7.1 పరిచయం

మన జీవితాలలో చిన్నప్పటి నుండే, భూమి వైపు అన్ని పదార్థ వస్తువులు ఆకర్షించబడే ప్రవృత్తిని గుర్తించడం ప్రారంభిస్తాము. పైకి విసిరిన ఏదైనా భూమి వైపు క్రిందికి పడుతుంది, పర్వతం ఎక్కడం కిందికి వెళ్లడం కంటే చాలా ఎక్కువ అలసట కలిగిస్తుంది, మేఘాల నుండి వర్షపు బిందువులు భూమి వైపు పడతాయి మరియు అలాంటి అనేక ఇతర దృగ్విషయాలు ఉన్నాయి. చారిత్రాత్మకంగా ఇటాలియన్ భౌతిక శాస్త్రవేత్త గెలీలియో (1564-1642) అన్ని వస్తువులు, వాటి ద్రవ్యరాశులు ఏమైనప్పటికీ, భూమి వైపు స్థిరమైన త్వరణంతో వేగవంతం చేయబడతాయనే వాస్తవాన్ని గుర్తించినవాడు. ఈ వాస్తవాన్ని అతను ప్రజల ముందు ప్రదర్శించాడని చెప్పబడుతుంది. సత్యాన్ని కనుగొనడానికి, అతను ఖచ్చితంగా వాలు తలాలపై క్రిందికి వెళ్లే వస్తువులతో ప్రయోగాలు చేసి, గురుత్వాకర్షణ వలన కలిగే త్వరణం యొక్క విలువను పొందాడు, ఇది తరువాత పొందిన మరింత ఖచ్చితమైన విలువకు దగ్గరగా ఉంటుంది.

ఒక స్పష్టంగా సంబంధం లేని దృగ్విషయం, నక్షత్రాలు, గ్రహాలు మరియు వాటి చలనం యొక్క పరిశీలన ప్రాచీన కాలం నుండి అనేక దేశాలలో శ్రద్ధకు విషయంగా ఉంది. ప్రాచీన కాలం నుండి చేసిన పరిశీలనలు ఆకాశంలో స్థానాలు మార్పు లేకుండా సంవత్సరం తర్వాత సంవత్సరం కనిపించే నక్షత్రాలను గుర్తించాయి. మరింత ఆసక్తికరమైన వస్తువులు గ్రహాలు, అవి నక్షత్రాల నేపథ్యంలో క్రమం తప్పకుండా చలనాలు కలిగి ఉన్నట్లు కనిపిస్తాయి. సుమారు 2000 సంవత్సరాల క్రితం టోలెమీ ప్రతిపాదించిన గ్రహాల చలనాలకు మొదటి రికార్డు చేయబడిన నమూనా ‘భూకేంద్రక’ నమూనా, దీనిలో అన్ని ఖగోళ వస్తువులు, నక్షత్రాలు, సూర్యుడు మరియు గ్రహాలు అన్నీ భూమి చుట్టూ తిరుగుతాయి. ఖగోళ వస్తువులకు సాధ్యమయ్యే ఏకైక చలనం వృత్తాకార చలనం మాత్రమే అని భావించబడింది. గ్రహాల యొక్క గమనించబడిన చలనాన్ని వివరించడానికి టోలెమీ చేత సంక్లిష్టమైన చలన పథకాలు ముందుకు తీసుకురాబడ్డాయి. గ్రహాలు వృత్తాలలో కదులుతున్నట్లు వివరించబడ్డాయి, వృత్తాల కేంద్రాలు తాము పెద్ద వృత్తాలలో కదులుతూ ఉంటాయి. ఇలాంటి సిద్ధాంతాలు కూడా సుమారు 400 సంవత్సరాల తరువాత భారతీయ ఖగోళ శాస్త్రవేత్తలు ముందుకు తెచ్చారు. అయితే, సూర్యుడు కేంద్రంగా ఉండి గ్రహాలు దాని చుట్టూ తిరిగే మరింత సుందరమైన నమూనా - ‘సూర్యకేంద్రక’ నమూనా - ఇప్పటికే ఆర్యభట్ట ( $5^{\text {th }}$ శతాబ్దం A.D.) తన గ్రంథంలో ప్రస్తావించాడు. వెయ్యి సంవత్సరాల తరువాత, నికోలాస్ కోపర్నికస్ (1473-1543) అనే పోలిష్ సన్యాసి ఒక నిర్దిష్ట నమూనాను ప్రతిపాదించాడు, దీనిలో గ్రహాలు స్థిరమైన కేంద్ర సూర్యుని చుట్టూ వృత్తాలలో కదులుతాయి. అతని సిద్ధాంతాన్ని చర్చి నిరాకరించింది, కానీ దాని మద్దతుదారులలో ప్రముఖుడు గెలీలియో, అతను తన నమ్మకాల కారణంగా రాష్ట్రం నుండి విచారణను ఎదుర్కోవలసి వచ్చింది.

గెలీలియో సమకాలీనంలోనే, డెన్మార్క్ నుండి వచ్చిన టైకో బ్రాహే (1546-1601) అనే ఒక ప్రభువు, తన జీవితకాలమంతా నగ్నాక్షులతో గ్రహాల పరిశీలనలను రికార్డ్ చేస్తూ గడిపాడు. అతని సంకలిత డేటాను తరువాత అతని సహాయకుడు జోహాన్నెస్ కెప్లర్ (1571-1640) విశ్లేషించాడు. అతను డేటా నుండి మూడు సుందరమైన నియమాలను సంగ్రహించగలిగాడు, ఇవి ఇప్పుడు కెప్లర్ నియమాలు అని పిలువబడతాయి. ఈ నియమాలు న్యూటన్కు తెలుసు మరియు అతని సార్వత్రిక గురుత్వాకర్షణ నియమాన్ని ప్రతిపాదించడంలో గొప్ప శాస్త్రీయ ఎగురుకు అనుమతించాయి.

7.2 కెప్లర్ యొక్క నియమాలు

కెప్లర్ యొక్క మూడు నియమాలను ఈ క్రింది విధంగా పేర్కొనవచ్చు:

1. కక్ష్యల నియమం : అన్ని గ్రహాలు దీర్ఘవృత్తాకార కక్ష్యలలో కదులుతాయి, సూర్యుడు దీర్ఘవృత్తం యొక్క ఒక నాభి వద్ద ఉంటాడు (Fig 7.1a) (Fig. 7.1a). ఈ నియమం వృత్తాకార కక్ష్యలను మాత్రమే అనుమతించే కోపర్నికన్ నమూనా నుండి ఒక విచలనం. వృత్తం ఒక ప్రత్యేక సందర్భంగా ఉండే దీర్ఘవృత్తం, ఒక మూసివేసిన వక్రరేఖ, దీనిని ఈ క్రింది విధంగా చాలా సరళంగా గీయవచ్చు.

Fig. 7.1(a) సూర్యుని చుట్టూ ఒక గ్రహం ద్వారా గీయబడిన దీర్ఘవృత్తం. దగ్గరగా ఉన్న బిందువు P మరియు చాలా దూరంగా ఉన్న బిందువు A, P ను పెరిహీలియన్ అని మరియు A ను అఫీలియన్ అని పిలుస్తారు. అర్ధ-ప్రధాన అక్షం AP దూరంలో సగం

Fig. 7.1(b) దీర్ఘవృత్తాన్ని గీయడం. ఒక త్రాడు యొక్క చివరలు F1 మరియు F2 వద్ద స్థిరంగా ఉంచబడతాయి. పెన్సిల్ యొక్క ముక్క త్రాడును గట్టిగా పట్టుకొని చుట్టూ తిప్పబడుతుంది

రెండు బిందువులు $\mathrm{F}_1$ మరియు $\mathrm{F}_2$ ఎంచుకోండి. ఒక త్రాడు యొక్క పొడవును తీసుకొని దాని చివరలను $F_1$ మరియు $F_2$ వద్ద పిన్స్ ద్వారా స్థిరపరచండి. పెన్సిల్ యొక్క ముక్కతో త్రాడును గట్టిగా లాగి, తర్వాత త్రాడు అంతటా గట్టిగా ఉంచుతూ పెన్సిల్ కదిలించడం ద్వారా ఒక వక్రరేఖను గీయండి.(Fig. 7.1(b)) మీరు పొందే మూసివేసిన వక్రరేఖను దీర్ఘవృత్తం అంటారు. స్పష్టంగా దీర్ఘవృత్తంపై ఏదైనా బిందువు $\mathrm{T}$ కోసం, $\mathrm{F}_1$ మరియు $\mathrm{F}_2$ నుండి దూరాల మొత్తం ఒక స్థిరాంకం. $\mathrm{F}_1, \mathrm{~F}_2$ నాభులు అని పిలువబడతాయి. బిందువులు $\mathrm{F}_1$ మరియు $\mathrm{F}_2$ కలపండి మరియు రేఖను విస్తరించి దీర్ఘవృత్తాన్ని బిందువులు $\mathrm{P}$ మరియు $\mathrm{A}$ వద్ద ఖండించేలా చూడండి Fig. 7.1(b) లో చూపినట్లు. PA రేఖ యొక్క మధ్య బిందువు దీర్ఘవృత్తం యొక్క కేంద్రం $\mathrm{O}$ మరియు పొడవు $\mathrm{PO}=$ AO దీర్ఘవృత్తం యొక్క అర్ధ-ప్రధాన అక్షం అంటారు. ఒక వృత్తం కోసం, రెండు నాభులు ఒకదానిలో ఒకటి విలీనం అవుతాయి మరియు అర్ధ-ప్రధాన అక్షం వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం అవుతుంది.

2. వైశాల్యాల నియమం : ఏదైనా గ్రహాన్ని సూర్యుడితో కలిపే రేఖ సమాన కాల వ్యవధులలో సమాన వైశాల్యాలను ఊడ్చుకుంటుంది (Fig. 7.2). ఈ నియమం గ్రహాలు సూర్యుని నుండి దూరంగా ఉన్నప్పుడు దగ్గరగా ఉన్నప్పుడు కంటే నెమ్మదిగా కదులుతున్నట్లు కనిపించే పరిశీలనల నుండి వస్తుంది.

Fig. 7.2 గ్రహం P సూర్యుని చుట్టూ దీర్ఘవృత్తాకార కక్ష్యలో కదులుతుంది. నీడ పడిన ప్రాంతం చిన్న కాల వ్యవధి ∆t లో ఊడ్చుకున్న ప్రాంతం ∆A.

3. పరిభ్రమణ కాలాల నియమం : ఒక గ్రహం యొక్క పరిభ్రమణ కాలం యొక్క వర్గం, గ్రహం ద్వారా గీయబడిన దీర్ఘవృత్తం యొక్క అర్ధ-ప్రధాన అక్షం యొక్క ఘనానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

టేబుల్ 7.1 ఎనిమిది* గ్రహాలు సూర్యుని చుట్టూ పరిభ్రమణ సుమారు కాల వ్యవధులను వాటి అర్ధ-ప్రధాన అక్షాల విలువలతో పాటు ఇస్తుంది.

టేబుల్ 7.1

క్రింద ఇవ్వబడిన గ్రహాల చలనాల కొలత నుండి డేటా కెప్లర్ యొక్క పరిభ్రమణ కాలాల నియమాన్ని నిర్ధారిస్తుంది

$$ \begin{aligned} & (a \equiv \text{Semi-major axis in units of } 10^{10} \mathrm{~m}. \\ & T \equiv \text{Time period of revolution of the planet in years }(y). \\ & Q \equiv \text{The quotient } ( T^{2} / a^{3})\\ & \text{in units of } 10^{-34} \mathrm{y}^{2} \mathrm{~m}^{-3}.) \end{aligned} $$

వైశాల్యాల నియమం కోణీయ ద్రవ్యవేగం యొక్క సంరక్షణ యొక్క పరిణామంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు, ఇది ఏదైనా కేంద్ర బలానికి చెల్లుతుంది. ఒక కేంద్ర బలం అంటే గ్రహంపై బలం సూర్యుడు మరియు గ్రహాన్ని కలిపే సదిశ వెంట ఉంటుంది. సూర్యుడు మూల బిందువు వద్ద ఉండనివ్వండి మరియు గ్రహం యొక్క స్థానం మరియు ద్రవ్యవేగం వరుసగా $\mathbf{r}$ మరియు $\mathbf{p}$ ద్వారా సూచించబడతాయి. అప్పుడు ద్రవ్యరాశి $\mathrm{m}$ గల గ్రహం ద్వారా కాల వ్యవధి $\Delta t$ లో ఊడ్చుకున్న ప్రాంతం (Fig. 7.2) $\Delta \mathbf{A}$ ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

$$ \begin{equation*} \Delta \mathbf{A}=1 / 2(\mathbf{r} \times \mathbf{v} \Delta t) \tag{7.1} \end{equation*} $$

అందువలన

$$ \Delta \mathbf{A} / \Delta \mathrm{t}=1 / 2(\mathbf{r} \times \mathbf{p}) / \mathrm{m},(\text { since } \mathbf{v}=\mathbf{p} / \mathrm{m}) $$ $$ \begin{equation*} =\mathrm{L} /(2 \mathrm{~m}) \tag{7.2} \end{equation*} $$

ఇక్కడ $\mathbf{v}$ వేగం, $\mathbf{L}$ కోణీయ ద్రవ్యవేగం $(\mathbf{r} \times \mathbf{p})$ కు సమానం. ఒక కేంద్ర బలం కోసం, ఇది $\mathbf{r}, \mathbf{L}$ వెంట దర్శకత్వం వహించబడుతుంది, గ్రహం చుట్టూ వెళుతున్నప్పుడు ఒక స్థిరాంకం. అందువలన, చివరి సమీకరణం ప్రకారం $\Delta \mathbf{A} / \Delta t$ ఒక స్థిరాంకం. ఇది వైశాల్యాల నియమం. గురుత్వాకర్షణ ఒక కేంద్ర బలం మరియు అందువలన వైశాల్యాల నియమం అనుసరిస్తుంది.

ఉదాహరణ 7.1 పెరిహీలియన్ వద్ద గ్రహం యొక్క వేగం $P$ Fig. 7.1(a) లో $V_P$ గా ఉండనివ్వండి మరియు సూర్య-గ్రహ దూరం SP $r_P$ గా ఉండనివ్వండి. $\{r_P, V_P\}$ ను అఫీలియన్ వద్ద సంబంధిత పరిమాణాలతో $\{r_A, V_A\}$ సంబంధం కల్పించండి. గ్రహం $B A C$ మరియు $C P B$ లను దాటడానికి సమాన సమయాలు తీసుకుంటుందా?

సమాధానం $P$ వద్ద కోణీయ ద్రవ్యవేగం యొక్క పరిమాణం $L_p=m_p r_p V_p$, ఎందుకంటే పరిశీలన $\mathbf{r}_p$ మరియు $\mathbf{v}_p$ పరస్పరం లంబంగా ఉన్నాయని మాకు చెప్తుంది. అదేవిధంగా, $L_A=m_p r_A V_A$. కోణీయ ద్రవ్యవేగం సంరక్షణ నుండి

$$ m_{p} r_{p} v_{p}=m_{p} r_{A} v_{A} $$

లేదా $\frac{v_{p}}{v_{A}}=\frac{r_{A}}{r_{p}}$

ఎందుకంటే $r_{A}>r_{p}, V_{p}>v_{A}$.

దీర్ఘవృత్తం మరియు వ్యాసార్థ సదిశలు $S B$ మరియు $S C$ ద్వారా పరిబద్ధమైన ప్రాంతం $S B A C$ Fig. 7.1 లో $\mathrm{SBPC}$ కంటే పెద్దది. కెప్లర్ యొక్క రెండవ నియమం నుండి, సమాన వైశాల్యాలు సమాన కాల వ్యవధులలో ఊడ్చుకునబడతాయి. అందువలన గ్రహం $B A C$ ను దాటడానికి $C P B$ కంటే ఎక్కువ సమయం తీసుకుంటుంది.

7.3 సార్వత్రిక గురుత్వాకర్షణ నియమం

ఒక చెట్టు నుండి ఒక ఆపిల్ పడటం గమనించడం ద్వారా, న్యూటన్ సార్వత్రిక గురుత్వాకర్షణ నియమాన్ని చేరుకోవడానికి ప్రేరణ పొందాడని మరియు ఇది భౌమ గురుత్వాకర్షణకు వివరణకు దారితీసిందని మరియు కెప్లర్ నియమాలకు కూడా దారితీసిందని పురాణం చెప్పుతుంది. న్యూటన్ యొక్క తార్కికం ఏమిటంటే, వ్యాసార్థం $R_{m}$ యొక్క కక్ష్యలో పరిభ్రమించే చంద్రుడు భూమి యొక్క గురుత్వాకర్షణ వలన కేంద్రాభిముఖ త్వరణానికి లోనవుతాడు, దీని పరిమాణం

$$ \begin{equation*} a_{m}=\frac{V^{2}}{R_{m}}=\frac{4 \pi^{2} R_{m}}{T^{2}} \tag{7.3} \end{equation*} $$

ఇక్కడ $V$ చంద్రుని వేగం, కాల వ్యవధి $T$ తో సంబంధం $V=2 \pi R_{m} / T$ ద్వారా సంబంధం కలిగి ఉంటుంది. కాల వ్యవధి $T$ సుమారు 27.3 రోజులు మరియు $R_{m}$ అప్పటికే సుమారు $3.84 \quad 10^{8} \mathrm{~m}$ అని తెలుసు. మనం ఈ సంఖ్యలను Eq. (7.3) లో ప్రతిక్షేపిస్తే, మనకు $a_{m}$ యొక్క విలువ వస్తుంది, ఇది భూమి యొక్క గురుత్వాకర్షణ ఆకర్షణ వలన కూడా ఉద్భవించే భూమి యొక్క ఉపరితలంపై గురుత్వాకర్షణ వలన త్వరణం $g$ విలువ కంటే చాలా తక్కువ. ఇది స్పష్టంగా చూపిస్తుంది భూమి యొక్క గురుత్వాకర్షణ వలన బలం దూరంతో తగ్గుతుంది. భూమి యొక్క గురుత్వాకర్షణ బలం భూమి కేంద్రం నుండి దూరం యొక్క విలోమ వర్గానికి అనులోమానుపాతంలో తగ్గుతుందని ఒకరు భావిస్తే, మనకు $a_{m} \alpha R_{m}^{-2} ; g \alpha R_{E}^{-2}$ ఉంటుంది మరియు మనకు లభిస్తుంది

$$ \begin{equation*} \frac{g}{a_{m}}=\frac{R_{m}^{2}}{R_{E}^{2}} \simeq 3600 \tag{7.4} \end{equation*} $$

$g \simeq 9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ విలువతో ఏకీభవిస్తుంది మరియు Eq. (7.3) నుండి $a_{\mathrm{m}}$ విలువ. ఈ పరిశీలనలు న్యూటన్ కింది సార్వత్రిక గురుత్వాకర్షణ నియమాన్ని ప్రతిపాదించడానికి దారితీశాయి:

విశ్వంలోని ప్రతి వస్తువు మరొక ప్రతి వస్తువును ఆకర్షిస్తుంది, ఈ బలం వాటి ద్రవ్యరాశుల లబ్ధానికి నేరుగా అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది మరియు వాటి మధ్య దూరం యొక్క వర్గానికి విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

ఈ ఉద్ధరణ తప్పనిసరిగా న్యూటన్ యొక్క ప్రసిద్ధ గ్రంథం ‘మ్యాథమెటికల్ ప్రిన్సిపల్స్ ఆఫ్ నేచురల్ ఫిలాసఫీ’ (సంక్షిప్తంగా ప్రిన్సిపియా) నుండి ఉంది.

గణితశాస్త్రపరంగా పేర్కొన్నట్లయితే, న్యూటన్ యొక్క గురుత్వాకర్షణ నియమం ఇలా చదువుతుంది: బిందు ద్రవ్యరాశి $m_{2}$ పై బలం $\mathbf{F}$ మరొక బిందు ద్రవ్యరాశి $m_{1}$ కారణంగా కలిగి ఉంటుంది పరిమాణం

$$ \begin{equation*} |\mathbf{F}|=G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \tag{7.5} \end{equation*} $$

సమీకరణం (7.5) సదిశ రూపంలో వ్యక్తీకరించబడుతుంది

$$ \begin{aligned} \mathbf{F} & =G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}(-\hat{\mathbf{r}})=-G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \\ \\ & =-G \frac{m_{1} m_{2}}{|\mathbf{r}|^{3}} \hat{\mathbf{r}} \end{aligned} $$

ఇక్కడ $\mathrm{G}$ సార్వత్రిక గురుత్వాకర్షణ స్థిరాంకం, $\hat{\mathbf{r}}$ $m_1$ నుండి $m_2$ కు యూనిట్ సదిశ మరియు $\mathbf{r}=\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$ Fig. 7.3 లో చూపినట్లు.

Fig. 7.3 m2 కారణంగా m1 పై గురుత్వాకర్షణ బలం r వెంట ఉంటుంది, ఇక్కడ సదిశ r (r2 – r1 ).

$m_1$ పై గురుత్వాకర్షణ బలం $m_2$ కారణంగా $\mathbf{r}$ వెంట ఉంటుంది, ఇక్కడ సదిశ $\mathbf{r}$ ($\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$). గురుత్వాకర్షణ బలం ఆకర్షణ, అంటే, బలం $\mathbf{F}$ $-\mathbf{r}$ వెంట ఉంటుంది. బిందు ద్రవ్యరాశి $m_1$ పై బలం $m_2$ కారణంగా ఖచ్చితంగా న్యూటన్ యొక్క మూడవ నియమం ప్రకారం $-\mathbf{F}$. అందువలన, F₁₂ శరీరం 1 పై బలం 2 కారణంగా మరియు F₂₁ శరీరం 2 పై బలం 1 కారణంగా సంబంధం కలిగి ఉంటాయి

F₁₂=-F₂₁.

మేము Eq. (7.5) ను పరిశీలనలో ఉన్న వస్తువులకు వర్తింపజేయడానికి ముందు, మనం జాగ్రత్తగా ఉండాలి ఎందుకంటే నియమం బిందు ద్రవ్యరాశులను సూచిస్తుంది అయితే మనం పరిమిత పరిమాణం కలిగిన విస్తరించిన వస్తువులతో వ్యవహరిస్తాము. మనకు బిందు ద్రవ్యరాశుల సమాహారం ఉంటే, వాటిలో ఏదైనా ఒకదానిపై బలం ఇతర బిందు ద్రవ్యరాశుల ద్వారా చూపబడిన గురుత్వాకర్షణ బలాల సదిశ మొత్తం Fig 7.4 లో చూపినట్లు.

Fig. 7.4 బిందు ద్రవ్యరాశి m1 పై గురుత్వాకర్షణ బలం m2, m3 మరియు m4 ల ద్వారా చూపబడిన గురుత్వాకర్షణ బలాల సదిశ మొత్తం.

$m_1$ పై మొత్తం బలం

$$ F_1=\frac{G m_2 m_1}{r_{21}^2} \hat{r_{21}}+\frac{G m_3 m_1}{r_{31}^2} \hat{r_{31}}+\frac{G m_4 m_1}{r_{41}^2} \hat{r_{41}} $$

ఉదాహరణ 7.2 మూడు సమాన ద్రవ్యరాశులు ప్రతి ఒక్కటి $m \mathrm{~kg}$ ఒక సమబాహు త్రిభుజం యొక్క శీర్షాల వద్ద $\mathrm{ABC}$ స్థిరంగా ఉంచబడతాయి.

(a) కేంద్రకం వద్ద ఉంచబడిన ద్రవ్యరాశి $2 m$ పై పనిచేసే బలం ఏమిటి $\mathrm{G}$ త్రిభుజం యొక్క?

(b) శీర్షం వద్ద ద్రవ్యరాశి $\mathrm{A}$ రెట్టింపు అయితే బలం ఏమిటి?

$\mathrm{AG}=\mathrm{BG}=\mathrm{CG}=1 \mathrm{~m}$ తీసుకోండి (Fig. 7.5 చూడండి)

సమాధానం (a) GC మరియు ధన $x$-అక్షం మధ్య కోణం $30^{\circ}$ మరియు GB మరియు ఋణ $x$-అక్షం మధ్య కోణం కూడా అంతే. సదిశ సంజ్ఞామానంలో వ్యక్తిగత బలాలు

Fig. 7.5 మూడు సమాన ద్రవ్యరాశులు ∆ ABC యొక్క మూడు శీర్షాల వద్ద ఉంచబడతాయి. ఒక ద్రవ్యరాశి 2m కేంద్రకం G వద్ద ఉంచబడుతుంది.

$$ \begin{aligned} & \mathbf{F_\mathrm{GA}}=\frac{G m(2 m)}{1} \hat{\mathbf{j}} \\ & \mathbf{F_\mathrm{GB}}=\frac{G m(2 m)}{1}\left(\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right) \\ & \mathbf{F_\mathrm{GC}}=\frac{G m(2 m)}{1}\left(+\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right) \end{aligned} $$

అధిస్థానం సూత్రం మరియు సదిశ సంకలన నియమం నుండి, ఫలిత గురుత్వాకర్షణ బలం $\mathbf{F}_{\mathrm{R}}$ $(2 m)$ పై

$$ \begin{aligned} & \mathbf{F_\mathrm{R}}= \mathbf{F_\mathrm{GA}}+\mathbf{F_\mathrm{GB}}+\mathbf{F_\mathrm{GC}} \\ & \mathbf{F_\mathrm{R}}=2 G m^{2} \hat{\mathbf{j}}+2 G m^{2}\left(-\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right) \\ &+2 G m^{2}\left(\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right)=0 \end{aligned} $$

ప్రత్యామ్నాయంగా, ఒకరు సౌష్ఠవం ఆధారంగా ఫలిత బలం సున్నా అని ఆశించవచ్చు.

(b) ఇప్పుడు శీర్షం A వద్ద ద్రవ్యరాశి రెట్టింపు అ