గణిత ఆవిష్కరణ యొక్క చలన శక్తి తర్కం కాదు, కల్పన. - A.DEMORGAN

11.1 పరిచయం

క్లాస్ XI లో, రెండు మితులలో విశ్లేషణాత్మక జ్యామితిని, మరియు త్రిమితీయ జ్యామితికి పరిచయాన్ని అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, మేము కార్టీసియన్ పద్ధతులకు మాత్రమే పరిమితం చేయబడ్డాము. ఈ పుస్తకం యొక్క మునుపటి అధ్యాయంలో, మేము సదిశల యొక్క కొన్ని ప్రాథమిక భావనలను అధ్యయనం చేసాము. మేము ఇప్పుడు సదిశ బీజగణితాన్ని త్రిమితీయ జ్యామితికి ఉపయోగిస్తాము. 3-మితీయ జ్యామితికి ఈ విధానం యొక్క ఉద్దేశ్యం ఏమిటంటే, ఇది అధ్యయనాన్ని సరళమైన మరియు సొగసైనదిగా చేస్తుంది*.

ఈ అధ్యాయంలో, మనం రెండు బిందువులను కలిపే రేఖ యొక్క దిక్ కొసైన్లు మరియు దిక్ నిష్పత్తులను అధ్యయనం చేస్తాము మరియు వివిధ పరిస్థితులలో అంతరాళంలో రేఖలు మరియు తలాల సమీకరణాలు, రెండు రేఖల మధ్య కోణం, రెండు తలాలు, ఒక రేఖ మరియు ఒక తలం, రెండు వక్రీభవన రేఖల మధ్య అతి తక్కువ దూరం మరియు ఒక బిందువు నుండి ఒక తలానికి దూరం గురించి కూడా చర్చిస్తాము. పైన ఉన్న ఎక్కువ ఫలితాలు సదిశ రూపంలో పొందబడతాయి. అయినప్పటికీ, మేము ఈ ఫలితాలను కార్టీసియన్ రూపంలో కూడా అనువదిస్తాము, ఇది కొన్నిసార్లు పరిస్థితి యొక్క మరింత స్పష్టమైన జ్యామితీయ మరియు విశ్లేషణాత్మక చిత్రాన్ని అందిస్తుంది.

లియోనార్డ్ ఆయిలర్ $(\mathbf{1 7 0 7 - 1 7 8 3 })$

11.2 ఒక రేఖ యొక్క దిక్ కొసైన్లు మరియు దిక్ నిష్పత్తులు

అధ్యాయం 10 నుండి గుర్తుకు తెచ్చుకోండి, ఒక దిశా రేఖ $L$ మూలబిందువు గుండా వెళుతూ $\alpha, \beta$ మరియు $\gamma$ కోణాలను వరుసగా $x, y$ మరియు $z$-అక్షాలతో చేస్తే, వాటిని దిక్ కోణాలు అంటారు, అప్పుడు ఈ కోణాల కొసైన్లు, అనగా, $\cos \alpha, \cos \beta$ మరియు $\cos \gamma$ దిశా రేఖ $L$ యొక్క దిక్ కొసైన్లు అంటారు.

మనం $L$ యొక్క దిశను రివర్స్ చేస్తే, అప్పుడు దిక్ కోణాలు వాటి సంపూరకాలతో భర్తీ చేయబడతాయి, అనగా, $\pi-\alpha, \pi-\beta$ మరియు $\pi-\gamma$. అందువలన, దిక్ కొసైన్ల యొక్క సంకేతాలు రివర్స్ చేయబడతాయి.

Fig 11.1

గమనిక: అంతరాళంలో ఇచ్చిన రేఖను రెండు వ్యతిరేక దిశలలో విస్తరించవచ్చు మరియు అందువలన దానికి రెండు సెట్ల దిక్ కొసైన్లు ఉంటాయి. అంతరాళంలో ఇచ్చిన రేఖకు ప్రత్యేకమైన దిక్ కొసైన్ల సమితిని కలిగి ఉండటానికి, మనం ఇచ్చిన రేఖను దిశా రేఖగా తీసుకోవాలి. ఈ ప్రత్యేక దిక్ కొసైన్లను $l, m$ మరియు $n$ ద్వారా సూచిస్తారు.

వ్యాఖ్య అంతరాళంలో ఇచ్చిన రేఖ మూలబిందువు గుండా వెళ్లకపోతే, దాని దిక్ కొసైన్లను కనుగొనడానికి, మనం మూలబిందువు గుండా ఒక రేఖను గీసి, ఇచ్చిన రేఖకు సమాంతరంగా ఉంచుతాము. ఇప్పుడు మూలబిందువు నుండి ఒక దిశా రేఖను తీసుకోండి మరియు దాని దిక్ కొసైన్లను కనుగొనండి, ఎందుకంటే రెండు సమాంతర రేఖలు ఒకే రకమైన దిక్ కొసైన్లను కలిగి ఉంటాయి.

ఒక రేఖ యొక్క దిక్ కొసైన్లకు అనులోమానుపాతంలో ఉన్న ఏవైనా మూడు సంఖ్యలను ఆ రేఖ యొక్క దిక్ నిష్పత్తులు అంటారు. ఒక రేఖ యొక్క దిక్ కొసైన్లు $l, m, n$ మరియు దిక్ నిష్పత్తులు $a, b, c$ అయితే, అప్పుడు $a=\lambda l, b=\lambda m$ మరియు $c=\lambda n$, ఏదైనా శూన్యేతర $\lambda \in \mathbf{R}$ కోసం.

గమనిక కొంతమంది రచయితలు దిక్ నిష్పత్తులను దిక్ సంఖ్యలు అని కూడా పిలుస్తారు.

$a, b, c$ ఒక రేఖ యొక్క దిక్ నిష్పత్తులు అనుకుందాం మరియు $l, m$ మరియు $n$ రేఖ యొక్క దిక్ కొసైన్లు (d.c’s) అనుకుందాం. అప్పుడు

$$ \frac{l}{a}=\frac{m}{b}=\frac{n}{c}=k \text{ (say), } k \text{ being a constant. } $$

అందువలన $ \qquad l=a k, m=b k, n=c k $

కానీ $ \qquad l^{2}+m^{2}+n^{2}=1 $

అందువలన $ \qquad k^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=1 $

లేదా $ \qquad k= \pm \frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $

అందువలన, (1) నుండి, రేఖ యొక్క d.c.’s $ \qquad l= \pm \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, m= \pm \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, n= \pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $

ఇక్కడ, $k$ యొక్క కోరిన సంకేతాన్ని బట్టి, $l, m$ మరియు $n$ కోసం ఒక సానుకూల లేదా ప్రతికూల సంకేతం తీసుకోవాలి. ఏదైనా రేఖకు, $a, b, c$ ఒక రేఖ యొక్క దిక్ నిష్పత్తులు అయితే, $k a, k b, k c ; k \neq 0$ కూడా దిక్ నిష్పత్తుల సమితి. కాబట్టి, ఒక రేఖ యొక్క ఏవైనా రెండు సెట్ల దిక్ నిష్పత్తులు కూడా అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి. అలాగే, ఏదైనా రేఖకు అనంతమైన దిక్ నిష్పత్తుల సమితులు ఉంటాయి.

11.2.1 రెండు బిందువుల గుండా వెళ్లే రేఖ యొక్క దిక్ కొసైన్లు

రెండు ఇచ్చిన బిందువుల గుండా ఒక మరియు ఒకే ఒక రేఖ వెళుతుంది కాబట్టి, మనం ఇచ్చిన బిందువులు $P(x_1, y_1, z_1)$ మరియు $Q(x_2, y_2, z_2)$ గుండా వెళ్లే రేఖ యొక్క దిక్ కొసైన్లను ఈ క్రింది విధంగా నిర్ణయించవచ్చు (Fig 11.2 (a)).

Fig 11.2

$l, m, n$ రేఖ PQ యొక్క దిక్ కొసైన్లు అనుకుందాం మరియు అది $\alpha, \beta$ మరియు $\gamma$ కోణాలను వరుసగా $x, y$ మరియు $z$-అక్షంతో చేస్తుంది అనుకుందాం.

$P$ మరియు $Q$ నుండి లంబాలను $XY$-తలానికి గీయండి, అవి $R$ మరియు $S$ వద్ద కలుస్తాయి. $P$ నుండి $QS$ కు ఒక లంబాన్ని గీయండి, అది $N$ వద్ద కలుస్తుంది. ఇప్పుడు, లంబకోణ త్రిభుజం $PNQ, \angle PQN=\gamma$ లో (Fig 11.2 (b)).

$$ \begin{aligned} & \cos \gamma=\frac{\mathrm{NQ}}{\mathrm{PQ}}=\frac{z _{2}-z _{1}}{\mathrm{PQ}} \\ & \cos \alpha=\frac{x _{2}-x _{1}}{\mathrm{PQ}} \text { और } \cos \beta=\frac{y _{2}-y _{1}}{\mathrm{PQ}} \end{aligned} $$

అందువలన అందువలన, బిందువులు $P(x_1, y_1, z_1)$ మరియు $Q(x_2, y_2, z_2)$ ను కలిపే రేఖ ఖండం యొక్క దిక్ కొసైన్లు

$$ \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $$

ఇక్కడ $ \qquad PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $

గమనిక $P(x_1, y_1, z_1)$ మరియు $Q(x_2, y_2, z_2)$ ను కలిపే రేఖ ఖండం యొక్క దిక్ నిష్పత్తులు ఇలా తీసుకోవచ్చు

$$ x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \text{ or } x_1-x_2, y_1-y_2, z_1-z_2 $$

ఉదాహరణ 1 ఒక రేఖ $90^{\circ}, 60^{\circ}$ మరియు $30^{\circ}$ కోణాలను వరుసగా $x, y$ మరియు $z$-అక్షం యొక్క ధన దిశలతో చేస్తే, దాని దిక్ కొసైన్లను కనుగొనండి.

సాధన $d . c$ అనుకుందాం. రేఖల యొక్క ’ $s$ $l, m, n$ అనుకుందాం. అప్పుడు $l=\cos 90^{\circ}=0, m=\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$, $n=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

ఉదాహరణ 2 ఒక రేఖకు దిక్ నిష్పత్తులు 2, - 1, - 2 ఉంటే, దాని దిక్ కొసైన్లను నిర్ణయించండి.

సాధన దిక్ కొసైన్లు

$$ \frac{2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}, \frac{-1}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}, \frac{-2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}} $$

లేదా $\qquad \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3}$

ఉదాహరణ 3 రెండు బిందువులు $(-2,4,-5)$ మరియు $(1,2,3)$ గుండా వెళ్లే రేఖ యొక్క దిక్ కొసైన్లను కనుగొనండి.

సాధన రెండు బిందువులు $P(x_1, y_1, z_1)$ మరియు $Q(x_2, y_2, z_2)$ గుండా వెళ్లే రేఖ యొక్క దిక్ కొసైన్లు ఇలా ఇవ్వబడతాయని మనకు తెలుసు

ఇక్కడ $ \qquad \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $

$$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $$

ఇక్కడ $P$ $(-2,4,-5)$ మరియు $Q$ $(1,2,3)$.

కాబట్టి $ \qquad P Q=\sqrt{(1-(-2))^{2}+(2-4)^{2}+(3-(-5))^{2}}=\sqrt{77} $

అందువలన, రెండు బిందువులను కలిపే రేఖ యొక్క దిక్ కొసైన్లు

$ \qquad \frac{3}{\sqrt{77}}, \frac{-2}{\sqrt{77}}, \frac{8}{\sqrt{77}} $

ఉదాహరణ 4 $x, y$ మరియు $z$-అక్షాల యొక్క దిక్ కొసైన్లను కనుగొనండి.

సాధన $x$-అక్షం వరుసగా $0^{\circ}, 90^{\circ}$ మరియు $90^{\circ}$ కోణాలను $x, y$ మరియు $z$-అక్షాలతో చేస్తుంది. అందువలన, $x$-అక్షం యొక్క దిక్ కొసైన్లు $\cos 0^{\circ}, \cos 90^{\circ}, \cos 90^{\circ}$ అనగా, $1,0,0$. అదేవిధంగా, $y$-అక్షం మరియు $z$-అక్షం యొక్క దిక్ కొసైన్లు వరుసగా $0,1,0$ మరియు $0,0,1$.

ఉదాహరణ 5 A $(2,3,-4), B(1,-2,3)$ మరియు $C(3,8,-11)$ బిందువులు సరేఖీయాలు అని చూపండి.

సాధన A మరియు B ను కలిపే రేఖ యొక్క దిక్ నిష్పత్తులు

$1-2,-2-3,3+4$ అనగా, $-1,-5,7$.

$B$ మరియు $C$ ను కలిపే రేఖ యొక్క దిక్ నిష్పత్తులు $3-1,8+2,-11-3$, అనగా, $2,10,-14$.

$AB$ మరియు $BC$ యొక్క దిక్ నిష్పత్తులు అనులోమానుపాతంలో ఉన్నాయని స్పష్టంగా ఉంది, అందువలన, $AB$ $BC$ కు సమాంతరంగా ఉంటుంది. కానీ బిందువు $B$ $AB$ మరియు $BC$ రెండింటికీ సాధారణం. అందువలన, $A, B, C$ సరేఖీయ బిందువులు.

11.3 అంతరాళంలో ఒక రేఖ యొక్క సమీకరణం

మేము క్లాస్ XI లో రెండు మితులలో రేఖల సమీకరణాలను అధ్యయనం చేసాము, ఇప్పుడు మనం అంతరాళంలో ఒక రేఖ యొక్క సదిశ మరియు కార్టీసియన్ సమీకరణాలను అధ్యయనం చేస్తాము.

ఒక రేఖ ప్రత్యేకంగా నిర్ణయించబడుతుంది

(i) అది ఇచ్చిన బిందువు గుండా వెళ్లి, ఇచ్చిన దిశను కలిగి ఉంటే, లేదా

(ii) అది రెండు ఇచ్చిన బిందువుల గుండా వెళ్లితే.

11.3.1 ఒక ఇచ్చిన బిందువు గుండా మరియు $\vec{a}$ ఇచ్చిన సదిశ $\vec{b}$ కు సమాంతరంగా ఉండే రేఖ సమీకరణం

$\vec{a}$ దీర్ఘచతురస్రాకార నిరూపక వ్యవస్థ యొక్క మూలబిందువు $O$కి సంబంధించి ఇచ్చిన బిందువు A యొక్క స్థాన సదిశ అనుకుందాం. $l$ రేఖ $A$ బిందువు గుండా వెళ్లి, ఇచ్చిన సదిశ $\vec{b}$ కు సమాంతరంగా ఉండే రేఖ అనుకుందాం. $\vec{r}$ రేఖపై ఏదైనా ఏకపక్ష బిందువు $P$ యొక్క స్థాన సదిశ అనుకుందాం (Fig 11.3).

అప్పుడు $\overrightarrow{{}AP}$ సదిశ $\vec{b}$ కు సమాంతరంగా ఉంటుంది, అనగా, $\overrightarrow{{}AP}=\lambda \vec{b}$, ఇక్కడ $\lambda$ కొంత వాస్తవ సంఖ్య.

కానీ $$ \overrightarrow{{}AP}=\overrightarrow{{}OP}-\overrightarrow{{}OA} $$

అనగా $$\lambda \vec{b}=\vec{r}-\vec{a}$$

దీనికి విరుద్ధంగా, పరామితి $\lambda$ యొక్క ప్రతి విలువకు, ఈ సమీకరణం రేఖపై ఒక బిందువు $P$ యొక్క స్థాన సదిశను ఇస్తుంది. అందువలన, రేఖ యొక్క సదిశ సమీకరణం దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

$$ \begin{equation*} \vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b} \tag{1} \end{equation*} $$

వ్యాఖ్య $\vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$ అయితే, అప్పుడు $a, b, c$ రేఖ యొక్క దిక్ నిష్పత్తులు మరియు దీనికి విరుద్ధంగా, $a, b, c$ ఒక రేఖ యొక్క దిక్ నిష్పత్తులు అయితే, అప్పుడు $\vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$ రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటుంది. ఇక్కడ, $b$ ను $|\vec{b}|$ తో గందరగోళం చేయకూడదు. సదిశ రూపం నుండి కార్టీసియన్ రూపం యొక్క వ్యుత్పత్తి

ఇచ్చిన బిందువు $A$ యొక్క నిరూపకాలు $(x_1, y_1, z_1)$ అనుకుందాం మరియు రేఖ యొక్క దిక్ నిష్పత్తులు $a, b, c$ అనుకుందాం. ఏదైనా బిందువు $P$ యొక్క నిరూపకాలు $(x, y, z)$ అనుకుందాం. అప్పుడు

$$ \overrightarrow{{}r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} ; \overrightarrow{{}a}=x_1 \hat{i}+y_1 \hat{j}+z_1 \hat{k} $$

మరియు $$ \vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k} $$

ఈ విలువలను (1)లో ప్రతిక్షేపించి, $\hat{i}, \hat{j}$ మరియు $\hat{k}$ యొక్క గుణకాలను సమానం చేయడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

$$ \begin{equation*} x=x _{1}+\lambda a ; \quad y=y _{1}+\lambda b ;\quad z=z _{1}+\lambda c \tag{2} \end{equation*} $$

ఇవి రేఖ యొక్క పరామితీయ సమీకరణాలు. పరామితి $\lambda$ ను (2) నుండి తొలగించడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

$$ \begin{equation*} \frac{x-x _{1}}{a}=\frac{y-y _{1}}{b}=\frac{z-z _{1}}{c} \tag{3} \end{equation*} $$

ఇది రేఖ యొక్క కార్టీసియన్ సమీకరణం.

గమనిక $l, m, n$ రేఖ యొక్క దిక్ కొసైన్లు అయితే, రేఖ యొక్క సమీకరణం

$$ \frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n} $$

ఉదాహరణ 6 బిందువు $(5,2,-4)$ గుండా మరియు సదిశ $3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}$ కు సమాంతరంగా ఉండే రేఖ యొక్క సదిశ మరియు కార్టీసియన్ సమీకరణాలను కనుగొనండి.

సాధన మనకు ఉన్నాయి

$$ \vec{a}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k} \text{ and } \vec{b}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k} $$

అందువలన, రేఖ యొక్క సదిశ సమీకరణం

$$ \vec{r}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}) $$

ఇప్పుడు, $\vec{r}$ రేఖపై ఏదైనా బిందువు $P(x, y, z)$ యొక్క స్థాన సదిశ.

అందువలన, $$\quad x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k})$$ $$ =(5+3 \lambda) \hat{i}+(2+2 \lambda) \hat{j}+(-4-8 \lambda) \hat{k} $$

$\lambda$ ను తొలగించడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

$$ \frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+4}{-8} $$

ఇది కార్టీసియన్ రూపంలో రేఖ యొక్క సమీకరణం.

11.4 రెండు రేఖల మధ్య కోణం

$L_1$ మరియు $L_2$ రెండు రేఖలు మూలబిందువు గుండా వెళ్లి, వరుసగా దిక్ నిష్పత్తులు $a_1, b_1, c_1$ మరియు $a_2, b_2, c_2$ కలిగి ఉండే రేఖలు అనుకుందాం. $P$ $L_1$ పై ఒక బిందువు అనుకుందాం మరియు $Q$ $L_2$ పై ఒక బిందువు అనుకుందాం. Fig 11.6 లో ఇవ్వబడిన విధంగా దిశా రేఖ ఖండాలు $OP$ మరియు $OQ$ ను పరిగణించండి. $\theta$ OP మరియు OQ మధ్య లఘుకోణం అనుకుందాం. ఇప్పుడు గుర్తుకు తెచ్చుకోండి, దిశా రేఖ ఖండాలు OP మరియు OQ లు వరుసగా $a_1, b_1, c_1$ మరియు $a_2, b_2, c_2$ అంశాలతో కూడిన సదిశలు. అందువలన, వాటి మధ్య కోణం $\theta$ దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది $\cos \theta=\left|\frac{a _{1} a _{2}+b _{1} b _{2}+c _{1} c _{2}}{\sqrt{a _{1}^{2}+b _{1}^{2}+c _{1}^{2}} \sqrt{a _{2}^{2}+b _{2}^{2}+c _{2}^{2}}}\right|$

$\sin \theta$ పరంగా రేఖల మధ్య కోణం దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

$$ \begin{aligned} \sin \theta & =\sqrt{1-\cos ^{2} \theta} \\ & =\sqrt{1-\frac{(a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2)^{2}}{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})}} \\ & =\frac{\sqrt{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})-(a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2)^{2}}}{\sqrt{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})} \sqrt{(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})}} \\ & =\frac{\sqrt{(a_1 b_2-a_2 b_1)^{2}+(b_1 c_2-b_2 c_1)^{2}+(c_1 a_2-c_2 a_1)^{2}}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}} \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}} \end{aligned} $$

గమనిక రేఖలు $L_1$ మరియు $L_2$ మూలబిందువు గుండా వెళ్లకపోతే, మనం $L_1^{\prime}$ మరియు $L_2^{\prime}$ రేఖలను తీసుకోవచ్చు, అవి వరుసగా $L_1$ మరియు $L_2$ కు సమాంతరంగా ఉంటాయి మరియు మూలబిందువు గుండా వెళతాయి.

రేఖలు $L_1$ మరియు $L_2$ కోసం దిక్ నిష్పత్తులకు బదులుగా, దిక్ కొసైన్లు, అనగా, $l_1, m_1, n_1$ $L_1$ కోసం మరియు $l_2, m_2, n_2$ $L_2$ కోసం ఇవ్వబడితే, అప్పుడు (1) మరియు (2) ఈ క్రింది రూపాన్ని తీసుకుంటాయి:

$$ \cos \theta=|l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2| \quad(\text{ as } l_1^{2}+m_1^{2}+n_1^{2}=1=l_2^{2}+m_2^{2}+n_2^{2}) $$

మరియు $$ \sin \theta=\sqrt{(l_1 m_2-l_2 m_1)^{2}-(m_1 n_2-m_2 n_1)^{2}+(n_1 l_2-n_2 l_1)^{2}} $$

దిక్ నిష్పత్తులు $a_1, b_1, c_1$ మరియు $a_2, b_2, c_2$ కలిగిన రెండు రేఖలు

(i) లంబంగా ఉంటాయి అనగా $\theta=90^{\circ}$ అయితే (1) ద్వారా

$$ a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=0 $$

(ii) సమాంతరంగా ఉంటాయి అనగా $\theta=0$ అయితే (2) ద్వారా

$$\frac{\boldsymbol{a} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{a} _{2}}=\frac{\boldsymbol{b} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{b} _{\mathbf{2}}}=\frac{\boldsymbol{c} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{c} _{\mathbf{2}}}$$

ఇప్పుడు, రేఖల సమీకరణాలు ఇవ్వబడినప్పుడు రెండు రేఖల మధ్య కోణాన్ని మనం కనుగొంటాము. $\theta$ లఘుకోణం అయితే రేఖలు $\vec{r}=\vec{a} _{1}+\lambda \vec{b} _{1}$ మరియు $\vec{r}=\vec{a} _{2}+\mu \vec{b} _{2}$ మధ్య కోణం కార్టీసియన్ రూపంలో, $\theta$ రేఖల మధ్య కోణం అయితే

అప్పుడు $$ \begin{aligned} \cos \theta & =\left|\frac{\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2}{\left|\vec{b}_1\right|\left|\vec{b}_2\right|}\right|
\end{aligned} $$

$$ \frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1} \tag{1} $$

మరియు $$ \frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2} \tag{2} $$

ఇక్కడ, $a_1, b _{1,} c_1$ మరియు $a _{2,}, b_2, c_2$ వరుసగా రేఖలు (1) మరియు (2) యొక్క దిక్ నిష్పత్తులు, అప్పుడు

$$ \cos \theta=|\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}} \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}}| $$

ఉదాహరణ 7 ఇవ్వబడిన రేఖల జత మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి

$$ \vec{r}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}) $$

మరియు $$ \vec{r}=5 \hat{i}-2 \hat{j}+\mu(3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}) $$

సాధన ఇక్కడ $ \vec{b} _ {1}=\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k} $ మరియు $ \vec{b} _ {2}=3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k} $

రెండు రేఖల మధ్య కోణం $\theta$ దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

$$ \begin{aligned} \cos \theta & = |\frac{ \vec{b} _ {1} \cdot \vec{b} _ {2}}{| \vec{b} _ {1}|| \vec{b} _ {2}|}| = |\frac{(\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}) \cdot(3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k})}{\sqrt{1 + 4+ 4} \sqrt{9 + 4 + 36}}| \\ & =|\frac{3+4+12}{3 \times 7}|=\frac{19}{21} ) \end{aligned} $$

అందువలన $$ \theta=\cos ^{-1}\left(\frac{19}{21}\right) $$

ఉదాహరణ 8 రేఖల జత మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి

మరియు $$ \begin{aligned} & \frac{x+3}{3}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+3}{4} \\ & \frac{x+1}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{2} \end{aligned} $$

సాధన మొదటి రేఖ యొక్క దిక్ నిష్పత్తులు 3, 5, 4 మరియు రెండవ రేఖ యొక్క దిక్ నిష్పత్తులు $1,1,2$. $\theta$ వాటి మధ్య కోణం అయితే, అప్పుడు

$$ \cos \theta=|\frac{3.1+5.1+4.2}{\sqrt{3^{2}+5^{2}+4^{2}} \sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}}}|=\frac{16}{\sqrt{50} \sqrt{6}}=\frac{16}{5 \sqrt{2} \sqrt{6}}=\frac{8 \sqrt{3}}{15} $$

అందువలన, కావలసిన కోణం $\cos ^{-1}(\frac{8 \sqrt{3}}{15})$.

11.5 రెండు రేఖల మధ్య అతి తక్కువ దూరం

అంతరాళంలో రెండు రేఖలు ఒక బిందువు వద్ద ఖండించుకుంటే, వాటి మధ్య అతి తక్కువ దూరం సున్నా. అలాగే, అంతరాళంలో రెండు రేఖలు సమాంతరంగా ఉంటే, వాటి మధ్య అతి తక్కువ దూరం లంబ దూరం అవుతుంది, అనగా ఒక రేఖపై ఒక బిందువు నుండి మరొక రేఖపై గీసిన లంబం యొక్క పొడవు.

ఇంకా, అంతరాళంలో, ఖండించుకోని లేదా సమాంతరంగా లేని రేఖలు ఉంటాయి. వాస్తవానికి, అటువంటి రేఖల జతలు సహతలీయం కావు మరియు వక్రీభవన రేఖలు అంటారు. ఉదాహరణకు, పరిమాణం 1, 3, 2 యూనిట్ల గదిని పరిగణించండి

Fig 11.5 $x, y$ మరియు $z$-అక్షాల వెంబడి వరుసగా Fig 11.5.

పైకప్పు మీద కర్ణంగా వెళ్లే రేఖ GE మరియు రేఖ DB పైకప్పు యొక్క ఒక మూల గుండా A పైన నేరుగా వెళ్లి, గోడ మీద కర్ణంగా కిందికి వెళుతుంది. ఈ రేఖలు వక్రీభవన రేఖలు ఎందుకంటే అవి సమాంతరంగా లేవు మరియు ఎప్పుడూ కలవవు.

రెండు ర