PYQ NEET- భ్రమణ చలనం L-1

ప్రశ్న: ద్రవ్యరాశి $M$ మరియు వ్యాసార్థం $R$ గల ఒక ఘన గోళం యొక్క దాని స్వంత అక్షం పరంగా భ్రమణ వ్యాసార్థం యొక్క నిష్పత్తి, అదే ద్రవ్యరాశి మరియు వ్యాసార్థం గల ఒక సన్నటి బోలు గోళం యొక్క దాని అక్షం పరంగా భ్రమణ వ్యాసార్థానికి :-#

A) $5: 3$

B) $2: 5$

C) $\sqrt{5}: \sqrt{3}$

D) $\sqrt{3}: \sqrt{5}$

సమాధానం: $\sqrt{3}: \sqrt{5}$#

సాధన:#

ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి, మనం ఒక ఘన గోళం యొక్క భ్రమణ వ్యాసార్థం $\left(\mathrm{K}_1\right)$ మరియు అదే ద్రవ్యరాశి $M$ మరియు వ్యాసార్థం $R$ గల ఒక సన్నటి బోలు గోళం యొక్క భ్రమణ వ్యాసార్థం $\left(\mathrm{K}_2\right)$ మధ్య నిష్పత్తిని కనుగొనాలి.

ఒక ఘన గోళం యొక్క దాని స్వంత అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకం (I) దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది : $$ I_{\text {solid }}=\frac{2}{5} M R^2 $$

భ్రమణ వ్యాసార్థం $(\mathrm{K})$ అనేది జడత్వ భ్రామకం $(\mathrm{I})$ మరియు ద్రవ్యరాశి $(\mathrm{M})$కి ఈ సూత్రం ద్వారా సంబంధం కలిగి ఉంటుంది : $$ I=M K^2 $$

కాబట్టి ఘన గోళం కోసం, మనం $\mathrm{K}1$ని ఇలా కనుగొనవచ్చు : $$ \begin{aligned} & K_1^2=\frac{I{\text {solid }}}{M}=\frac{2}{5} R^2 \ & K_1=R \sqrt{\frac{2}{5}} \end{aligned} $$

ఇప్పుడు, ఒక సన్నటి బోలు గోళం కోసం, దాని అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకం దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది : $$ I_{\text {hollow }}=\frac{2}{3} M R^2 $$

మనం $\mathrm{K}2$ని ఇలా కనుగొనవచ్చు : $$ K_2^2=\frac{I{\text {hollow }}}{M}=\frac{2}{3} R^2 $$ $$ K_2=R \sqrt{\frac{2}{3}} $$

ఇప్పుడు, మనం నిష్పత్తి ⟦26⟨ని కనుగొనాలి : $$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{R \sqrt{\frac{2}{5}}}{R \sqrt{\frac{2}{3}}} $$

R పదాలు రద్దు అవుతాయి, మరియు మనకు మిగిలినది : $$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{\sqrt{\frac{2}{5}}}{\sqrt{\frac{2}{3}}} $$

భిన్నం యొక్క వర్గమూలాన్ని తీసుకోవడం ద్వారా సరళీకరించండి : $$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{5} \sqrt{2}} $$

ఇప్పుడు, 2 యొక్క వర్గమూల పదాలు రద్దు అవుతాయి, మనకు ఇవ్వబడుతుంది : $$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} $$