ఒక పర్వతారోహి పర్వతాన్ని ఎక్కినట్లే - అది అక్కడ ఉన్నందున, అలాగే ఒక మంచి గణిత విద్యార్థి కొత్త విషయాన్ని అధ్యయనం చేస్తాడు - ఎందుకంటే అది అక్కడ ఉంది. - జేమ్స్ బి. బ్రిస్టల్

7.1 పరిచయం

అవకలన కలనం యొక్క కేంద్ర భావన అవకలజం. అవకలజానికి అసలు ప్రేరణ ఫలనాల గ్రాఫ్లకు స్పర్శరేఖలను నిర్వచించడం మరియు అటువంటి రేఖల వాలు లెక్కించడం యొక్క సమస్య. సమాకలన కలనం ఫలనాల గ్రాఫ్తో సరిహద్దులుగా ఉన్న ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యాన్ని నిర్వచించడం మరియు లెక్కించడం యొక్క సమస్య ద్వారా ప్రేరేపించబడింది.

ఒక ఫలనం $f$ ఒక అంతరాళం $I$లో అవకలనీయంగా ఉంటే, అనగా, దాని అవకలజం $f$ ’ ప్రతి బిందువు వద్ద $I$ ఉనికిలో ఉంటే, అప్పుడు ఒక సహజ ప్రశ్న ఉద్భవిస్తుంది, I యొక్క ప్రతి బిందువు వద్ద $f^{\prime}$ ఇచ్చినట్లయితే, మనం ఫలనాన్ని నిర్ణయించగలమా? ఇచ్చిన ఫలనాన్ని అవకలజంగా కలిగి ఉండే సంభావ్య ఫలనాలను ఆ ఫలనం యొక్క ప్రతిఅవకలజాలు (లేదా ఆదిమ) అంటారు. మరింతగా, ఇచ్చే సూత్రం

G.W. లీబ్నిట్జ్ (1646 - 1716)

ఈ అన్ని ప్రతిఅవకలజాలను ఆ ఫలనం యొక్క అనిర్దిష్ట సమాకలనం అంటారు మరియు అటువంటి ప్రతిఅవకలజాలను కనుగొనే ప్రక్రియను సమాకలనం అంటారు. ఇలాంటి రకాల సమస్యలు అనేక ఆచరణాత్మక పరిస్థితులలో ఉద్భవిస్తాయి. ఉదాహరణకు, ఏదైనా క్షణంలో ఒక వస్తువు యొక్క తక్షణ వేగం మనకు తెలిస్తే, అప్పుడు ఒక సహజ ప్రశ్న ఉద్భవిస్తుంది, అనగా, ఏదైనా క్షణంలో వస్తువు యొక్క స్థానాన్ని మనం నిర్ణయించగలమా? సమాకలన ప్రక్రియ చేరిన అనేక అటువంటి ఆచరణాత్మక మరియు సైద్ధాంతిక పరిస్థితులు ఉన్నాయి. సమాకలన కలనం యొక్క అభివృద్ధి క్రింది రకాల సమస్యలను పరిష్కరించే ప్రయత్నాల నుండి ఉద్భవిస్తుంది:

(ఎ) దాని అవకలజం ఇవ్వబడినప్పుడు ఒక ఫలనాన్ని కనుగొనే సమస్య,

(బి) కొన్ని షరతుల క్రింద ఒక ఫలనం యొక్క గ్రాఫ్తో సరిహద్దులుగా ఉన్న వైశాల్యాన్ని కనుగొనే సమస్య.

ఈ రెండు సమస్యలు రెండు రకాల సమాకలనాలకు దారి తీస్తాయి, ఉదా., అనిర్దిష్ట మరియు నిర్దిష్ట సమాకలనాలు, ఇవి కలిసి సమాకలన కలనాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

అనిర్దిష్ట సమాకలనం మరియు నిర్దిష్ట సమాకలనం మధ్య ఒక సంబంధం ఉంది, దీనిని కలనం యొక్క మూలభూత సిద్ధాంతం అంటారు, ఇది నిర్దిష్ట సమాకలనాన్ని విజ్ఞాన శాస్త్రం మరియు ఇంజనీరింగ్ కోసం ఒక ఆచరణాత్మక సాధనంగా చేస్తుంది. నిర్దిష్ట సమాకలనం ఆర్థికశాస్త్రం, ఫైనాన్స్ మరియు సంభావ్యత వంటి వివిధ విభాగాల నుండి అనేక ఆసక్తికరమైన సమస్యలను పరిష్కరించడానికి కూడా ఉపయోగించబడుతుంది.

ఈ అధ్యాయంలో, మేము అనిర్దిష్ట మరియు నిర్దిష్ట సమాకలనాలు మరియు వాటి ప్రాథమిక లక్షణాల అధ్యయనానికి మాత్రమే పరిమితం చేసుకుంటాము, వీటిలో సమాకలనం యొక్క కొన్ని పద్ధతులు ఉన్నాయి.

7.2 అవకలనం యొక్క విలోమ ప్రక్రియగా సమాకలనం

సమాకలనం అనేది అవకలనం యొక్క విలోమ ప్రక్రియ. ఒక ఫలనాన్ని అవకలనం చేయడానికి బదులుగా, ఒక ఫలనం యొక్క అవకలజం మనకు ఇవ్వబడింది మరియు దాని ఆదిమాన్ని, అనగా, అసలు ఫలనాన్ని కనుగొనమని అడుగుతారు. అటువంటి ప్రక్రియను సమాకలనం లేదా ప్రతి అవకలనం అంటారు. కింది ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాం:

$\text{ మనకు తెలుసు }\quad \begin{equation*} \frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x \tag{1} \end{equation*} $

$$ \begin{equation*} \frac{d}{d x}\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=x^{2} \tag{2} \end{equation*} $$

$\text{ మరియు }\quad \begin{equation*} \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)=e^{x} \tag{3} \end{equation*} $

(1)లో, ఫలనం $\cos x$ $\sin x$ యొక్క అవకలజ ఫలనం అని మనం గమనించాము. $\sin x$ $\cos x$ యొక్క ఒక ప్రతిఅవకలజం (లేదా సమాకలనం) అని మనం చెప్పాము. అదేవిధంగా, (2) మరియు (3)లో, $\frac{x^{3}}{3}$ మరియు $e^{x}$ వరుసగా $x^{2}$ మరియు $e^{x}$ యొక్క ప్రతిఅవకలజాలు (లేదా సమాకలనాలు). మళ్ళీ, ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య $C$ కోసం, స్థిర ఫలనంగా పరిగణించబడుతుంది, దాని అవకలజం సున్నా మరియు అందువలన, మనం (1), (2) మరియు (3)ను క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:

$$ \frac{d}{d x}(\sin x+C)=\cos x, \frac{d}{d x}(\frac{x^{3}}{3}+C)=x^{2} \text{ and } \frac{d}{d x}(e^{x}+C)=e^{x} $$

ఈ విధంగా, పైన పేర్కొన్న ఫలనాల ప్రతిఅవకలజాలు (లేదా సమాకలనాలు) ప్రత్యేకమైనవి కావు. వాస్తవానికి, వాస్తవ సంఖ్యల సమితి నుండి $C$ ను ఏకపక్షంగా ఎంచుకోవడం ద్వారా ఈ ప్రతి ఫలనాల యొక్క అనంతమైన అనేక ప్రతిఅవకలజాలు ఉన్నాయి. ఈ కారణంగా $C$ సాధారణంగా ఏకపక్ష స్థిరాంకం అని సూచిస్తారు. వాస్తవానికి, $C$ అనేది పరామితి, దీనిని మార్చడం ద్వారా ఇచ్చిన ఫలనం యొక్క విభిన్న ప్రతిఅవకలజాలు (లేదా సమాకలనాలు) లభిస్తాయి.

మరింత సాధారణంగా, ఒక ఫలనం $F$ ఉంటే, అది $\frac{d}{d x} F(x)=f(x), \forall x \in I$ (అంతరాళం), అప్పుడు ఏదైనా ఏకపక్ష వాస్తవ సంఖ్య $C$ కోసం, (సమాకలన స్థిరాంకం అని కూడా పిలుస్తారు)

$ \frac{d}{d x}[F(x)+C]=f(x), x \in I $

ఈ విధంగా, $\qquad\{F+C, C \in \mathbf{R}\} \text{ denotes a family of anti derivatives of } f \text{. }$

గమనిక ఒకే అవకలజాలు ఉన్న ఫలనాలు ఒక స్థిరాంకంతో భిన్నంగా ఉంటాయి. దీనిని చూపించడానికి, $g$ మరియు $h$ ఒక అంతరాళం I పై ఒకే అవకలజాలను కలిగి ఉన్న రెండు ఫలనాలుగా ఉండనివ్వండి.

$f=g-h$ ద్వారా నిర్వచించబడిన ఫలనాన్ని పరిగణించండి $f(x)=g(x)-h(x), \forall x \in I$

అప్పుడు $\qquad \frac{d f}{d x}=f^{\prime}=g^{\prime}-h^{\prime} \text{ giving } f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)-h^{\prime}(x) \forall x \in I$

లేదా $\qquad f^{\prime}(x)=0, \forall x \in I \text{ by hypothesis, }$

అనగా, $f$ యొక్క మార్పు రేటు $x$కి సంబంధించి $I$ పై సున్నా మరియు అందువలన $f$ స్థిరంగా ఉంటుంది.

పై గమనిక దృష్ట్యా, $\{F+C, C \in \mathbf{R}\}$ కుటుంబం $f$ యొక్క అన్ని సాధ్యమైన ప్రతిఅవకలజాలను అందిస్తుందని నిర్ధారించడం సమర్థనీయమైనది.

మేము ఒక కొత్త చిహ్నాన్ని పరిచయం చేస్తాము, అదే $\int f(x) d x$, ఇది ప్రతిఅవకలజాల మొత్తం తరగతిని సూచిస్తుంది, దీనిని $f$ యొక్క అనిర్దిష్ట సమాకలనం అని చదువుతారు, దీనికి సంబంధించి $x$.

చిహ్నాత్మకంగా, మనం వ్రాస్తాము $\int f(x) d x=F(x)+C$.

సంజ్ఞామానం $\frac{d y}{d x}=f(x)$ ఇచ్చినట్లయితే, మనం వ్రాస్తాము $y=\int f(x) d x$.

సౌలభ్యం కోసం, మేము క్రింద ఈ క్రింది చిహ్నాలు/పదాలు/వాక్యాలను పేర్కొన్నాము

పట్టిక 7.1

అనేక ముఖ్యమైన ఫలనాల అవకలజాల కోసం సూత్రాలు మనకు ఇప్పటికే తెలుసు. ఈ సూత్రాల నుండి, ఈ ఫలనాల సమాకలనాల కోసం మనం వెంటనే సంబంధిత సూత్రాలను (ప్రామాణిక సూత్రాలు అని సూచిస్తారు) వ్రాయవచ్చు, ఇవి ఇతర ఫలనాల సమాకలనాలను కనుగొనడానికి ఉపయోగించబడతాయి.

$ \begin{array}{ll} \text{అవకలజాలు} & \text{సమాకలనాలు (ప్రతిఅవకలజాలు)} \\ \\ \text{(i)} \frac{d}{d x}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=x^{n} & \int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\mathrm{C}, n \neq-1 \\ \\ \text{ప్రత్యేకంగా, మనం గమనించాము} & \\ \\ \frac{d}{d x}(x)=1 & \int d x=x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(ii)} \frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x & \int \cos x d x=\sin x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(iii)} \frac{d}{d x}(-\cos x)=\sin x & \int \sin x d x=-\cos x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(iv)} \frac{d}{d x}(\tan x)=\sec ^{2} x & \int \sec ^{2} x d x=\tan x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(v)} \frac{d}{d x}(-\cot x)=\operatorname{cosec}^{2} x & \int \operatorname{cosec}^{2} x d x=-\cot x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(vi)} \frac{d}{d x}(\sec x)=\sec x \tan x & \int \operatorname{cosec} x \cot x d x=-\operatorname{cosec} x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(vii)} \frac{d}{d x}(-\operatorname{cosec} x)=\operatorname{cosec} x \cot x & \int \sec x \tan x d x=\sec x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (viii) } \frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\sin ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (ix) } \frac{d}{d x}\left(-\cos ^{-1} x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=-\cos ^{-1} x+\mathrm{C} \end{array} $

$ \begin{array}{ll} \text { (x) } \frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} & \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\tan ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xi) } \frac{d}{d x}\left(-\cot ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} & \int \frac{d x}{1+x^{2}}=-\cot ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xii) } \frac{d}{d x}\left(\sec ^{-1} x\right)=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} & \int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}}=\sec ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xiii) } \frac{d}{d x}\left(-\operatorname{cosec}^{-1} x\right)=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} & \int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}}=-\operatorname{cosec}^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xiv) } \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)=e^{x} & \int e^{x} d x=e^{x}+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xv) } \frac{d}{d x}(\log |x|)=\frac{1}{x} & \int \frac{1}{x} d x=\log |x|+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xvi) } \frac{d}{d x}\left(\frac{a^{x}}{\log a}\right)=a^{x} & \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\log a}+\mathrm{C} \end{array} $

గమనిక ఆచరణలో, వివిధ ఫలనాలు నిర్వచించబడిన అంతరాళాన్ని మనం సాధారణంగా పేర్కొనము. అయినప్పటికీ, ఏదైనా నిర్దిష్ట సమస్యలో దానిని గుర్తుంచుకోవాలి.

7.2.1 అనిర్దిష్ట సమాకలనం యొక్క కొన్ని లక్షణాలు

ఈ ఉపవిభాగంలో, మేము అనిర్దిష్ట సమాకలనాల యొక్క కొన్ని లక్షణాలను పొందుతాము.

(I) అవకలనం మరియు సమాకలనం ప్రక్రియలు క్రింది ఫలితాల అర్థంలో ఒకదానికొకటి విలోమాలు:

$$ \frac{d}{d x} \int f(x) d x=f(x) $$

మరియు $\qquad \int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C \text{, where } C \text{ is any arbitrary constant. }$

నిరూపణ $F$ $f$ యొక్క ఏదైనా ప్రతిఅవకలజంగా ఉండనివ్వండి, అనగా,

$$ \frac{d}{d x} F(x)=f(x) $$

$$ \text{ }\qquad \int f(x) d x=F(x)+C $$

$ \text{ అందువలన }\qquad \begin{aligned} \frac{d}{d x} \int f(x) d x & =\frac{d}{d x}(F(x)+C) \\ & =\frac{d}{d x} F(x)=f(x) \end{aligned} $

అదేవిధంగా, మనం గమనించాము

$$ f^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} f(x) $$

మరియు అందువలన$\qquad \int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C$

ఇక్కడ $C$ అనేది ఏకపక్ష స్థిరాంకం, దీనిని సమాకలన స్థిరాంకం అంటారు.

(II) ఒకే అవకలజం ఉన్న రెండు అనిర్దిష్ట సమాకలనాలు వక్రరేఖల యొక్క ఒకే కుటుంబానికి దారి తీస్తాయి మరియు అందువలన అవి సమానమైనవి.

నిరూపణ $f$ మరియు $g$ రెండు ఫలనాలుగా ఉండనివ్వండి

$$\frac{d}{d x} \int f(x) d x=\frac{d}{d x} \int g(x) d x$$

లేదా $\qquad \frac{d}{d x}[\int f(x) d x-\int g(x) d x]=0$

అందువలన $\quad \int f(x) d x-\int g(x) d x=C$, ఇక్కడ $C$ ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య

లేదా $\qquad \int f(x) d x=\int g(x) d x+C$

కాబట్టి వక్రరేఖల కుటుంబాలు $\{\int f(x) d x+C_1, C_1 \in R\}$

మరియు $\qquad\{\int g(x) d x+C_2, C_2 \in R\} \text{ are identical. }$

అందువలన, ఈ అర్థంలో, $\int f(x) d x$ మరియు $\int g(x) d x$ సమానమైనవి.

గమనిక కుటుంబాల సమానత్వం $\{\int f(x) d x+C_1, C_1 \in \mathbf{R}\}$ మరియు $\{\int g(x) d x+\mathbf{C} _2, \mathbf{C} _2 \in \mathbf{R}\}$ సాధారణంగా $\int f(x) d x=\int g(x) d x$ అని వ్రాయడం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది, పరామితిని పేర్కొనకుండా.

(III) $\int[f(x)+g(x)] d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x$

నిరూపణ లక్షణం (I) ద్వారా, మనకు ఉంది

$ \frac{d}{d x}[\int[f(x)+g(x)] d x]=f(x)+g(x) $

మరోవైపు, మనం కనుగొంటాము

$ \begin{aligned} \frac{d}{d x}[\int f(x) d x+\int g(x) d x] & =\frac{d}{d x} \int f(x) d x+\frac{d}{d x} \int g(x) d x \\ & =f(x)+g(x) \end{aligned} $

ఈ విధంగా, లక్షణం (II) దృష్ట్యా, ఇది (1) మరియు (2) ద్వారా అనుసరిస్తుంది

$$ \int(f(x)+g(x)) d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x . $$

(IV) ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య $k, \int k f(x) d x=k \int f(x) d x$ కోసం

నిరూపణ లక్షణం (I) ద్వారా, $\frac{d}{d x} \int k f(x) d x=k f(x)$.

కూడా $\quad \frac{d}{d x}[k \int f(x) d x]=k \frac{d}{d x} \int f(x) d x=k f(x)$

అందువలన, లక్షణం (II) ఉపయోగించి, మనకు $\int k f(x) d x=k \int f(x) d x$ ఉంది.

(V) లక్షణాలు (III) మరియు (IV) ఒక పరిమిత సంఖ్యలో ఫలనాలకు సాధారణీకరించబడతాయి $f_1, f_2, \ldots, f_n$ మరియు వాస్తవ సంఖ్యలు, $k_1, k_2, \ldots, k_n$ ఇవ్వడం

$$ \begin{aligned} & \int[k_1 f_1(x)+k_2 f_2(x)+\ldots+k_n f_n(x)] d x \\ & =k_1 \int f_1(x) d x+k_2 \int f_2(x) d x+\ldots+k_n \int f_n(x) d x . \end{aligned} $$

ఇచ్చిన ఫలనం యొక్క ప్రతిఅవకలజాన్ని కనుగొనడానికి, దీని అవకలజం ఇచ్చిన ఫలనం అయిన ఫలనాన్ని మనం సహజంగా అన్వేషిస్తాము. ప్రతిఅవకలజాన్ని కనుగొనడానికి అవసరమైన ఫలనాన్ని అన్వేషించడాన్ని పరిశీలన పద్ధతి ద్వారా సమాకలనం అంటారు. మేము దానిని కొన్ని ఉదాహరణల ద్వారా వివరిస్తాము.

ఉదాహరణ 1 పరిశీలన పద్ధతిని ఉపయోగించి క్రింది ప్రతి ఫలనాలకు ఒక ప్రతిఅవకలజాన్ని వ్రాయండి:

(i) $\cos 2 x$

(ii) $3 x^{2}+4 x^{3}$

(iii) $\frac{1}{x}, x \neq 0$

పరిష్కారం

(i) మనం ఒక ఫలనాన్ని వెతుకుతాము, దీని అవకలజం $\cos 2 x$. గుర్తుచేసుకోండి

$ \begin{gathered} \frac{d}{d x} \sin 2 x=2 \cos 2 x \\ \end{gathered} $

లేదా $\cos 2 x=\frac{1}{2} \frac{d}{d x}(\sin 2 x)=\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{2} \sin 2 x\right)$

అందువలన, $\cos 2 x$ యొక్క ఒక ప్రతిఅవకలజం $\frac{1}{2} \sin 2 x$.

(ii) మనం ఒక ఫలనాన్ని వెతుకుతాము, దీని అవకలజం $3 x^{2}+4 x^{3}$. గమనించండి

$ \frac{d}{d x}(x^{3}+x^{4})=3 x^{2}+4 x^{3} $

అందువలన, $3 x^{2}+4 x^{3}$ యొక్క ఒక ప్రతిఅవకలజం $x^{3}+x^{4}$.

(iii) మనకు తెలుసు

$\frac{d}{d x}(\log x)=\frac{1}{x}, x>0$ మరియు $\frac{d}{d x}[\log (-x)]=\frac{1}{-x}(-1)=\frac{1}{x}, x<0$

పైన కలిపితే, మనకు లభిస్తుంది $\frac{d}{d x}(\log |x|)=\frac{1}{x}, x \neq 0$

అందువలన, $\int \frac{1}{x} d x=\log |x|$ $\frac{1}{x}$ యొక్క ప్రతిఅవకలజాలలో ఒకటి.

ఉదాహరణ 2 క్రింది సమాకలనాలను కనుగొనండి:

(i) $\int \frac{x^{3}-1}{x^{2}} d x$

(ii) $\int(x^{\frac{2}{3}}+1) d x$

(iii) $\int(x^{\frac{3}{2}}+2 e^{x}-\frac{1}{x}) d x$

పరిష్కారం

(i) మనకు ఉంది

$$ \begin{aligned} \int \frac{x^{3}-1}{x^{2}} & d x=\int x d x-\int x^{-2} d x \quad(\text{ by Property } V) \\ = & (\frac{x^{1+1}}{1+1}+C_1)-(\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C_2) ; C_1, C_2 \text{ are constants of integration } \\ & =\frac{x^{2}}{2}+C_1-\frac{x^{-1}}{-1}-C_2=\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}+C_1-C_2 \\ & =\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}+C \text{, where } C=C_1-C_2 \text{ is another constant of integration. } \end{aligned} $$

గమనిక ఇప్పటి నుండి, మేము తుది సమాధానంలో ఒకే ఒక సమాకలన స్థిరాంకాన్ని మాత్రమే వ్రాస్తాము.

(ii) మనకు ఉంది $$ \begin{aligned} \int(x^{\frac{2}{3}}+1) d x & =\int x^{\frac{2}{3}} d x+\int d x \\ & =\frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1}+x+C=\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}+x+C \end{aligned} $$

(iii) మనకు ఉంది $\int(x^{\frac{3}{2}}+2 e^{x}-\frac{1}{x}) d x=\int x^{\frac{3}{2}} d x+\int 2 e^{x} d x-\int \frac{1}{x} d x$

$$ \begin{aligned} & =\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+2 e^{x}-\log |x|+C \\ & =\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}+2 e^{x}-\log |x|+C \end{aligned} $$

ఉదాహరణ 3 క్రింది సమాకలనాలను కనుగొనండి:

(i) $\int(\sin x+\cos x) d x$

(ii) $\int cosec x(cosec x+\cot x) d x$

(iii) $\int \frac{1-\sin x}{\cos ^{2} x} d x$

పరిష్కారం

(i) మనకు ఉంది $$ \begin{aligned} \int(\sin x+\cos x) d x & =\int \sin x d x+\int \cos x d x \\ & =-\cos x+\sin x+C \end{aligned} $$

(ii) మనకు ఉంది $$ \begin{aligned} \int(cosec x(cosec x+\cot x) d x & =\int cosec^{2} x d x+\int cosec x \cot x d x \\ & =-\cot x-cosec x+C \end{aligned} $$

(iii) మనకు ఉంది $$ \begin{aligned} \int \frac{1-\sin x}{\cos ^{2} x} d x & =\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x-\int \frac{\sin x}{\cos ^{2} x} d x \\ & =\int \sec ^{2} x d x-\int \tan x \sec x d x \\ & =\tan x-\sec x+C \end{aligned} $$

ఉదాహరణ 4 ప్రతిఅవకలజాన్ని కనుగొనండి $F$ $f$ యొక్క ద్వారా నిర్వచించబడింది $f(x)=4 x^{3}-6$, ఇక్కడ $F(0)=3$

పరిష్కారం $f(x)$ యొక్క ఒక ప్రతిఅవకలజం $x^{4}-6 x$

$$ \frac{d}{d x}(x^{4}-6 x)=4 x^{3}-6 $$

$$ F(x)=x^{4}-6 x+C \text{, where } C \text{ is constant. } $$

అందువలన, ప్రతిఅవకలజం $F$ ద్వారా ఇవ్వబడింది

ఇచ్చిన $$ \begin{aligned} F(0) & =3, \text{ which gives } \\ 3 & =0-6 \times 0+C \text{ or } C=3 \end{aligned} $$

అందువలన, అవసరమైన ప్రతిఅవకలజం ప్రత్యేక ఫలనం $F$ ద్వారా నిర్వచించబడింది $\mathrm{F}(x)=x^{4}-6 x+3$

గమనికలు

(i) $F$ $f$ యొక్క ఒక ప్రతిఅవకలజం అయితే, అప్పుడు $F+C$ కూడా అలాగే, ఇక్కడ $C$ ఏదైనా స్థిరాంకం. ఈ విధంగా, ఒక ఫలనం యొక్క ఒక ప్రతిఅవకలజం $F$ మనకు తెలిస్తే, మనం $f$ యొక్క అనంతమైన అనేక ప్రతిఅవకలజాలను వ్రాయవచ్చు $f$ ద్వారా వ్యక్తీకరించబడిన $F$ కు ఏదైనా స్థిరాంకాన్ని జోడించడం ద్వారా $F(x)+C, C \in \mathbf{R}$. అనువర్తనాలలో, ఇది తరచుగా ఒక అదనపు షరతును సంతృప్తిపరచడం అవసరం, ఇది తరువాత $C$ యొక్క నిర్దిష్ట విలువను నిర్ణయిస్తుంది, ఇచ్చిన ఫలనం యొక్క ప్రత్యేక ప్రతిఅవకలజాన్ని ఇస్తుంది.

(ii) కొన్నిసార్లు, $F$ ప్రాథమిక ఫలనాల పరంగా వ్యక్తీకరించబడదు, అవి బహుపది, లాగరిథమిక్, ఘాతాంక, త్రికోణమితి ఫలనాలు మరియు వాటి విలోమాలు మొదలైనవి. అందువలన, $\int f(x) d x$ కనుగొనడానికి మేము నిరోధించబడ్డాము. ఉదాహరణకు, $\int e^{-x^{2}} d x$ ను పరిశీలన ద్వారా కనుగొనడం సాధ్యం కాదు, ఎందుకంటే దీని అవకలజం $e^{-x^{2}}$ అయిన ఫలనాన్ని మనం కనుగొనలేము

(iii) సమాకలనం యొక్క చరం $x$ కాకుండా వేరే చరం ద్వారా సూచించబడినప్పుడు, సమాకలన సూత్రాలు తదనుగుణంగా సవరించబడతాయి. ఉదాహరణకు

$$ \int y^{4} d y=\frac{y^{4+1}}{4+1}+C=\frac{1}{5} y^{5}+C $$

7.3 సమాకలన పద్ధతులు

మునుపటి విభాగంలో, మేము ఆ ఫలనాల సమాకలనాలను చర్చించాము, అవి కొన్ని ఫలనాల అవకలజాల నుండి సులభంగా పొందబడతాయి. ఇది పరిశీలనపై ఆధారపడింది, అనగా, ఒక ఫలనం యొక్క అన్వేషణపై $F$ ద