సంభావ్యతల సిద్ధాంతం అనేది తర్కశాస్త్రాన్ని పరిమాణాత్మకంగా చికిత్స చేసే శాస్త్రం మాత్రమే - C.S. PEIRCE

13.1 పరిచయం

పియర్ డి ఫెర్మాట్ $(1601-1665)$

మునుపటి తరగతులలో, మేము సంభావ్యతను యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలోని ఘటనల అనిశ్చితి కొలతగా అధ్యయనం చేసాము. రష్యన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు A.N. కోల్మోగోరోవ్ (1903-1987) రూపొందించిన సిద్ధాంతపరమైన విధానాన్ని మేము చర్చించాము మరియు సంభావ్యతను ప్రయోగం యొక్క ఫలితాల ఫంక్షన్గా చికిత్స చేసాము. సమానంగా సంభావ్యమైన ఫలితాల విషయంలో సిద్ధాంతపరమైన సిద్ధాంతం మరియు సంభావ్యత యొక్క శాస్త్రీయ సిద్ధాంతం మధ్య సమానత్వాన్ని కూడా మేము స్థాపించాము. ఈ సంబంధం ఆధారంగా, మేము వివిక్త నమూనా స్థలాలతో సంబంధం ఉన్న ఘటనల సంభావ్యతలను పొందాము. సంభావ్యత యొక్క కూడిక నియమాన్ని కూడా మేము అధ్యయనం చేసాము. ఈ అధ్యాయంలో, మనం మరొక ఘటన సంభవించినట్లు ఇవ్వబడిన ఒక ఘటన యొక్క షరతులతో కూడిన సంభావ్యత యొక్క ముఖ్యమైన భావనను చర్చిస్తాము, ఇది బేయస్ సిద్ధాంతం, సంభావ్యత యొక్క గుణకార నియమం మరియు ఘటనల స్వాతంత్ర్యాన్ని అర్థం చేసుకోవడంలో సహాయపడుతుంది. యాదృచ్ఛిక చలరాశి మరియు దాని సంభావ్యత విభాజనం మరియు సంభావ్యత విభాజనం యొక్క సగటు మరియు వ్యత్యాసం యొక్క ముఖ్యమైన భావనను కూడా మనం నేర్చుకుంటాము. అధ్యాయం యొక్క చివరి విభాగంలో, ద్విపద విభాజనం అని పిలువబడే ఒక ముఖ్యమైన వివిక్త సంభావ్యత విభాజనాన్ని మనం అధ్యయనం చేస్తాము. ఈ మొత్తం అధ్యాయంలో, మేము సమానంగా సంభావ్యమైన ఫలితాలను కలిగి ఉన్న ప్రయోగాలను తీసుకుంటాము, లేకపోతే పేర్కొనబడినట్లు.

13.2 షరతులతో కూడిన సంభావ్యత

ఇప్పటి వరకు సంభావ్యతలో, ఘటనల సంభావ్యతను కనుగొనే పద్ధతులను మేము చర్చించాము. మనకు ఒకే నమూనా స్థలం నుండి రెండు ఘటనలు ఉంటే, ఒక ఘటన యొక్క సంభవం గురించిన సమాచారం మరొక ఘటన యొక్క సంభావ్యతను ప్రభావితం చేస్తుందా? ఫలితాలు సమానంగా సంభవించే యాదృచ్ఛిక ప్రయోగాన్ని తీసుకోవడం ద్వారా ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

మూడు నిష్పాక్షిక నాణేలను ఎగరవేసే ప్రయోగాన్ని పరిగణించండి. ప్రయోగం యొక్క నమూనా స్థలం

$$ \mathrm{S}=\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{TTT}\} $$

నాణేలు నిష్పాక్షికంగా ఉన్నందున, మనం ప్రతి నమూనా బిందువుకు సంభావ్యత $\frac{1}{8}$ ని కేటాయించవచ్చు. $E$ ‘కనీసం రెండు తలలు కనిపించాయి’ అనే ఘటనగా ఉండనివ్వండి మరియు $F$ ‘మొదటి నాణెం తోకను చూపుతుంది’ అనే ఘటనగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు

$\mathrm{E}=\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}\}$

లేదా $\mathrm{F}=\{ \mathrm{THH, THT, TTH, TTT} \}$

అందువల్ల $$ \mathrm{P}(\mathrm{E})=\mathrm{P}(\{\mathrm{HHH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{HHT}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{HTH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\}) $$

$$ =\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2} \text { (क्यों ?) } $$

లేదా $$ \mathrm{P}(\mathrm{F})=\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{THT}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{TTH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{TTT}\}) $$

$$ =\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2} $$

$\mathrm{E} \cap \mathrm{F}=\{\mathrm{THH}\}$ తో

అందువల్ల $\quad \mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})=\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\})=\frac{1}{8}$

ఇప్పుడు, మొదటి నాణెం తోకను చూపుతుంది అని మనకు ఇవ్వబడింది అనుకుందాం, అనగా F సంభవిస్తుంది, అప్పుడు $E$ యొక్క సంభవం యొక్క సంభావ్యత ఎంత? $F$ యొక్క సంభవం గురించిన సమాచారంతో, $E$ యొక్క సంభావ్యతను కనుగొనేటప్పుడు మొదటి నాణెం తోకలో ఫలితం ఇవ్వని సందర్భాలను పరిగణనలోకి తీసుకోకూడదని మనకు ఖచ్చితంగా తెలుసు. ఈ సమాచారం ఘటన $E$ కోసం మన నమూనా స్థలాన్ని సమితి $S$ నుండి దాని ఉపసమితి $F$ కు తగ్గిస్తుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, అదనపు సమాచారం నిజంగా ఘటన $F$ యొక్క సంభవానికి అనుకూలమైన ఫలితాలు మాత్రమే ఉన్న కొత్త యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం యొక్క పరిస్థితిగా పరిగణించబడుతుందని మాకు చెప్పడం వల్ల ఉంటుంది.

ఇప్పుడు, ఘటన $E$ కు అనుకూలమైన $F$ యొక్క నమూనా బిందువు THH.

అందువలన, $E$ యొక్క సంభావ్యత $F$ ని నమూనా స్థలంగా పరిగణిస్తే $=\frac{1}{4}$,

లేదా $\quad$ ఘటన $E$ యొక్క సంభావ్యత ఘటన $F$ సంభవించింది అని ఇవ్వబడింది $=\frac{1}{4}$

ఘటన $E$ యొక్క ఈ సంభావ్యతను $F$ ఇప్పటికే సంభవించినట్లు ఇవ్వబడిన $E$ యొక్క షరతులతో కూడిన సంభావ్యత అంటారు మరియు దీనిని $P(E \mid F)$ ద్వారా సూచిస్తారు.

అందువలన $\quad P(E \mid F)=\frac{1}{4}$

$F$ యొక్క మూలకాలు ఘటన $E$ కు అనుకూలంగా ఉంటాయి అని గమనించండి, అవి $E$ మరియు $F$ యొక్క సాధారణ మూలకాలు, అనగా $E \cap F$ యొక్క నమూనా బిందువులు.

అందువలన, $F$ సంభవించినట్లు ఇవ్వబడిన $E$ యొక్క షరతులతో కూడిన సంభావ్యతను మనం ఇలా కూడా వ్రాయవచ్చు

$$ \begin{aligned} P(E \mid F) & =\frac{\text{ Number of elementary events favourable to } E \cap F}{\text{ Number of elementary events which are favourable to } F} \\ & =\frac{n(E \cap F)}{n(F)} \end{aligned} $$

నమూనా స్థలం యొక్క మొత్తం ప్రాథమిక ఘటనలతో లవం మరియు హారంను విభజించడం ద్వారా, $P(EIF)$ కూడా ఇలా వ్రాయవచ్చు

$$ P(E \mid F)=\frac{\frac{n(E \cap F)}{n(S)}}{\frac{n(F)}{n(S)}}=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \tag{1} $$

గమనిక (1) $P(F) \neq 0$ అయినప్పుడు మాత్రమే చెల్లుతుంది, అనగా $F \neq \phi$ (ఎందుకు?) అందువలన, మనం షరతులతో కూడిన సంభావ్యతను ఈ క్రింది విధంగా నిర్వచించవచ్చు:

నిర్వచనం 1 $E$ మరియు $F$ ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం యొక్క ఒకే నమూనా స్థలంతో అనుబంధించబడిన రెండు ఘటనలు అయితే, $F$ సంభవించింది అని ఇవ్వబడిన ఘటన $E$ యొక్క షరతులతో కూడిన సంభావ్యత, అనగా $P(E \mid F)$ ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

$$ P(EIF)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \text{ provided } P(F) \neq 0 $$

13.2.1 షరతులతో కూడిన సంభావ్యత యొక్క లక్షణాలు

$E$ మరియు $F$ ఒక ప్రయోగం యొక్క నమూనా స్థలం $S$ యొక్క ఘటనలుగా ఉండనివ్వండి, అప్పుడు మనకు ఉంటుంది

లక్షణం $1 P(S \mid F)=P(F \mid F)=1$

మనకు తెలుసు $$ \mathrm{P}(\mathrm{S} \mid \mathrm{F})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{S} \cap \mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{F})}=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{F})}=1 $$

అందువలన $$ P(F \mid F)=\frac{P(F \cap F)}{P(F)}=\frac{P(F)}{P(F)}=1 $$

లేదా $$ \mathrm{P}(\mathrm{S} \mid \mathrm{F})=\mathrm{P}(\mathrm{F} \mid \mathrm{F})=1 $$

లక్షణం 2 $A$ మరియు $B$ ఒక నమూనా స్థలం $S$ యొక్క ఏవైనా రెండు ఘటనలు మరియు $F$ $S$ యొక్క ఒక ఘటన అయితే, అలాంటి $P(F) \neq 0$, అప్పుడు

$$ P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F)-P((A \cap B) \mid F) $$

ప్రత్యేకంగా, $A$ మరియు $B$ వియుక్త ఘటనలు అయితే,

మనకు ఉంది $$ P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F) $$

మనకు తెలుసు $$ \begin{aligned} P((A \cup B) \mid F) & =\frac{P[(A \cup B) \cap F]}{P(F)} \\ & =\frac{P[(A \cap F) \cup(B \cap F)]}{P(F)} \end{aligned} $$

(సమితుల సమ్మేళనం యొక్క ఖండనంపై విభాగ నియమం ద్వారా)

$$ \begin{aligned} & =\frac{P(A \cap F)+P(B \cap F)-P(A \cap B \cap F)}{P(F)} \\ & =\frac{P(A \cap F)}{P(F)}+\frac{P(B \cap F)}{P(F)}-\frac{P[(A \cap B) \cap F]}{P(F)} \\ & =P(A \mid F)+P(B \mid F)-P((A \cap B) \mid F) \end{aligned} $$

$A$ మరియు $B$ వియుక్త ఘటనలు అయినప్పుడు, అప్పుడు

$$ \begin{matrix}
& P((A \cap B) \mid F)=0 \\ \Rightarrow \quad & P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F) \end{matrix} $$

$\mathrm{A}$ మరియు $\mathrm{B}$ వియుక్త ఘటనలు అయినప్పుడు, అప్పుడు $\mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A} \mid F)+\mathrm{P}(\mathrm{B} \mid \mathrm{F})$

లక్షణం $3 P(E^{\prime} \mid F)=1-P(E \mid F)$

లక్షణం 1 నుండి, మనకు తెలుసు $P(SIF)=1$

$$ \begin{matrix} \Rightarrow & P(E \cup E^{\prime} \mid F)=1 & \text{ since } S=E \cup E^{\prime} \\ \Rightarrow & P(E \mid F)+P(E^{\prime} \mid F)=1 & \text{ since } E \text{ and } E^{\prime} \text{ are disjoint events } \\ \text{ Thus, } & P(E^{\prime} \mid F)=1-P(E \mid F) & \end{matrix} $$

ఇప్పుడు కొన్ని ఉదాహరణలను తీసుకుందాం.

ఉదాహరణ 1 $P(A)=\frac{7}{13}, P(B)=\frac{9}{13}$ మరియు $P(A \cap B)=\frac{4}{13}$ అయితే, $P(A \mid B)$ ను మూల్యాంకనం చేయండి.

పరిష్కారం మనకు ఉంది $P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{4}{13}}{\frac{9}{13}}=\frac{4}{9}$

ఉదాహరణ 2 ఒక కుటుంబానికి ఇద్దరు పిల్లలు ఉన్నారు. వారిలో కనీసం ఒకరు అబ్బాయి అని ఇవ్వబడితే, ఇద్దరు పిల్లలూ అబ్బాయిలు అయ్యే సంభావ్యత ఎంత?

పరిష్కారం $b$ అబ్బాయి కోసం మరియు $g$ అమ్మాయి కోసం నిలబడటానికి ఉండనివ్వండి. ప్రయోగం యొక్క నమూనా స్థలం

$$ S=\{(b, b),(g, b),(b, g),(g, g)\} $$

$E$ మరియు $F$ క్రింది ఘటనలను సూచిస్తాయి:

E: ‘ఇద్దరు పిల్లలూ అబ్బాయిలు’

$F$: ‘కనీసం ఒక పిల్లవాడు అబ్బాయి’

అప్పుడు $$E=\{(b, b)\} and F=\{(b, b),(g, b),(b, g)\}$$

ఇప్పుడు $$E \cap F=\{(b, b)\}$$

అందువలన $$ P(F)=\frac{3}{4} \text{ and } P(E \cap F)=\frac{1}{4} $$

అందువల్ల $$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3} $$

ఉదాహరణ 3 1 నుండి 10 వరకు సంఖ్యలు ఉన్న పది కార్డులు ఒక పెట్టెలో ఉంచబడతాయి, బాగా కలపబడతాయి మరియు తర్వాత ఒక కార్డు యాదృచ్ఛికంగా తీయబడుతుంది. తీసిన కార్డుపై సంఖ్య 3 కంటే ఎక్కువగా ఉందని తెలిస్తే, అది సరి సంఖ్య అయ్యే సంభావ్యత ఎంత?

పరిష్కారం A అనేది ‘తీసిన కార్డుపై సంఖ్య సరి’ అనే ఘటనగా ఉండనివ్వండి మరియు B అనేది ‘తీసిన కార్డుపై సంఖ్య 3 కంటే ఎక్కువ’ అనే ఘటనగా ఉండనివ్వండి. మనం $P(AlB)$ ని కనుగొనాలి.

ఇప్పుడు, ప్రయోగం యొక్క నమూనా స్థలం $S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$

అప్పుడు $$ A=\{2,4,6,8,10\}, B=\{4,5,6,7,8,9,10\} $$

మరియు $$ A \cap B=\{4,6,8,10\} $$

కూడా $$ P(A)=\frac{5}{10}, P(B)=\frac{7}{10} \text{ and } P(A \cap B)=\frac{4}{10} $$

$$ P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{4}{10}}{\frac{7}{10}}=\frac{4}{7} $$

ఉదాహరణ 4 ఒక పాఠశాలలో, 1000 మంది విద్యార్థులు ఉన్నారు, వారిలో 430 మంది బాలికలు. $430,10 \%$ బాలికలు XII తరగతిలో చదువుతారని తెలుసు. ఎంపిక చేయబడిన విద్యార్థి బాలిక అని ఇవ్వబడితే, యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన విద్యార్థి XII తరగతిలో చదువుతున్న సంభావ్యత ఎంత?

పరిష్కారం E యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన విద్యార్థి XII తరగతిలో చదువుతున్నట్లు సూచించనివ్వండి మరియు $F$ యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన విద్యార్థి బాలిక అనే ఘటనగా ఉండనివ్వండి. మనం $P(EIF)$ ని కనుగొనాలి.

ఇప్పుడు $\quad P(F)=\frac{430}{1000}=0.43$ మరియు $P(E \cap F)=\frac{43}{1000}=0.043$(ఎందుకు?)

అప్పుడు $$\quad P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{0.043}{0.43}=0.1$$

ఉదాహరణ 5 ఒక పాచికను మూడు సార్లు విసిరారు. ఘటనలు A మరియు B క్రింది విధంగా నిర్వచించబడ్డాయి:

A: మూడవ విసురుపులో 4

B: మొదటి విసురుపులో 6 మరియు రెండవ విసురుపులో 5

B ఇప్పటికే సంభవించినట్లు ఇవ్వబడిన A యొక్క సంభావ్యతను కనుగొనండి.

పరిష్కారం నమూనా స్థలానికి 216 ఫలితాలు ఉన్నాయి.

ఇప్పుడు

$\mathrm{A} =\left\lbrace \begin{array}{ccccccc} (1,1,4) & (1,2,4) & \ldots & (1,6,4) & (2,1,4)& (2,2,4)& \ldots & (2,6,4) \\
(3,1,4) & (3,2,4) &\ldots & (3,6,4)& (4,1,4)& (4,2,4) &\ldots &(4,6,4) \\ (5,1,4) & (5,2,4) & \ldots & (5,6,4)& (6,1,4)&(6,2,4)& \ldots &(6,6,4) \\ \end{array}\right\rbrace $

$$ \begin{aligned} & B=\{(6,5,1),(6,5,2),(6,5,3),(6,5,4),(6,5,5),(6,5,6)\} \end{aligned} $$

మరియు $$ A \cap B=\{(6,5,4)\} . $$

ఇప్పుడు $$ P(B)=\frac{6}{216} \text{ and } P(A \cap B)=\frac{1}{216} $$

అప్పుడు $$ P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{216}}{\frac{6}{216}}=\frac{1}{6} $$

ఉదాహరణ 6 ఒక పాచికను రెండుసార్లు విసిరారు మరియు కనిపించే సంఖ్యల మొత్తం 6 గా గమనించబడింది. కనీసం ఒకసారి సంఖ్య 4 కనిపించే షరతులతో కూడిన సంభావ్యత ఎంత?

పరిష్కారం $E$ ‘సంఖ్య 4 కనీసం ఒకసారి కనిపిస్తుంది’ అనే ఘటనగా ఉండనివ్వండి మరియు $F$ ‘కనిపించే సంఖ్యల మొత్తం 6’ అనే ఘటనగా ఉండనివ్వండి.

అప్పుడు, $$ \begin{aligned} & E=\{(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(1,4),(2,4),(3,4),(5,4),(6,4)\} \\ & F=\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\} \end{aligned} $$

మరియు మనకు ఉంది $$ P(E)=\frac{11}{36} \text{ and } P(F)=\frac{5}{36} $$

కూడా $$ E \cap F=\{(2,4),(4,2)\} $$

అందువల్ల $$ P(E \cap F)=\frac{2}{36} $$

అందువలన, అవసరమైన సంభావ్యత $$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{2}{36}}{\frac{5}{36}}=\frac{2}{5} $$

పైన చర్చించిన షరతులతో కూడిన సంభావ్యత కోసం, ప్రయోగం యొక్క ప్రాథమిక ఘటనలు సమానంగా సంభావ్యంగా ఉంటాయని మరియు ఘటన యొక్క సంభావ్యత యొక్క సంబంధిత నిర్వచనం ఉపయోగించబడిందని మేము పరిగణించాము. అయితే, నమూనా స్థలం యొక్క ప్రాథమిక ఘటనలు సమానంగా సంభావ్యంగా లేని సాధారణ సందర్భంలో కూడా అదే నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించవచ్చు, సంభావ్యతలు $P(E \cap F)$ మరియు $P(F)$ తదనుగుణంగా లెక్కించబడతాయి. కింది ఉదాహరణను తీసుకుందాం.

ఉదాహరణ 7 ఒక నాణెాన్ని ఎగరవేసే ప్రయోగాన్ని పరిగణించండి. నాణెం తలను చూపిస్తే, దాన్ని మళ్లీ ఎగరవేయండి కానీ అది తోకను చూపిస్తే, పాచికను విసిరండి. ‘కనీసం ఒక తోక ఉంది’ అని ఇవ్వబడిన ‘పాచిక 4 కంటే ఎక్కువ సంఖ్యను చూపుతుంది’ అనే ఘటన యొక్క షరతులతో కూడిన సంభావ్యతను కనుగొనండి.

పరిష్కారం ప్రయోగం యొక్క ఫలితాలను ‘ట్రీ డయాగ్రం’ అని పిలువబడే క్రింది రేఖాచిత్ర పద్ధతిలో సూచించవచ్చు.

ప్రయోగం యొక్క నమూనా స్థలాన్ని ఈ క్రింది విధంగా వివరించవచ్చు

$ S=\{(H, H),(H, T),(T, 1),(T, 2),(T, 3),(T, 4),(T, 5),(T, 6)\} $

ఇక్కడ $(H, H)$ రెండు విసురుళ్లు తలలో ఫలితం ఇస్తాయని మరియు $(T, i)$ మొదటి విసురుపు తోకలో ఫలితం ఇస్తుందని మరియు సంఖ్య $i$ పాచికపై $i=1,2,3,4,5,6$ కోసం కనిపిస్తుందని సూచిస్తుంది. అందువలన, 8 ప్రాథమిక ఘటనలకు కేటాయించబడిన సంభావ్యతలు

$(H, H),(H, T),(T, 1),(T, 2),(T, 3)(T, 4),(T, 5),(T, 6)$ వరుసగా $\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}$

ఇది Fig 13.2 నుండి స్పష్టంగా ఉంది.

$F$ ‘కనీసం ఒక తోక ఉంది’ అనే ఘటనగా ఉండనివ్వండి మరియు $E$ ‘పాచిక 4 కంటే ఎక్కువ సంఖ్యను చూపుతుంది’ అనే ఘటనగా ఉండనివ్వండి.

అప్పుడు $$ \begin{aligned} & F=\{(H, T),(T, 1),(T, 2),(T, 3),(T, 4),(T, 5),(T, 6)\} \\ & E=\{(T, 5),(T, 6)\} \text{ and } E \cap F=\{(T, 5),(T, 6)\} \end{aligned} $$

ఇప్పుడు $$ \begin{aligned} P(F)= & P(\{(H, T)\})+P(\{(T, 1)\})+P(\{(T, 2)\})+P(\{(T, 3)\}) \\ & +P(\{(T, 4)\})+P(\{(T, 5)\})+P(\{(T, 6)\}) \\ = & \frac{1}{4}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{3}{4} \end{aligned} $$

మరియు $\quad P(E \cap F)=P(\{(T, 5)\})+P(\{(T, 6)\})=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{1}{6}$

అందువల్ల $\quad P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{4}}=\frac{2}{9}$

13.3 సంభావ్యతపై గుణకార సిద్ధాంతం

$E$ మరియు $F$ నమూనా స్థలం $S$ తో అనుబంధించబడిన రెండు ఘటనలుగా ఉండనివ్వండి. స్పష్టంగా, సమితి $E \cap F$ $E$ మరియు $F$ రెండూ సంభవించాయనే ఘటనను సూచిస్తుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, $E \cap F$ ఘటనలు $E$ మరియు $F$ యొక్క ఏకకాల సంభవాన్ని సూచిస్తుంది. ఘటన $E \cap F$ $EF$ గా కూడా వ్రాయబడుతుంది.

చాలా తరచుగా మనం ఘటన EF యొక్క సంభావ్యతను కనుగొనవలసి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, రెండు కార్డులను ఒకదాని తర్వాత ఒకటి గీయడం యొక్క ప్రయోగంలో, ‘రాజు మరియు రాణి’ ఘటన యొక్క సంభావ్యతను కనుగొనడంలో మనం ఆసక్తి కలిగి ఉండవచ్చు. ఘటన EF యొక్క సంభావ్యతను షరతులతో కూడిన సంభావ్యతను ఉపయోగించి క్రింది విధంగా పొందవచ్చు:

$F$ సంభవించింది అని ఇవ్వబడిన ఘటన $E$ యొక్క షరతులతో కూడిన సంభావ్యత $P(E \mid F)$ ద్వారా సూచించబడుతుందని మరియు దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుందని మనకు తెలుసు

$$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}, P(F) \neq 0 $$

ఈ ఫలితం నుండి, మనం వ్రాయవచ్చు

$$ P(E \cap F)=P(F) . P(E \mid F) \tag{1} $$

కూడా, మనకు తెలుసు

$$ \begin{aligned} & P(F \mid E)=\frac{P(F \cap E)}{P(E)}, P(E) \neq 0 \\ & P(F \mid E)=\frac{P(E \cap F)}{P(E)}(\text{ since } E \cap F=F \cap E) \end{aligned} $$

అందువలన, $$ P(E \cap F)=P(E) . P(F \mid E) \tag{2} $$

(1) మరియు (2) లను కలపడం ద్వారా, మనం కనుగొంటాము

$$ \begin{aligned} P(E \cap F) & =P(E) P(F \mid E) \\ & =P(F) P(E \mid F) \text{ provided } P(E) \neq 0 \text{ and } P(F) \neq 0 . \end{aligned} $$

పై ఫలితం సంభావ్యత యొక్క గుణకార నియమం అని పిలువబడుతుంది.

ఇప్పుడు ఒక ఉదాహరణను తీసుకుందాం.

ఉదాహరణ 8 ఒక కలశంలో 10 నల్ల మరియు 5 తెల్ల బంతులు ఉన్నాయి. కలశం నుండి రెండు బంతులు ఒకదాని తర్వాత ఒకటి ప్రత్యామ్నాయం లేకుండా గీయబడతాయి. గీసిన రెండు బంతులు నల్లగా ఉండే సంభావ్యత ఎంత?

పరిష్కారం $E$ మరియు $F$ వరుసగా మొదటి మరియు రెండవ బంతులు గీసినవి నల్లగా ఉన్నాయనే ఘటనలను సూచిస్తాయి. మనం $P(E \cap F)$ లేదా $P(EF)$ ని కనుగొనాలి.

ఇప్పుడు $$ P(E)=P(\text{ black ball in first draw })=\frac{10}{15} $$

మొదటి బంతి గీసినది నల్లగా ఉంది అని కూడా ఇవ్వబడింది, అనగా ఘటన $E$ సంభవించింది, ఇప్పుడు కలశంలో 9 నల్ల బంతులు మరియు ఐదు తెల్ల బంతులు మిగిలి ఉన్నాయి. అందువల్ల, మొదటి డ్రాల్లో బంతి నల్లగా ఉందని ఇవ్వబడినప్పుడు, రెండవ బంతి గీసినది నల్లగా ఉండే సంభావ్యత, $E$ సంభవించిందని ఇవ్వబడిన $F$ యొక్క షరతులతో కూడిన సంభావ్యత తప్ప మరొకటి కాదు.

అనగా $$ P(F \mid E)=\frac{9}{14} $$

సంభావ్యత యొక్క గుణకార నియమం ద్వారా, మనకు ఉంది

$$ \begin{aligned} \mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F}) & =\mathrm{P}(\mathrm{E}) \mathrm{P}(\mathrm{F} \mid \mathrm{E})=\mathrm{P}(\mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{F} \mid \mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{G} \mid \mathrm{EF}) \\ & =\frac{10}{15} \times \frac{9}{14}=\frac{3}{7} \end{aligned} $$

మూడు కంటే ఎక్కువ ఘటనల కోసం సంభావ్యత యొక్క గుణకార నియమం $E, F$ మరియు $G$ నమూనా స్థలం యొక్క మూడు ఘటనలు అయితే, మనకు ఉంటుంది

$$ P(E \cap F \cap G)=P(E) P(F \mid E) P(G \mid(E \cap F))=P(E) P(F \mid E) P(G \mid E F) $$

అదేవిధంగా, సంభావ్యత యొక్క గుణకార నియమాన్ని నాలుగు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఘటనల కోసం విస్తరించవచ్చు.

కింది ఉదాహరణ మూడు ఘటనల కోసం సంభావ్యత యొక్క గుణకార నియమం యొక్క విస్తరణను వివరిస్తుంది.

ఉదాహరణ 9 52 బాగా కలిపిన కార్డుల ప్యాక్ నుండి మూడు కార్డులు వరుసగా, ప్రత్యామ్నాయం లేకుండా గీయబడతాయి. మొదటి రెండు కార్డులు రాజులు మరియు మూడవ కార్డు గీసినది ఏస్ అయ్యే సంభావ్యత ఎంత?

పరిష్కారం