“కాలిక్యులస్ ని కీగా ఉపయోగించి, గణితశాస్త్రాన్ని ప్రకృతి యొక్క గమనాన్ని వివరించడంలో విజయవంతంగా అనువర్తించవచ్చు.” - వైట్హెడ్

6.1 పరిచయం

అధ్యాయం 5 లో, మనం సంయుక్త ఫలనాల, విలోమ త్రికోణమితీయ ఫలనాల, అవ్యక్త ఫలనాల, ఘాతాంక ఫలనాల మరియు లఘుగణక ఫలనాల యొక్క అవకలజాన్ని ఎలా కనుగొనాలో నేర్చుకున్నాము. ఈ అధ్యాయంలో, మనం అవకలజం యొక్క అనువర్తనాలను వివిధ శాస్త్రాలలో, ఉదాహరణకు, ఇంజనీరింగ్, విజ్ఞానశాస్త్రం, సామాజిక శాస్త్రం మరియు అనేక ఇతర రంగాలలో అధ్యయనం చేస్తాము. ఉదాహరణకు, అవకలజాన్ని ఎలా ఉపయోగించవచ్చో మనం నేర్చుకుంటాము (i) పరిమాణాల మార్పు రేటును నిర్ణయించడానికి, (ii) ఒక వక్రంపై ఒక బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ మరియు అభిలంబ రేఖల సమీకరణాలను కనుగొనడానికి, (iii) ఒక ఫలనం యొక్క గ్రాఫ్ పై తిరుగుళ్ళ బిందువులను కనుగొనడానికి, ఇది ఒక ఫలనం యొక్క గరిష్ఠ లేదా కనిష్ఠ విలువ (స్థానికంగా) ఏర్పడే బిందువులను గుర్తించడంలో మాకు సహాయపడుతుంది. ఒక ఫలనం పెరుగుతున్న లేదా తగ్గుతున్న విరామాలను కనుగొనడానికి కూడా మనం అవకలజాన్ని ఉపయోగిస్తాము. చివరగా, కొన్ని పరిమాణాల యొక్క సుమారు విలువను కనుగొనడానికి మనం అవకలజాన్ని ఉపయోగిస్తాము.

6.2 పరిమాణాల మార్పు రేటు

అవకలజం $\\ \frac{ds}{dt} $ ద్వారా, మనం దూరం $s$ యొక్క మార్పు రేటును సమయం $t$కి సంబంధించి అర్థం చేసుకుంటామని గుర్తుకు తెచ్చుకోండి. అదే విధంగా, ఒక పరిమాణం $y$ మరొక పరిమాణం $x$తో కొంత నియమం $y=f(x)$ని తృప్తిపరిచే విధంగా మారుతూ ఉంటే, అప్పుడు $\frac{d y}{d x}$ (లేదా $f^{\prime}(x)$ ) $y$ యొక్క మార్పు రేటును $x$కి సంబంధించి సూచిస్తుంది మరియు $\frac{d y}{d x} _{x=x_0}(.$ లేదా $.f^{\prime}(x_0))$ $y$ యొక్క మార్పు రేటును $x$కి సంబంధించి $x=x_0$ వద్ద సూచిస్తుంది.

ఇంకా, రెండు చరరాశులు $x$ మరియు $y$ మరొక చరరాశి $t$కి సంబంధించి మారుతూ ఉంటే, అంటే, $x=f(t)$ మరియు $y=g(t)$ అయితే, అప్పుడు గొలుసు నియమం ద్వారా

$$ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d t} / \frac{d x}{d t}, \text{ if } \frac{d x}{d t} \neq 0 $$

అందువలన, $y$ యొక్క మార్పు రేటును $x$కి సంబంధించి $y$ మరియు $x$ రెండింటి యొక్క మార్పు రేటును $t$కి సంబంధించి ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు.

కొన్ని ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ 1 ఒక వృత్త వైశాల్యం యొక్క మార్పు రేటును సెకనుకు దాని వ్యాసార్థం $r$కి సంబంధించి $r=5 cm$ అయినప్పుడు కనుగొనండి.

సాధన వ్యాసార్థం $r$ ఉన్న వృత్త వైశాల్యం A దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది: $A=\pi r^{2}$. అందువలన, వైశాల్యం A యొక్క మార్పు రేటు దాని వ్యాసార్థం $r$కి సంబంధించి దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది: $\frac{d A}{d r}=\frac{d}{d r}(\pi r^{2})=2 \pi r$. $r=5 cm, \frac{d A}{d r}=10 \pi$ అయినప్పుడు. అందువలన, వృత్త వైశాల్యం $10 \pi cm^{2} / s$ రేటుతో మారుతోంది.

ఉదాహరణ 2 ఒక ఘనం యొక్క ఘనపరిమాణం సెకనుకు 9 ఘన సెంటీమీటర్ల రేటుతో పెరుగుతోంది. ఒక అంచు పొడవు 10 సెంటీమీటర్లు ఉన్నప్పుడు, ఉపరితల వైశాల్యం ఎంత వేగంగా పెరుగుతోంది?

సాధన $x$ ఒక భుజం పొడవుగా, $V$ ఘనపరిమాణంగా మరియు $S$ ఘనం యొక్క ఉపరితల వైశాల్యంగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు, $V=x^{3}$ మరియు $S=6 x^{2}$, ఇక్కడ $x$ సమయం $t$ యొక్క ఫలనం.

ఇప్పుడు $ \qquad \frac{d V}{d t}=9 cm^{3} / s$ (ఇవ్వబడింది)

అందువలన $ \qquad 9=\frac{d V}{d t}=\frac{d}{d t}(x^{3})=\frac{d}{d x}(x^{3}) \cdot \frac{d x}{d t} \quad(\text{ By Chain Rule })$

లేదా $ \qquad =3 x^{2} \cdot \frac{d x}{d t} $

ఇప్పుడు $ \qquad \frac{d x}{d t}=\frac{3}{x^{2}} \tag{1}$

$$ \begin{array}{rlr} \frac{d S}{d t} & =\frac{d}{d t}\left(6 x^{2}\right)=\frac{d}{d x}\left(6 x^{2}\right) \cdot \frac{d x}{d t} & \text { (By Chain Rule) } \\ & =12 x \cdot\left(\frac{3}{x^{2}}\right)=\frac{36}{x} & \text { (Using (1) ) } \end{array} $$

అందువలన, ఎప్పుడు $ x=10 \mathrm{~cm}, \frac{d S}{d t}=3.6 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} $

ఉదాహరణ 3 ఒక నిశ్శబ్దమైన సరస్సులోకి ఒక రాయిని వేస్తే, తరంగాలు వృత్తాలలో $4 cm$ సెకనుకు వేగంతో కదులుతాయి. వృత్తాకార తరంగం యొక్క వ్యాసార్థం $10 cm$ ఉన్న క్షణంలో, చుట్టుముట్టబడిన వైశాల్యం ఎంత వేగంగా పెరుగుతోంది?

సాధన వ్యాసార్థం $r$ ఉన్న వృత్త వైశాల్యం $A$ దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది: $A=\pi r^{2}$. అందువలన, వైశాల్యం A యొక్క మార్పు రేటు సమయం $t$కి సంబంధించి

$$ \frac{d \mathrm{~A}}{d t}=\frac{d}{d t}\left(\pi r^{2}\right)=\frac{d}{d r}\left(\pi r^{2}\right) \cdot \frac{d r}{d t}=2 \pi r \frac{d r}{d t} $$

ఇది ఇవ్వబడింది: $\frac{d r}{d t}=4 \mathrm{~cm}$

అందువలన, $ r=10 \mathrm{~cm} $ $ \frac{d \mathrm{~A}}{d t}=2 \pi(10)(4)=80 \pi $

అందువలన, చుట్టుముట్టబడిన వైశాల్యం $80 \pi cm^{2} / s$ రేటుతో పెరుగుతోంది, ఎప్పుడు $r=10 cm$.

గమనిక $\frac{d y}{d x}$ ధనాత్మకం అయితే $y$ పెరుగుతుంది, ఎప్పుడు $x$ పెరుగుతుంది మరియు ఋణాత్మకం అయితే $y$ తగ్గుతుంది, ఎప్పుడు $x$ పెరుగుతుంది.

ఉదాహరణ 4 ఒక దీర్ఘచతురస్రం యొక్క పొడవు $x$ $3 cm /$ నిమిషానికి రేటుతో తగ్గుతోంది మరియు వెడల్పు $y$ $2 cm /$ నిమిషానికి రేటుతో పెరుగుతోంది. $x=10 cm$ మరియు $y=6 cm$ అయినప్పుడు, (a) చుట్టుకొలత మరియు (b) దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యం యొక్క మార్పు రేట్లను కనుగొనండి.

సాధన పొడవు $x$ తగ్గుతూ మరియు వెడల్పు $y$ సమయానికి సంబంధించి పెరుగుతూ ఉన్నందున, మనకు ఉన్నాయి

$$ \frac{d x}{d t}=-3 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} \text { or } \frac{d y}{d t}=2 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} $$

(a) దీర్ఘచతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత $P$ దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది:

$$ \mathrm{P}=2(x+y) $$

అందువలన $ \frac{d \mathrm{P}}{d t}=2\left(\frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}\right)=2(-3+2)=-2 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} $

(b) దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యం $A$ దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది:

$ A=x \cdot y $

అందువలన $ \begin{aligned} \frac{d \mathrm{~A}}{d t} & =\frac{d x}{d t} \cdot y+x \cdot \frac{d y}{d t} \\ & =-3(6)+10(2)(\text { because } x=10 \mathrm{~cm} \text { and } y=6 \mathrm{~cm}) \\ & =2 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{min} \end{aligned} $

ఉదాహరణ 5 $x$ యూనిట్ల ఉత్పత్తితో సంబంధం ఉన్న మొత్తం ఖర్చు $C(x)$ రూపాయలలో, దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది:

$$ C(x)=0.005 x^{3}-0.02 x^{2}+30 x+5000 $$

3 యూనిట్లు ఉత్పత్తి అయినప్పుడు సీమాంత ఖర్చును కనుగొనండి, ఇక్కడ సీమాంత ఖర్చు అంటే ఏదైనా ఉత్పాదన స్థాయిలో మొత్తం ఖర్చు యొక్క తక్షణ మార్పు రేటు.

సాధన సీమాంత ఖర్చు అనేది మొత్తం ఖర్చు యొక్క మార్పు రేటు ఉత్పాదనకు సంబంధించి కాబట్టి, మనకు ఉన్నాయి

$ \begin{aligned} \text{ Marginal } \qquad \mathrm{MC} & =\frac{d \mathrm{C}}{d x}=0.005\left(3 x^{2}\right)-0.02(2 x)+30 \\ \text{ When } \qquad \mathrm{MC} & =0.015\left(3^{2}\right)-0.04(3)+30 \\ & =0.135-0.12+30=30.015 \end{aligned} $

అందువలన, అవసరమైన సీమాంత ఖర్చు ₹ 30.02 (సుమారుగా).

ఉదాహరణ 6 $x$ యూనిట్ల ఉత్పత్తి విక్రయం నుండి పొందిన మొత్తం ఆదాయం రూపాయలలో $R(x)=3 x^{2}+36 x+5$ ద్వారా ఇవ్వబడింది. $x=5$ అయినప్పుడు సీమాంత ఆదాయాన్ని కనుగొనండి, ఇక్కడ సీమాంత ఆదాయం అంటే ఒక క్షణంలో విక్రయించబడిన వస్తువుల సంఖ్యకు సంబంధించి మొత్తం ఆదాయం యొక్క మార్పు రేటు.

సాధన సీమాంత ఆదాయం అనేది మొత్తం ఆదాయం యొక్క మార్పు రేటు విక్రయించబడిన యూనిట్ల సంఖ్యకు సంబంధించి కాబట్టి, మనకు ఉన్నాయి

$ \begin{aligned} \text{ Marginal Revenue } \qquad (MR) & =\frac{d R}{d x}=6 x+36 \end{aligned} $ $ \begin{aligned} \text{ when } \qquad x & =5, MR=6(5)+36=66 \end{aligned} $

అందువలన, అవసరమైన సీమాంత ఆదాయం ₹ 66.

6.3 పెరుగుతున్న మరియు తగ్గుతున్న ఫలనాలు

ఈ విభాగంలో, ఒక ఫలనం పెరుగుతోందో, తగ్గుతోందో లేదా ఏదీ కాదో కనుగొనడానికి అవకలనాన్ని ఉపయోగిస్తాము.

$f(x)=x^{2}, x \in \mathbf{R}$ ద్వారా ఇవ్వబడిన ఫలనం $f$ని పరిగణించండి. ఈ ఫలనం యొక్క గ్రాఫ్ పటం 6.1లో ఇవ్వబడిన విధంగా ఒక పరావలయం.

మూలం యొక్క ఎడమ వైపు విలువలు

మనం ఎడమ నుండి కుడికి కదులుతున్నప్పుడు, గ్రాఫ్ యొక్క ఎత్తు తగ్గుతుంది

మనం ఎడమ నుండి కుడికి కదులుతున్నప్పుడు, గ్రాఫ్ యొక్క ఎత్తు పెరుగుతుంది మూలం యొక్క కుడి వైపు విలువలు

మొదట మూలం యొక్క కుడి వైపు గ్రాఫ్ (పటం 6.1)ని పరిగణించండి. మనం గ్రాఫ్ పై ఎడమ నుండి కుడికి కదులుతున్నప్పుడు, గ్రాఫ్ యొక్క ఎత్తు నిరంతరంగా పెరుగుతుందని గమనించండి. ఈ కారణంగా, ఫలనం వాస్తవ సంఖ్యలు $x>0$ కోసం పెరుగుతున్నది అని చెప్పబడుతుంది.

ఇప్పుడు మూలం యొక్క ఎడమ వైపు గ్రాఫ్ను పరిగణించండి మరియు ఇక్కడ మనం గ్రాఫ్ పై ఎడమ నుండి కుడికి కదులుతున్నప్పుడు, గ్రాఫ్ యొక్క ఎత్తు నిరంతరంగా తగ్గుతుందని గమనించండి. ఫలితంగా, ఫలనం వాస్తవ సంఖ్యలు $x<0$ కోసం తగ్గుతున్నది అని చెప్పబడుతుంది.

ఇప్పుడు మనం ఒక ఫలనం కోసం కింది విశ్లేషణాత్మక నిర్వచనాలను ఇస్తాము, ఇది ఒక విరామంలో పెరుగుతోంది లేదా తగ్గుతోంది.

నిర్వచనం 1 I ని ఒక వాస్తవ మూల్య ఫలనం $f$ యొక్క ప్రదేశంలో ఉన్న ఒక విరామంగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు $f$ అని చెప్పబడుతుంది

(i) I పై పెరుగుతున్నది, ఒకవేళ $x_1<x_2$ లో $I \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ అన్ని $x_1, x_2 \in I$ కోసం.

(ii) $I$ పై తగ్గుతున్నది, ఒకవేళ $x_1, x_2$ లో $I \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ అన్ని $x_1, x_2 \in I$ కోసం.

(iii) $I$ పై స్థిరంగా ఉంటుంది, ఒకవేళ $f(x)=c$ అన్ని $x \in I$ కోసం, ఇక్కడ $c$ ఒక స్థిరాంకం.

(iv) I పై తగ్గుతున్నది, ఒకవేళ $x_1<x_2$ లో $I \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$ అన్ని $x_1, x_2 \in I$ కోసం.

(v) I పై ఖచ్చితంగా తగ్గుతున్నది, ఒకవేళ $x_1<x_2$ లో $I \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ అన్ని $x_1, x_2 \in I$ కోసం.

అటువంటి ఫలనాల గ్రాఫికల్ ప్రాతినిధ్యం కోసం పటం 6.2 చూడండి.

ఇప్పుడు మనం ఒక ఫలనం ఒక బిందువు వద్ద ఎప్పుడు పెరుగుతోందో లేదా తగ్గుతోందో నిర్వచిస్తాము.

నిర్వచనం 2 $x_0$ ఒక వాస్తవ మూల్య ఫలనం $f$ యొక్క నిర్వచన ప్రదేశంలో ఒక బిందువుగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు $f$ $x_0$ వద్ద పెరుగుతున్నది, తగ్గుతున్నది అని చెప్పబడుతుంది, ఒకవేళ $x_0$ని కలిగి ఉన్న ఒక వివృత విరామం I ఉంటే, అప్పుడు $f$ వరుసగా I లో పెరుగుతోంది, తగ్గుతోంది.

పెరుగుతున్న ఫలనం కోసం ఈ నిర్వచనాన్ని స్పష్టం చేద్దాం.

ఉదాహరణ 7 $f(x)=7 x-3$ ద్వారా ఇవ్వబడిన ఫలనం $\mathbf{R}$ పై పెరుగుతోందని చూపండి.

సాధన $x_1$ మరియు $x_2$ $\mathbf{R}$ లో ఏవైనా రెండు సంఖ్యలుగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు

$$ \begin{aligned} x _{1}<x _{2} & \Rightarrow 7 x _{1}<7 x _{2} \\ & \Rightarrow 7 x _{1}-3<7 x _{2}-3 \\ & \Rightarrow f\left(x _{1}\right)<f\left(x _{2}\right) \end{aligned} $$

అందువలన, నిర్వచనం 1 ద్వారా, $f$ $\mathbf{R}$ పై ఖచ్చితంగా పెరుగుతోంది అని అనుసరిస్తుంది.

ఇప్పుడు మనం పెరుగుతున్న మరియు తగ్గుతున్న ఫలనాల కోసం మొదటి అవకలజ పరీక్షను ఇస్తాము. ఈ పరీక్ష యొక్క నిరూపణకు అధ్యాయం 5 లో అధ్యయనం చేసిన సగటు విలువ సిద్ధాంతం అవసరం.

సిద్ధాంతం 1 $f$ $[a, b]$ పై అవిచ్ఛిన్నంగా ఉండనివ్వండి మరియు వివృత విరామం $(a, b)$ పై అవకలనీయంగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు

(a) $f$ $[a, b]$ లో పెరుగుతోంది, ఒకవేళ $f^{\prime}(x)>0$ ప్రతి $x \in(a, b)$ కోసం

(b) $f$ $[a, b]$ లో తగ్గుతోంది, ఒకవేళ $f^{\prime}(x)<0$ ప్రతి $x \in(a, b)$ కోసం

(c) $f$ $[a, b]$ లో ఒక స్థిర ఫలనం, ఒకవేళ $f^{\prime}(x)=0$ ప్రతి $x \in(a, b)$ కోసం

నిరూపణ (a) $x_1, x_2 \in[a, b]$ అటువంటివి $x_1<x_2$ అని ఉండనివ్వండి.

అప్పుడు, సగటు విలువ సిద్ధాంతం ద్వారా (అధ్యాయం 5 లో సిద్ధాంతం 8), ఒక బిందువు $c$ ఉంది $x_1$ మరియు $x_2$ మధ్య అటువంటి

$$ f\left(x _{2}\right)-f\left(x _{1}\right)=f^{\prime}(c)\left(x _{2}-x _{1}\right) $$

అంటే $\begin{array}{ll} f\left(x _{2}\right)-f\left(x _{1}\right)>0 & \left(\text { given } f^{\prime}(c)>0\right) \end{array}$

అంటే $f(x_2)>f(x_1)$

అందువలన, మనకు ఉన్నాయి $x_1<x_2 \quad f(x_1) \quad f(x_2), \text{ for all } x_1, x_2 \quad[a, b]$

అందువలన, $f$ $[a, b]$ లో ఒక పెరుగుతున్న ఫలనం.

భాగం (b) మరియు (c) యొక్క నిరూపణలు సమానంగా ఉంటాయి. ఇది పాఠకునికి వ్యాయామంగా మిగిలిపోయింది.

వ్యాఖ్యలు

మరింత సాధారణీకరించబడిన సిద్ధాంతం ఉంది, ఇది ఒకవేళ $f \phi(x)>0$ $x$ కోసం ఒక విరామంలో చివరి బిందువులను మినహాయించి మరియు $f$ ఆ విరామంలో అవిచ్ఛిన్నంగా ఉంటే, అప్పుడు $f$ పెరుగుతోంది. అదేవిధంగా, ఒకవేళ $f \phi(x)<0$ $x$ కోసం ఒక విరామంలో చివరి బిందువులను మినహాయించి మరియు $f$ ఆ విరామంలో అవిచ్ఛిన్నంగా ఉంటే, అప్పుడు $f$ తగ్గుతోంది.

ఉదాహరణ 8 $f$ ద్వారా ఇవ్వబడిన ఫలనం

$\mathbf{R}$ పై పెరుగుతోందని చూపండి.

$$ f(x)=x^{3}-3 x^{2}+4 x, x \in \mathbf{R} $$

సాధన గమనించండి

$$ \begin{aligned} f^{\prime}(x) & =3 x^{2}-6 x+4 \\ & =3(x^{2}-2 x+1)+1 \\ & =3(x-1)^{2}+1>0, \text{ in every interval of } \mathbf{R} \end{aligned} $$

అందువలన, ఫలనం $f$ $\mathbf{R}$ పై పెరుగుతోంది.

ఉదాహరణ 9 $f(x)=\cos x$ ద్వారా ఇవ్వబడిన ఫలనం

(a) $(0, \pi)$ లో తగ్గుతోంది

(b) $(\pi, 2 \pi)$ లో పెరుగుతోంది, మరియు

(c) $(0,2 \pi)$ లో పెరగడం లేదా తగ్గడం లేదు అని నిరూపించండి.

సాధన గమనించండి $f^{\prime}(x)=-\sin x$

(a) ప్రతి $x \in(0, \pi), \sin x>0$ కోసం, మనకు ఉన్నాయి $f^{\prime}(x)<0$ మరియు అందువలన $f$ $(0, \pi)$ లో తగ్గుతోంది.

(b) ప్రతి $x \in(\pi, 2 \pi)$ కోసం, $\sin x<0$, మనకు ఉన్నాయి $f^{\prime}(x)>0$ మరియు అందువలన $f$ $(\pi, 2 \pi)$ లో పెరుగుతోంది.

(c) పైన (a) మరియు (b) ద్వారా స్పష్టంగా, $f$ $(0,2 \pi)$ లో పెరగడం లేదా తగ్గడం లేదు.

ఉదాహరణ 10 $f(x)=x^{2}-4 x+6$ ద్వారా ఇవ్వబడిన ఫలనం $f$ ఏ విరామాలలో (a) పెరుగుతోంది (b) తగ్గుతోంది

సాధన మనకు ఉన్నాయి

$$ f(x)=x^{2}-4 x+6 $$ $ or \qquad f^{\prime}(x)=2 x-4 $

అందువలన, $f^{\prime}(x)=0$ ఇస్తుంది $x=2$. ఇప్పుడు బిందువు $x=2$ వాస్తవ రేఖను రెండు విడిగా ఉన్న విరామాలుగా విభజిస్తుంది, అవి $(-\infty, 2)$ మరియు $(2, \infty)$ (పటం 6.3). విరామం $(-\infty, 2), f^{\prime}(x)=2 x$ లో $-4<0$.

అందువలన, $f$ ఈ విరామంలో తగ్గుతోంది. కూడా, విరామం $(2, \infty), f^{\prime}(x)>0$ లో మరియు అందువలన ఫలనం $f$ ఈ విరామంలో పెరుగుతోంది.

ఉదాహరణ 11 $f(x)=4 x^{3}-6 x^{2}-72 x$ +30 ద్వారా ఇవ్వబడిన ఫలనం $f$ ఏ విరామాలలో (a) పెరుగుతోంది (b) తగ్గుతోందో కనుగొనండి.

సాధన మనకు ఉన్నాయి

$$ \text{ or } \quad \begin{aligned} f(x) & =4 x^{3}-6 x^{2}-72 x+30 \\ f^{\prime}(x) & =12 x^{2}-12 x-72 \\ & =12(x^{2}-x-6) \\ & =12(x-3)(x+2) \end{aligned} $$

అందువలన, $f^{\prime}(x)=0$ ఇస్తుంది $x=-2,3$. బిందువులు $x=-2$ మరియు $x=3$ వాస్తవ రేఖను మూడు విడిగా ఉన్న విరామాలుగా విభజిస్తాయి, అవి $(-\infty,-2),(-2,3)$

పటం 6.4 మరియు $(3, \infty)$.

విరామాలు $(-\infty,-2)$ మరియు $(3, \infty), f^{\prime}(x)$ లో ధనాత్మకంగా ఉండగా విరామం $(-2,3)$ లో, $f^{\prime}(x)$ ఋణాత్మకంగా ఉంటుంది. ఫలితంగా, ఫలనం $f$ విరామాలు $(-\infty,-2)$ మరియు $(3, \infty)$ లో పెరుగుతోంది, అయితే ఫలనం విరామం $(-2,3)$ లో తగ్గుతోంది. అయితే, $f$ $\mathbf{R}$ లో పెరగడం లేదా తగ్గడం లేదు.

ఉదాహరణ 12 $f(x)=\sin 3 x, x \in 0, \frac{\pi}{2}$ ద్వారా ఇవ్వబడిన ఫలనం ఏ విరామాలలో (a) పెరుగుతోంది (b) తగ్గుతోందో కనుగొనండి.

సాధన మనకు ఉన్నాయి

$f(x) =\sin 3 x $

లే