అన్ని గణిత సత్యాలు సాపేక్షమైనవి మరియు షరతులతో కూడినవి - సి.పి. స్టీన్మెట్జ్

4.1 పరిచయం

మునుపటి అధ్యాయంలో, మేము మాత్రికలు మరియు మాత్రికల బీజగణితం గురించి అధ్యయనం చేసాము. బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థను మాత్రికల రూపంలో వ్యక్తీకరించవచ్చని కూడా మనం తెలుసుకున్నాము. దీని అర్థం,

$$ \begin{aligned} & a _{1} x+b _{1} y=c _{1} \\ & a _{2} x+b _{2} y=c _{2} \end{aligned} $$

వంటి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను $\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x \\ y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}c_1 \\ c_2\end{vmatrix}$ గా సూచించవచ్చు. ఇప్పుడు, ఈ సమీకరణాల వ్యవస్థకు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉందో లేదో అనేది $a_1 b_2-a_2 b_1$ సంఖ్య ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. (గుర్తుకు తెచ్చుకోండి, ఒకవేళ $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ లేదా, $a_1 b_2-a_2 b_1 \neq 0$ అయితే, సరళ

పి.ఎస్. లాప్లేస్ $(1749-1827)$ సమీకరణాల వ్యవస్థకు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారం ఉంటుంది). పరిష్కారం యొక్క ప్రత్యేకతను నిర్ణయించే $a_1 b_2-a_2 b_1$ సంఖ్య $A=\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}$ మాత్రికతో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది మరియు దీనిని A యొక్క నిర్ధారకం లేదా det A అంటారు. నిర్ధారకాలకు ఇంజనీరింగ్, సైన్స్, ఎకనామిక్స్, సోషల్ సైన్స్ మొదలైన వాటిలో విస్తృతమైన అనువర్తనాలు ఉన్నాయి.

ఈ అధ్యాయంలో, మనం నిజమైన ప్రవేశాలతో మూడు క్రమం వరకు మాత్రమే నిర్ధారకాలను అధ్యయనం చేస్తాము. అలాగే, మనం నిర్ధారకాల యొక్క వివిధ లక్షణాలు, మైనర్లు, సహకారకాలు మరియు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడంలో, చదరపు మాత్రిక యొక్క సంలగ్న మాత్రిక మరియు విలోమం, సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క స్థిరత్వం మరియు అస్థిరత్వం మరియు మాత్రిక యొక్క విలోమాన్ని ఉపయోగించి రెండు లేదా మూడు చరరాశులలో సరళ సమీకరణాల పరిష్కారంలో నిర్ధారకాల అనువర్తనాలను కూడా అధ్యయనం చేస్తాము.

4.2 నిర్ధారకం

ప్రతి చదరపు మాత్రిక $A=[a _{i j}]$ క్రమం $n$, మనం చదరపు మాత్రిక A యొక్క నిర్ధారకం అని పిలువబడే ఒక సంఖ్యను (నిజమైన లేదా సంకీర్ణ) అనుబంధించవచ్చు, ఇక్కడ $a _{i j}=(i, j)^{\text{th }}$ A యొక్క మూలకం.

దీనిని ప్రతి చదరపు మాత్రికను ఒక ప్రత్యేక సంఖ్య (నిజమైన లేదా సంకీర్ణ)తో అనుబంధించే ఫంక్షన్గా భావించవచ్చు. ఒకవేళ $M$ చదరపు మాత్రికల సమితి అయితే, $K$ సంఖ్యల సమితి (నిజమైన లేదా సంకీర్ణ) మరియు $f: M \to K$ $f(A)=k$ ద్వారా నిర్వచించబడితే, ఇక్కడ $A \in M$ మరియు $k \in K$, అప్పుడు $f(A)$ $A$ యొక్క నిర్ధారకం అంటారు. దీనిని $|A|$ లేదా $det A$ లేదా $\Delta$ ద్వారా కూడా సూచిస్తారు.

ఒకవేళ $A=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$ అయితే, A యొక్క నిర్ధారకం $|A|=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=det(A) $ గా వ్రాయబడుతుంది

వ్యాఖ్యలు

(i) మాత్రిక A కోసం, $|A|$ ని $A$ యొక్క నిర్ధారకం గా చదువుతారు మరియు $A$ యొక్క మాడ్యులస్ గా కాదు.

(ii) చదరపు మాత్రికలకు మాత్రమే నిర్ధారకాలు ఉంటాయి.

4.2.1 ఒకటి క్రమం యొక్క మాత్రిక యొక్క నిర్ధారకం

$A=[a]$ 1 క్రమం యొక్క మాత్రికగా ఉండనివ్వండి, అప్పుడు $A$ యొక్క నిర్ధారకం $a$ కి సమానంగా నిర్వచించబడుతుంది

4.2.2 రెండు క్రమం యొక్క మాత్రిక యొక్క నిర్ధారకం

$\text{Let}\qquad A=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{21} & a _{22} \end{vmatrix} \text{ be a matrix of order } 2 \times 2, $

అప్పుడు $A$ యొక్క నిర్ధారకం ఇలా నిర్వచించబడుతుంది:

$ det(A)=|A|=\Delta=\begin{vmatrix} a _{11} & & a _{12} \\ a _{21} & & a _{22} \end{vmatrix}=a _{11} a _{22}-a _{21} a _{12} $

ఉదాహరణ 1 $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}$ ని మూల్యాంకనం చేయండి.

పరిష్కారం మనకు $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}=2(2)-4(-1)=4+4=8$ ఉంది.

ఉదాహరణ 2 $\begin{vmatrix}x & x+1 \\ x-1 & x\end{vmatrix}$ ని మూల్యాంకనం చేయండి

పరిష్కారం మనకు ఉంది

$ \begin{vmatrix} x & x+1 \\ x-1 & x \end{vmatrix}=x(x)-(x+1)(x-1)=x^{2}-(x^{2}-1)=x^{2}-x^{2}+1=1 $

4.2.3 $3 \times 3$ క్రమం యొక్క మాత్రిక యొక్క నిర్ధారకం

మూడు క్రమం యొక్క మాత్రిక యొక్క నిర్ధారకాన్ని దానిని రెండవ క్రమ నిర్ధారకాల పరంగా వ్యక్తీకరించడం ద్వారా నిర్ణయించవచ్చు. దీనిని ఒక వరుస (లేదా కాలమ్) వెంట నిర్ధారకం యొక్క విస్తరణ అంటారు. ఒక నిర్ధారకాన్ని విస్తరించడానికి ఆరు మార్గాలు ఉన్నాయి

క్రమం 3 మూడు వరుసలలో ప్రతి ఒక్కదానికి సంబంధించి $(R_1, R_2.$ మరియు $.R_3)$ మరియు మూడు నిలువు వరుసలు $(C_1, C_2.$ మరియు $C_3)$ క్రింద చూపిన విధంగా ఒకే విలువను ఇస్తాయి.

చదరపు మాత్రిక $A=[a _{i j}] _{3 \times 3}$ యొక్క నిర్ధారకాన్ని పరిగణించండి

$\text{i.e}\qquad |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $

మొదటి వరుస $(\mathbf{R} _1)$ వెంట విస్తరణ

దశ 1 $\mathbf{R} _ {1}$ యొక్క మొదటి మూలకం $ a _ {11}$ ని $(-1)^{(1+1)}[(-1)^{.\text{sum of suffixes in } a _ {11}}.$ తో గుణించండి మరియు $|A|$ యొక్క మొదటి వరుస $(R_1)$ మరియు మొదటి నిలువు వరుస $(C _ {1})$ యొక్క మూలకాలను తొలగించడం ద్వారా పొందిన రెండవ క్రమ నిర్ధారకంతో, ఎందుకంటే $a _ {11}$ $ R _ {1} $ మరియు $ C _ {1} $ లో ఉంటుంది,

$\text{i.e.,}\qquad (-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right| $

దశ 2 $R_1$ యొక్క 2వ మూలకం $a _{12}$ ని $(-1)^{1+2}[(-1)^{\text{sum of suffixes in } a _{12}}]$ తో గుణించండి మరియు $|A|$ యొక్క మొదటి వరుస $(R_1)$ మరియు 2వ నిలువు వరుస $(C_2)$ యొక్క మూలకాలను తొలగించడం ద్వారా పొందిన రెండవ క్రమ నిర్ధారకం, ఎందుకంటే $a _{12}$ $R_1$ మరియు $C_2$ లో ఉంటుంది,

అనగా, $\quad(-1)^{1+2} a _{12}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33}\end{vmatrix}$

దశ 3 $R_1$ యొక్క మూడవ మూలకం $a _{13}$ ని $(-1)^{1+3}[(-1)^{\text{sum of suffixes in } a _{13}}]$ తో గుణించండి మరియు $|A|$ యొక్క మొదటి వరుస $(R_1)$ మరియు మూడవ నిలువు వరుస $(C_3)$ యొక్క మూలకాలను తొలగించడం ద్వారా పొందిన రెండవ క్రమ నిర్ధారకం, ఎందుకంటే $a _{13}$ $R_1$ మరియు $C_3$ లో ఉంటుంది,

అనగా, $\quad(-1)^{1+3} a _{13}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32}\end{vmatrix}$

దశ 4 ఇప్పుడు A యొక్క నిర్ధారకం యొక్క విస్తరణ, అంటే, $|A|$ దశలు 1,2 మరియు 3 లో పొందిన మూడు పదాల మొత్తంగా వ్రాయబడింది, ఇది ఇవ్వబడింది

$$ \begin{aligned} & \operatorname{det} \mathrm{A}=|\mathrm{A}|=(-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right|+(-1)^{1+2} \quad a _{12}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33} \end{array}\right| \\ & +(-1)^{1+3} a _{13}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32} \end{array}\right| \end{aligned} $$

$ \begin{align*} \text{or} \qquad |\mathrm{A}|= & a _{11}\left(a _{22} a _{33}-a _{32} a _{23}\right)-a _{12}\left(a _{21} a _{33}-a _{31} a _{23}\right) \\ & +a _{13}\left(a _{21} a _{32}-a _{31} a _{22}\right) \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{32} a _{23}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{31} a _{23}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \tag{1} \end{align*} $

గమనిక మేము నాలుగు దశలను కలిపి వర్తింపజేస్తాము.

రెండవ వరుస $(\mathbf{R} _2)$ వెంట విస్తరణ

$$ |A|=\begin{vmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} \end{vmatrix} $$

$R_2$ వెంట విస్తరించడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

$ \begin{aligned} |A|= & (-1)^{2+1} a _{21}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{2+2} a _{22}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{13} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +(-1)^{2+3} a _{23}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ = & -a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{32} a _{13})+a _{22}(a _{11} a _{33}-a _{31} a _{13}) \\ & -a _{23}(a _{11} a _{32}-a _{31} a _{12}) \\ |A|= & -a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{32} a _{13}+a _{22} a _{11} a _{33}-a _{22} a _{31} a _{13}-a _{23} a _{11} a _{32} \\ & +a _{23} a _{31} a _{12} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

మొదటి నిలువు వరుస $(C_1)$ వెంట విస్తరణ

$$ |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $$

$C_1$ వెంట విస్తరించడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

$ \begin{aligned} |A|= & a _{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{21}(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +a _{31}(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{22} & a _{23} \end{vmatrix} \\ = & a _{11}(a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32})-a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32})+a _{31}(a _{12} a _{23}-a _{13} a _{22}) \end{aligned} $ $ \begin{aligned} |A|= & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{13} a _{32}+a _{31} a _{12} a _{23} \\ & -a _{31} a _{13} a _{22} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

స్పష్టంగా, $|A|$ యొక్క విలువలు (1), (2) మరియు (3) లో సమానంగా ఉన్నాయి. $R_3, C_2$ మరియు $C_3$ వెంట విస్తరించడం ద్వారా $|A|$ యొక్క విలువలు (1), (2) లేదా (3) లో పొందిన $|A|$ విలువకు సమానమని ధృవీకరించడం చదువరికి వ్యాయామంగా ఉంచబడింది.

అందువల్ల, ఏదైనా వరుస లేదా నిలువు వరుస వెంట నిర్ధారకాన్ని విస్తరించడం వల్ల ఒకే విలువ వస్తుంది.

వ్యాఖ్యలు

(i) సులభమైన గణనల కోసం, మనం గరిష్ట సంఖ్యలో సున్నాలను కలిగి ఉన్న వరుస లేదా నిలువు వరుస వెంట నిర్ధారకాన్ని విస్తరిస్తాము.

(ii) విస్తరించేటప్పుడు, $(-1)^{i+j}$ తో గుణించడానికి బదులుగా, $(i+j)$ సరి లేదా బేసి అనే దాని ఆధారంగా మనం +1 లేదా -1 తో గుణించవచ్చు.

(iii) $A=\begin{vmatrix}2 & 2 \\ 4 & 0\end{vmatrix}$ మరియు $B=\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 0\end{vmatrix}$ అనుకుందాం. అప్పుడు, $A=2 B$ అని ధృవీకరించడం సులభం. అలాగే $|A|=0-8=-8$ మరియు $|B|=0-2=-2$.

గమనించండి, $|A|=4(-2)=2^{2}|B|$ లేదా $|A|=2^{n}|B|$, ఇక్కడ $n=2$ చదరపు మాత్రికలు $A$ మరియు $B$ యొక్క క్రమం.

సాధారణంగా, ఒకవేళ $A=k B$ ఇక్కడ $A$ మరియు $B$ $n$ క్రమం యొక్క చదరపు మాత్రికలు అయితే, అప్పుడు $|A|=k^{n}$ $|B|$, ఇక్కడ $n=1,2,3$

ఉదాహరణ 3 నిర్ధారకం $\Delta=\begin{vmatrix}1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 0\end{vmatrix}$ ని మూల్యాంకనం చేయండి.

పరిష్కారం మూడవ నిలువు వరుసలో, రెండు ప్రవేశాలు సున్నా అని గమనించండి. కాబట్టి మూడవ నిలువు వరుస $(C_3)$ వెంట విస్తరించడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

$$ \begin{aligned} \Delta & =4\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}-0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}+0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} \\ & =4(-1-12)-0+0=-52 \end{aligned} $$

ఉదాహరణ 4 $\Delta=\begin{vmatrix}0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \\ -\sin \alpha & 0 & \sin \beta \\ \cos \alpha & -\sin \beta & 0\end{vmatrix}$ ని మూల్యాంకనం చేయండి

పరిష్కారం $R_1$ వెంట విస్తరించడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

$ \begin{aligned} \Delta & =0\begin{vmatrix} 0 & \sin \beta \\ -\sin \beta & 0 \end{vmatrix}-\sin \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & \sin \beta \\ \cos \alpha & 0 \end{vmatrix}-\cos \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & 0 \\ \cos \alpha & -\sin \beta \end{vmatrix} \\ & =0-\sin \alpha(0-\sin \beta \cos \alpha)-\cos \alpha(\sin \alpha \sin \beta-0) \\ & =\sin \alpha \sin \beta \cos \alpha-\cos \alpha \sin \alpha \sin \beta=0 \end{aligned} $

ఉదాహరణ 5 $x$ యొక్క విలువలను కనుగొనండి, దీని కోసం $\begin{vmatrix}3 & x \\ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 4 & 1\end{vmatrix}$.

పరిష్కారం మనకు $\begin{vmatrix}3 & x \\ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 4 & 1\end{vmatrix}$ ఉంది

అనగా $\qquad 3-x^{2}=3-8$

$\text{i.e.}\qquad \begin{aligned} x^{2} & =8 \\ \end{aligned} $

అందువల్ల $\qquad\ x= \pm 2 \sqrt{2}$

4.3 త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం

మునుపటి తరగతులలో, శీర్షాలు $(x_1, y_1),(x_2, y_2)$ మరియు $(x_3, y_3)$ గా ఉన్న త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం, $\frac{1}{2}[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+.$ $.x_3(y_1-y_2)]$ అనే వ్యక్తీకరణ ద్వారా ఇవ్వబడుతుందని మనం అధ్యయనం చేసాము. ఇప్పుడు ఈ వ్యక్తీకరణను ఒక నిర్ధారక రూపంలో ఇలా వ్రాయవచ్చు

$$ \Delta=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} x _{1} & y _{1} & 1 \tag{1}\\ x _{2} & y _{2} & 1 \\ x _{3} & y _{3} & 1 \end{array}\right| $$

వ్యాఖ్యలు

(i) వైశాల్యం ఒక ధనాత్మక పరిమాణం కాబట్టి, మనం ఎల్లప్పుడూ (1) లోని నిర్ధారకం యొక్క సంపూర్ణ విలువను తీసుకుంటాము.

(ii) వైశాల్యం ఇవ్వబడితే, గణన కోసం నిర్ధారకం యొక్క ధనాత్మక మరియు ఋణాత్మక విలువలు రెండింటినీ ఉపయోగించండి.

(iii) మూడు సరేఖీయ బిందువుల ద్వారా ఏర్పడిన త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం సున్నా.

ఉదాహరణ 6 శీర్షాలు $(3,8),(-4,2)$ మరియు $(5,1)$ గా ఉన్న త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

$$ \begin{aligned} \Delta & =\frac{1}{2}\left|\begin{array}{rrr} 3 & 8 & 1 \\ -4 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \end{array}\right|=\frac{1}{2}[3(2-1)-8(-4-5)+1(-4-10)] \\ & =\frac{1}{2}(3+72-14)=\frac{61}{2} \end{aligned} $$

ఉదాహరణ 7 నిర్ధారకాలను ఉపయోగించి $A(1,3)$ మరియు $B(0,0)$ లను కలిపే రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి మరియు ABD త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం 3 చ.యూనిట్లు అయితే $k$ ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం $AB$ పై ఏదైనా బిందువుగా $P(x, y)$ ఉండనివ్వండి. అప్పుడు, త్రిభుజం ABP యొక్క వైశాల్యం సున్నా (ఎందుకు?).

$\text{so}\qquad \frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ x & y & 1 \end{array}\right|=0 $

$\text{This gives}\qquad \frac{1}{2}(y-3 x)=0 \text { या } y=3 x $

ఇది అవసరమైన రేఖ $AB$ యొక్క సమీకరణం.

అలాగే, త్రిభుజం ABD యొక్క వైశాల్యం 3 చ.యూనిట్లు కాబట్టి, మనకు ఉంది

$ \frac{1}{2}\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ k & 0 & 1 \end{vmatrix}= \pm 3 $ ఇది ఇస్తుంది, $\frac{-3 k}{2}= \pm 3$, అనగా, $k=\mp 2$.

4.4 మైనర్లు మరియు సహకారకాలు

ఈ విభాగంలో, మైనర్లు మరియు సహకారకాలను ఉపయోగించి సంక్షిప్త రూపంలో నిర్ధారకం యొక్క విస్తరణను వ్రాయడం నేర్చుకుంటాము.

నిర్వచనం 1 ఒక నిర్ధారకం యొక్క మూలకం $a _{i j}$ యొక్క మైనర్ అనేది $a _{i j}$ మూలకం ఉన్న $i$ వ వరుస మరియు $j$ వ నిలువు వరుసను తొలగించడం ద్వారా పొందిన నిర్ధారకం. ఒక మూలకం $a _{i j}$ యొక్క మైనర్ $M _{i j}$ ద్వారా సూచించబడుతుంది.

వ్యాఖ్య క్రమం $n(n \geq 2)$ యొక్క నిర్ధారకం యొక్క మూలకం యొక్క మైనర్ క్రమం $n-1$ యొక్క నిర్ధారకం.

ఉదాహరణ 8 నిర్ధారకం $\Delta=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix}$ లోని మూలకం 6 యొక్క మైనర్ను కనుగొనండి

పరిష్కారం 6 రెండవ వరుస మరియు మూడవ నిలువు వరుసలో ఉన్నందున, దాని మైనర్ $M _{23}$ దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

$ M _{23}=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}=8-14=-6 \text{ (obtained by deleting } R_2 \text{ and } C_3 \text{ in } \Delta \text{ ). } $

నిర్వచనం 2 ఒక మూలకం $a _{i j}$ యొక్క సహకారకం, $A _{i j}$ ద్వారా సూచించబడుతుంది, ఇది దీని ద్వారా నిర్వచించబడుతుంది

$ A _{i j}=(-1)^{i+j} M _{i j} \text{, where } M _{i j} \text{ is minor of } a _{i j} \text{. } $

ఉదాహరణ 9 నిర్ధారకం $\begin{vmatrix}1 & -2 \\ 4 & 3\end{vmatrix}$ యొక్క అన్ని మూలకాల యొక్క మైనర్లు మరియు సహకారకాలను కనుగొనండి

పరిష్కారం మూలకం $a _{i j}$ యొక్క మైనర్ $M _{i j}$

ఇక్కడ $a _{11}=1$. కాబట్టి $M _{11}=$ $a _{11}=3$ యొక్క మైనర్

$$ \begin{aligned} & \mathrm{M} _{12}=\text { Minor of the element } a _{12} =4 \\ & \mathrm{M} _{21}=\text { Minor of the element } a _{21} =-2 \\ & \mathrm{M} _{22}=\text { Minor of the element } a _{22} =1 \end{aligned} $$

ఇప్పుడు, $a _{i j}$ యొక్క సహకారకం $A _{i j}$. కాబట్టి

$$ \begin{aligned} & A _{11}=(-1)^{1+1} \quad M _{11}=(-1)^{2}(3)=3 \\ & A _{12}=(-1)^{1+2} \quad M _{12}=(-1)^{3}(4)=-4 \\ & A _{21}=(-1)^{2+1} \quad M _{21}=(-1)^{3}(-2)=2 \\ & A _{22}=(-1)^{2+2} \quad M _{22}=(-1)^{4}(1)=1 \end{aligned} $$

ఉదాహరణ 10 నిర్ధారకంలోని మూలకాలు $a _{11}, a _{21}$ యొక్క మైనర్లు మరియు సహకారకాలను కనుగొనండి $ \Delta=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $

పరిష్కారం మైనర్లు మరియు సహకారకాల నిర్వచనం ద్వారా, మనకు ఉంది

$a _{11}=M _{11}=\begin{vmatrix}a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33}\end{vmatrix}=a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32}$ యొక్క మైనర్
$a _{11}=A _{11}=(-1)^{1+1} \quad M _{11}=a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32}$ యొక్క సహకారకం
$a _{21}=M _{21}=\begin{vmatrix}a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33}\end{vmatrix}=a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32}$ యొక్క మైనర్
$a _{21}=A _{21}=(-1)^{2+1} \quad M _{21}=(-1)(a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32})=-a _{12} a _{33}+a _{13} a _{32}$ యొక్క సహకారకం

వ్యాఖ్య నిర్ధారకం $\Delta$ ని ఉదాహరణ 21 లో, $R_1$ వెంట విస్తరించడం ద్వారా, మనకు ఉంది

$ \begin{aligned} \Delta & =(-1)^{1+1} a _{11}\begin{vmatrix} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{1+2} a _{12}\begin{vmatrix} a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{1+3} a _{13}\begin{vmatrix} a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ & =a _{11} A _{11}+a _{12} A _{12}+a _{13} A _{13} \text{, where } A _{i j} \text{ is cofactor of } a _{i j} \\ & =\text{ sum of product of elements of } R_1 \text{ with their corresponding cofactors } \end{aligned} $

అదేవిధంగా, $\Delta$ ని ఇతర ఐదు విస్తరణ మార్గాల ద్వారా లెక్కించవచ్చు, అవి $R_2, R_3$, $C_1, C_2$ మరియు $C_3$ వెంట.

అందువల్ల $\Delta$ = ఏదైనా వరుస (లేదా నిలువు వరుస) యొక్క మూలకాల ఉత్పత్తి మరియు వాటి సంబంధిత సహకారకాల మొత్తం.

గమనిక ఒక వరుస (లేదా నిలువు వరుస) యొక్క మూలకాలు ఏదైనా