గణితశాస్త్రం ప్రకృతిని సామరస్యపూర్వక రూపంలో గ్రహించడానికి ఏకైక మార్గం కాబట్టి దానిని అధ్యయనం చేయాలి. - బిర్క్హాఫ్

8.1 పరిచయం

జ్యామితిలో, త్రిభుజాలు, దీర్ఘచతురస్రాలు, సమలంబ చతుర్భుజాలు మరియు వృత్తాలు వంటి వివిధ రేఖాగణిత ఆకారాల వైశాల్యాలను లెక్కించడానికి సూత్రాలు మనం నేర్చుకున్నాము. ఇటువంటి సూత్రాలు గణితాన్ని అనేక వాస్తవ జీవిత సమస్యలకు అనువర్తించడంలో ప్రాథమికమైనవి. ప్రాథమిక జ్యామితి యొక్క సూత్రాలు అనేక సరళ ఆకారాల వైశాల్యాలను లెక్కించడానికి అనుమతిస్తాయి. అయితే, వక్రరేఖలతో ఆవరించబడిన ప్రాంతాలను లెక్కించడానికి అవి సరిపోవు. దాని కోసం మనకు సమాకలన కలనం యొక్క కొన్ని భావనలు అవసరం.

మునుపటి అధ్యాయంలో, ఒక మొత్తం యొక్క సీమాగా నిర్దిష్ట సమాకలనిని లెక్కించేటప్పుడు, వక్రరేఖ $y=f(x)$, కోటిలంబాలు $x=a$, $x=b$ మరియు $x$-అక్షం ద్వారా పరిమితం చేయబడిన వైశాల్యాన్ని కనుగొనడం మనం అధ్యయనం చేసాము. ఇక్కడ, ఈ అధ్యాయంలో, సరళ వక్రరేఖల కింద వైశాల్యాన్ని, రేఖలు మరియు వృత్తాల చాపాలు, పరావలయాలు మరియు

A.L. కౌచీ (1789-1857) దీర్ఘవృత్తాలు (కేవలం ప్రామాణిక రూపాలు) మధ్య వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి సమాకలనుల యొక్క ఒక నిర్దిష్ట అనువర్తనాన్ని మనం అధ్యయనం చేస్తాము. పైన చెప్పిన వక్రరేఖల ద్వారా పరిమితం చేయబడిన వైశాల్యాన్ని కనుగొనడంతో కూడా మనం వ్యవహరిస్తాము.

8.2 సరళ వక్రరేఖల కింద వైశాల్యం

మునుపటి అధ్యాయంలో, మనం ఒక మొత్తం యొక్క సీమాగా నిర్దిష్ట సమాకలనిని మరియు ప్రాథమిక కలన సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి నిర్దిష్ట సమాకలనిని ఎలా మూల్యాంకనం చేయాలో అధ్యయనం చేసాము. ఇప్పుడు, వక్రరేఖ $y=f(x), x$-అక్షం మరియు కోటిలంబాలు $x=a$ మరియు $x=b$ ద్వారా పరిమితం చేయబడిన వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి సులభమైన మరియు సహజమైన మార్గాన్ని మనం పరిశీలిస్తాము. పటం 8.1 నుండి, వక్రరేఖ కింద ఉన్న వైశాల్యాన్ని చాలా సన్నని నిలువు పట్టాల సమూహంగా మనం భావించవచ్చు. ఒక ఏకపక్ష పట్టీ యొక్క ఎత్తు $y$ మరియు వెడల్పు $d x$ గా ఉండనివ్వండి, అప్పుడు $d A$ (ప్రాథమిక పట్టీ యొక్క వైశాల్యం) $=y d x$, ఇక్కడ, $y=f(x)$.

ఈ వైశాల్యాన్ని ప్రాథమిక వైశాల్యం అంటారు, ఇది $a$ మరియు $b$ మధ్య ఉన్న $x$ యొక్క కొంత విలువ ద్వారా నిర్దిష్టపరచబడిన ప్రాంతంలో ఒక ఏకపక్ష స్థానంలో ఉంటుంది. $x$-అక్షం, కోటిలంబాలు $x=a, x=b$ మరియు వక్రరేఖ $y=f(x)$ మధ్య ప్రాంతం యొక్క మొత్తం వైశాల్యం A ని PQRSP ప్రాంతం అంతటా సన్నని పట్టాల ప్రాథమిక వైశాల్యాలను కలిపిన ఫలితంగా మనం భావించవచ్చు. సంకేతాత్మకంగా, మనం వ్యక్తపరుస్తాము

$$ \mathrm{A}=\int _{a}^{b} d \mathrm{~A}=\int _{a}^{b} y d x=\int _{a}^{b} f(x) d x $$

వక్రరేఖ $x=g(y), y$-అక్షం మరియు రేఖలు $y=c$, $y=d$ ద్వారా పరిమితం చేయబడిన ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యం $A$ ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

$$ \mathrm{A}=\int _{c}^{d} x d y=\int _{c}^{d} g(y) d y $$

ఇక్కడ, మనం పటం 8.2లో చూపిన విధంగా అడ్డు పట్టాలను పరిగణిస్తాము

పటం 8.2

వివరణ పరిశీలనలో ఉన్న వక్రరేఖ యొక్క స్థానం $x$-అక్షం క్రింద ఉంటే, అప్పుడు $x=a$ నుండి $x=b$ వరకు $f(x)<0$ కాబట్టి, పటం 8.3లో చూపినట్లుగా, వక్రరేఖ, $x$-అక్షం మరియు కోటిలంబాలు $x=a, x=b$ ద్వారా పరిమితం చేయబడిన వైశాల్యం ఋణాత్మకంగా వస్తుంది. కానీ, వైశాల్యం యొక్క సంఖ్యాత్మక విలువ మాత్రమే పరిగణనలోకి తీసుకోబడుతుంది. అందువల్ల, వైశాల్యం ఋణాత్మకంగా ఉంటే, దాని సంపూర్ణ విలువను తీసుకుంటాము, అనగా, $|\int_a^{b} f(x) d x|$.

పటం 8.3

సాధారణంగా, వక్రరేఖ యొక్క కొంత భాగం $x$-అక్షం పైన మరియు కొంత భాగం $x$-అక్షం క్రింద ఉండవచ్చు, పటం 8.4లో చూపినట్లుగా. ఇక్కడ, $A_1<0$ మరియు $A_2>0$. కాబట్టి, వక్రరేఖ $y=f(x), x$-అక్షం మరియు కోటిలంబాలు $x=a$ మరియు $x=b$ ద్వారా పరిమితం చేయబడిన వైశాల్యం A ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది $A=|A_1|+A_2$.

పటం 8.4

ఉదాహరణ 1 వృత్తం $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ద్వారా ఆవరించబడిన వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

సాధన పటం 8.5 నుండి, ఇచ్చిన వృత్తం ద్వారా ఆవరించబడిన మొత్తం వైశాల్యం $=4$ (వక్రరేఖ, $x$-అక్షం మరియు కోటిలంబాలు $x=0$ మరియు $x=a$ ద్వారా పరిమితం చేయబడిన ప్రాంతం AOBA యొక్క వైశాల్యం) [వృత్తం $x$-అక్షం మరియు $y$-అక్షం పరంగా సౌష్ఠవంగా ఉంటుంది కాబట్టి]

$$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{a} y d x \text{ (taking vertical strips) } \\ & =4 \int_0^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \end{aligned} $$

$x^{2}+y^{2}=a^{2}$ నుండి $\quad y= \pm \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ ని ఇస్తుంది

పటం 8.5

ప్రాంతం AOBA మొదటి పాదంలో ఉన్నందున, $y$ ధనాత్మకంగా తీసుకోబడుతుంది. సమాకలనం చేయడం ద్వారా, ఇచ్చిన వృత్తం ద్వారా ఆవరించబడిన మొత్తం వైశాల్యం వస్తుంది

$ \begin{aligned} & =4[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}]_0^{a} \\ & =4[(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0]=4(\frac{a^{2}}{2})(\frac{\pi}{2})=\pi a^{2} \end{aligned} $

ప్రత్యామ్నాయంగా, పటం 8.6లో చూపిన విధంగా అడ్డు పట్టాలను పరిగణిస్తే, వృత్తం ద్వారా ఆవరించబడిన ప్రాంతం యొక్క మొత్తం వైశాల్యం

$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{a} x d y=4 \int_0^{a} \sqrt{a^{2}-y^{2}} d y \text{(ఎందుకు?)} \\ & =4[\frac{y}{2} \sqrt{a^{2}-y^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{a}]_0^{a} \\ & =4[(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0] \\ & =4 \frac{a^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a^{2} \end{aligned} $

పటం 8.6

ఉదాహరణ 2 దీర్ఘవృత్తం $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ద్వారా ఆవరించబడిన వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి

సాధన పటం 8.7 నుండి, దీర్ఘవృత్తం ద్వారా పరిమితం చేయబడిన ప్రాంతం $ABA^{\prime} B^{\prime} A$ యొక్క వైశాల్యం

$=4(\begin{matrix} \text{ area of the region } A O B A \text{ in the first quadrant bounded } \\ \text{ by the curve, } x-\text{ axis and theordinates } x=0, x=a\end{matrix} )$

(దీర్ఘవృత్తం $x$-అక్షం మరియు $y$-అక్షం పరంగా సౌష్ఠవంగా ఉంటుంది కాబట్టి)

$=4 \int_0^{a} y d x \quad$ (నిలువు పట్టాలను తీసుకోవడం)

ఇప్పుడు $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $y= \pm \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ ని ఇస్తుంది, కానీ ప్రాంతం AOBA మొదటి పాదంలో ఉన్నందున, $y$ ధనాత్మకంగా తీసుకోబడుతుంది. కాబట్టి, అవసరమైన వైశాల్యం

$ \begin{aligned} & =4 \int _{0}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \\ & =\frac{4 b}{a}\left[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}\right] _{0}^{a} \text { (ఎందుకు) } \\ & =\frac{4 b}{a}\left[\left(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1\right)-0\right] \\ & =\frac{4 b}{a} \frac{a^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a b \text { } \end{aligned} $

పటం 8.7

ప్రత్యామ్నాయంగా, పటం 8.8లో చూపిన విధంగా అడ్డు పట్టాలను పరిగణిస్తే, దీర్ఘవృత్తం యొక్క వైశాల్యం

$$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{b} x d y=4 \frac{a}{b} \int_0^{b} \sqrt{b^{2}-y^{2}} d y \text{ (Why?) } \\ & =\frac{4 a}{b}[\frac{y}{2} \sqrt{b^{2}-y^{2}}+\frac{b^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{b}]_0^{b} \\ & =\frac{4 a}{b}[(\frac{b}{2} \times 0+\frac{b^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0] \\ & =\frac{4 a}{b} \frac{b^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a b \end{aligned} $$

పటం 8.8

వివిధ ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 3 రేఖ $y=3 x+2$, $x$-అక్షం మరియు కోటిలంబాలు $x=-1$ మరియు $x=1$ ద్వారా పరిమితం చేయబడిన ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

సాధన పటం 8.9లో చూపినట్లుగా, రేఖ $y=3 x+2$ $x$-అక్షాన్ని $x=\frac{-2}{3}$ వద్ద కలుస్తుంది మరియు దాని గ్రాఫ్ $x \in(-1, \frac{-2}{3})$ కోసం $x$-అక్షం క్రింద మరియు $x \in(\frac{-2}{3}, 1)$ కోసం $x$-అక్షం పైన ఉంటుంది.

అవసరమైన వైశాల్యం $=$ ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యం $ACBA+$ ప్రాంతం ADEA యొక్క వైశాల్యం

$ \begin{aligned} & =|\int _{-1}^{\frac{-2}{3}}(3 x+2) d x|+\int _{\frac{-2}{3}}^{1}(3 x+2) d x \\ & =|[\frac{3 x^{2}}{2}+2 x] _{-1}^{\frac{-2}{3}}|+[\frac{3 x^{2}}{2}+2 x] _{\frac{-2}{3}}^{1}=\frac{1}{6}+\frac{25}{6}=\frac{13}{3} \end{aligned} $

పటం 8.9

ఉదాహరణ 4 $x=0$ మరియు $x=2 \pi$ మధ్య వక్రరేఖ $y=\cos x$ ద్వారా పరిమితం చేయబడిన వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

సాధన పటం 8.10 నుండి, అవసరమైన వైశాల్యం $=$ ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యం $OABO+$ ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యం $BCDB+$ ప్రాంతం DEFD యొక్క వైశాల్యం.

పటం 8.10

అందువలన, మనకు అవసరమైన వైశాల్యం ఉంది

$ \begin{aligned} & =\int_ 0^{\frac{\pi}{2}} \cos x d x+|\int_ {\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \cos x d x|+\int_ {\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \cos x d x \\ & =[\sin x]_ 0^{\frac{\pi}{2}}+|[\sin x]_ {\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}}|+[\sin x]_ {\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \\ & =1+2+1=4 \end{aligned} $

సారాంశం

వక్రరేఖ $y=f(x), x$-అక్షం మరియు రేఖలు $x=a$ మరియు $x=b(b>a)$ ద్వారా పరిమితం చేయబడిన ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యం సూత్రం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది: వైశాల్యం $=\int_a^{b} y d x=\int_a^{b} f(x) d x$. వక్రరేఖ $x=\phi(y), y$-అక్షం మరియు రేఖలు $y=c, y=d$ ద్వారా పరిమితం చేయబడిన ప్రాంతం యొక్క వైశాల్యం సూత్రం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది: వైశాల్యం $=\int_c^{d} x d y=\int_c^{d} \phi(y) d y$.

చారిత్రక నోట్

సమాకలన కలనం యొక్క మూలం గణితశాస్త్రం యొక్క అభివృద్ధి ప్రారంభ కాలానికి చెందినది మరియు ఇది ప్రాచీన గ్రీస్ గణిత శాస్త్రజ్ఞులచే అభివృద్ధి చేయబడిన అవయవ క్షయ పద్ధతికి సంబంధించినది. ఈ పద్ధతి సమతల ఆకృతుల వైశాల్యాలు, ఘన పదార్థాల ఉపరితల వైశాల్యాలు మరియు ఘనపరిమాణాలు మొదలైన వాటిని లెక్కించడంలో సమస్యల పరిష్కారంలో ఉద్భవించింది. ఈ అర్థంలో, అవయవ క్షయ పద్ధతిని సమాకలనం యొక్క ప్రారంభ పద్ధతిగా పరిగణించవచ్చు. ప్రారంభ కాలంలో అవయవ క్షయ పద్ధతి యొక్క గొప్ప అభివృద్ధి యుడాక్సస్ (క్రీ.పూ. 440) మరియు ఆర్కిమెడిస్ (క్రీ.పూ. 300) రచనలలో పొందబడింది.

కలన సిద్ధాంతం వ్యవస్థాపిత విధానం 17వ శతాబ్దంలో ప్రారంభమైంది. 1665లో, న్యూటన్ తనను తాను ప్రవాహ సిద్ధాంతంగా వర్ణించిన కలనంపై తన పనిని ప్రారంభించాడు మరియు ఏదైనా వక్రరేఖపై ఏ బిందువు వద్దనైనా స్పర్శరేఖ మరియు వక్రతా వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనడంలో తన సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించాడు. న్యూటన్ విలోమ ఫలితం అని పిలువబడే విలోమ ఫలనం యొక్క ప్రాథమిక భావనను (అనిశ్చిత సమాకలని) లేదా స్పర్శరేఖల విలోమ పద్ధతిని ప్రవేశపెట్టాడు.

1684-86 సంవత్సరాలలో, లీబ్నిట్జ్ యాక్టా ఎరుడిటోరమ్లో ఒక వ్యాసాన్ని ప్రచురించాడు, దీనిని అతను కాల్క్యులస్ సమ్మటోరియస్ అని పిలిచాడు, ఎందుకంటే ఇది అనంతమైన చిన్న వైశాల్యాల మొత్తానికి సంబంధించినది, దీని మొత్తాన్ని అతను ‘∫’ చిహ్నం ద్వారా సూచించాడు. 1696లో, జె. బెర్నౌలీ చేసిన సూచనను అనుసరించి ఈ వ్యాసాన్ని కాల్క్యులస్ ఇంటెగ్రాలిగా మార్చాడు. ఇది న్యూటన్ యొక్క స్పర్శరేఖల విలోమ పద్ధతికి అనుగుణంగా ఉంది.

న్యూటన్ మరియు లీబ్నిట్జ్ ఇద్దరూ పూర్తిగా స్వతంత్రమైన విధాన రేఖలను అనుసరించారు, ఇవి మూలాధారంగా భిన్నంగా ఉండేవి. అయినప్పటికీ, సంబంధిత సిద్ధాంతాలు ఆచరణలో ఒకే విధమైన ఫలితాలను సాధించాయి. లీబ్నిట్జ్ నిర్దిష్ట సమాకలని యొక్క భావనను ఉపయోగించాడు మరియు ఏమి ఖచ్చితంగా ఉందంటే, విలోమ ఫలితం మరియు నిర్దిష్ట సమాకలని మధ్య సంబంధాన్ని మొదటగా స్పష్టంగా అర్థం చేసుకున్నాడు.

చివరగా, సమాకలన కలనం యొక్క ప్రాథమిక భావనలు మరియు సిద్ధాంతం మరియు ప్రాథమికంగా అవకలన కలనంతో దాని సంబంధాలు 17వ శతాబ్దం చివరిలో పి.డి ఫెర్మాట్, ఐ. న్యూటన్ మరియు జి. లీబ్నిట్జ్ రచనలలో అభివృద్ధి చేయబడ్డాయి. అయితే, సీమా భావన ద్వారా ఈ సమర్థన కేవలం 19వ శతాబ్దం ప్రారంభంలో ఎ.ఎల్. కౌచీ రచనలలో అభివృద్ధి చేయబడింది. చివరగా, లై సోఫీ యొక్క క్రింది ఉద్ధరణను ప్రస్తావించడం విలువైనది:

“అవకలన భాగఫలం మరియు సమాకలని యొక్క భావనలు వాటి మూలం నిస్సందేహంగా ఆర్కిమెడిస్కు తిరిగి వెళతాయి అని చెప్పవచ్చు, అవి కెప్లర్, డెస్కార్టెస్, కావాలియరి, ఫెర్మాట్ మరియు వాలిస్ యొక్క పరిశోధనల ద్వారా విజ్ఞానంలో ప్రవేశపెట్టబడ్డాయి …. అవకలనం మరియు సమాకలనం విలోమ క్రియలు అనే ఆవిష్కరణ న్యూటన్ మరియు లీబ్నిట్జ్కు చెందినది”.