గణితం యొక్క సారాంశం దాని స్వేచ్ఛలో ఉంది. - కాంటర్

3.1 పరిచయం

మాత్రికల పరిజ్ఞానం గణితశాస్త్రంలోని వివిధ శాఖలకు అవసరం. మాత్రికలు గణితంలోని అత్యంత శక్తివంతమైన సాధనాలలో ఒకటి. ఈ గణిత సాధనం మన పనిని ఇతర నేరుగా పద్ధతులతో పోల్చినప్పుడు చాలా వరకు సులభతరం చేస్తుంది. మాత్రికల భావన యొక్క పరిణామం సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి సంక్షిప్త మరియు సరళ పద్ధతులను పొందే ప్రయత్నం యొక్క ఫలితం. మాత్రికలు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలోని గుణకాలను సూచించడానికి మాత్రమే ఉపయోగించబడవు, కానీ మాత్రికల యుటిలిటీ ఆ ఉపయోగాన్ని మించిపోయింది. మాత్రిక సంజ్ఞామానం మరియు కార్యకలాపాలు వ్యక్తిగత కంప్యూటర్ల కోసం ఎలక్ట్రానిక్ స్ప్రెడ్షీట్ ప్రోగ్రామ్లలో ఉపయోగించబడతాయి, ఇవి బడ్జెట్, అమ్మకాల అంచనా, ఖర్చు అంచనా, ప్రయోగం యొక్క ఫలితాలను విశ్లేషించడం వంటి వ్యాపారం మరియు విజ్ఞానం యొక్క వివిధ ప్రాంతాలలో ఉపయోగించబడతాయి. అలాగే, విస్తరణ, భ్రమణం మరియు తలం ద్వారా ప్రతిబింబం వంటి అనేక భౌతిక కార్యకలాపాలను మాత్రికల ద్వారా గణితశాస్త్రపరంగా సూచించవచ్చు. మాత్రికలు గూఢ లిపి శాస్త్రంలో కూడా ఉపయోగించబడతాయి. ఈ గణిత సాధనం కొన్ని శాస్త్ర శాఖలలో మాత్రమే కాకుండా, జన్యుశాస్త్రం, ఆర్థిక శాస్త్రం, సామాజిక శాస్త్రం, ఆధునిక మనోవిజ్ఞానం మరియు పారిశ్రామిక నిర్వహణలో కూడా ఉపయోగించబడుతుంది.

ఈ అధ్యాయంలో, మాత్రిక మరియు మాత్రిక బీజగణితం యొక్క ప్రాథమికాంశాలతో పరిచయం కలిగి ఉండటం ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది.

3.2 మాత్రిక

రాధ వద్ద 15 నోట్బుక్లు ఉన్నాయనే సమాచారాన్ని వ్యక్తపరచాలనుకుంటున్నామని అనుకుందాం. మనం దానిని [15]గా వ్యక్తపరచవచ్చు, [ ] లోపల ఉన్న సంఖ్య రాధ వద్ద ఉన్న నోట్బుక్ల సంఖ్య అని అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా. ఇప్పుడు, రాధ వద్ద 15 నోట్బుక్లు మరియు 6 పెన్నులు ఉన్నాయని వ్యక్తపరచాల్సి వస్తే. మనం దానిని $\begin{bmatrix}15 & 6\end{bmatrix}$గా వ్యక్తపరచవచ్చు, [ ] లోపల మొదటి సంఖ్య నోట్బుక్ల సంఖ్య అయితే రెండవది రాధ వద్ద ఉన్న పెన్నుల సంఖ్య అని అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా. ఇప్పుడు రాధ మరియు ఆమె ఇద్దరు స్నేహితులు ఫౌజియా మరియు సిమ్రాన్ వద్ద నోట్బుక్లు మరియు పెన్నుల స్వాధీనత గురించిన సమాచారాన్ని వ్యక్తపరచాలనుకుంటున్నామని అనుకుందాం, అది ఈ క్రింది విధంగా ఉంది:

$$ \begin{array}{llllll} \text { Radha } & \text { has } & 15 & \text { notebooks } & \text { and } & 6 \text { pens, } \\ \text { Fauzia } & \text { has } & 10 & \text { notebooks } & \text { and } & 2 \text { pens, } \\ \text { Simran } & \text { has } & 13 & \text { notebooks } & \text { and } & 5 \text { pens. } \end{array} $$

ఇప్పుడు దీనిని టేబులర్ రూపంలో ఈ క్రింది విధంగా అమర్చవచ్చు:

$$ \begin{array}{lcc} & \text { Notebooks } & \text { Pens } \\ \text { Radha } & 15 & 6 \\ \text { Fauzia } & 10 & 2 \\ \text { Simran } & 13 & 5 \end{array} $$

లేదా

దీనిని ఈ క్రింది విధంగా వ్యక్తపరచవచ్చు:

మొదటి అమరికలో, మొదటి నిలువు వరుసలోని ఎంట్రీలు వరుసగా రాధ, ఫౌజియా మరియు సిమ్రాన్ వద్ద ఉన్న నోట్బుక్ల సంఖ్యను సూచిస్తాయి మరియు రెండవ నిలువు వరుసలోని ఎంట్రీలు వరుసగా రాధ, ఫౌజియా మరియు సిమ్రాన్ వద్ద ఉన్న పెన్నుల సంఖ్యను సూచిస్తాయి. అదేవిధంగా, రెండవ అమరికలో, మొదటి అడ్డు వరుసలోని ఎంట్రీలు వరుసగా రాధ, ఫౌజియా మరియు సిమ్రాన్ వద్ద ఉన్న నోట్బుక్ల సంఖ్యను సూచిస్తాయి. రెండవ అడ్డు వరుసలోని ఎంట్రీలు వరుసగా రాధ, ఫౌజియా మరియు సిమ్రాన్ వద్ద ఉన్న పెన్నుల సంఖ్యను సూచిస్తాయి. పై రకమైన అమరిక లేదా ప్రదర్శనను మాత్రిక అంటారు. అధికారికంగా, మనం మాత్రికను ఈ క్రింది విధంగా నిర్వచిస్తాము:

నిర్వచనం 1 మాత్రిక అనేది సంఖ్యలు లేదా ఫంక్షన్ల యొక్క క్రమబద్ధమైన దీర్ఘచతురస్రాకార bmatrix. సంఖ్యలు లేదా ఫంక్షన్లను మాత్రిక యొక్క మూలకాలు లేదా ఎంట్రీలు అంటారు.

మనం మాత్రికలను పెద్ద అక్షరాలతో సూచిస్తాము. కింది వాటిలో కొన్ని మాత్రికల ఉదాహరణలు:

$$ A=\begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 0 & \sqrt{5} \\ 3 & 6 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 2+i & 3 & -\frac{1}{2} \\ 3.5 & -1 & 2 \\ \sqrt{3} & 5 & \frac{5}{7} \end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix} 1+x & x^{3} & 3 \\ \cos x & \sin x+2 & \tan x \end{bmatrix} $$

పై ఉదాహరణలలో, మూలకాల యొక్క సమాంతర రేఖలను మాత్రిక యొక్క అడ్డు వరుసలు అని మరియు మూలకాల యొక్క నిలువు రేఖలను మాత్రిక యొక్క నిలువు వరుసలు అని అంటారు. అందువలన $A$కి 3 అడ్డు వరుసలు మరియు 2 నిలువు వరుసలు ఉన్నాయి, $B$కి 3 అడ్డు వరుసలు మరియు 3 నిలువు వరుసలు ఉన్నాయి, అయితే $C$కి 2 అడ్డు వరుసలు మరియు 3 నిలువు వరుసలు ఉన్నాయి.

3.2.1 మాత్రిక యొక్క క్రమం

$m$ అడ్డు వరుసలు మరియు $n$ నిలువు వరుసలను కలిగి ఉన్న మాత్రికను $m \times n$ క్రమం యొక్క మాత్రిక లేదా కేవలం $m \times n$ మాత్రిక ($m$ by $n$ మాత్రికగా చదవండి) అంటారు. కాబట్టి మాత్రికల పై ఉదాహరణలను సూచిస్తూ, మనకు $A$ $3 \times 2$ మాత్రికగా, $B$ $3 \times 3$ మాత్రికగా మరియు $C$ $2 \times 3$ మాత్రికగా ఉన్నాయి. మనం గమనించేది $A$కి $3 \times 2=6$ మూలకాలు ఉన్నాయి, $B$ మరియు $C$కి వరుసగా 9 మరియు 6 మూలకాలు ఉన్నాయి.

సాధారణంగా, ఒక $m \times n$ మాత్రికకు ఈ క్రింది దీర్ఘచతురస్రాకార bmatrix ఉంటుంది:

$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & a_{i3} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} _{m \times n} $

లేదా $ A=[a_{i j}]_{m \times n}, 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n \quad i, j \in N $

అందువలన $i^{\text {th }}$ వ అడ్డు వరుస $a_{i 1}, a_{i 2}, a_{i 3}, \ldots, a_{i n}$ మూలకాలను కలిగి ఉంటుంది, అయితే $j^{\text {th }}$ వ నిలువు వరుస $a_{1 j}, a_{2 j}, a_{3 j}, \ldots, a_{m j}$ మూలకాలను కలిగి ఉంటుంది,

సాధారణంగా $a_{i j}$, $i^{\text {th }}$ వ అడ్డు వరుస మరియు $j^{\text {th }}$ వ నిలువు వరుసలో ఉన్న మూలకం. మనం దానిని $(i, j)^{\text {th }}$ యొక్క $A$ మూలకం అని కూడా పిలుస్తాము. ఒక $m \times n$ మాత్రికలోని మూలకాల సంఖ్య $m n$కి సమానంగా ఉంటుంది.

గమనిక ఈ అధ్యాయంలో

1. మనం ఈ సంజ్ఞామానాన్ని అనుసరిస్తాము, అనగా $A=[a_{i j}]_{m \times n}$ $A$ ఒక $m \times n$ క్రమం యొక్క మాత్రిక అని సూచించడానికి.

2. మనం వాస్తవ విలువలను తీసుకునే వాస్తవ సంఖ్యలు లేదా ఫంక్షన్లను మూలకాలుగా కలిగి ఉన్న మాత్రికలను మాత్రమే పరిగణిస్తాము.

మనం ఏదైనా బిందువు $(x, y)$ని మాత్రిక (నిలువు వరుస లేదా అడ్డు వరుస)గా $\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$ (లేదా $.[x, y]$)గా కూడా సూచించవచ్చు. ఉదాహరణకు బిందువు $P(0,1)$ను మాత్రిక ప్రాతినిధ్యంగా ఈ క్రింది విధంగా ఇవ్వవచ్చు

$$ \mathbf{P}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \text { or }\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} $$

ఈ విధంగా మనం ఒక సమతలంలో ఒక మూసిన సరళరేఖాకృతి యొక్క శీర్షాలను మాత్రిక రూపంలో కూడా వ్యక్తపరచగలమని గమనించండి. ఉదాహరణకు, శీర్షాలు A $(1,0), B(3,2), C(1,3), D(-1,2)$తో కూడిన చతుర్భుజం $A B C D$ని పరిగణించండి.

ఇప్పుడు, చతుర్భుజం $ABCD$ని మాత్రిక రూపంలో, ఈ క్రింది విధంగా సూచించవచ్చు

అందువలన, మాత్రికలు సమతలంలోని రేఖాగణిత ఆకృతుల శీర్షాల ప్రాతినిధ్యంగా ఉపయోగించబడతాయి.

ఇప్పుడు, కొన్ని ఉదాహరణలను పరిగణించండి.

ఉదాహరణ 1 I, II మరియు III అనే మూడు కర్మాగారాలలో పురుష మరియు మహిళా కార్మికుల సంఖ్య గురించిన కింది సమాచారాన్ని పరిగణించండి

పై సమాచారాన్ని $3 \times 2$ మాత్రిక రూపంలో సూచించండి. మూడవ అడ్డు వరుస మరియు రెండవ నిలువు వరుసలోని ఎంట్రీ ఏమి సూచిస్తుంది?

సాధన సమాచారం $3 \times 2$ మాత్రిక రూపంలో ఈ క్రింది విధంగా సూచించబడింది:

$$ A=\begin{bmatrix} 30 & 25 \\ 25 & 31 \\ 27 & 26 \end{bmatrix} $$

మూడవ అడ్డు వరుస మరియు రెండవ నిలువు వరుసలోని ఎంట్రీ కర్మాగారం IIIలోని మహిళా కార్మికుల సంఖ్యను సూచిస్తుంది.

ఉదాహరణ 2 ఒక మాత్రికకు 8 మూలకాలు ఉంటే, దానికి ఏమి సాధ్యమయ్యే క్రమాలు ఉంటాయి?

సాధన ఒక మాత్రిక $m \times n$ క్రమంలో ఉంటే, దానికి $m n$ మూలకాలు ఉంటాయని మనకు తెలుసు. అందువలన, 8 మూలకాలతో కూడిన మాత్రిక యొక్క అన్ని సాధ్యమయ్యే క్రమాలను కనుగొనడానికి, మనం లబ్ధం 8 అయ్యే సహజ సంఖ్యల యొక్క అన్ని క్రమబద్ధ జతలను కనుగొంటాము.

అందువలన, అన్ని సాధ్యమయ్యే క్రమబద్ధ జతలు $(1,8),(8,1),(4,2),(2,4)$ అందువలన, సాధ్యమయ్యే క్రమాలు $1 \times 8,8 \times 1,4 \times 2,2 \times 4$

ఉదాహరణ 3 $3 \times 2$ మాత్రికను నిర్మించండి, దీని మూలకాలు $a_{i j}=\frac{1}{2}|i-3 j|$ ద్వారా ఇవ్వబడ్డాయి.

సాధన సాధారణంగా ఒక $3 \times 2$ మాత్రిక $A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{bmatrix}$ ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది.

ఇప్పుడు $\quad$ $a_{i j}=\frac{1}{2}|i-3 j|, i=1,2,3 \text { and } j=1,2$

అందువలన $\quad a_{11}=\frac{1}{2}|1-3 \times 1|=1 \quad a_{12}=\frac{1}{2}|1-3 \times 2|=\frac{5}{2}$

$$ \begin{matrix} a_{21}= \frac{1}{2}|2-3 \times 1|=\frac{1}{2} & a_{22}=\frac{1}{2}|2-3 \times 2|=2 \\ \\ a_{31} =\frac{1}{2}|3-3 \times 1|=0 & a_{32} =\frac{1}{2}|3-3 \times 2|=\frac{3}{2} \end{matrix} $$

అందువలన అవసరమైన మాత్రిక $A=\begin{bmatrix}1 & \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{3}{2}\end{bmatrix}$ ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది.

3.3 మాత్రికల రకాలు

ఈ విభాగంలో, మనం వివిధ రకాల మాత్రికలను చర్చిస్తాము.

(i) నిలువు వరుస మాత్రిక

ఒక మాత్రికకు ఒకే ఒక నిలువు వరుస ఉంటే దానిని నిలువు వరుస మాత్రిక అంటారు.

ఉదాహరణకు, $A=\begin{bmatrix}{c}0 \\ \sqrt{3} \\ -1 \\ 1 / 2\end{bmatrix}$ ఒక $4 \times 1$ క్రమం యొక్క నిలువు వరుస మాత్రిక.

సాధారణంగా, $A=[a_{i j}]_{m \times 1}$ ఒక $m \times 1$ క్రమం యొక్క నిలువు వరుస మాత్రిక.

(ii) అడ్డు వరుస మాత్రిక

ఒక మాత్రికకు ఒకే ఒక అడ్డు వరుస ఉంటే దానిని అడ్డు వరుస మాత్రిక అంటారు.

ఉదాహరణకు, $B=[\begin{bmatrix}-\frac{1}{2} & \sqrt{5} & 2 & 3\end{bmatrix}]_{1 \times 4}$ ఒక అడ్డు వరుస మాత్రిక.

సాధారణంగా, $B=[b_{i j}]_{1 \times n}$ ఒక $1 \times n$ క్రమం యొక్క అడ్డు వరుస మాత్రిక.

(iii) చతురస్ర మాత్రిక

అడ్డు వరుసల సంఖ్య నిలువు వరుసల సంఖ్యకు సమానంగా ఉండే మాత్రికను చతురస్ర మాత్రిక అంటారు. అందువలన ఒక $m \times n$ మాత్రిక $m=n$ అయితే చతురస్ర మాత్రిక అంటారు మరియు ‘$n$’ క్రమం యొక్క చతురస్ర మాత్రికగా పిలువబడుతుంది.

ఉదాహరణకు $A=\begin{bmatrix}3 & -1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 3 \sqrt{2} & 1 \\ 4 & 3 & -1\end{bmatrix}$ ఒక 3 క్రమం యొక్క చతురస్ర మాత్రిక.

సాధారణంగా, $A=[a_{i j}]_{m \times m}$ ఒక $m$ క్రమం యొక్క చతురస్ర మాత్రిక.

గమనిక $A=[a_{i j}]$ ఒక $n$ క్రమం యొక్క చతురస్ర మాత్రిక అయితే, మూలకాలు (ఎంట్రీలు) $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{n n}$

మాత్రిక A యొక్క వికర్ణాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. అందువలన, $A=\begin{bmatrix}1 & -3 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 3 & 5 & 6\end{bmatrix}$ అయితే.

అప్పుడు A యొక్క వికర్ణం యొక్క మూలకాలు 1, 4, 6.

(iv) వికర్ణ మాత్రిక

ఒక చతురస్ర మాత్రిక $B=[b_{ij}]_ {m\times m} $ యొక్క అన్ని అవికర్ణ మూలకాలు సున్నా అయితే దానిని వికర్ణ మాత్రిక అంటారు, అనగా ఒక మాత్రిక $B=[b_{ij}]_ {m\times m} $ $b_{i j}=0$ అయితే, $i \neq j$ అయినప్పుడు వికర్ణ మాత్రిక అంటారు.

ఉదాహరణకు, $A=[4], B=\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix}-1.1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}$, వరుసగా 1,2,3 క్రమాల యొక్క వికర్ణ మాత్రికలు.

(v) అదిశ మాత్రిక

ఒక వికర్ణ మాత్రిక యొక్క వికర్ణ మూలకాలు సమానంగా ఉంటే దానిని అదిశ మాత్రిక అంటారు, అనగా, ఒక చతురస్ర మాత్రిక $B=[b_{i j}]_{n \times n}$ ఈ క్రింది విధంగా ఉంటే అదిశ మాత్రిక అంటారు

$$ \begin{aligned} & b_{i j}=0, \quad \text { when } i \neq j \\ & b_{i j}=k, \quad \text { when } i=j, \text { for some constant } k . \end{aligned} $$

ఉదాహరణకు $A=[3], \quad B=[\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}], \quad C=\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3}\end{bmatrix}$

వరుసగా 1,2 మరియు 3 క్రమాల యొక్క అదిశ మాత్రికలు.

(vi) తత్సమ మాత్రిక

వికర్ణంలోని మూలకాలు అన్నీ 1 మరియు మిగిలినవి అన్నీ సున్నా అయ్యే చతురస్ర మాత్రికను తత్సమ మాత్రిక అంటారు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, చతురస్ర మాత్రిక $A=[a_{i j}]_{n \times n}$ ఒక

తత్సమ మాత్రిక, $a_{ij}=\begin{cases}1 & \text { if } & i=j \\ 0 & \text { if } & i \neq j\end{cases}.$ అయితే.

మనం $n$ క్రమం యొక్క తత్సమ మాత్రికను $I_{n}$ ద్వారా సూచిస్తాము. క్రమం సందర్భం నుండి స్పష్టంగా ఉన్నప్పుడు, మనం దానిని కేవలం Iగా వ్రాస్తాము.

ఉదాహరణకు [1], $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}\sqrt 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt 3\end{bmatrix}$ వరుసగా 1, 2 మరియు 3 క్రమాల యొక్క తత్సమ మాత్రికలు.

ఒక అదిశ మాత్రిక $k=1$ అయినప్పుడు తత్సమ మాత్రిక అవుతుందని గమనించండి. కానీ ప్రతి తత్సమ మాత్రిక స్పష్టంగా ఒక అదిశ మాత్రిక.

(vii) శూన్య మాత్రిక

ఒక మాత్రిక యొక్క అన్ని మూలకాలు సున్నా అయితే దానిని శూన్య మాత్రిక లేదా నల్ మాత్రిక అంటారు.

ఉదాహరణకు, $[0],\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix},[0,0]$ అన్నీ శూన్య మాత్రికలు. మనం శూన్య మాత్రికను $O$ ద్వారా సూచిస్తాము. దాని క్రమం సందర్భం నుండి స్పష్టంగా ఉంటుంది.

3.3.1 మాత్రికల సమానత్వం

నిర్వచనం 2 రెండు మాత్రికలు $A=[a_{i j}]$ మరియు $B=[b_{i j}]$ సమానం అని చెప్పబడతాయి

(i) అవి ఒకే క్రమంలో ఉంటే

(ii) $A$ యొక్క ప్రతి మూలకం $B$ యొక్క సంబంధిత మూలకానికి సమానం, అనగా $a_{i j}=b_{i j}$ అన్ని $i$ మరియు $j$ కోసం.

ఉదాహరణకు, $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ మరియు $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ సమాన మాత్రికలు కానీ $\begin{bmatrix}3 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ మరియు $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ సమాన మాత్రికలు కావు. సంకేతాత్మకంగా, రెండు మాత్రికలు $A$ మరియు $B$ సమానం అయితే, మనం $A=B$ అని వ్రాస్తాము.

$ \text { If }\begin{bmatrix} x & y \\ z & a \\ b & c \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1.5 & 0 \\ 2 & \sqrt{6} \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \text {, then }$ $x=-1.5, y=0, z=2, a=\sqrt{6}, b=3, c=2 $

ఉదాహరణ 4 $\begin{bmatrix}x+3 & z+4 & 2 y-7 \\ -6 & a-1 & 0 \\ b-3 & -21 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 6 & 3 y-2 \\ -6 & -3 & 2 c+2 \\ 2 b+4 & -21 & 0\end{bmatrix}$ అయితే

$a, b, c, x, y$ మరియు $z$ విలువలను కనుగొనండి.

సాధన ఇవ్వబడిన మాత్రికలు సమానంగా ఉన్నందున, అందువలన, వాటి సంబంధిత మూలకాలు సమానంగా ఉండాలి. సంబంధిత మూలకాలను పోల్చడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

$$ \begin{aligned} & x+3=0, \\ & z+4=6 \\ & 2 y-7=3 y-2 \\ & a-1=-3, \\ & 0=2 c+2 \\ & b-3=2 b+4 \text {, } \end{aligned} $$

సరళీకరించడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

$$ a=-2, b=-7, c=-1, x=-3, y=-5, z=2 $$

ఉదాహరణ 5 కింది సమీకరణం నుండి $a, b, c$, మరియు $d$ విలువలను కనుగొనండి:

$$ \begin{bmatrix} 2 a+b & a-2 b \\ 5 c-d & 4 c+3 d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 11 & 24 \end{bmatrix} $$

సాధన రెండు మాత్రికల సమానత్వం ద్వారా, సంబంధిత మూలకాలను సమం చేయడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

$$ \begin{bmatrix} 2 a+b & =4 & 5 c-d & =11 \\ a-2 b & =-3 & 4 c+3 d & =24 \end{bmatrix} $$

ఈ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

$$ a=1, b=2, c=3 \text { and } d=4 $$

3.4 మాత్రికలపై కార్యకలాపాలు

ఈ విభాగంలో, మనం మాత్రికలపై కొన్ని కార్యకలాపాలను పరిచయం చేస్తాము, అవి: మాత్రికల సంకలనం, ఒక మాత్రికను అదిశతో గుణించడం, వ్యత్యాసం మరియు మాత్రికల గుణకారం.

3.4.1 మాత్రికల సంకలనం

ఫాతిమా వద్ద A మరియు B స్థలాలలో రెండు కర్మాగారాలు ఉన్నాయని అనుకుందాం. ప్రతి కర్మాగారం అబ్బాయిలు మరియు అమ్మాయిల కోసం స్పోర్ట్ షూలను 1,2 మరియు 3 అని లేబుల్ చేయబడిన మూడు వేర్వేరు ధర వర్గాలలో ఉత్పత్తి చేస్తుంది. ప్రతి కర్మాగారం ద్వారా ఉత్పత్తి చేయబడిన పరిమాణాలు క్రింద ఇవ్వబడిన మాత్రికలుగా సూచించబడతాయి:

ఫాతిమా ప్రతి ధర వర్గంలో స్పోర్ట్ షూల మొత్తం ఉత్పత్తిని తెలుసుకోవాలనుకుంటే. అప్పుడు మొత్తం ఉత్పత్తి

వర్గం 1లో : అబ్బాయిల కోసం $(80+90)$, అమ్మాయిల కోసం $(60+50)$

వర్గం 2లో : అబ్బాయిల కోసం $(75+70)$, అమ్మాయిల కోసం $(65+55)$

వర్గం 3లో : అబ్బాయిల కోసం $(90+75)$, అమ్మాయిల కోసం $(85+75)$

దీనిని మాత్రిక రూపంలో ఈ క్రింది విధంగా సూచించవచ్చు

$\begin{bmatrix}80+90 & 60+50 \\ 75+70 & 65+55 \\ 90+75 & 85+75\end{bmatrix}$.

ఈ కొత్త మాత్రిక పై రెండు మాత్రికల మొత్తం. ఇవ్వబడిన మాత్రికల సంబంధిత మూలకాలను కూడడం ద్వారా మొత్తం మాత్రిక లభిస్తుందని మనం గమనించాము. ఇంకా, రెండు మాత్రికలు ఒకే క్రమంలో ఉండాలి.

అందువలన, $A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{bmatrix}$ ఒక $2 \times 3$ మాత్రిక మరియు $B=\begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\end{bmatrix}$ మరొక

$2 \times 3$ మాత్రిక అయితే. అప్పుడు, మనం $A+B=\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23}\end{bmatrix}$ నిర్వచిస్తాము.

సాధారణంగా, $A=[a_{i j}]$ మరియు $B=[b_{i j}]$ ఒకే క్రమం యొక్క రెండు మాత్రికలు అయితే, అనగా $m \times n$. అప్పుడు, రె