సాంప్రదాయంగా అనేక శాస్త్రాలలో ఒక జననం మరొక జననానికి ఏమీ నిర్మించిన విషయాన్ని అంతర్ముఖంగా తీసివేస్తుంది మరియు ఒక జననం మరొక జననానికి ఏమీ స్థాపించిన విషయాన్ని అంతర్ముఖంగా తీసివేస్తుంది. గణితశాస్త్రంలో మాత్రమే ప్రతి జననం పురాతన నిర్మాణాన్ని కొత్త కథనంతో కూడినంతగా నిర్మిస్తుంది. - హెర్మన్ హాంకెల్

10.1 పరిచయం

మన రోజువారీ జీవితంలో, మనకు కొన్ని ప్రశ్నలు అడగడానికి సాధారణంగా సాధించబడుతుంది - మీ ఎత్తు ఏమిటి? ఫుట్‌బాల్ ప్లేయర్ అతని బీమోస్తర్ సభ్యుడికి పాస్ ఇవ్వడానికి బంతిని ఎలా తిరగాలి? మొదటి ప్రశ్నకు సంభావ్య సమాధానం 1.6 మీటర్లు, ఒక విలువ (పరిమాణం) గా ప్రామాణిక సంఖ్యగా ఉన్న విధంగా మాత్రమే విధంగా ఉంటుంది. ఇలా ఉన్న విలువలు స్కాలర్లు అంటారు. అయితే, రెండవ ప్రశ్నకు సమాధానం ఒక పరిమాణం (బలం అని పిలువబడే విలువ) మరియు దిశ (బీమోస్తర్ సభ్యుని ఎక్కడ ఉన్నాడో అంటే అక్కడ ఎలా ఉండాలో) వంటి రెండు విధాలు పంచుకోవలసి ఉంటుంది. ఇలా ఉన్న విలువలు వెక్టర్లు అంటారు. గణితశాస్త్రం, భౌతిక శాస్త్రం మరియు ప్రావేశీ శాస్త్రాలలో మనం క్రమంగా రెండు రకాల విలువలతో సహా సంపర్కాన్ని స్పష్టంగా చూస్తున్నాం, అంటే దీనిలో పరిమాణం మరియు దిశ రెండూ ఉండే విలువలు వెక్టర్లు అని పిలవబడతాయి. అలాగే పరిమాణమే మాత్రమే ఉన్న విలువలు స్కాలర్లు అని పిలవబడతాయి. ఉదాహరణకు, దూరం, స్పీడ్, వాల్యూమ్, ఉష్ణోగ్రత, పని, మౌలిక ధనం, వోల్టేజ్, సాంద్రత, నిర్ణయాలు వంటి స్కాలర్ పదార్థాలు మరియు సరళంగా ఉన్న విలువలు గాని సాగితే దిశగా ఉన్న విలువలు వెక్టర్లు. ఉదాహరణకు, సరళంగా ఉన్న విలువలు గాని దూరం, ద్రవ్యరాశి, సమయం, దూరం, వేగం, వ్యాప్తి, ఘనత, ఉష్ణోగ్రత, పని, ధనం, వోల్టేజ్, సాంద్రత, నిర్ణయాలు వంటివి మరియు వెక్టర్ పదార్థాలు గాని సరళంగా ఉన్న విలువలు గాని సాగితే దిశగా ఉన్న విలువలు వెక్టర్లు. ఉదాహరణకు, సరళంగా ఉన్న విలువలు గాని సాగితే దిశగా ఉన్న విలువలు వెక్టర్లు. ఉదాహరణకు, సరళంగా ఉన్న విలువలు గాని సాగితే దిశగా ఉన్న విలువలు వెక్టర్లు.

W.R. హామిల్టన్ $(1805-1865)$

ఈ అధ్యాయంలో మనం వెక్టర్ల గురించి కొన్ని ప్రాథమిక అంశాలను, వెక్టర్లపై విభిన్న పరిణామాలను మరియు వాటి బీజేబుల్ మరియు జ్యామితీయ గుణాలను అధ్యయనం చేస్తాం. ఈ రెండు రకాల గుణాలు ఒకటి ఒకటికి సంబంధించి పరిగణించబడినప్పుడు వెక్టర్ల అవగాహనను పూర్తిగా అర్థం చేసుకోవడానికి సహాయపడతాయి మరియు పైన పేర్కొన్న విభిన్న రంగాలలో వాటి ప్రాథమికతను దృఢంగా చూపిస్తాయి.

10.2 కొన్ని ప్రాథమిక అంశాలు

ఏదైనా సరళ రేఖ $l$ ప్లేన్ లేదా మూడు క్రమంలో స్పేస్‌లో ఉంటుంది. ఈ రేఖను బహుళంగా దిశలను బాటలు వంటి చీరులతో ఇవ్వవచ్చు. ఈ రెండు దిశలలో ఒకటి పరిష్కరించబడిన రేఖ బాటులు అని పిలవబడే రేఖ అని పిలవబడుతుంది (చిత్రం 10.1 (i), (ii)).

చిత్రం 10.1

ఇప్పుడు రేఖ $l$ ను రేఖాంతర వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వంటి వం