ ఆగిపోతాడు. ఈ ప్రక్రియలో, రోడ్డు కారణంగా సైకిల్పై బలం $200 \mathrm{~N}$ మరియు చలనానికి నేరుగా వ్యతిరేకంగా ఉంటుంది. (a) రోడ్డు సైకిల్పై ఎంత పని చేస్తుంది? (b) సైకిల్ రోడ్డుపై ఎంత పని చేస్తుంది?

సమాధానం రోడ్డు చేత సైకిల్పై చేయబడిన పని రోడ్డు కారణంగా సైకిల్పై ఆపే (ఘర్షణ) బలం చేసిన పని.

(a) ఆపే బలం మరియు స్థానభ్రంశం ఒకదానితో ఒకటి $180^{\circ}$ ( $\pi \mathrm{rad}$) కోణాన్ని చేస్తాయి. అందువలన, రోడ్డు చేసిన పని,

$$ \begin{aligned} W_{r} & =F d \cos \theta \\ & =200 \times 10 \times \cos \pi \\ & =-2000 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

WE సిద్ధాంతం ప్రకారం సైకిల్ను ఆపడానికి ఇది ఋణాత్మక పని.

(b) న్యూటన్ మూడవ నియమం ప్రకారం సైకిల్ కారణంగా రోడ్డుపై సమాన మరియు వ్యతిరేక బలం పనిచేస్తుంది. దాని పరిమాణం 200 N. అయితే, రోడ్డు స్థానభ్రంశం చెందదు. అందువలన, సైకిల్ రోడ్డుపై చేసిన పని సున్నా.

ఉదాహరణ 5.3 యొక్క పాఠం ఏమిటంటే, శరీరం A పై శరీరం $\mathrm{B}$ చేత చేయబడిన బలం ఎల్లప్పుడూ B పై A చేత చేయబడిన బలానికి సమానంగా మరియు వ్యతిరేకంగా ఉంటుంది (న్యూటన్ మూడవ నియమం); A పై B చేత చేయబడిన పని తప్పనిసరిగా $\mathrm{B}$ పై $\mathrm{A}$ చేత చేయబడిన పనికి సమానంగా మరియు వ్యతిరేకంగా ఉండదు.

5.4 గతిశక్తి

ముందుగా గమనించినట్లుగా, ఒక వస్తువు ద్రవ్యరాశి $m$ మరియు వేగం $\mathbf{v}$ ఉంటే, దాని గతిశక్తి $K$

$$ \begin{equation*} K=\frac{1}{2} m \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}=\frac{1}{2} m v^{2} \tag{5.5} \end{equation*} $$

Table 5.2 సాధారణ గతిశక్తులు (K)

గతిశక్తి ఒక స్కేలార్ పరిమాణం. ఒక వస్తువు యొక్క గతిశక్తి దాని చలనం ద్వారా ఒక వస్తువు చేయగల పని యొక్క కొలత. ఈ భావన చాలా కాలంగా అంతర్జ్ఞానంగా తెలుసు. వేగంగా ప్రవహించే స్ట్రీమ్ యొక్క గతిశక్తి ధాన్యం రుబ్బడానికి ఉపయోగించబడింది. పడవలు గాలి యొక్క గతిశక్తిని ఉపయోగిస్తాయి. Table 5.2 వివిధ వస్తువుల కోసం గతిశక్తులను జాబితా చేస్తుంది.

ఉదాహరణ 5.4 బాలిస్టిక్స్ ప్రదర్శనలో ఒక పోలీస్ అధికారి ద్రవ్యరాశి $50.0 \mathrm{~g}$ ఉన్న బుల్లెట్ను వేగం $200 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ తో (Table 5.2 చూడండి) మృదువైన ప్లైవుడ్ మందం $2.00 \mathrm{~cm}$ పై కాల్చాడు. బుల్లెట్ దాని ప్రారంభ గతిశక్తిలో కేవలం $10 \%$ తో బయటపడుతుంది. బుల్లెట్ యొక్క బయటపడే వేగం ఎంత?

సమాధానం బుల్లెట్ యొక్క ప్రారంభ గతిశక్తి $m v^{2} / 2=1000 \mathrm{~J}$. దీనికి తుది గతిశక్తి $0.1 \times 1000=100 \mathrm{~J}$ ఉంటుంది. $v_{f}$ బుల్లెట్ యొక్క బయటపడే వేగం అయితే,

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} m v_{f}^{2}=100 \mathrm{~J} \\ & v_{f}=\sqrt{\frac{2 \times 100 \mathrm{~J}}{0.05 \mathrm{~kg}}} \\ & \quad=63.2 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

వేగం సుమారు $68 \%$ తో తగ్గుతుంది (90 % కాదు).

5.5 మారుతున్న బలం చేత చేయబడిన పని

స్థిరమైన బలం అరుదు. ఇది మారుతున్న బలం, ఇది మరింత సాధారణంగా ఎదురవుతుంది. Fig. 5.3 ఒక పరిమాణంలో మారుతున్న బలం యొక్క ప్లాట్.

స్థానభ్రంశం $\Delta x$ చిన్నది అయితే, మనం బలం $F(x)$ ను సుమారుగా స్థిరంగా తీసుకోవచ్చు మరియు చేసిన పని అప్పుడు

$$ \Delta W=F(x) \Delta x $$

ఇది Fig. 5.3(a)లో వివరించబడింది. Fig. 5.3(a)లో వరుస దీర్ఘచతురస్రాకార ప్రాంతాలను జోడించడం ద్వారా మనం చేసిన మొత్తం పనిని పొందుతాము

$$ \begin{equation*} W \cong \sum_{x_{i}}^{x_{f}} F(x) \Delta x \tag{5.6} \end{equation*} $$

ఇక్కడ సంకలనం ప్రారంభ స్థానం ⟦232