లాప్లేస్ దిద్దుబాటు

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు#

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు అనేది సంభావ్యతా సిద్ధాంతం మరియు గణాంక శాస్త్రంలో ఉపయోగించే ఒక పద్ధతి, కొన్ని ఘటనలు ఇతరుల కంటే ఎక్కువగా సంభవించే వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోవడానికి సంఘటనల సంభావ్యతలను సర్దుబాటు చేయడానికి ఉపయోగిస్తారు. ఇది 18వ శతాబ్దంలో మొదటిసారిగా ఈ భావనను ప్రతిపాదించిన ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రవేత్త పియర్-సైమన్ లాప్లేస్ పేరు మీదుగా పెట్టబడింది.

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు సూత్రం#

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు సూత్రం అనేది నమూనా పరిమాణం చిన్నగా ఉన్నప్పుడు ఒక ఘటన సంభవించే సంభావ్యతను అంచనా వేయడానికి ఒక పద్ధతి. ఇది 18వ శతాబ్దంలో మొదటిసారిగా దీనిని ప్రతిపాదించిన ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రవేత్త పియర్-సైమన్ లాప్లేస్ పేరు మీదుగా పెట్టబడింది.

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు సూత్రం ఇలా ఇవ్వబడింది:

$$P(X = x) = \frac{x + 1}{n + 1}$$

ఇక్కడ:

$P(X = x)$ అనేది యాదృచ్ఛిక చలరాశి $X$ యొక్క విలువ $x$ ను తీసుకునే సంభావ్యత

• $x$ అనేది నమూనాలో ఘటన $X$ ఎన్ని సార్లు సంభవించిందో
• $n$ అనేది నమూనా పరిమాణం

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు సూత్రాన్ని ఎలా ఉపయోగించాలి#

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు సూత్రాన్ని ఉపయోగించడానికి, $x$ మరియు $n$ విలువలను సూత్రంలో ప్రతిక్షేపించి సంభావ్యతను లెక్కించండి.

ఉదాహరణకు, మీరు నాణేన్ని ఎగరేసినప్పుడు బొమ్మ రావడం యొక్క సంభావ్యతను అంచనా వేయడంలో ఆసక్తి కలిగి ఉన్నారని అనుకుందాం. మీరు నాణేన్ని 10 సార్లు ఎగరేసి 5 సార్లు బొమ్మలు పొందారు. లాప్లేస్ సున్నితీకరణ సూత్రం మీకు ఈ క్రింది సంభావ్యతను ఇస్తుంది:

$$P(X = 5) = \frac{\binom{5}{5} \cdot (0.5)^5 \cdot (0.5)^{10-5}}{\binom{10}{5}} = \frac{1 \cdot 0.5^{10}}{252} \approx 0.0009766$$

దీని అర్థం నాణేన్ని ఎగరేసినప్పుడు బొమ్మ రావడం యొక్క సంభావ్యత 0.5, లేదా 50% అని అంచనా వేయబడింది.

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు యొక్క ప్రయోజనాలు మరియు ప్రతికూలతలు#

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు సూత్రం అనేది నమూనా పరిమాణం చిన్నగా ఉన్నప్పుడు సంభావ్యతలను అంచనా వేయడానికి ఒక సరళమైన మరియు ఉపయోగించడానికి సులభమైన పద్ధతి. అయితే, దీనికి కొన్ని పరిమితులు ఉన్నాయి.

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు సూత్రం యొక్క ఒక పరిమితి ఏమిటంటే, ఇది పరిమిత సంఖ్యలో సంభవించగల ఘటనల కోసం మాత్రమే సంభావ్యతలను అంచనా వేయడానికి ఉపయోగించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, ఒక వ్యక్తి 100 సంవత్సరాలు బ్రతికే సంభావ్యతను అంచనా వేయడానికి మీరు లాప్లేస్ దిద్దుబాటు సూత్రాన్ని ఉపయోగించలేరు, ఎందుకంటే ఒక వ్యక్తి ఎంతకాలం బ్రతికి ఉండగలడో దానికి పరిమితి లేదు.

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు సూత్రం యొక్క మరొక పరిమితి ఏమిటంటే, నమూనా పరిమాణం చాలా చిన్నగా ఉన్నప్పుడు అది ఖచ్చితంగా ఉండకపోవచ్చు. ఉదాహరణకు, మీరు నాణేన్ని రెండుసార్లు మాత్రమే ఎగరేసి రెండు సార్లు బొమ్మలు పొందినట్లయితే, లాప్లేస్ దిద్దుబాటు సూత్రం మీకు 1, లేదా 100% సంభావ్యతను ఇస్తుంది, ఇది స్పష్టంగా ఖచ్చితంగా లేదు.

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు సూత్రం అనేది నమూనా పరిమాణం చిన్నగా ఉన్నప్పుడు సంభావ్యతలను అంచనా వేయడానికి ఒక ఉపయోగకరమైన సాధనం. అయితే, దీన్ని ఉపయోగించే ముందు దాని పరిమితుల గురించి తెలుసుకోవడం ముఖ్యం.

న్యూటన్ సూత్రానికి లాప్లేస్ దిద్దుబాటు యొక్క ఉత్పాదన#

పరిచయం

బహుపది సమీకరణం యొక్క మూలాలను సుమారుగా లెక్కించడానికి న్యూటన్ పద్ధతి సంఖ్యా విశ్లేషణలో ఒక శక్తివంతమైన సాధనం. అయితే, మూలాలు ఒకదానికొకటి దగ్గరగా ఉన్నప్పుడు ఇది ఖచ్చితంగా ఉండకపోవచ్చు. న్యూటన్-రాఫ్సన్ పద్ధతి అనేది న్యూటన్ పద్ధతిలోని ఒక మార్పు, ఇది ఈ సందర్భాలలో దాని ఖచ్చితత్వాన్ని మెరుగుపరుస్తుంది.

న్యూటన్ సూత్రం

బహుపది సమీకరణం $$p(x) = 0$$ యొక్క మూలాలను సుమారుగా లెక్కించడానికి న్యూటన్ సూత్రం ఇలా ఇవ్వబడింది:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{p(x_n)}{p’(x_n)}$$

ఇక్కడ $x_n$ అనేది మూలానికి nవ సుమారు విలువ మరియు $p’(x)$ అనేది $p(x)$ యొక్క అవకలజం.

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు

న్యూటన్ సూత్రానికి లాప్లేస్ దిద్దుబాటు ఇలా ఇవ్వబడింది:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{p(x_n)}{p’(x_n)} \left( 1 - \frac{p(x_n)p’’(x_n)}{2p’(x_n)^2} \right)$$

ఇక్కడ $p’’(x)$ అనేది $p(x)$ యొక్క రెండవ అవకలజం.

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు యొక్క ఉత్పాదన

లాప్లేస్ దిద్దుబాటును మూలం $x=r$ చుట్టూ $p(x)$ యొక్క టేలర్ శ్రేణి విస్తరణను ఉపయోగించి ఉత్పాదించవచ్చు. మనకు ఉన్నాయి:

$$p(x) = p(r) + p’(r)(x - r) + \frac{p’’(r)}{2!}(x - r)^2 + \cdots$$

దీనిని న్యూటన్ సూత్రంలో ప్రతిక్షేపిస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

$$x_{n+1} = r - \frac{p(r) + p’(r)(x_n - r) + \frac{p’’(r)}{2!}(x_n - r)^2 + \cdots}{p’(r)}$$

సరళీకరిస్తే, మనం పొందుతాము:

$$x_{n+1} = r - \left( x_n - r \right) - \frac{p’’(r)}{2p’(r)}(x_n - r)^2 + \cdots$$

మళ్లీ అమర్చడం ద్వారా, మనం పొందుతాము:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{p(x_n)}{p’(x_n)} \left( 1 - \frac{p’’(x_n)}{2p’(x_n)} (x_n - r) + \cdots \right)$$

$x_n$ అనేది మూలం $r$ కు ఒక సుమారు విలువ కాబట్టి, $(x_n - r)$ చిన్నది అని మనం ఊహించుకోవచ్చు. అందువల్ల, మనం టేలర్ శ్రేణి విస్తరణలోని ఉన్నత క్రమ పదాలను విస్మరించి పొందవచ్చు:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{p(x_n)}{p’(x_n)} \left( 1 - \frac{p’’(x_n)}{2p’(x_n)^2} \right)$$

ఇది న్యూటన్ సూత్రానికి లాప్లేస్ దిద్దుబాటు.

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు బహుపది సమీకరణం యొక్క మూలాలు ఒకదానికొకటి దగ్గరగా ఉన్నప్పుడు న్యూటన్ సూత్రం యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని మెరుగుపరుస్తుంది. ఇది సంఖ్యా విశ్లేషణ సాఫ్ట్వేర్లో సులభంగా అమలు చేయగలిగే ఒక సరళమైన మార్పు.

ధ్వని వేగానికి లాప్లేస్ దిద్దుబాటు#

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు అనేది ఉష్ణ విస్తరణ ప్రభావాల కోసం వాయువులో ధ్వని వేగాన్ని సరిదిద్దడానికి ఉపయోగించే ఒక పద్ధతి. ఇది 1816లో మొదటిసారిగా దీనిని ఉత్పాదించిన ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రవేత్త పియర్-సైమన్ లాప్లేస్ పేరు మీదుగా పెట్టబడింది.

నేపథ్యం#

ద్రవంలో ధ్వని వేగం క్రింది సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది:

$$c = \sqrt{\frac{K}{\rho}}$$

ఇక్కడ:

• $c$ అనేది మీటర్లు ప్రతి సెకను (మీ/సె) లో ధ్వని వేగం
• $K$ అనేది పాస్కల్స్ (Pa) లో ద్రవం యొక్క బల్క్ మాడ్యులస్
• $\rho$ అనేది కిలోగ్రాములు ప్రతి ఘన మీటరు (కేజీ/మీ³) లో ద్రవం యొక్క సాంద్రత

బల్క్ మాడ్యులస్ అనేది ద్రవం యొక్క సంపీడనానికి నిరోధకత కొలత. సాంద్రత అనేది యూనిట్ ఘనపరిమాణానికి ద్రవం యొక్క ద్రవ్యరాశి కొలత.

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు#

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు సంపీడ్యత మరియు ఉష్ణ విస్తరణ ప్రభావాలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడానికి పై సమీకరణాన్ని సవరిస్తుంది. సరిదిద్దబడిన సమీకరణం:

$$c = \sqrt{\frac{K}{\rho}\left(1 + \frac{4}{3}\frac{\mu}{\rho c}\right)}$$

ఇక్కడ:

$\mu$ అనేది పాస్కల్-సెకన్లు (Pa·s) లో ద్రవం యొక్క డైనమిక్ స్నిగ్ధత

పదం $\frac{4}{3}\frac{\mu}{\rho c}$ స్నిగ్ధత మరియు ఉష్ణ వాహకత ప్రభావాల కోసం దిద్దుబాటును సూచిస్తుంది. ఈ పదం సాధారణంగా చిన్నది, కానీ అధిక-వేగ ప్రవాహాల కోసం లేదా ఉష్ణ మరియు స్నిగ్ధ ప్రభావాలు నిస్సారం కాని సందర్భాలలో ఇది ముఖ్యమైనది కావచ్చు.

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు అనేది ద్రవాలలో ధ్వని వేగాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి మరియు అంచనా వేయడానికి ఒక విలువైన సాధనం. ఇది ధ్వని వేగానికి ప్రాథమిక సమీకరణానికి సులభంగా వర్తింపచేయగల సరళమైన దిద్దుబాటు.

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు యొక్క అనువర్తనం#

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు అనేది సంభావ్యతా సిద్ధాంతం మరియు గణాంక శాస్త్రంలో ఉపయోగించే ఒక పద్ధతి, కొన్ని ఘటనలు ఇతరుల కంటే ఎక్కువగా సంభవించే వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోవడానికి సంఘటనల సంభావ్యతలను సర్దుబాటు చేయడానికి ఉపయోగిస్తారు. ఇది 18వ శతాబ్దంలో మొదటిసారిగా ఈ భావనను ప్రతిపాదించిన ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రవేత్త పియర్-సైమన్ లాప్లేస్ పేరు మీదుగా పెట్టబడింది.

లాప్లేస్ యొక్క వారసత్వ నియమం#

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు యొక్క అత్యంత సాధారణ అనువర్తనాలలో ఒకటి లాప్లేస్ యొక్క వారసత్వ నియమం సందర్భంలో ఉంటుంది. ఈ నియమం భవిష్యత్తులో ఒక ఘటన సంభవించే సంభావ్యత గతంలో ఘటన ఎన్ని సార్లు సంభవించిందో, మొత్తం ట్రయల్స్ సంఖ్యకు ఒకటి కలిపిన విలువకు సమానం అని పేర్కొంటుంది.

ఉదాహరణకు, ఒక నాణేన్ని 10 సార్లు ఎగరేసి 5 సార్లు బొమ్మలు వచ్చినట్లయితే, తదుపరి ఎగరేతలో నాణే బొమ్మ రావడం యొక్క సంభావ్యత ఇప్పటికీ 0.5.

చిన్న సంభావ్యత అంచనాల కోసం లాప్లేస్ దిద్దుబాటు#

నమూనా పరిమాణం చిన్నగా ఉన్నప్పుడు లాప్లేస్ దిద్దుబాటు ప్రత్యేకంగా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. ఎందుకంటే, నమూనా పరిమాణం చిన్నగా ఉన్నప్పుడు వారసత్వ నియమం తప్పుదారి పట్టించేది కావచ్చు, ఎందుకంటే ఇది కొన్ని ఘటనలు ఇతరుల కంటే ఎక్కువగా సంభవించే వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోదు.

ఉదాహరణకు, ఒక నాణేన్ని కేవలం రెండుసార్లు మాత్రమే ఎగరేసి రెండు సార్లు బొమ్మలు వచ్చినట్లయితే, తదుపరి ఎగరేతలో నాణే బొమ్మ రావడం యొక్క సంభావ్యత 2/2 = 1 కాదు. అయితే, ఈ సంభావ్యత ఖచ్చితంగా లేదు, ఎందుకంటే నాణే బొరుసు రావడానికి సమానంగా సంభావ్యత కలిగి ఉంటుందనే వాస్తవాన్ని ఇది పరిగణనలోకి తీసుకోదు.

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు గతంలో ఘటన ఎన్ని సార్లు సంభవించిందో దానికి 1 ను కలిపి మరియు మొత్తం ట్రయల్స్ సంఖ్యకు 1 ను కలిపి భవిష్యత్తులో ఒక ఘటన సంభవించే సంభావ్యతను సర్దుబాటు చేస్తుంది. ఈ సర్దుబాటు సంభావ్యతను మరింత ఖచ్చితంగా చేస్తుంది, ఎందుకంటే ఇది కొన్ని ఘటనలు ఇతరుల కంటే ఎక్కువగా సంభవించే వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది.

ఉదాహరణకు, ఒక నాణేన్ని రెండుసార్లు ఎగరేసి రెండు సార్లు బొమ్మలు వచ్చినట్లయితే, లాప్లేస్ దిద్దుబాటు తదుపరి ఎగరేతలో నాణే బొమ్మ రావడం యొక్క సంభావ్యతను (2 + 1)/(2 + 2) = 3/4 గా సర్దుబాటు చేస్తుంది. ఈ సంభావ్యత 1 కంటే ఎక్కువ ఖచ్చితమైనది, ఎందుకంటే నాణే తప్పనిసరిగా న్యాయమైనది కాదనే వాస్తవాన్ని ఇది పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది.

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు యొక్క ఇతర అనువర్తనాలు#

లాప్లేస్ దిద్దుబాటును ఇతర అనువర్తనాలలో కూడా ఉపయోగించవచ్చు, ఉదాహరణకు:

• బేయసియన్ గణాంకాలు: బేయసియన్ గణాంకాలలో ఘటనల ముందస్తు సంభావ్యతలను సర్దుబాటు చేయడానికి లాప్లేస్ దిద్దుబాటును ఉపయోగించవచ్చు. ముందస్తు సంభావ్యతలు ఖచ్చితంగా తెలియనప్పుడు ఇది ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.
• యంత్ర అభ్యాసం: యంత్ర అభ్యాస మోడల్లను క్రమబద్ధీకరించడానికి లాప్లేస్ దిద్దుబాటును ఉపయోగించవచ్చు. ఇది మోడల్లను డేటాకు అతిగా సరిపోయేలా చేయకుండా నిరోధించడంలో సహాయపడుతుంది.
• నిర్ణయ సిద్ధాంతం: అనిశ్చితి కింద నిర్ణయాలు తీసుకోవడానికి లాప్లేస్ దిద్దుబాటును ఉపయోగించవచ్చు. ఘటనల సంభావ్యతలు ఖచ్చితంగా తెలియనప్పుడు ఇది ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు అనేది కొన్ని ఘటనలు ఇతరుల కంటే తక్కువగా సంభవించే వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోవడానికి ఘటనల సంభావ్యతలను సర్దుబాటు చేయడానికి ఉపయోగించే ఒక శక్తివంతమైన పద్ధతి. ఇది సంభావ్యతా సిద్ధాంతం, గణాంకాలు మరియు ఇతర రంగాలకు ఒక విలువైన సాధనం.

లాప్లేస్ దిద్దుబాటుపై పరిష్కరించిన ఉదాహరణలు#

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు అనేది నమూనా పరిమాణం చిన్నగా ఉన్నప్పుడు ద్విపద విభాజనానికి సాధారణ సుమారు విలువ యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని మెరుగుపరచడానికి ఉపయోగించే ఒక పద్ధతి. ఇది సాధారణ సుమారు విలువకు నిరంతరత దిద్దుబాటు కారకాన్ని జోడించే ఆలోచనపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 1#

మనకు $n = 10$ మరియు $p = 0.5$ పరామితులతో ద్విపద విభాజనం ఉందని అనుకుందాం. సరిగ్గా 5 విజయాలు పొందే సంభావ్యతను మనం కనుగొనాలనుకుంటున్నాము.

ద్విపద విభాజనానికి సాధారణ సుమారు విలువ క్రింది సూత్రం ద్వారా ఇవ్వబడింది:

$$P(X = x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$$

ఇక్కడ $X$ అనేది విజయాల సంఖ్యను లెక్కించే యాదృచ్ఛిక చలరాశి, $\mu = np$ అనేది విభాజనం యొక్క సగటు మరియు $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ అనేది ప్రామాణిక విచలనం.

ఈ సందర్భంలో, మనకు $\mu = 10(0.5) = 5$ మరియు $\sigma = \sqrt{10(0.5)(0.5)} = 1.5811$ ఉన్నాయి. కాబట్టి, సరిగ్గా 5 విజయాలు పొందే సంభావ్యతకు సాధారణ సుమారు విలువ:

$$P(X = 5) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}(1.5811)} e^{-(5-5)^2/(2(1.5811)^2)} = 0.3829$$

అయితే, సరిగ్గా 5 విజయాలు పొందే ఖచ్చితమైన సంభావ్యత:

$$P(X = 5) = \binom{10}{5}(0.5)^5(0.5)^5 = 0.2461$$

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఈ సందర్భంలో సాధారణ సుమారు విలువ చాలా ఖచ్చితంగా లేదు. ఇది ఎందుకంటే నమూనా పరిమాణం చిన్నది మరియు ద్విపద విభాజనం సాధారణ విభాజనానికి చాలా దగ్గరగా లేదు.

ఉదాహరణ 2#

ఇప్పుడు, $n = 100$ మరియు $p = 0.5$ పరామితులతో ద్విపద విభాజనాన్ని పరిశీలిద్దాం. 45 మరియు 55 మధ్య విజయాలు పొందే సంభావ్యతను మనం కనుగొనాలనుకుంటున్నాము.

ద్విపద విభాజనానికి సాధారణ సుమారు విలువ క్రింది సూత్రం ద్వారా ఇవ్వబడింది:

$$P(a < X < b) = \int_a^b \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2} dx$$

ఇక్కడ $X$ అనేది విజయాల సంఖ్యను లెక్కించే యాదృచ్ఛిక చలరాశి, $\mu = np$ అనేది విభాజనం యొక్క సగటు మరియు $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ అనేది ప్రామాణిక విచలనం.

ఈ సందర్భంలో, మనకు $\mu = 100(0.5) = 50$ మరియు $\sigma = \sqrt{100(0.5)(0.5)} = 5$ ఉన్నాయి. కాబట్టి, 45 మరియు 55 మధ్య విజయాలు పొందే సంభావ్యతకు సాధారణ సుమారు విలువ:

$$P(45 < X < 55) = \int_{45}^{55} \frac{1}{5\sqrt{2\pi}} e^{-(x-50)^2/2(5)^2} dx = 0.6826$$

45 మరియు 55 మధ్య విజయాలు పొందే ఖచ్చితమైన సంభావ్యత:

$$P(45 < X < 55) = \sum_{x=46}^{54} \binom{100}{x}(0.5)^x(0.5)^{100-x} = 0.6915$$

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, సాధారణ సుమారు విలువ మునుపటి ఉదాహరణలో ఉన్నదానికంటే ఈ సందర్భంలో చాలా ఎక్కువ ఖచ్చితంగా ఉంది. ఇది ఎందుకంటే నమూనా పరిమాణం పెద్దది మరియు ద్విపద విభాజనం సాధారణ విభాజనానికి దగ్గరగా ఉంటుంది.

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు అనేది నమూనా పరిమాణం చిన్నగా ఉన్నప్పుడు ద్విపద విభాజనానికి సాధారణ సుమారు విలువ యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని మెరుగుపరచడానికి ఒక ఉపయోగకరమైన పద్ధతి. అయితే, సాధారణ సుమారు విలువ కేవలం ఒక సుమారు విలువ మాత్రమే అని మరియు ఇది కొన్ని ప్రయోజనాల కోసం తగినంత ఖచ్చితంగా ఉండకపోవచ్చని గమనించడం ముఖ్యం.

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు తరచుగా అడిగే ప్రశ్నలు#

లాప్లేస్ దిద్దుబాటు అంటే ఏమిటి?#

లాప్లేస్ దిద