“సైన్స్ మొత్తం రోజువారీ ఆలోచన యొక్క శుద్ధీకరణ తప్ప మరొకటి కాదు.” - ఆల్బర్ట్ ఐన్స్టీన్

5.1 పరిచయం

ఈ అధ్యాయం తప్పనిసరిగా క్లాస్ XI లో మనం చేసిన ఫంక్షన్ల అవకలనం అధ్యయనం యొక్క కొనసాగింపు. మనం కొన్ని ఫంక్షన్లను, బహుపది ఫంక్షన్లు మరియు త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల వంటివి, అవకలనం చేయడం నేర్చుకున్నాము. ఈ అధ్యాయంలో, మనం సాతత్యం, అవకలనీయత మరియు వాటి మధ్య సంబంధాల యొక్క చాలా ముఖ్యమైన భావనలను పరిచయం చేస్తాము. మనం విలోమ త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల అవకలనం కూడా నేర్చుకుంటాము. ఇంకా, మనం ఘాతాంక మరియు లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్లు అనే కొత్త తరగతి ఫంక్షన్లను పరిచయం చేస్తాము. ఈ ఫంక్షన్లు అవకలనం యొక్క శక్తివంతమైన పద్ధతులకు దారి తీస్తాయి. మనం అవకలన కలనం ద్వారా కొన్ని రేఖాగణితంగా స్పష్టమైన పరిస్థితులను వివరిస్తాము. ఈ ప్రక్రియలో, ఈ ప్రాంతంలో కొన్ని ప్రాథమిక సిద్ధాంతాలను మనం నేర్చుకుంటాము.

5.2 సాతత్యం

మనం ప్రారంభిస్తాము ఈ విభాగాన్ని సాతత్యం యొక్క అనుభూతిని పొందడానికి రెండు అనధికారిక ఉదాహరణలతో. ఫంక్షన్ను పరిగణించండి

$$ f(x)=\begin{cases} 1, \text{ if } x \leq 0 \\ 2, \text{ if } x>0 \end{cases}. $$

ఈ ఫంక్షన్ వాస్తవ రేఖ యొక్క ప్రతి బిందువు వద్ద నిర్వచించబడింది. ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ Fig 5.1 లో ఇవ్వబడింది. ఒకరు గ్రాఫ్ నుండి ఊహించగలరు, $x$-అక్షం పై సమీప బిందువుల వద్ద ఫంక్షన్ విలువ $x=0$ మినహా ఒకదానికొకటి దగ్గరగా ఉంటాయి. 0 కి సమీపంలో మరియు ఎడమ వైపున ఉన్న బిందువుల వద్ద, అంటే $-0.1,-0.01,-0.001$ వంటి బిందువుల వద్ద, ఫంక్షన్ విలువ 1. 0 కి సమీపంలో మరియు కుడి వైపున ఉన్న బిందువుల వద్ద, అంటే $0.1,0.01$ వంటి బిందువుల వద్ద,

0.001 , ఫంక్షన్ విలువ 2. ఎడమ మరియు కుడి చేతి ఎలిమిట్ల భాషను ఉపయోగించి, మనం చెప్పగలం, $f$ యొక్క 0 వద్ద ఎడమ (వరుసగా కుడి) చేతి ఎలిమిట్ 1 (వరుసగా 2). ప్రత్యేకంగా ఎడమ మరియు కుడి చేతి ఎలిమిట్లు ఏకీభవించవు. $x=0$ వద్ద ఫంక్షన్ విలువ ఎడమ చేతి ఎలిమిట్తో ఏకీభవిస్తుందని కూడా మనం గమనించాము. గ్రాఫ్ను గీయడానికి ప్రయత్నించినప్పుడు, దానిని ఒక స్ట్రోక్లో గీయలేము, అంటే, కాగితం తలం నుండి పెన్నును ఎత్తకుండా, ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ను గీయలేము. వాస్తవానికి, మనం ఎడమ నుండి 0 కి వచ్చినప్పుడు పెన్నును ఎత్తాలి. ఇది $x=0$ వద్ద ఫంక్షన్ సతతంగా లేని ఒక ఉదాహరణ.

ఇప్పుడు, ఫంక్షన్ను ఇలా నిర్వచించినట్లు పరిగణించండి

$$ f(x)=\begin{cases} & 1, \text{ if } x \neq 0 \\ & 2, \text{ if } x=0 \end{cases} $$

ఈ ఫంక్షన్ కూడా ప్రతి బిందువు వద్ద నిర్వచించబడింది. $x=0$ వద్ద ఎడమ మరియు కుడి చేతి ఎలిమిట్లు రెండూ 1 కి సమానం. కానీ $x=0$ వద్ద ఫంక్షన్ విలువ 2, ఇది ఎడమ మరియు కుడి చేతి ఎలిమిట్ల సాధారణ విలువతో ఏకీభవించదు. మళ్ళీ, పెన్నును ఎత్తకుండా ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ను గీయలేము అని మనం గమనించాము. ఇది $x=0$ వద్ద ఫంక్షన్ సతతంగా లేని మరొక ఉదాహరణ.

సరళంగా, ఒక స్థిర బిందువు వద్ద ఒక ఫంక్షన్ సతతంగా ఉంటే, ఆ బిందువు చుట్టూ ఉన్న ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ను కాగితం తలం నుండి పెన్నును ఎత్తకుండా గీయగలము అని చెప్పవచ్చు.

గణితశాస్త్రపరంగా, ఇది ఖచ్చితంగా ఈ క్రింది విధంగా పదబంధం చేయబడవచ్చు:

నిర్వచనం 1 $f$ వాస్తవ సంఖ్యల ఉపసమితిపై ఒక వాస్తవ ఫంక్షన్ అని అనుకుందాం మరియు $c$ $f$ యొక్క డొమైన్లో ఒక బిందువుగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు $f$, $c$ వద్ద సతతంగా ఉంటే

$$ \lim _{x \to c} f(x)=f(c) $$

మరింత వివరంగా, ఎడమ చేతి ఎలిమిట్, కుడి చేతి ఎలిమిట్ మరియు $x=c$ వద్ద ఫంక్షన్ విలువ ఉన్నట్లయితే మరియు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటే, $f$, $x=c$ వద్ద సతతంగా ఉంది అని చెప్పబడుతుంది. $x=c$ వద్ద కుడి చేతి మరియు ఎడమ చేతి ఎలిమిట్లు ఏకీభవిస్తే, ఆ సాధారణ విలువ $x=c$ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఎలిమిట్ అని మనం చెప్పుతాము. కాబట్టి మనం సాతత్యం యొక్క నిర్వచనాన్ని ఈ క్రింది విధంగా కూడా పదబంధం చేయవచ్చు: ఒక ఫంక్షన్ $x=c$ వద్ద సతతంగా ఉంటే, ఫంక్షన్ $x=c$ వద్ద నిర్వచించబడి ఉంటే మరియు $x=c$ వద్ద ఫంక్షన్ విలువ $x=c$ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఎలిమిట్కు సమానమైతే. $f$, $c$ వద్ద సతతంగా లేకపోతే, $f$, $c$ వద్ద అసతతంగా ఉంది అని చెప్పి, $c$ ను $f$ యొక్క అసాతత్య బిందువు అంటారు.

ఉదాహరణ 1 $f$ ద్వారా ఇవ్వబడిన ఫంక్షన్ $f(x)=2 x+3$ యొక్క సాతత్యాన్ని $x=1$ వద్ద పరిశీలించండి.

పరిష్కారం మొదట గమనించండి, ఫంక్షన్ ఇవ్వబడిన బిందువు $x=1$ వద్ద నిర్వచించబడింది మరియు దాని విలువ 5. అప్పుడు $x=1$ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఎలిమిట్ను కనుగొనండి. స్పష్టంగా

$$ \lim _{x \to 1} f(x)=\lim _{x \to 1}(2 x+3)=2(1)+3=5 $$

అందువలన $\qquad \lim _{x \to 1} f(x)=5=f(1)$

కాబట్టి, $f$, $x=1$ వద్ద సతతంగా ఉంది.

ఉదాహరణ 2 $f$ ద్వారా ఇవ్వబడిన ఫంక్షన్ $f(x)=x^{2}$, $x=0$ వద్ద సతతంగా ఉందో లేదో పరిశీలించండి.

పరిష్కారం మొదట గమనించండి, ఫంక్షన్ ఇవ్వబడిన బిందువు $x=0$ వద్ద నిర్వచించబడింది మరియు దాని విలువ 0. అప్పుడు $x=0$ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఎలిమిట్ను కనుగొనండి. స్పష్టంగా

$$ \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} x^{2}=0^{2}=0 $$

అందువలన $\qquad \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0=f(0)$

కాబట్టి, $f$, $x=0$ వద్ద సతతంగా ఉంది.

ఉదాహరణ 3 $f$ ద్వారా ఇవ్వబడిన ఫంక్షన్ $f(x)=|x|$ యొక్క సాతత్యాన్ని $x=0$ వద్ద చర్చించండి.

పరిష్కారం నిర్వచనం ప్రకారం

$$ f(x)= \begin{cases}-x, & \text{ if } x<0 \\ x, & \text{ if } x \geq 0\end{cases} $$

స్పష్టంగా ఫంక్షన్ 0 వద్ద నిర్వచించబడింది మరియు $f(0)=0$. $f$ యొక్క 0 వద్ద ఎడమ చేతి ఎలిమిట్

$$ \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0^{-}}(-x)=0 $$

అదేవిధంగా, $f$ యొక్క 0 వద్ద కుడి చేతి ఎలిమిట్

$$ \lim _{x \to 0^{+}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}} x=0 $$

అందువలన, ఎడమ చేతి ఎలిమిట్, కుడి చేతి ఎలిమిట్ మరియు ఫంక్షన్ విలువ $x=0$ వద్ద ఏకీభవిస్తాయి. కాబట్టి, $f$, $x=0$ వద్ద సతతంగా ఉంది.

ఉదాహరణ 4 $f$ ద్వారా ఇవ్వబడిన ఫంక్షన్

$$ f(x)= \begin{cases}x^{3}+3, & \text{ if } x \neq 0 \\ 1, & \text{ if } x=0\end{cases} $$

$x=0$ వద్ద సతతంగా లేదని చూపండి.

పరిష్కారం ఫంక్షన్ $x=0$ వద్ద నిర్వచించబడింది మరియు $x=0$ వద్ద దాని విలువ 1. $x \neq 0$ అయినప్పుడు, ఫంక్షన్ ఒక బహుపది ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది. కాబట్టి,

$$ \lim _{x \to 0} f(x)=\lim _{x \to 0}(x^{3}+3)=0^{3}+3=3 $$

$f$ యొక్క $x=0$ వద్ద ఎలిమిట్ $f(0)$ తో ఏకీభవించనందున, ఫంక్షన్ $x=0$ వద్ద సతతంగా లేదు. $x=0$ ఈ ఫంక్షన్ కోసం ఏకైక అసాతత్య బిందువు అని గమనించవచ్చు.

ఉదాహరణ 5 స్థిరాంక ఫంక్షన్ $f(x)=k$ ఎక్కడ సతతంగా ఉందో పరిశీలించండి.

పరిష్కారం ఫంక్షన్ అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల వద్ద నిర్వచించబడింది మరియు నిర్వచనం ప్రకారం, ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య వద్ద దాని విలువ $k$ కు సమానం. $c$ ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్యగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు

$$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} k=k $$

ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య $c$ కోసం $f(c)=k=\lim _{x \to c} f(x)$ కాబట్టి, ఫంక్షన్ $f$ ప్రతి వాస్తవ సంఖ్య వద్ద సతతంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 6 వాస్తవ సంఖ్యలపై గుర్తింపు ఫంక్షన్ $f(x)=x$ ప్రతి వాస్తవ సంఖ్య వద్ద సతతంగా ఉందని నిరూపించండి.

పరిష్కారం ఫంక్షన్ స్పష్టంగా ప్రతి బిందువు వద్ద నిర్వచించబడింది మరియు ప్రతి వాస్తవ సంఖ్య $c$ కోసం $f(c)=c$.

అలాగే, $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} x=c$

అందువలన, $\lim _{x \to c} f(x)=c=f(c)$ మరియు కాబట్టి ఫంక్షన్ ప్రతి వాస్తవ సంఖ్య వద్ద సతతంగా ఉంటుంది.

ఇచ్చిన బిందువు వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క సాతత్యాన్ని నిర్వచించిన తర్వాత, ఇప్పుడు మనం ఫంక్షన్ యొక్క సాతత్యాన్ని చర్చించడానికి ఈ నిర్వచనాన్ని సహజంగా విస్తరిస్తాము.

నిర్వచనం 2 ఒక వాస్తవ ఫంక్షన్ $f$ సతతంగా ఉంటే, అది $f$ యొక్క డొమైన్లోని ప్రతి బిందువు వద్ద సతతంగా ఉంటుంది. ఈ నిర్వచనానికి కొంత వివరణ అవసరం. $f$ ఒక సంవృత అంతరం $[a, b]$ పై నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ అని అనుకుందాం, అప్పుడు $f$ సతతంగా ఉండటానికి, అది $[a, b]$ లోని ప్రతి బిందువు వద్ద, చివరి బిందువులు $a$ మరియు $b$తో సహా, సతతంగా ఉండాలి. $f$ యొక్క $a$ వద్ద సాతత్యం అంటే మరియు $f$ యొక్క $b$ వద్ద సాతత్యం అంటే

$$ \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=f(a) $$

$$ \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=f(b) $$

$\lim _{x \to a^{-}} f(x)$ మరియు $\lim _{x \to b^{+}} f(x)$ అర్ధవంతం కావు అని గమనించండి. ఈ నిర్వచనం యొక్క పరిణామంగా, f కేవలం ఒక బిందువు వద్ద మాత్రమే నిర్వచించబడితే, అది అక్కడ సతతంగా ఉంటుంది, అంటే, $f$ యొక్క డొమైన్ ఒక సింగిల్టన్ అయితే, $f$ ఒక సతత ఫంక్షన్.

ఉదాహరణ 7 $f(x)=|x|$ ద్వారా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్, ఒక సతత ఫంక్షన్ అవుతుందా?

పరిష్కారం మనం $f$ ని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు

$ f(x)= \begin{cases}-x, & \text{ if } x<0 \\ x, & \text{ if } x \geq 0\end{cases} $

ఉదాహరణ 3 ద్వారా, $f$, $x=0$ వద్ద సతతంగా ఉందని మనకు తెలుసు.

$c$ ఒక వాస్తవ సంఖ్యగా ఉండనివ్వండి, అంటే $c<0$. అప్పుడు $f(c)=-c$.

అలాగే $$\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(-x)=-c$$

$\lim _{x \to c} f(x)=f(c), f$ కాబట్టి అన్ని ఋణ వాస్తవ సంఖ్యల వద్ద సతతంగా ఉంటుంది.

ఇప్పుడు, $c$ ఒక వాస్తవ సంఖ్యగా ఉండనివ్వండి, అంటే $c>0$. అప్పుడు $f(c)=c$. అలాగే

$$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} x=c $$

$\lim _{x \to c} f(x)=f(c), f$ కాబట్టి అన్ని ధన వాస్తవ సంఖ్యల వద్ద సతతంగా ఉంటుంది. కాబట్టి, $f$ అన్ని బిందువుల వద్ద సతతంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 8 $f$ ద్వారా ఇవ్వబడిన ఫంక్షన్ $f(x)=x^{3}+x^{2}-1$ యొక్క సాతత్యాన్ని చర్చించండి.

పరిష్కారం స్పష్టంగా $f$ ప్రతి వాస్తవ సంఖ్య $c$ వద్ద నిర్వచించబడింది మరియు $c$ వద్ద దాని విలువ $c^{3}+c^{2}-1$. మనకు ఇది కూడా తెలుసు

$$ \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c}\left(x^{3}+x^{2}-1\right)=c^{3}+c^{2}-1 $$

అందువలన $\lim _{x \to c} f(x)=f(c)$, మరియు కాబట్టి $f$ ప్రతి వాస్తవ సంఖ్య వద్ద సతతంగా ఉంటుంది. దీని అర్థం $f$ ఒక సతత ఫంక్షన్.

ఉదాహరణ 9 $f$ ద్వారా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ $f(x)=\frac{1}{x}, x \neq 0$ యొక్క సాతత్యాన్ని చర్చించండి.

పరిష్కారం ఏదైనా శూన్యేతర వాస్తవ సంఖ్య $c$ ని స్థిరపరచండి, మనకు ఉంటుంది

$$ \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c} \frac{1}{x}=\frac{1}{c} $$

అలాగే, $c \neq 0, f(c)=\frac{1}{c}$ కోసం, మనకు $\lim _{x \to c} f(x)=f(c)$ ఉంటుంది మరియు కాబట్టి, $f$, $f$ యొక్క డొమైన్లోని ప్రతి బిందువు వద్ద సతతంగా ఉంటుంది. అందువలన $f$ ఒక సతత ఫంక్షన్.

అనంతం యొక్క భావనను వివరించడానికి మనం ఈ అవకాశాన్ని ఉపయోగించుకుంటాము. $f(x)=\frac{1}{x}$ ఫంక్షన్ను $x=0$ సమీపంలో విశ్లేషించడం ద్వారా మనం దీనిని చేస్తాము. ఈ విశ్లేషణను చేపట్టడానికి మనం 0 కి సమీపంలో ఉన్న వాస్తవ సంఖ్యల వద్ద ఫంక్షన్ విలువను కనుగొనే సాధారణ ట్రిక్ను అనుసరిస్తాము. తప్పనిసరిగా మనం $f$ యొక్క 0 వద్ద కుడి చేతి ఎలిమిట్ను కనుగొనడానికి ప్రయత్నిస్తున్నాము. మనం దీన్ని ఈ క్రింది (టేబుల్ 5.1) లో పట్టిక చేస్తాము.

టేబుల్ 5.1

$x$ కుడి నుండి 0 కి దగ్గరగా వచ్చేకొద్దీ, $f(x)$ విలువ పైకి ఎగురుతుందని మనం గమనించాము. దీన్ని ఈ క్రింది విధంగా తిరిగి పదబంధం చేయవచ్చు: $f(x)$ విలువను ఏదైనా ఇచ్చిన సంఖ్య కంటే పెద్దదిగా చేయవచ్చు, 0 కి చాలా దగ్గరగా ఒక ధన వాస్తవ సంఖ్యను ఎంచుకోవడం ద్వారా. చిహ్నాలలో, మనం వ్రాస్తాము

$$ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=+\infty $$

(ఇది చదవాలి: $f(x)$ యొక్క 0 వద్ద కుడి చేతి ఎలిమిట్ ప్లస్ అనంతం). $+\infty$ ఒక వాస్తవ సంఖ్య కాదు మరియు కాబట్టి $f$ యొక్క 0 వద్ద కుడి చేతి ఎలిమిట్ (ఒక వాస్తవ సంఖ్యగా) ఉండదు అని మనం నొక్కి చెప్పాలనుకుంటున్నాము.

అదేవిధంగా, $f$ యొక్క 0 వద్ద ఎడమ చేతి ఎలిమిట్ను కనుగొనవచ్చు. ఈ క్రింది పట్టిక స్వయంవివరణాత్మకంగా ఉంటుంది.

టేబుల్ 5.2

టేబుల్ 5.2 నుండి, 0 కి చాలా దగ్గరగా ఒక ఋణ వాస్తవ సంఖ్యను ఎంచుకోవడం ద్వారా $f(x)$ విలువను ఏదైనా ఇచ్చిన సంఖ్య కంటే చిన్నదిగా చేయవచ్చని మనం నిర్ధారించుకుంటాము. చిహ్నాలలో, మనం వ్రాస్తాము

$$ \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=-\infty $$

(ఇది చదవాలి: $f(x)$ యొక్క 0 వద్ద ఎడమ చేతి ఎలిమిట్ మైనస్ అనంతం). మళ్ళీ, $-\infty$ ఒక వాస్తవ సంఖ్య కాదు మరియు కాబట్టి $f$ యొక్క 0 వద్ద ఎడమ చేతి ఎలిమిట్ (ఒక వాస్తవ సంఖ్యగా) ఉండదు అని మనం నొక్కి చెప్పాలనుకుంటున్నాము. Fig 5.3 లో ఇవ్వబడిన రెసిప్రోకల్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ పైన పేర్కొన్న వాస్తవాల యొక్క రేఖాగణిత ప్రాతినిధ్యం.

Fig 5.3

ఉదాహరణ 10 $f$ ద్వారా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క సాతత్యాన్ని చర్చించండి

$$ f(x)=\begin{cases} x+2, \text{ if } x \leq 1 \\ x-2, \text{ if } x1 > 1 \\ \end{cases}. $$

పరిష్కారం ఫంక్షన్ $f$ వాస్తవ రేఖ యొక్క అన్ని బిందువుల వద్ద నిర్వచించబడింది.

కేస్ 1 $c<1$ అయితే, $f(c)=c+2$. కాబట్టి, $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x+2)=c+2$

అందువలన, $f$ అన్ని 1 కంటే తక్కువ వాస్తవ సంఖ్యల వద్ద సతతంగా ఉంటుంది.

కేస్ 2 $c>1$ అయితే, $f(c)=c-2$. కాబట్టి,

$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x-2)=c-2=f(c) $

అందువలన, $f$ అన్ని బిందువులు $x>1$ వద్ద సతతంగా ఉంటుంది.

కేస్ 3 $c=1$ అయితే, $f$ యొక్క $x=1$ వద్ద ఎడమ చేతి ఎలిమిట్

$$ \lim _{x \to 1^{-}} f(x)=\lim _{x \to 1^{-}}(x+2)=1+2=3 $$

$f$ యొక్క $x=1$ వద్ద కుడి చేతి ఎలిమిట్

$$ \lim _{x \to 1^{+}} f(x)=\lim _{x \to 1^{+}}(x-2)=1-2=-1 $$

$f$ యొక్క $x=1$ వద్ద ఎడమ మరియు కుడి చేతి ఎలిమిట్లు ఏకీభవించనందున, $f$, $x=1$ వద్ద సతతంగా లేదు. కాబట్టి

Fig 5.4

$x=1$ ఏకైక అసాతత్య బిందువు $f$. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ Fig 5.4 లో ఇవ్వబడింది.

ఉదాహరణ 11 $f$ ద్వారా నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ యొక్క అన్ని అసాతత్య బిందువులను కనుగొనండి

$$ f(x)=\begin{cases} x+2, \text{ if } x<1 \\ 0, \text{ if } \quad x=1 \\ x-2, \text{ if } x>1 \end{cases}. $$

పరిష్కారం మునుపటి ఉదాహరణలో వలె, $f$ అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు $x \neq 1$ వద్ద సతతంగా ఉందని మనం కనుగొంటాము. $f$ యొక్క ⟦