ప్రపంచంలో వికృతమైన గణితానికి శాశ్వతమైన స్థానం లేదు … . గణిత సౌందర్యాన్ని నిర్వచించడం చాలా కష్టంగా ఉండవచ్చు, కానీ ఏ రకమైన అందానికైనా అదే నిజం, అందమైన కవిత ద్వారా మనం ఏమి అర్థం చేసుకుంటామో మనకు తెలియకపోవచ్చు, కానీ మనం దానిని చదివినప్పుడు గుర్తించకుండా ఉండటాన్ని అది నిరోధించదు. - జి. హెచ్. హార్డీ

1.1 పరిచయం

సంబంధాలు మరియు ప్రమేయాల భావన, ప్రదేశం, సహప్రదేశం మరియు వ్యాప్తి పదకోశం XIలో వివిధ రకాల నిర్దిష్ట వాస్తవ విలువ ప్రమేయాలు మరియు వాటి గ్రాఫ్లతో పాటు పరిచయం చేయబడినాయని గుర్తుంచుకోండి. గణితంలో ‘సంబంధం’ అనే పదం యొక్క భావన ఆంగ్ల భాషలోని సంబంధం యొక్క అర్థం నుండి తీసుకోబడింది, దీని ప్రకారం రెండు వస్తువులు లేదా పరిమాణాల మధ్య గుర్తించదగిన కనెక్షన్ లేదా లింక్ ఉంటే అవి సంబంధితంగా ఉంటాయి. A ఒక పాఠశాలలోని XII తరగతి విద్యార్థుల సమితి మరియు B అదే పాఠశాలలోని XI తరగతి విద్యార్థుల సమితి అనుకుందాం. అప్పుడు $A$ నుండి $B$ కు సంబంధాలకు కొన్ని ఉదాహరణలు

(i) $\{(a, b) \in A \times B: \text{a is brother of b}\}$

(ii) $\{(a, b) \in A \times B: \text{a is sister of b}\}$,

లెజ్యూన్ డిరిచ్లెట్ (1805-1859)

(iii) $\{(a, b) \in A \times B : \text{age of a is greater than age of b}\}$,

(iv) $\{(a, b) \in A \times B$ : a పొందిన మొత్తం మార్కులు b పొందిన మొత్తం మార్కుల కంటే తక్కువ $\}$

(v) $\{(a, b) \in A \times B: a$ అదే ప్రాంతంలో నివసిస్తుంది $b\}$. అయినప్పటికీ, దీని నుండి సంగ్రహించి, మనం $A$ నుండి $B$ కు గణితశాస్త్రపరంగా ఒక సంబంధం $R$ ను $A \times B$ యొక్క ఏకపక్ష ఉపసమితిగా నిర్వచిస్తాము.

$(a, b) \in R$ అయితే, $a$ సంబంధం $R$ కింద $b$ కు సంబంధించినది అని మనం చెప్పి $a R b$ అని వ్రాస్తాము. సాధారణంగా, $(a, b) \in R$, $a$ మరియు $b$ మధ్య గుర్తించదగిన కనెక్షన్ లేదా లింక్ ఉందో లేదో మనం పట్టించుకోము. తరగతి XIలో చూసినట్లుగా, ప్రమేయాలు ప్రత్యేక రకమైన సంబంధాలు.

ఈ అధ్యాయంలో, మనం వివిధ రకాల సంబంధాలు మరియు ప్రమేయాలు, ప్రమేయాల కూర్పు, విలోమ ప్రమేయాలు మరియు ద్విపద కార్యకలాపాలను అధ్యయనం చేస్తాము.

1.2 సంబంధాల రకాలు

ఈ విభాగంలో, మనం వివిధ రకాల సంబంధాలను అధ్యయనం చేయాలనుకుంటున్నాము. ఒక సమితి $A$ లోని సంబంధం $A \times A$ యొక్క ఉపసమితి అని మనకు తెలుసు. అందువలన, ఖాళీ సమితి $\phi$ మరియు $A \times A$ రెండు తీవ్ర సంబంధాలు. దృష్టాంతం కోసం, $A=\{1,2,3,4\}$ సమితిలో ఇచ్చిన సంబంధం $R$ ను పరిగణించండి $R=\{(a, b): a-b=10\}$. ఇది ఖాళీ సమితి, ఎందుకంటే ఏ జత $(a, b)$ కూడా పరిస్థితిని సంతృప్తిపరచదు $a-b=10$. అదేవిధంగా, $R^{\prime}=\{(a, b):|a-b| \geq 0\}$ మొత్తం సమితి $A \times A$, ఎందుకంటే A $\times$ A లోని అన్ని జతలు $(a, b)$ సంతృప్తిపరుస్తాయి $|a-b| \geq 0$. ఈ రెండు తీవ్ర ఉదాహరణలు మనల్ని క్రింది నిర్వచనాలకు దారి తీస్తాయి.

నిర్వచనం 1 ఒక సమితి $A$ లోని సంబంధం $R$ ఖాళీ సంబంధం అంటారు, $A$ యొక్క ఏ మూలకం కూడా $A$ యొక్క ఏ మూలకానికి సంబంధించినది కాకపోతే, అనగా, $R=\phi \subset A \times A$.

నిర్వచనం 2 ఒక సమితి $A$ లోని సంబంధం $R$ సార్వత్రిక సంబంధం అంటారు, $A$ యొక్క ప్రతి మూలకం $A$ యొక్క ప్రతి మూలకానికి సంబంధించినది అయితే, అనగా, $R=A \times A$.

ఖాళీ సంబంధం మరియు సార్వత్రిక సంబంధం రెండూ కొన్నిసార్లు తృణమయ సంబంధాలు అని పిలువబడతాయి.

ఉదాహరణ 1 $A$ అనేది అబ్బాయిల పాఠశాలలోని అన్ని విద్యార్థుల సమితి అనుకుందాం. $A$ లో ఇచ్చిన సంబంధం $R$ అనేది $b\}$ యొక్క సోదరి అని చూపండి, ఇది ఖాళీ సంబంధం మరియు $a$ మరియు $b$ ఎత్తుల మధ్య వ్యత్యాసం 3 మీటర్ల కంటే తక్కువ $\}$ అనేది సార్వత్రిక సంబంధం.

పరిష్కారం పాఠశాల అబ్బాయిల పాఠశాల కాబట్టి, పాఠశాలలోని ఏ విద్యార్థి కూడా పాఠశాలలోని ఏ విద్యార్థికి సోదరి కాలేడు. కాబట్టి, $R=\phi$, ఇది $R$ ఖాళీ సంబంధం అని చూపిస్తుంది. పాఠశాలలోని ఏ రెండు విద్యార్థుల ఎత్తుల మధ్య వ్యత్యాసం 3 మీటర్ల కంటే తక్కువగా ఉండాలి అనేది కూడా స్పష్టంగా ఉంది. ఇది $R^{\prime}=A \times A$ సార్వత్రిక సంబంధం అని చూపిస్తుంది.

గమనిక తరగతి XIలో, మనం ఒక సంబంధాన్ని సూచించడానికి రెండు మార్గాలను చూశాము, అవి రాస్టర్ పద్ధతి మరియు సెట్ బిల్డర్ పద్ధతి. అయినప్పటికీ, $\{1,2,3,4\}$ సమితిలో నిర్వచించబడిన సంబంధం $R$ ద్వారా $R$ $=\{(a, b): b=a+1\}$ అనేది చాలా మంది రచయితలచే $a R b$ అయితే మరియు కేవలం $b=a+1$ అయితే అని కూడా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. మనం సౌకర్యవంతంగా ఉన్నప్పుడు ఈ సంజ్ఞామానాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు.

$(a, b) \in R$ అయితే, $a$ అనేది $b$ కు సంబంధించినది అని మనం చెప్తాము మరియు దానిని $a R b$ గా సూచిస్తాము.

గణితంలో ముఖ్యమైన పాత్ర పోషించే అత్యంత ముఖ్యమైన సంబంధాలలో ఒకటి సమానత్వ సంబంధం. సమానత్వ సంబంధాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి, మనం మొదట మూడు రకాల సంబంధాలను పరిగణిస్తాము, అవి పరావర్తన, సౌష్ఠవ మరియు సంక్రమణ.

నిర్వచనం 3 ఒక సమితి $A$ లోని సంబంధం $R$ అంటారు

(i) పరావర్తన, $(a, a) \in R$ అయితే, ప్రతి $a \in A$ కోసం,

(ii) సౌష్ఠవ, $(a_{1}, a_{2}) \in R$ అయితే $(a_{2}, a_{1}) \in R$ అని సూచిస్తుంది, అన్ని $a_{1}, a_{2} \in A$ కోసం.

(iii) సంక్రమణ, $(a_{1}, a_{2}) \in R$ మరియు $(a_{2}, a_{3}) \in R$ అయితే $(a_{1}, a_{3}) \in R$ అని సూచిస్తుంది, అన్ని $a_{1}, a_{2}$, $a_{3} \in A$ కోసం.

నిర్వచనం 4 ఒక సమితి $A$ లోని సంబంధం $R$ సమానత్వ సంబంధం అని చెప్పబడుతుంది, $R$ పరావర్తన, సౌష్ఠవ మరియు సంక్రమణ అయితే.

ఉదాహరణ 2 $T$ ఒక తలంలోని అన్ని త్రిభుజాల సమితి అనుకుందాం, $T$ లోని సంబంధం $R$ ద్వారా ఇవ్వబడింది $R=\{(T_{1}, T_{2}): T_{1}.$ అనేది $.T_{2}\}$ కు సర్వసమానం. $R$ ఒక సమానత్వ సంబంధం అని చూపండి.

పరిష్కారం $R$ పరావర్తన, ఎందుకంటే ప్రతి త్రిభుజం దానికే సర్వసమానం. మరింతగా, $(T_{1}, T_{2}) \in R \Rightarrow T_{1}$ అనేది $T_{2} \Rightarrow T_{2}$ కు సర్వసమానం అనేది $T_{1} \Rightarrow(T_{2}, T_{1}) \in R$ కు సర్వసమానం. కాబట్టి, $R$ సౌష్ఠవం. అంతేకాక, $(T_{1}, T_{2}),(T_{2}, T_{3}) \in R \Rightarrow T_{1}$ అనేది $T_{2}$ కు సర్వసమానం మరియు $T_{2}$ అనేది $T_{3} \Rightarrow T_{1}$ కు సర్వసమానం అనేది $T_{3} \Rightarrow(T_{1}, T_{3}) \in R$ కు సర్వసమానం. అందువల్ల, $R$ ఒక సమానత్వ సంబంధం.

ఉదాహరణ 3 $ Let L$ ఒక తలంలోని అన్ని రేఖల సమితి మరియు $L$ లో నిర్వచించబడిన సంబంధం $R$ అనుకుందాం $R=\{(L_{1}, L_{2}): L_{1}.$ అనేది $.L_{2}\}$ కు లంబంగా ఉంటుంది. $R$ సౌష్ఠవం కానీ పరావర్తనం కాదు లేదా సంక్రమణం కాదు అని చూపండి.

పరిష్కారం $R$ పరావర్తనం కాదు, ఎందుకంటే ఒక రేఖ $L_{1}$ దానికే లంబంగా ఉండదు, అనగా, $(L_{1}, L_{1})$ $\notin R$. R సౌష్ఠవం ఎందుకంటే $(L_{1}, L_{2}) \in R$

$$ \begin{array}{ll} \Rightarrow & L_{1} \text { is perpendicular to } L_{2} \\ \Rightarrow & L_{2} \text { is perpendicular to } L_{1} \\ \Rightarrow & (L_{2}, L_{1}) \in R . \end{array} $$

$R$ సంక్రమణం కాదు. నిజానికి, $L_{1}$ అనేది $L_{2}$ కు లంబంగా ఉంటే మరియు $L_{2}$ అనేది $L_{3}$ కు లంబంగా ఉంటే, అప్పుడు $L_{1}$ ఎప్పుడూ $L_{3}$ కు లంబంగా ఉండదు. వాస్తవానికి, $L_{1}$ అనేది $L_{3}$ కు సమాంతరంగా ఉంటుంది, అనగా, $(L_{1}, L_{2}) \in R,(L_{2}, L_{3}) \in R$ కానీ $(L_{1}, L_{3}) \notin R$.

చిత్రం 1.1

ఉదాహరణ 4 $\{1,2,3\}$ సమితిలో ఇచ్చిన సంబంధం $R$ R=$\{(1,1),(2,2), (3,3),(1,2),(2,3)\}$ అనేది పరావర్తన కానీ సౌష్ఠవం కాదు లేదా సంక్రమణం కాదు అని చూపండి.

పరిష్కారం $R$ పరావర్తన, ఎందుకంటే $(1,1),(2,2)$ మరియు $(3,3)$ లు $R$ లో ఉంటాయి. అలాగే, $R$ సౌష్ఠవం కాదు, ఎందుకంటే $(1,2) \in R$ కానీ $(2,1) \notin R$. అదేవిధంగా, $R$ సంక్రమణం కాదు, ఎందుకంటే $(1,2) \in R$ మరియు $(2,3) \in R$ కానీ $(1,3) \notin R$.

ఉదాహరణ 5 $\mathbf{Z}$ పూర్ణాంకాల సమితిలో ఇచ్చిన సంబంధం $R$ $R=\{(a, b): 2 \text { divides } a-b\}$ అనేది ఒక సమానత్వ సంబంధం అని చూపండి.

పరిష్కారం $R$ పరావర్తన, ఎందుకంటే 2 విభజిస్తుంది $(a-a)$ అన్ని $a \in \mathbf{Z}$ కోసం. మరింతగా, $(a, b) \in R$ అయితే, 2 విభజిస్తుంది $a-b$. అందువల్ల, 2 విభజిస్తుంది $b-a$. కాబట్టి, $(b, a) \in R$, ఇది $R$ సౌష్ఠవం అని చూపిస్తుంది. అదేవిధంగా, $(a, b) \in R$ మరియు $(b, c) \in R$ అయితే, అప్పుడు $a-b$ మరియు $b-c$ లు 2చే భాగించబడతాయి. ఇప్పుడు, $a-c=(a-b)+(b-c)$ సరి సంఖ్య (ఎందుకు?). కాబట్టి, $(a-c)$ 2చే భాగించబడుతుంది. ఇది $R$ సంక్రమణ అని చూపిస్తుంది. అందువలన, $R$ $\mathbf{Z}$ లో ఒక సమానత్వ సంబంధం.

ఉదాహరణ 5లో, గమనించండి, అన్ని సరి పూర్ణాంకాలు సున్నాకు సంబంధించినవి, ఎందుకంటే $(0, \pm 2),(0, \pm 4)$ మొదలైనవి $R$ లో ఉంటాయి మరియు ఏ బేసి పూర్ణాంకం కూడా 0కి సంబంధించినది కాదు, ఎందుకంటే $(0, \pm 1),(0, \pm 3)$ మొదలైనవి $R$ లో ఉండవు. అదేవిధంగా, అన్ని బేసి పూర్ణాంకాలు ఒకదానికి సంబంధించినవి మరియు ఏ సరి పూర్ణాంకం కూడా ఒకదానికి సంబంధించినది కాదు. అందువల్ల, అన్ని సరి పూర్ణాంకాల సమితి $E$ మరియు అన్ని బేసి పూర్ణాంకాల సమితి $O$ లు $\mathbf{Z}$ యొక్క ఉపసమితులు, ఈ క్రింది షరతులను సంతృప్తిపరుస్తాయి:

(i) $E$ యొక్క అన్ని మూలకాలు ఒకదానికొకటి సంబంధించినవి మరియు $O$ యొక్క అన్ని మూలకాలు ఒకదానికొకటి సంబంధించినవి.

(ii) $E$ యొక్క ఏ మూలకం కూడా $O$ యొక్క ఏ మూలకానికి సంబంధించినది కాదు మరియు దీనికి విరుద్ధంగా.

(iii) $E$ మరియు $O$ లు విడివిడిగా ఉంటాయి మరియు $\mathbf{Z}=E \cup O$.

ఉపసమితి $E$ సున్నాను కలిగి ఉన్న సమానత్వ తరగతి అంటారు మరియు దీనిని [0] ద్వారా సూచిస్తారు. అదేవిధంగా, $O$ అనేది 1ని కలిగి ఉన్న సమానత్వ తరగతి మరియు దీనిని [1] ద్వారా సూచిస్తారు. గమనించండి $[0] \neq[1],[0]=[2 r]$ మరియు $[1]=[2 r+1], r \in \mathbf{Z}$. వాస్తవానికి, మనం పైన చూసినది ఒక సమితి $X$ లోని ఏకపక్ష సమానత్వ సంబంధం $R$ కోసం నిజం. ఒక ఏకపక్ష సమితి $X, R$ లో ఇచ్చిన ఏకపక్ష సమానత్వ సంబంధం $R$ $X$ ను పరస్పరం విడివిడిగా ఉండే ఉపసమితులుగా విభజిస్తుంది $A_{i}$ $X$ యొక్క విభజనలు లేదా ఉపవిభజనలు అంటారు, ఇవి సంతృప్తి పరుస్తాయి:

(i) $A_{i}$ యొక్క అన్ని మూలకాలు ఒకదానికొకటి సంబంధించినవి, అన్ని $i$ కోసం.

(ii) $A_{i}$ యొక్క ఏ మూలకం కూడా $A_{j}, i \neq j$ యొక్క ఏ మూలకానికి సంబంధించినది కాదు.

(iii) $\cup A_{j}=X$ మరియు $A_{i} \cap A_{j}=\phi, i \neq j$.

ఉపసమితులు $A_{i}$ లు సమానత్వ తరగతులు అంటారు. పరిస్థితి యొక్క ఆసక్తికరమైన భాగం ఏమిటంటే, మనం రివర్స్ కూడా వెళ్ళవచ్చు. ఉదాహరణకు, $\mathbf{Z}$ సమితి యొక్క ఒక ఉపవిభజనను పరిగణించండి, ఇది మూడు పరస్పరం విడివిడిగా ఉండే ఉపసమితుల ద్వారా ఇవ్వబడింది $A_{1}, A_{2}$ మరియు $A_{3}$ వీటి యూనియన్ $\mathbf{Z}$

$$ \begin{aligned} & A_{1}=\{x \in \mathbf{Z}: x \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-6,-3,0,3,6, \ldots\} \\ & A_{2}=\{x \in \mathbf{Z}: x-1 \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-5,-2,1,4,7, \ldots\} \\ & A_{3}=\{x \in \mathbf{Z}: x-2 \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-4,-1,2,5,8, \ldots\} \end{aligned} $$

$\mathbf{Z}$ లో ఒక సంబంధం $R$ ని నిర్వచించండి ద్వారా ఇవ్వబడింది $R=\{(a, b): 3$ విభజిస్తుంది $a-b\}$. ఉదాహరణ 5లో ఉపయోగించిన వాదనలను అనుసరించి, $R$ ఒక సమానత్వ సంబంధం అని మనం చూపించవచ్చు. అలాగే, $A_{1}$ సున్నాకు సంబంధించిన $\mathbf{Z}$ లోని అన్ని పూర్ణాంకాల సమితితో ఏకీభవిస్తుంది, $A_{2}$ 1కి సంబంధించిన అన్ని పూర్ణాంకాల సమితితో ఏకీభవిస్తుంది మరియు $A_{3}$ 2కి సంబంధించిన $\mathbf{Z}$ లోని అన్ని పూర్ణాంకాల సమితితో ఏకీభవిస్తుంది. అందువలన, $A_{1}=[0], A_{2}=[1]$ మరియు $A_{3}=[2]$. వాస్తవానికి, $A_{1}=[3 r], A_{2}=[3 r+1]$ మరియు $A_{3}=[3 r+2]$, అన్ని $r \in \mathbf{Z}$ కోసం.

ఉదాహరణ 6 $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ సమితిలో నిర్వచించబడిన సంబంధం $R$ అనుకుందాం R=$\{(a, b) :$ a మరియు b రెండూ బేసి లేదా సరి $\}$. $R$ ఒక సమానత్వ సంబంధం అని చూపండి. మరింతగా, ఉపసమితి $\{1,3,5,7\}$ యొక్క అన్ని మూలకాలు ఒకదానికొకటి సంబంధించినవి మరియు ఉపసమితి $\{2,4,6\}$ యొక్క అన్ని మూలకాలు ఒకదానికొకటి సంబంధించినవి, కానీ ఉపసమితి $\{1,3,5,7\}$ యొక్క ఏ మూలకం కూడా ఉపసమితి $\{2,4,6\}$ యొక్క ఏ మూలకానికి సంబంధించినది కాదు అని చూపండి.

పరిష్కారం Aలో ఏదైనా మూలకం $a$ ఇచ్చినట్లయితే, $a$ మరియు $a$ రెండూ బేసి లేదా సరి అయి ఉండాలి, తద్వారా $(a, a) \in R$. మరింతగా, $(a, b) \in R \Rightarrow$ $a$ మరియు $b$ రెండూ బేసి లేదా సరి అయి ఉండాలి $\Rightarrow(b, a) \in R$. అదేవిధంగా, $(a, b) \in R$ మరియు $(b, c) \in R \Rightarrow$ అన్ని మూలకాలు $a, b, c$, ఒకేసారి సరి లేదా బేసి అయి ఉండాలి $\Rightarrow(a, c) \in R$. కాబట్టి, $R$ ఒక సమానత్వ సంబంధం. మరింతగా, $\{1,3,5,7\}$ యొక్క అన్ని మూలకాలు ఒకదానికొకటి సంబంధించినవి, ఎందుకంటే ఈ ఉపసమితి యొక్క అన్ని మూలకాలు బేసి. అదేవిధంగా, ఉపసమితి $\{2,4,6\}$ యొక్క అన్ని మూలకాలు ఒకదానికొకటి సంబంధించినవి, ఎందుకంటే అవన్నీ సరి. అలాగే, ఉపసమితి $\{1,3,5,7\}$ యొక్క ఏ మూలకం కూడా $\{2,4,6\}$ యొక్క ఏ మూలకానికి సంబంధించినది కాదు, ఎందుకంటే $\{1,3,5,7\}$ యొక్క మూలకాలు బేసి, అయితే $\{2,4,6\}$ యొక్క మూలకాలు సరి.

1.3 ప్రమేయాల రకాలు

ప్రమేయం యొక్క భావన తరగతి XIలో గుర్తింపు ప్రమేయం, స్థిర ప్రమేయం, బహుపది ప్రమేయం, అకరణీయ ప్రమేయం, మాడ్యులస్ ప్రమేయం, సిగ్నమ్ ప్రమేయం మొదలైన కొన్ని ప్రత్యేక ప్రమేయాలతో పాటు వాటి గ్రాఫ్లు ఇవ్వబడ్డాయి.

రెండు ప్రమేయాల కూడిక, తీసివేత, గుణకారం మరియు భాగహారం కూడా అధ్యయనం చేయబడ్డాయి. గణితంలో మరియు ఇతర విభాగాలలో ప్రమేయం యొక్క భావన చాలా ముఖ్యమైనది కాబట్టి, మనం ఇంతకు ముందు ముగించిన ప్రమేయం గురించి మన అధ్యయనాన్ని విస్తరించాలనుకుంటున్నాము. ఈ విభాగంలో, మనం వివిధ రకాల ప్రమేయాలను అధ్యయనం చేయాలనుకుంటున్నాము.

క్రింది రేఖాచిత్రాల ద్వారా ఇవ్వబడిన ప్రమేయాలు $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ మరియు $f_{4}$ లను పరిగణించండి.

చిత్రం 1.2లో, మనం గమనించవచ్చు, $X_{1}$ యొక్క విభిన్న మూలకాల ప్రతిబింబాలు ప్రమేయం $f_{1}$ కింద విభిన్నంగా ఉన్నాయి, కానీ $X_{1}$ యొక్క రెండు విభిన్న మూలకాలు 1 మరియు 2 యొక్క ప్రతిబింబం $f_{2}$ కింద ఒకే విధంగా ఉంటుంది, అదే $b$. మరింతగా, $X_{2}$ లో $e$ మరియు $f$ వంటి కొన్ని మూలకాలు ఉన్నాయి, అవి $X_{1}$ యొక్క ఏ మూసకం యొక్క ప్రతిబింబాలు కావు $f_{1}$ కింద, అయితే $X_{3}$ యొక్క అన్ని మూలకాలు $X_{1}$ యొక్క కొన్ని మూలకాల ప్రతిబింబాలు $f_{3}$ కింద. పై పరిశీలనలు క్రింది నిర్వచనాలకు దారి తీస్తాయి:

నిర్వచనం 5 $ A$ ప్రమేయం $f: X \rightarrow Y$ ఒకటి-ఒకటి (లేదా ఇంజెక్టివ్) అని నిర్వచించబడింది, $X$ యొక్క విభిన్న మూలకాల ప్రతిబింబాలు $f$ కింద విభిన్నంగా ఉంటే, అనగా, ప్రతి $x_{1}, x_{2} \in X, f(x_{1})=f(x_{2})$ కోసం $x_{1}=x_{2}$ అని సూచిస్తుంది. లేకపోతే, $f$ అనేది చాలా-ఒకటి అంటారు.

ప్రమేయం $f_{1}$ మరియు $f_{4}$ చిత్రం 1.2 (i) మరియు (iv) లలో ఒకటి-ఒకటి మరియు ప్రమేయం $f_{2}$ మరియు $f_{3}$ చిత్రం 1.2 (ii) మరియ