నిర్దిష్ట సమస్య లేకుండా పద్ధతుల కోసం వెతుకుతున్న వ్యక్తి, చాలా వరకు వ్యర్థంగా వెతుకుతాడు. - D. HILBERT

9.1 పరిచయం

క్లాస్ XI లో మరియు ప్రస్తుత పుస్తకంలోని అధ్యాయం 5 లో, ఇచ్చిన ఫంక్షన్ $f$ ని ఒక స్వతంత్ర చరరాశికి సంబంధించి ఎలా అవకలనం చేయాలో, అంటే, ఇచ్చిన ఫంక్షన్ $f$ కి దాని నిర్వచన ప్రదేశంలోని ప్రతి $x$ వద్ద $f^{\prime}(x)$ ని ఎలా కనుగొనాలో చర్చించాము. తరువాత, సమాకలన కలనశాస్త్రం అధ్యాయంలో, ఎలాంటి ఫంక్షన్ $f$ ని కనుగొనాలో చర్చించాము, దీని అవకలజం ఫంక్షన్ $g$, దీనిని కింది విధంగా కూడా రూపొందించవచ్చు:

ఇచ్చిన ఫంక్షన్ $g$ కోసం, ఒక ఫంక్షన్ $f$ ని కనుగొనండి అంటే

$$ \frac{d y}{d x}=g(x) \text { where } y=f(x) $$

హెన్రీ పోయింకేర్ $(1854-1912)$

(1) రూపంలోని సమీకరణాన్ని అవకలన సమీకరణం అంటారు. ఒక ఔపచారిక నిర్వచనం తరువాత ఇవ్వబడుతుంది.

ఈ సమీకరణాలు వివిధ రకాల అనువర్తనాలలో ఉద్భవిస్తాయి, అది భౌతికశాస్త్రం, రసాయన శాస్త్రం, జీవశాస్త్రం, మానవ శాస్త్రం, భూగర్భశాస్త్రం, ఆర్థికశాస్త్రం మొదలైనవి ఏదైనా కావచ్చు. అందువల్ల, అవకలన సమీకరణాల గురించిన సమగ్ర అధ్యయనం అన్ని ఆధునిక శాస్త్రీయ పరిశోధనలలో ప్రధాన ప్రాముఖ్యతను సంతరించుకుంది.

ఈ అధ్యాయంలో, మనం అవకలన సమీకరణానికి సంబంధించిన కొన్ని ప్రాథమిక అంశాలు, అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ మరియు ప్రత్యేక సాధనాలు, అవకలన సమీకరణాల నిర్మాణం, మొదటి క్రమం - మొదటి పరిమాణం అవకలన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి కొన్ని పద్ధతులు మరియు వివిధ ప్రాంతాలలో అవకలన సమీకరణాల కొన్ని అనువర్తనాలను అధ్యయనం చేస్తాము.

9.2 ప్రాథమిక అంశాలు

మనం ఇప్పటికే ఈ రకమైన సమీకరణాలతో పరిచయం ఉన్నాయి:

$$ \begin{align*} x^{2}-3 x+3=0 \tag{1} \\ \sin x+\cos x=0 \tag{2} \\ x+y=7 \tag{3} \end{align*} $$

సమీకరణాన్ని పరిశీలిద్దాం:

$$ \begin{equation*} x \frac{d y}{d x}+y=0 \tag{4} \end{equation*} $$

సమీకరణాలు (1), (2) మరియు (3) స్వతంత్ర మరియు/లేదా ఆధారిత చరరాశి(లు) మాత్రమే కలిగి ఉన్నాయని మనం చూస్తాము, కానీ సమీకరణం (4) చరరాశులతో పాటు ఆధారిత చరరాశి $y$ యొక్క స్వతంత్ర చరరాశి $x$కి సంబంధించిన అవకలజాన్ని కూడా కలిగి ఉంటుంది. అటువంటి సమీకరణాన్ని అవకలన సమీకరణం అంటారు.

సాధారణంగా, ఆధారిత చరరాశి యొక్క అవకలజం(లు) స్వతంత్ర చరరాశి(లు)కి సంబంధించి ఉన్న సమీకరణాన్ని అవకలన సమీకరణం అంటారు.

ఆధారిత చరరాశి యొక్క అవకలజాలు ఒకే ఒక స్వతంత్ర చరరాశికి సంబంధించి మాత్రమే ఉండే అవకలన సమీకరణాన్ని సాధారణ అవకలన సమీకరణం అంటారు, ఉదా.

$ 2 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+(\frac{d y}{d x})^{3}=0 \text{ is an ordinary differential equation } $

వాస్తవానికి, ఒకటి కంటే ఎక్కువ స్వతంత్ర చరరాశులకు సంబంధించిన అవకలజాలను కలిగి ఉన్న అవకలన సమీకరణాలు ఉన్నాయి, వాటిని పాక్షిక అవకలన సమీకరణాలు అంటారు, కానీ ఈ దశలో మనం సాధారణ అవకలన సమీకరణాల అధ్యయనానికే పరిమితం చేసుకుంటాము. ఇప్పటి నుండి, మనం ‘సాధారణ అవకలన సమీకరణం’ కోసం ‘అవకలన సమీకరణం’ అనే పదాన్ని ఉపయోగిస్తాము.

గమనిక

1. అవకలజాల కోసం మనం కింది సంజ్ఞామానాలను ఉపయోగించడానికి ప్రాధాన్యత ఇస్తాము:

$$ \frac{d y}{d x}=y^{\prime}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=y^{\prime \prime}, \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=y^{\prime \prime \prime} $$

2. ఎక్కువ క్రమం యొక్క అవకలజాల కోసం, చాలా డాష్లను సూపర్సఫిక్స్గా ఉపయోగించడం అసౌకర్యంగా ఉంటుంది, అందువల్ల, మనం $\frac{d^{n} y}{d x^{n}}$ వ క్రమ అవకలజం $\frac{d^{n} y}{d x^{n}}$ కోసం $y_n$ సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగిస్తాము.

9.2.1 అవకలన సమీకరణం యొక్క క్రమం

ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణంలో పాల్గొన్న ఆధారిత చరరాశి యొక్క అత్యధిక క్రమ అవకలజం యొక్క క్రమంగా అవకలన సమీకరణం యొక్క క్రమం నిర్వచించబడింది.

కింది అవకలన సమీకరణాలను పరిశీలిద్దాం:

$$ \begin{align*} & \frac{d y}{d x}=e^{x} \tag{6}\\ & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0 \tag{7}\\ & \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+x^{2}\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}=0 \tag{8} \end{align*} $$

సమీకరణాలు (6), (7) మరియు (8) వరుసగా మొదటి, రెండవ మరియు మూడవ క్రమాల యొక్క అత్యధిక అవకలజాన్ని కలిగి ఉంటాయి. అందువల్ల, ఈ సమీకరణాల క్రమాలు వరుసగా 1,2 మరియు 3.

9.2.2 అవకలన సమీకరణం యొక్క పరిమాణం

అవకలన సమీకరణం యొక్క పరిమాణాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి, కీలక అంశం ఏమిటంటే అవకలన సమీకరణం అవకలజాలలో ఒక బహుపది సమీకరణంగా ఉండాలి, అంటే $y^{\prime}, y^{\prime \prime}, y^{\prime \prime \prime}$ మొదలైనవి. కింది అవకలన సమీకరణాలను పరిశీలిద్దాం:

$ \begin{aligned} \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+2(\frac{d^{2} y}{d x^{2}})^{2}-\frac{d y}{d x}+y & =0 \\ (\frac{d y}{d x})^{2}+(\frac{d y}{d x})-\sin ^{2} y & =0 \\ \frac{d y}{d x}+\sin (\frac{d y}{d x}) & =0 \end{aligned} $

సమీకరణం (9) $y^{\prime \prime \prime}, y^{\prime \prime}$ మరియు $y^{\prime}$ లలో ఒక బహుపది సమీకరణం, సమీకరణం (10) $y^{\prime}$ లో ఒక బహుపది సమీకరణం ($y$ లో బహుపది కాదు అయినప్పటికీ) అని మనం గమనించాము. అటువంటి అవకలన సమీకరణాల పరిమాణాన్ని నిర్వచించవచ్చు. కానీ సమీకరణం (11) $y^{\prime}$ లో ఒక బహుపది సమీకరణం కాదు మరియు అటువంటి అవకలన సమీకరణం యొక్క పరిమాణాన్ని నిర్వచించలేము.

అవకలన సమీకరణం యొక్క పరిమాణం ద్వారా, అది అవకలజాలలో ఒక బహుపది సమీకరణం అయినప్పుడు, ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణంలో పాల్గొన్న అత్యధిక క్రమ అవకలజం యొక్క అత్యధిక ఘాతం (ధన పూర్ణాంక సూచిక) అని అర్థం.

పై నిర్వచనం దృష్ట్యా, అవకలన సమీకరణాలు (6), (7), (8) మరియు (9) ప్రతి ఒక్కటి ఒకటి పరిమాణం కలిగి ఉన్నాయని, సమీకరణం (10) రెండు పరిమాణం కలిగి ఉందని, అయితే అవకలన సమీకరణం (11) యొక్క పరిమాణం నిర్వచించబడలేదని ఎవరైనా గమనించవచ్చు.

గమనిక అవకలన సమీకరణం యొక్క క్రమం మరియు పరిమాణం (నిర్వచించబడితే) ఎల్లప్పుడూ ధన పూర్ణాంకాలు.

ఉదాహరణ 1 కింది ప్రతి అవకలన సమీకరణం యొక్క క్రమం మరియు పరిమాణాన్ని కనుగొనండి (నిర్వచించబడితే):

(i) $\frac{d y}{d x}-\cos x=0$

(ii) $x y \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x(\frac{d y}{d x})^{2}-y \frac{d y}{d x}=0$

(iii) $y^{\prime \prime \prime}+y^{2}+e^{y^{\prime}}=0$

సాధన

(i) అవకలన సమీకరణంలో ఉన్న అత్యధిక క్రమ అవకలజం $\frac{d y}{d x}$, కాబట్టి దాని క్రమం ఒకటి. ఇది $y^{\prime}$ లో ఒక బహుపది సమీకరణం మరియు $\frac{d y}{d x}$ కి ఎత్తిన అత్యధిక ఘాతం ఒకటి, కాబట్టి దాని పరిమాణం ఒకటి.

(ii) ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణంలో ఉన్న అత్యధిక క్రమ అవకలజం $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$, కాబట్టి దాని క్రమం రెండు. ఇది $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ మరియు $\frac{d y}{d x}$ లలో ఒక బహుపది సమీకరణం మరియు $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ కి ఎత్తిన అత్యధిక ఘాతం ఒకటి, కాబట్టి దాని పరిమాణం ఒకటి.

(iii) అవకలన సమీకరణంలో ఉన్న అత్యధిక క్రమ అవకలజం $y^{\prime \prime \prime}$, కాబట్టి దాని క్రమం మూడు. ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణం దాని అవకలజాలలో ఒక బహుపది సమీకరణం కాదు మరియు అందువల్ల దాని పరిమాణం నిర్వచించబడలేదు.

9.3 అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ మరియు ప్రత్యేక సాధనాలు

మునుపటి తరగతులలో, మనం ఈ రకమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించాము:

$$ \begin{align*} x^{2}+1=0 \tag{1} \\ \sin ^{2} x-\cos x=0 \tag{2} \end{align*} $$

సమీకరణాలు (1) మరియు (2) యొక్క సాధన సంఖ్యలు, వాస్తవమైనవి లేదా సంకీర్ణమైనవి, అవి ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తాయి అంటే, ఆ సంఖ్యను ఇచ్చిన సమీకరణంలో తెలియని $x$ కి బదులుగా ప్రతిక్షేపించినప్పుడు, ఎడమ వైపు కుడి వైపుకు సమానం అవుతుంది.

ఇప్పుడు అవకలన సమీకరణాన్ని పరిశీలిద్దాం

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$

మొదటి రెండు సమీకరణాలకు విరుద్ధంగా, ఈ అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధన ఒక ఫంక్షన్ $\phi$, అది దానిని సంతృప్తిపరుస్తుంది అంటే, ఫంక్షన్ $\phi$ ని ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణంలో తెలియని $y$ (ఆధారిత చరరాశి) కి బదులుగా ప్రతిక్షేపించినప్పుడు, ఎడమ వైపు కుడి వైపుకు సమానం అవుతుంది.

వక్రం $y=\phi(x)$ ని ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధన వక్రం (సమాకలన వక్రం) అంటారు. ఈ విధంగా ఇవ్వబడిన ఫంక్షన్ను పరిశీలిద్దాం

$$ \begin{equation*} y=\phi(x)=a \sin (x+b) \tag{4} \end{equation*} $$

ఇక్కడ $a, b \in \mathbf{R}$. ఈ ఫంక్షన్ మరియు దాని అవకలజం సమీకరణం (3) లో ప్రతిక్షేపించబడినప్పుడు, ఎడమ వైపు = కుడి వైపు. కాబట్టి ఇది అవకలన సమీకరణం (3) యొక్క ఒక సాధన.

$a$ మరియు $b$ కి కొన్ని ప్రత్యేక విలువలు ఇవ్వబడనివ్వండి, ఉదాహరణకు $a=2$ మరియు $b=\frac{\pi}{4}$, అప్పుడు మనకు ఒక ఫంక్షన్ లభిస్తుంది

$$ \begin{equation*} y=\phi _{1}(x)=2 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \tag{5} \end{equation*} $$

ఈ ఫంక్షన్ మరియు దాని అవకలజం సమీకరణం (3) లో మళ్లీ ప్రతిక్షేపించబడినప్పుడు ఎడమ వైపు = కుడి వైపు. అందువల్ల $\phi_1$ కూడా సమీకరణం (3) యొక్క ఒక సాధన.

ఫంక్షన్ $\phi$ రెండు స్వేచ్ఛా స్థిరాంకాలను (పారామితులు) $a, b$ కలిగి ఉంటుంది మరియు దీనిని ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ సాధనం అంటారు. అయితే ఫంక్షన్ $\phi_1$ ఏ స్వేచ్ఛా స్థిరాంకాలను కలిగి ఉండదు కానీ పారామితులు $a$ మరియు $b$ యొక్క ప్రత్యేక విలువలను మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది మరియు అందువల్ల ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణం యొక్క ప్రత్యేక సాధనం అంటారు. స్వేచ్ఛా స్థిరాంకాలను కలిగి ఉన్న సాధనను అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధారణ సాధనం (ప్రిమిటివ్) అంటారు.

స్వేచ్ఛా స్థిరాంకాల నుండి విముక్తి పొందిన సాధన, అంటే సాధారణ సాధనం నుండి స్వేచ్ఛా స్థిరాంకాలకు ప్రత్యేక విలువలను ఇవ్వడం ద్వారా పొందిన సాధనను అవకలన సమీకరణం యొక్క ప్రత్యేక సాధనం అంటారు.

ఉదాహరణ 2 ఫంక్షన్ $y=e^{-3 x}$ అవకలన సమీకరణం $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x}-6 y=0$ యొక్క ఒక సాధన అని ధృవీకరించండి

సాధన ఇచ్చిన ఫంక్షన్ $y=e^{-3 x}$. సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా $x$కి సంబంధించి అవకలనం చేయడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=3 e^{-3 x} \tag{1} \end{equation*} $$

ఇప్పుడు, (1) ని $x$కి సంబంధించి అవకలనం చేయడం ద్వారా, మనకు ఉంది

$$ \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=9 e^{-3 x} $$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \frac{d y}{d x}$ మరియు $y$ యొక్క విలువలను ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

ఎడమ వైపు $=9 e^{-3 x}+(-3 e^{-3 x})-6 . e^{-3 x}=9 e^{-3 x}-9 e^{-3 x}=0=$ కుడి వైపు.

అందువల్ల, ఇచ్చిన ఫంక్షన్ ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణం యొక్క ఒక సాధన.

ఉదాహరణ 3 ఫంక్షన్ $y=a \cos x+b \sin x$, ఇక్కడ, $a, b \in \mathbf{R}$ అవకలన సమీకరణం యొక్క ఒక సాధన అని ధృవీకరించండి $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$

సాధన ఇచ్చిన ఫంక్షన్

$$ \begin{equation*} y=a \cos x+b \sin x \tag{1} \end{equation*} $$

సమీకరణం (1) యొక్క రెండు వైపులా $x$కి సంబంధించి వరుసగా అవకలనం చేయడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

$$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =-a \sin x+b \cos x \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-a \cos x-b \sin x \end{aligned} $$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ మరియు $y$ యొక్క విలువలను ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

ఎడమ వైపు $=(-a \cos x-b \sin x)+(a \cos x+b \sin x)=0=$ కుడి వైపు.

అందువల్ల, ఇచ్చిన ఫంక్షన్ ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణం యొక్క ఒక సాధన.

9.4 మొదటి క్రమం, మొదటి పరిమాణం అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతులు

ఈ విభాగంలో మనం మొదటి క్రమం మొదటి పరిమాణం అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మూడు పద్ధతులను చర్చిస్తాము.

9.4.1 వేరియబుల్స్ వేరు చేయగల అవకలన సమీకరణాలు

మొదటి క్రమం-మొదటి పరిమాణం అవకలన సమీకరణం రూపంలో ఉంటుంది

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\mathrm{F}(x, y) \tag{1} \end{equation*} $$

$F(x, y)$ ని ఒక లబ్ధంగా $g(x) h(y)$ గా వ్యక్తీకరించగలిగితే, ఇక్కడ, $g(x)$ $x$ యొక్క ఫంక్షన్ మరియు $h(y)$ $y$ యొక్క ఫంక్షన్ అయితే, అప్పుడు అవకలన సమీకరణం (1) వేరియబుల్ సెపరేబుల్ రకం అని చెప్పబడుతుంది. అవకలన సమీకరణం (1) కి అప్పుడు రూపం ఉంటుంది

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=h(y) \cdot g(x) \tag{2} \end{equation*} $$

$h(y) \neq 0$ అయితే, వేరియబుల్స్ వేరు చేయడం ద్వారా, (2) ని ఇలా తిరిగి వ్రాయవచ్చు

$$ \begin{equation*} \frac{1}{h(y)} d y=g(x) d x \tag{3} \end{equation*} $$

(3) యొక్క రెండు వైపులా సమాకలనం చేయడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

$$ \begin{equation*} \int \frac{1}{h(y)} d y=\int g(x) d x \tag{4} \end{equation*} $$

ఈ విధంగా, (4) ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధనలను రూపంలో అందిస్తుంది

$$ \begin{equation*} \mathrm{H}(y)=\mathrm{G}(x)+\mathrm{C} \tag{5} \end{equation*} $$

ఇక్కడ, $H(y)$ మరియు $G(x)$ వరుసగా $\frac{1}{h(y)}$ మరియు $g(x)$ యొక్క ప్రతి అవకలజాలు మరియు $C$ స్వేచ్ఛా స్థిరాంకం.

ఉదాహరణ 4 అవకలన సమీకరణం $\frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{2-y},(y \neq 2)$ యొక్క సాధారణ సాధనాన్ని కనుగొనండి

సాధన మనకు ఉంది

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{2-y}(y \neq 2) \tag{1} \end{equation*} $$

సమీకరణం (1) లో వేరియబుల్స్ వేరు చేయడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

$$ \begin{equation*} (2-y) d y=(x+1) d x \tag{2} \end{equation*} $$

సమీకరణం (2) యొక్క రెండు వైపులా సమాకలనం చేయడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

$$ \int(2-y) d y=\int(x+1) d x $$

$$ \text{ or } \qquad 2 y-\frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}+x+\mathrm{C} _{1} $$

$$ \text{ or } \qquad x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+2 \mathrm{C} _{1}=0 $$

$\text{ or } \qquad x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+\mathrm{C}=0 \text { where } \mathrm{C}=2 \mathrm{C} _{1}$

ఇది సమీకరణం (1) యొక్క సాధారణ సాధనం.

ఉదాహరణ 5 అవకలన సమీకరణం $\frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}$ యొక్క సాధారణ సాధనాన్ని కనుగొనండి.

సాధన $1+y^{2} \neq 0$ కాబట్టి, వేరియబుల్స్ వేరు చేయడం ద్వారా, ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{1+y^{2}}=\frac{d x}{1+x^{2}} \tag{1} \end{equation*} $$

సమీకరణం (1) యొక్క రెండు వైపులా సమాకలనం చేయడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

$$ \int \frac{d y}{1+y^{2}}=\int \frac{d x}{1+x^{2}} $$

$$\text{ or }\qquad \tan ^{-1} y=\tan ^{-1} x+\mathrm{C} $$

ఇది సమీకరణం (1) యొక్క సాధారణ సాధనం.

ఉదాహరణ 6 అవకలన సమీకరణం $\frac{d y}{d x}=-4 x y^{2}$ యొక్క ప్రత్యేక సాధనాన్ని కనుగొనండి, ఇచ్చినది $y=1$, ఎప్పుడు $x=0$.

సాధన $y \neq 0$ అయితే, ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{y^{2}}=-4 x d x \tag{1} \end{equation*} $$

సమీకరణం (1) యొక్క రెండు వైపులా సమాకలనం చేయడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

$ \begin{aligned} \int \frac{d y}{y^{2}} & =-4 \int x d x \\ \frac{1}{y} & =-2 x^{2}+C \\ \text{ or } \quad y & =\frac{1}{2 x^{2}-C} \end{aligned} $

$y=1$ మరియు $x=0$ ని సమీకరణం (2) లో ప్రతిక్షేపించడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది, $C=-1$.

ఇప్పుడు $C$ యొక్క విలువను సమీకరణం (2) లో ప్రతిక్షేపించడం ద్వారా, మనకు ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణం యొక్క ప్రత్యేక సాధనం $y=\frac{1}{2 x^{2}+1}$ గా లభిస్తుంది.

ఉదాహరణ 7 బిందువు $(1,1)$ గుండా వెళుతున్న వక్రం యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి, దీని అవకలన సమీకరణం $x d y=(2 x^{2}+1) d x(x \neq 0)$.

సాధన ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణాన్ని ఇలా వ్యక్తీకరించవచ్చు

$\text{ or } \qquad dy $ $ =(\frac{2x^2+1}{x}) dx \\ dy =(2 x+\frac{1}{x}) d x $

సమీకరణం (1) యొక్క రెండు వైపులా సమాకలనం చేయడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది

$$ \int d y=\int\left(2 x+\frac{1}{x}\right) d x $$

$ \begin{equation*} \text{ or }\qquad y=x^{2}+\log |x|+\mathrm{C} \tag{2} \end{equation*} $

సమీకరణం (2) ఇచ్చిన అవకలన సమీకరణం యొక్క సాధన వక్రాల కుటుంబాన్ని సూచిస్తుంది, కానీ మనం బిందువు $(1,1)$ గుండా వెళుతున్న కుటుంబం యొక్క ఒక ప్రత్యేక సభ్యుని యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనడంపై ఆసక్తి కలిగి ఉన్నాము. అందువల్ల $x=1, y=1$ ని సమీకరణం (2) లో ప్రతిక్షేపించడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది $C=0$.

ఇప్పుడు $C$ యొక్క విలువను సమీకరణం (2) లో ప్రతిక్షేపించడం ద్వారా, మనకు అవసరమైన వక్రం యొక్క సమీకరణం $y=x^{2}+\log |x|$ గా లభిస్తుంది.

ఉదాహరణ 8 బిందువు $(-2,3)$ గుండా వెళుతున్న వక్రం యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి, ఇచ్చినది వక్రానికి ఏదైనా బిందువు $(x, y)$ వద్ద టాంజెంట్ యొక్క వాలు $\frac{2 x}{y^{2}}$.

సాధన వక్రానికి టాంజెంట్ యొక్క వాలు $\frac{d y}{d x}$ ద్వారా ఇవ్వబడుతుందని మనకు తెలుసు.

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\frac{2 x}{y^{2}} \tag{1} \end{equation*} $$

వేరియబుల్స్ వేరు చేయడం ద్వారా, సమీకరణం (1) ని ఇలా వ్రాయవచ్చు

$$ \begin{equation*} y^{2} d y=2 x d x \tag{2} \end{equation*} $$

సమీకరణం (2) యొక్క రెండు వైపులా సమాకలనం చేయడం ద్వారా,