సాధారణంగా గణితం, ప్రాథమికంగా నమూనాలు మరియు సంబంధాల శాస్త్రం. — ఫెలిక్స్ క్లైన్

2.1 పరిచయం

1వ అధ్యాయంలో, మనం ఒక ఫలనం $f$ యొక్క విలోమం, $f^{-1}$ ద్వారా సూచించబడుతుంది, అది ఉనికిలో ఉంటుంది ఒకవేళ $f$ ఒక-ఒకటి మరియు పైగా అయితే. చాలా ఫలనాలు ఒక-ఒకటి కావు, పైగా కావు లేదా రెండూ కావు మరియు అందువల్ల మనం వాటి విలోమాల గురించి మాట్లాడలేము. 11వ తరగతిలో, మనం త్రికోణమితి ఫలనాలు వాటి సహజ ప్రదేశాలు మరియి వ్యాప్తులపై ఒక-ఒకటి మరియు పైగా కావు మరియు అందువల్ల వాటి విలోమాలు ఉనికిలో లేవు అని అధ్యయనం చేసాము. ఈ అధ్యాయంలో, మనం త్రికోణమితి ఫలనాల ప్రదేశాలు మరియు వ్యాప్తులపై ఉన్న పరిమితులను అధ్యయనం చేస్తాము, ఇవి వాటి విలోమాల ఉనికిని నిర్ధారిస్తాయి మరియు గ్రాఫికల్ ప్రాతినిధ్యాల ద్వారా వాటి ప్రవర్తనను గమనిస్తాము. అదనంగా, కొన్ని ప్రాథమిక లక్షణాలు కూడా చర్చించబడతాయి. విలోమ త్రికోణమితి ఫలనాలు అనేక సమాకలనాలను నిర్వచించడానికి సహాయపడతాయి కాబట్టి కలనంలో ముఖ్యమైన పాత్ర పోషిస్తాయి. విలోమ త్రికోణమితి ఫలనాల భావనలు కూడా విజ్ఞాన శాస్త్రం మరియు ఇంజనీరింగ్లో ఉపయోగించబడతాయి.

ఆర్యభట్ట

($476-550$ A. D.)

2.2 ప్రాథమిక భావనలు

11వ తరగతిలో, మనం త్రికోణమితి ఫలనాలను అధ్యయనం చేసాము, ఇవి ఈ క్రింది విధంగా నిర్వచించబడ్డాయి:

సైన్ ఫలనం, అనగా, సైన్ : $\mathbf{R} \rightarrow[-1,1]$

కొసైన్ ఫలనం, అనగా, $\cos : \mathbf{R} \rightarrow[-1,1]$

టాంజెంట్ ఫలనం, అనగా, $\tan : \mathbf{R}-\{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}$

కోటాంజెంట్ ఫలనం, అనగా, $\cot : \mathbf{R}-\{x: x=n \pi, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}$

సెకంట్ ఫలనం, అనగా, సెక్ : $\mathbf{R}-\{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}-(-1,1)$

కోసెకంట్ ఫలనం, అనగా, $cosec: \mathbf{R}-\{x: x=n \pi, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}-(-1,1)$

మనం అధ్యాయం 1లో కూడా నేర్చుకున్నాము, ఒకవేళ $f: X \rightarrow Y$ అంటే $f(x)=y$ ఒక-ఒకటి మరియు పైగా అయితే, అప్పుడు మనం ఒక ప్రత్యేక ఫలనం $g: Y \rightarrow X$ ని నిర్వచించవచ్చు అంటే $g(y)=x$, ఇక్కడ $x \in X$ మరియు $y=f(x), y \in$ Y. ఇక్కడ, $g=$ యొక్క ప్రదేశం $f$ యొక్క వ్యాప్తి మరియు $g=$ యొక్క వ్యాప్తి $f$ యొక్క ప్రదేశం. ఫలనం $g$ ని $f$ యొక్క విలోమం అంటారు మరియు దీనిని $f^{-1}$ ద్వారా సూచిస్తారు. మరింత, $g$ కూడా ఒక-ఒకటి మరియు పైగా మరియు $g$ యొక్క విలోమం $f$. అందువలన, $g^{-1}=(f^{-1})^{-1}=f$. మనకు కూడా ఉంది

మరియు $$ (f^{-1} \circ f)(x)=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x $$ $$ (f \circ f^{-1})(y)=f(f^{-1}(y))=f(x)=y $$

సైన్ ఫలనం యొక్క ప్రదేశం అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల సమితి మరియు వ్యాప్తి మూసివేసిన అంతరం $[-1,1]$ కాబట్టి. మనం దాని ప్రదేశాన్ని $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ కు పరిమితం చేస్తే, అప్పుడు అది ఒక-ఒకటి మరియు పైగా అవుతుంది మరియు వ్యాప్తి $[-1,1]$. వాస్తవానికి, సైన్ ఫలనం ఏదైనా అంతరాలకు పరిమితం చేయబడితే $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}], [\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], [\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]$ మొదలైనవి, అది ఒక-ఒకటి మరియు దాని వ్యాప్తి $[-1,1]$. అందువలన, మనం సైన్ ఫలనం యొక్క విలోమాన్ని ఈ ప్రతి అంతరాలలో నిర్వచించవచ్చు. మనం సైన్ ఫలనం యొక్క విలోమాన్ని $\sin ^{-1}$ (ఆర్క్ సైన్ ఫలనం) ద్వారా సూచిస్తాము. అందువలన, $\sin ^{-1}$ ఒక ఫలనం, దీని ప్రదేశం $[-1,1]$ మరియు వ్యాప్తి ఏదైనా అంతరాలు $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}],[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ లేదా $[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]$, మరియు మొదలైనవి కావచ్చు. ఇలాంటి ప్రతి అంతరానికి అనుగుణంగా, మనకు $\sin ^{-1}$ ఫలనం యొక్క ఒక శాఖ లభిస్తుంది. వ్యాప్తి $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ఉన్న శాఖను ప్రధాన విలువ శాఖ అంటారు, అయితే ఇతర అంతరాలు వ్యాప్తిగా ఉంటే $\sin ^{-1}$ యొక్క వివిధ శాఖలను ఇస్తాయి. మనం $\sin ^{-1}$ ఫలనాన్ని సూచించినప్పుడు, దానిని ప్రదేశం $[-1,1]$ మరియు వ్యాప్తి $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ఉన్న ఫలనంగా తీసుకుంటాము. మనం వ్రాస్తాము $\sin ^{-1}:[-1,1] \rightarrow[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

విలోమ ఫలనాల నిర్వచనం నుండి, అది అనుసరిస్తుంది $\sin (\sin ^{-1} x)=x$ ఒకవేళ $-1 \leq x \leq 1$ మరియు $\sin ^{-1}(\sin x)=x$ ఒకవేళ $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$. వేరే మాటలలో చెప్పాలంటే, ఒకవేళ $y=\sin ^{-1} x$, అప్పుడు $\sin y=x$.

వ్యాఖ్యలు

(i) మనం అధ్యాయం 1 నుండి తెలుసుకున్నాము, ఒకవేళ $y=f(x)$ ఒక విలోమీకరించదగిన ఫలనం అయితే, అప్పుడు $x=f^{-1}(y)$. అందువలన, $\sin^{-1}$ ఫలనం యొక్క గ్రాఫ్ అసలు ఫలనం యొక్క గ్రాఫ్ నుండి $x$ మరియు $y$ అక్షాలను మార్పిడి చేయడం ద్వారా పొందవచ్చు, అనగా, ఒకవేళ $(a, b)$ సైన్ ఫలనం యొక్క గ్రాఫ్ పై ఒక బిందువు అయితే, అప్పుడు $(b, a)$ సైన్ ఫలనం యొక్క విలోమం యొక్క గ్రాఫ్ పై సంబంధిత బిందువు అవుతుంది. అందువలన, $y=\sin ^{-1} x$ ఫలనం యొక్క గ్రాఫ్ $y=\sin x$ యొక్క గ్రాఫ్ నుండి $x$ మరియు $y$ విలువలను మార్పిడి చేయడం ద్వారా పొందవచ్చు. $y=\sin x$ మరియు $y=\sin ^{-1} x$ యొక్క గ్రాఫ్లు Fig 2.1 (i), (ii), (iii) లో ఇవ్వబడ్డాయి. $y=\sin ^{-1} x$ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క గాఢ భాగం ప్రధాన విలువ శాఖను సూచిస్తుంది.

(ii) ఒక విలోమ ఫలనం యొక్క గ్రాఫ్ అసలు ఫలనం యొక్క సంబంధిత గ్రాఫ్ నుండి దర్పణ ప్రతిబింబం (అనగా, ప్రతిఫలనం) వలె రేఖ $y=x$ వెంబడి పొందవచ్చు అని చూపించవచ్చు. దీనిని $y=\sin x$ మరియు $y=\sin ^{-1} x$ యొక్క గ్రాఫ్లను ఒకే అక్షాలలో (Fig 2.1 (iii)) చూడడం ద్వారా దృశ్యమానం చేయవచ్చు.

సైన్ ఫలనం వలె, కొసైన్ ఫలనం ఒక ఫలనం, దీని ప్రదేశం అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల సమితి మరియు వ్యాప్తి సమితి $[-1,1]$. మనం కొసైన్ ఫలనం యొక్క ప్రదేశాన్ని $[0, \pi]$ కు పరిమితం చేస్తే, అప్పుడు అది ఒక-ఒకటి మరియు పైగా అవుతుంది మరియు వ్యాప్తి $[-1,1]$. వాస్తవానికి, కొసైన్ ఫలనం ఏదైనా అంతరాలకు పరిమితం చేయబడితే $[-\pi, 0],[0, \pi],[\pi, 2 \pi]$ మొదలైనవి, అది ద్విగుణం మరియు వ్యాప్తి $[-1,1]$. అందువలన, మనం కొసైన్ ఫలనం యొక్క విలోమాన్ని ఈ ప్రతి అంతరాలలో నిర్వచించవచ్చు. మనం కొసైన్ ఫలనం యొక్క విలోమాన్ని $\cos ^{-1}$ (ఆర్క్ కొసైన్ ఫలనం) ద్వారా సూచిస్తాము. అందువలన, $\cos ^{-1}$ ఒక ఫలనం, దీని ప్రదేశం $[-1,1]$ మరియు వ్యాప్తి ఏదైనా అంతరాలు $[-\pi, 0],[0, \pi],[\pi, 2 \pi]$ మొదలైనవి కావచ్చు. ఇలాంటి ప్రతి అంతరానికి అనుగుణంగా, మనకు $\cos ^{-1}$ ఫలనం యొక్క ఒక శాఖ లభిస్తుంది. వ్యాప్తి $[0, \pi]$ ఉన్న శాఖను $\cos ^{-1}$ ఫలనం యొక్క ప్రధాన విలువ శాఖ అంటారు. మనం వ్రాస్తాము

$$ \cos ^{-1}:[-1,1] \rightarrow[0, \pi] . $$

$y=\cos ^{-1} x$ ద్వారా ఇవ్వబడిన ఫలనం యొక్క గ్రాఫ్ $y=\sin ^{-1} x$ గురించి చర్చించిన విధంగానే గీయవచ్చు. $y=\sin x$ మరియు $y=\cos ^{-1} x$ యొక్క గ్రాఫ్లు Fig 2.2 (i) మరియు (ii) లో ఇవ్వబడ్డాయి.

Fig. 2.2 (i)

Fig 2.2 (ii)

ఇప్పుడు మనం $\csc^{-1} x$ మరియు $\sec^{-1} x$ గురించి ఈ క్రింది విధంగా చర్చిద్దాం:

అయితే, $cosec x=\frac{1}{\sin x}$, కోసెక్ ఫలనం యొక్క ప్రదేశం సమితి $\{x: x \in \mathbf{R}$ మరియు $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ మరియు వ్యాప్తి సమితి $\{y: y \in \mathbf{R}, y \geq 1$ లేదా $y \leq -1\}$ అనగా, సమితి $\mathbf{R}-(-1,1)$. దీని అర్థం $y=cosec x$ $-1<y<1$ మినహా అన్ని వాస్తవ విలువలను తీసుకుంటుంది మరియు $\pi$ యొక్క పూర్ణాంక గుణిజాలకు నిర్వచించబడదు. మనం కోసెక్ ఫలనం యొక్క ప్రదేశాన్ని $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-\{0\}$ కు పరిమితం చేస్తే, అప్పుడు అది ఒక-ఒకటి మరియు పైగా అవుతుంది మరియు దాని వ్యాప్తి సమితిగా $\mathbf{R}-(-1,1)$. వాస్తవానికి, కోసెక్ ఫలనం ఏదైనా అంతరాలకు పరిమితం చేయబడితే $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}]-\{-\pi\},[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-\{0\}$, $[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]-\{\pi\}$ మొదలైనవి, అది ద్విగుణం మరియు దాని వ్యాప్తి అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల సమితి $\mathbf{R}-(-1,1)$. అందువలన $cosec^{-1}$ ని ఒక ఫలనంగా నిర్వచించవచ్చు, దీని ప్రదేశం $\mathbf{R}-(-1,1)$ మరియు వ్యాప్తి ఏదైనా అంతరాలు $[-\frac{3 \pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]-{-\pi}, [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0}, [\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]-{\pi}$ మొదలైనవి కావచ్చు. వ్యాప్తి $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0}$ కు అనుగుణంగా ఉండే ఫలనాన్ని $cosec^{-1}$ యొక్క ప్రధాన విలువ శాఖ అంటారు. మనకు ఇప్పుడు ప్రధాన శాఖ ఉంది

$$ cosec^{-1}: \mathbf{R}-(-1,1) \rightarrow[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0} $$

$y=\csc x$ మరియు $y=\csc^{-1} x$ యొక్క గ్రాఫ్లు Fig 2.3 (i), (ii) లో ఇవ్వబడ్డాయి.

అలాగే, అయితే $\sec x=\frac{1}{\cos x}$, $y=\sec x$ యొక్క ప్రదేశం సమితి $\mathbf{R}-\left{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}\right}$, $n \in \mathbf{Z}$ మరియు వ్యాప్తి సమితి $\mathbf{R}-(-1,1)$. దీని అర్థం సెక్ (సెకంట్ ఫలనం) $-1<y<1$ మినహా అన్ని వాస్తవ విలువలను తీసుకుంటుంది మరియు $\frac{\pi}{2}$ యొక్క బేసి గుణిజాలకు నిర్వచించబడదు. మనం సెకంట్ ఫలనం యొక్క ప్రదేశాన్ని $[0, \pi]-\left{\frac{\pi}{2}\right}$ కు పరిమితం చేస్తే, అప్పుడు అది ఒక-ఒకటి మరియు పైగా అవుతుంది మరియు దాని వ్యాప్తి సమితిగా $\mathbf{R}-(-1,1)$. వాస్తవానికి, సెకంట్ ఫలనం ఏదైనా అంతరాలకు పరిమితం చేయబడితే $[-\pi, 0]-{\frac{-\pi}{2}},[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}},[\pi, 2 \pi]-{\frac{3 \pi}{2}}$ మొదలైనవి, అది ద్విగుణం మరియు దాని వ్యాప్తి $\mathbf{R}-{-1,1}$. అందువలన $\sec ^{-1}$ ని ఒక ఫలనంగా నిర్వచించవచ్చు, దీని ప్రదేశం $\mathbf{R}-(-1,1)$ మరియు వ్యాప్తి ఏదైనా అంతరాలు $[-\pi, 0]-{\frac{-\pi}{2}},[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}},[\pi, 2 \pi]-{\frac{3 \pi}{2}}$ మొదలైనవి కావచ్చు. ఈ ప్రతి అంతరాలకు అనుగుణంగా, మనకు $sec^{-1}$ ఫలనం యొక్క వివిధ శాఖలు లభిస్తాయి. వ్యాప్తి $[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}}$ ఉన్న శాఖను $sec^{-1}$ ఫలనం యొక్క ప్రధాన విలువ శాఖ అంటారు. మనకు ఇప్పుడు ఉంది

$$ \sec ^{-1}: \mathbf{R}-(-1,1) \rightarrow[0, \pi]-\{\frac{\pi}{2}\} $$

$y=\sec x$ మరియు $y=\sec^{-1} x$ ఫలనాల గ్రాఫ్లు Fig 2.4 (i), (ii) లో ఇవ్వబడ్డాయి.

చివరగా, ఇప్పుడు మనం $\tan ^{-1}$ మరియు $\cot ^{-1}$ గురించి చర్చిద్దాం

మనకు తెలుసు టాన్ ఫలనం (టాంజెంట్ ఫలనం) యొక్క ప్రదేశం సమితి $\{x: x \in \mathbf{R}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\}$ మరియు వ్యాప్తి $\mathbf{R}$. దీని అర్థం ఫలనం $\frac{\pi}{2}$ యొక్క బేసి గుణిజాలకు నిర్వచించబడదు. మనం టాంజెంట్ ఫలనం యొక్క ప్రదేశాన్ని పరిమితం చేస్తే $(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, అప్పుడు అది ఒక-ఒకటి మరియు పైగా అవుతుంది మరియు దాని వ్యాప్తి $\mathbf{R}$. వాస్తవానికి, టాంజెంట్ ఫలనం ఏదైనా అంతరాలకు పరిమితం చేయబడితే $(\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}),(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}),(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})$ మొదలైనవి, అది ద్విగుణం మరియు దాని వ్యాప్తి $\mathbf{R}$. అందువలన $\tan ^{-1}$ ని ఒక ఫలనంగా నిర్వచించవచ్చు, దీని ప్రదేశం $\mathbf{R}$ మరియు వ్యాప్తి ఏదైనా అంతరాలు $(\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}),(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}),(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})$ మరియు మొదలైనవి కావచ్చు. ఈ అంతరాలు $\tan ^{-1}$ ఫలనం యొక్క వివిధ శాఖలను ఇస్తాయి. వ్యాప్తి $(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ ఉన్న శాఖను $\tan ^{-1}$ ఫలనం యొక్క ప్రధాన విలువ శాఖ అంటారు. మనకు ఇప్పుడు ఉంది

$$ \tan ^{-1}: \mathbf{R} \rightarrow(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $$

$y=\tan x$ మరియు $y=\arctan x$ ఫలనం యొక్క గ్రాఫ్లు Fig 2.5 (i), (ii) లో ఇవ్వబడ్డాయి.

మనకు తెలుసు కోట్ ఫలనం (కోటాంజెంట్ ఫలనం) యొక్క ప్రదేశం సమితి $\{x: x \in \mathbf{R}$ మరియు $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ మరియు వ్యాప్తి $\mathbf{R}$. దీని అర్థం కోటాంజెంట్ ఫలనం $\pi$ యొక్క పూర్ణాంక గుణిజాలకు నిర్వచించబడదు. మనం కోటాంజెంట్ ఫలనం యొక్క ప్రదేశాన్ని $(0, \pi)$ కు పరిమితం చేస్తే, అప్పుడు అది ద్విగుణం మరియు వ్యాప్తి $\mathbf{R}$. వాస్తవానికి, కోటాంజెంట్ ఫలనం ఏదైనా అంతరాలకు పరిమితం చేయబడితే $(-\pi, 0),(0, \pi),(\pi, 2 \pi)$ మొదలైనవి, అది ద్విగుణం మరియు దాని వ్యాప్తి $\mathbf{R}$. అందువలన $\cot ^{-1}$ ని ఒక ఫలనంగా నిర్వచించవచ్చు, దీని ప్రదేశం $\mathbf{R}$ మరియు వ్యాప్తి ఏదైనా అంతరాలు $(-\pi, 0),(0, \pi),(\pi, 2 \pi)$ మొదలైనవి కావచ్చు. ఈ అంతరాలు $\cot ^{-1}$ ఫలనం యొక్క వివిధ శాఖలను ఇస్తాయి. వ్యాప్తి $(0, \pi)$ ఉన్న ఫలనాన్ని $\cot ^{-1}$ ఫలనం యొక్క ప్రధాన విలువ శాఖ అంటారు. మనకు ఇప్పుడు ఉంది

$$ \cot ^{-1}: \mathbf{R} \rightarrow(0, \pi) $$

$y=\cot x$ మరియు $y=\cot^{-1} x$ యొక్క గ్రాఫ్లు Fig 2.6 (i), (ii) లో ఇవ్వబడ్డాయి.

ఈ క్రింది పట్టిక విలోమ త్రికోణమితి ఫలనం (ప్రధాన విలువ శాఖలు) వాటి ప్రదేశాలు మరియు వ్యాప్తులతో పాటు ఇస్తుంది.

గమనిక

1. $\sin ^{-1} x$ తో $(\sin x)^{-1}$ గందరగోళం చెందకూడదు. వాస్తవానికి $(\sin x)^{-1}=\frac{1}{\sin x}$ మరియు అదేవిధంగా ఇతర త్రికోణమితి ఫలనాలకు.

2. ఎప్పుడైతే విలోమ త్రికోణమితి ఫలనాల యొక్క ఏ శాఖ ప్రస్తావించబడదో, మనం ఆ ఫలనం యొక్క ప్రధాన విలువ శాఖను అర్థం చేసుకుంటాము.

3. విలోమ త్రికోణమితి ఫలనాల యొక్క ఒక విలువ, ఇది ప్రధాన శాఖ యొక్క వ్యాప్తిలో ఉంటుంది, దానిని ఆ విలోమ త్రికోణమితి ఫలనాల యొక్క ప్రధాన విలువ అంటారు.

ఇప్పుడు మనం కొన్ని ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాం:

ఉదాహరణ 1 $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$ యొక్క ప్రధాన విలువను కనుగొనండి.

పరిష్కారం $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})=y$ అనుకుందాం. అప్పుడు, $\sin y=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

మనకు తెలుసు $\sin ^{-1}$ యొక్క ప్రధాన విలువ శాఖ యొక్క వ్యాప్తి $\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$ మరియు $\sin (\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}$. అందువలన, $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$ యొక్క ప్రధాన విలువ $\frac{\pi}{4}$

ఉదాహరణ 2 $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})$ యొక్క ప్రధాన విలువను కనుగొనండి

పరిష్కారం $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})=y$ అనుకుందాం. అప్పుడు,

$$ \cot y=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\cot (\frac{\pi}{3})=\cot (\pi-\frac{\pi}{3})=\cot (\frac{2 \pi}{3}) $$

మనకు తెలుసు $\cot ^{-1}$ యొక్క ప్రధాన విలువ శాఖ యొక్క వ్యాప్తి $(0, \pi)$ మరియు $\cot (\frac{2 \pi}{3})=\frac{-1}{\sqrt{3}}$. అందువలన, $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})$ యొక్క ప్రధాన విలువ $\frac{2 \pi}{3}$

2.3 విలోమ త్రికోణమితి ఫలనాల లక్షణాలు

ఈ విభాగంలో, మనం విలోమ త్రికోణమితి ఫలనాల యొక్క కొన్ని ముఖ్యమైన లక్షణాలను నిరూపిస్తాము. ఇక్కడ ఈ ఫలితాలు సంబంధిత విలోమ త్రికోణమితి ఫలనాల ప్రధాన విలువ శాఖలలో చెల్లుబాటు అవుతాయి మరియు అవి నిర్వచించబడిన ప్రతిచోటా చెల్లుబాటు అవుతాయి అని ప్రస్తావించవచ్చు. కొన్ని ఫలితాలు విలోమ త్రికోణమితి ఫలనాల ప్రదేశాల యొక్క అన్ని విలువలకు చెల్లుబాటు అవకాదు. వాస్తవానికి, అవి కేవలం $x$ యొక్క కొన్ని విలువలకు మాత్రమే చెల్లుబాటు అవుతాయి, వీటికి విలోమ త్రికోణమితి ఫలనాలు నిర్వచించబడతాయి. మనం ఈ పాఠ్యపుస్తకం యొక్క పరిధికి మించినది కాబట్టి ప్రదేశంలో $x$ యొక్క ఈ విలువల వివరాలలోకి వెళ్ళము.

మనం గుర్తుచేసుకుందాం, ఒకవేళ $y=\sin ^{-1} x$, అప్పుడు $x=\sin y$ మరియు ఒకవేళ $x=\sin y$, అప్పుడు $y=\sin ^{-1} x$. ఇది సమానం

$$ \sin (\sin ^{-1} x)=x, x \in[-1,1] \text { and } \sin ^{-1}(\sin x)=x, x \in[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $$

ప్రదేశంలో తగిన విలువలకు, ఇదే విధమైన ఫలితాలు మిగిలిన త్రికోణమితి ఫలనాలకు అనుసరిస్తాయి. ఇప్పుడు మనం కొన్ని ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాం.

నిరూపించండి

(i) $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \sin ^{-1} x,-\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

(ii) $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \cos ^{-1} x, 0 \leq x \leq 1$

పరిష్కారం

(i) $x=\sin \theta$ అనుకుందాం. అప్పుడు $\sin ^{-1} x=\theta$ కోసం $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$. మనకు ఉంది

$$ \begin{alignedat} \sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}}) & =\sin ^{-1}(2 \sin \theta \sqrt{1-\sin ^{2} \theta}) \\ & =\sin ^{-1}(2 \sin \theta \cos \theta)=\sin ^{-1}(\sin 2 \theta)=2 \theta \quad \text{for } \theta \in \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] \\ & = 2 \sin^{-1} x \end{aligned} $$

(ii) $x=\cos \theta$ తీసుకోండి, అప్పుడు పైన ఉన్నట్లుగా కొనసాగితే, మనకు లభిస్తుంది, $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \cos ^{-1} x$

ఉదాహరణ 4 $\tan ^{-1} \frac{\cos x}{1-\sin x},-\frac{3 \pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$ ని సరళమైన రూపంలో వ్యక్తపరచండి.

పరిష్కారం మనం వ్రాస్తాము

$$ \begin{alignedat} \tan ^{-1}(\frac{\cos x}{1-\sin x}) & =\tan ^{-1}[\frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}-\sin ^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}+\sin ^{2} \frac{x}{2}-2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}] \\ & =\tan ^{-1}[\frac{(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2})^{2}}] \\ & =\tan ^{-1}[\frac{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}]=\tan ^{-1}[\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}}] \\ & =\tan ^{-1}[\tan (\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2})]=\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2} + n\pi \text{ for some integer } n \end{aligned} $$

ఉదాహరణ 5 $\cot ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}), x>1$ ని సరళమైన రూపంలో వ్రాయండి.

పరిష్కారం $x=\sec \theta$ అనుకుందాం, అప్పుడు $\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}=\tan \theta$

అందువలన, $\cot ^{-1} \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}=\cot ^{-1}(\cot \theta)=\theta=\sec ^{-1} x$, ఇది సరళమైన రూపం.

వివిధ ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 6 $\sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5})$ విలువను కనుగొనండి

మనకు తెలుసు $\sin ^{-1}(\sin x)=x$. అందువలన, $\sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5})=\frac{3 \pi}{5}$

కానీ $\quad \frac{3 \pi}{5} \notin[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, ఇది $\sin ^{-1} x$ యొక్క ప్రధాన శాఖ

అయితే $\quad \sin (\frac{3 \pi}{5})=\sin (\pi-\frac{3 \pi}{5})=\sin \frac{2 \pi}{5}$ మరియు $\frac{2 \pi}{5} \in[0, \frac{\pi}{2}]$

అందువలన $\quad \sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5})=\sin ^{-1}(\sin \frac{2 \pi}{5})=\frac{2 \pi}{5}$

సారాంశం

విలోమ త్రికోణమితి ఫలనాల ప్రదేశాలు మరియు వ్యాప్తులు (ప్రధాన విలువ శాఖలు) ఈ క్రింది పట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి: