2.1 పరిచయం

మనకు తెలిసినట్లుగా, మనం లెక్కించడం ప్రారంభించినప్పుడు 1, 2, 3, 4,.. సంఖ్యలను ఉపయోగిస్తాము. మనం లెక్కించడం ప్రారంభించినప్పుడు అవి సహజంగా వస్తాయి. అందువల్ల, గణిత శాస్త్రవేత్తలు లెక్కించే సంఖ్యలను సహజ సంఖ్యలు అని పిలుస్తారు.

ముందున్న సంఖ్య మరియు తరువాతి సంఖ్య (పూర్వీకుడు మరియు వారసుడు)

ఏదైనా సహజ సంఖ్యను ఇచ్చినప్పుడు, మీరు ఆ సంఖ్యకు 1ని కలిపి తరువాతి సంఖ్యను పొందవచ్చు, అంటే మీరు దాని వారసుడిని (తరువాతి సంఖ్య) పొందుతారు.

16 యొక్క వారసుడు $16+1=17$, 19 యొక్క వారసుడు $19+1=20$ మరియు అలాగే చెప్పవచ్చు.

సంఖ్య 16, 17కి ముందు వస్తుంది, 17 యొక్క పూర్వీకుడు (ముందున్న సంఖ్య) $17-1=16$ అని మనం చెప్పవచ్చు, 20 యొక్క పూర్వీకుడు $20-1=19$, మరియు అలాగే చెప్పవచ్చు.

ఇవి చేయండి

1. 19; 1997; 12000; 49; 100000 యొక్క పూర్వీకుడు మరియు వారసుడిని రాయండి.
2. ఏదైనా సహజ సంఖ్యకు పూర్వీకుడు లేదా?
3. ఏదైనా సహజ సంఖ్యకు వారసుడు లేదా? చివరి సహజ సంఖ్య ఉందా?

సంఖ్య 3కి ఒక పూర్వీకుడు మరియు ఒక వారసుడు ఉన్నారు. 2 గురించి ఏమిటి? వారసుడు 3 మరియు పూర్వీకుడు 1. 1కి ఒక వారసుడు మరియు ఒక పూర్వీకుడు ఇద్దరూ ఉన్నారా?

మనం మన పాఠశాలలోని పిల్లల సంఖ్యను లెక్కించవచ్చు; మనం ఒక నగరంలోని వ్యక్తుల సంఖ్యను కూడా లెక్కించవచ్చు; మనం భారతదేశంలోని వ్యక్తుల సంఖ్యను లెక్కించవచ్చు. మొత్తం ప్రపంచంలోని వ్యక్తుల సంఖ్యను కూడా లెక్కించవచ్చు. మనం ఆకాశంలోని నక్షత్రాల సంఖ్యను లేదా మన తలపైనున్న వెంట్రుకల సంఖ్యను లెక్కించలేకపోవచ్చు, కానీ మనం సామర్థ్యం ఉంటే, వాటికి కూడా ఒక సంఖ్య ఉంటుంది. అప్పుడు మనం అటువంటి సంఖ్యకు మరో ఒకటి కలిపి పెద్ద సంఖ్యను పొందవచ్చు. ఆ సందర్భంలో మనం రెండు తలలపై ఉన్న వెంట్రుకల సంఖ్యను కూడా రాయగలము.

ఇప్పుడు బహుశా స్పష్టంగా ఉండవచ్చు, అతిపెద్ద సంఖ్య అనేది లేదు. పైన పంచుకున్న ఈ ప్రశ్నలు తప్ప, మనం సహజ సంఖ్యలతో పనిచేసినప్పుడు మన మనస్సులోకి రావచ్చు అనేక ఇతర ప్రశ్నలు ఉన్నాయి. మీరు కొన్ని అటువంటి ప్రశ్నల గురించి ఆలోచించి, వాటిని మీ స్నేహితులతో చర్చించవచ్చు. వాటిలో చాలా వాటికి స్పష్టమైన సమాధానాలు మీకు తెలియకపోవచ్చు!

2.2 పూర్ణ సంఖ్యలు

సహజ సంఖ్యలలో సంఖ్య 1కి పూర్వీకుడు లేడని మనం చూశాము. సహజ సంఖ్యల సముదాయానికి మనం 1కి పూర్వీకుడుగా సున్నాను కలుపుతాము.

సహజ సంఖ్యలతో పాటు సున్నా కలిసి పూర్ణ సంఖ్యల సముదాయాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

ఇవి చేయండి

1. అన్ని సహజ సంఖ్యలు కూడా పూర్ణ సంఖ్యలేనా?
2. అన్ని పూర్ణ సంఖ్యలు కూడా సహజ సంఖ్యలేనా?
3. అతిపెద్ద పూర్ణ సంఖ్య ఏది?**

మీ మునుపటి తరగతులలో మీరు సంకలనం, వ్యవకలనం, గుణకారం మరియు భాగహారం వంటి అన్ని ప్రాథమిక కార్యకలాపాలను సంఖ్యలపై చేయడం నేర్చుకున్నారు. వాటిని సమస్యలకు ఎలా వర్తింపజేయాలో కూడా మీకు తెలుసు. వాటిని ఒక సంఖ్య రేఖపై ప్రయత్నిద్దాం. మనం ముందుకు సాగే ముందు, సంఖ్య రేఖ అంటే ఏమిటో తెలుసుకుందాం!

2.3 సంఖ్య రేఖ

ఒక రేఖ గీయండి. దానిపై ఒక బిందువును గుర్తించండి. దానిని 0 అని లేబుల్ చేయండి. 0కి కుడివైపున రెండవ బిందువును గుర్తించండి. దానిని 1 అని లేబుల్ చేయండి.

0 మరియు 1 అని లేబుల్ చేయబడిన ఈ బిందువుల మధ్య దూరాన్ని యూనిట్ దూరం అంటారు. ఈ రేఖపై, 1కి కుడివైపున మరియు 1 నుండి యూనిట్ దూరంలో ఒక బిందువును గుర్తించి దానిని 2 అని లేబుల్ చేయండి. ఈ విధంగా రేఖపై యూనిట్ దూరాలలో బిందువులను $3,4,5, \ldots$గా లేబుల్ చేస్తూ వెళ్లండి. ఈ పద్ధతిలో మీరు కుడివైపున ఏదైనా పూర్ణ సంఖ్యకు వెళ్లవచ్చు.

ఇది పూర్ణ సంఖ్యల కోసం ఒక సంఖ్య రేఖ.

బిందువులు 2 మరియు 4 మధ్య దూరం ఎంత? ఖచ్చితంగా, అది 2 యూనిట్లు. మీరు బిందువులు 2 మరియు 6 మధ్య, 2 మరియు 7 మధ్య దూరం చెప్పగలరా?

సంఖ్య రేఖపై మీరు చూస్తారు, సంఖ్య 7, 4కి కుడివైపున ఉంది. ఈ సంఖ్య 7, 4 కంటే పెద్దది, అంటే $7>4$. సంఖ్య 8, 6కి కుడివైపున ఉంది మరియు $8>6$. ఈ అవలోకనాలు ఏదైనా రెండు పూర్ణ సంఖ్యలలో, మరొక సంఖ్యకు కుడివైపున ఉన్న సంఖ్య పెద్ద సంఖ్య అని చెప్పడానికి మాకు సహాయపడతాయి. ఎడమవైపున ఉన్న పూర్ణ సంఖ్య చిన్న సంఖ్య అని కూడా మనం చెప్పవచ్చు.

ఉదాహరణకు, $4<9 ; 4$ 9కి ఎడమవైపున ఉంది. అదేవిధంగా, $12>5 ; 12$ 5కి కుడివైపున ఉంది.

10 మరియు 20 గురించి మీరు ఏమి చెప్పగలరు?

సంఖ్య రేఖపై 30, 12, 18ను గుర్తించండి. ఏ సంఖ్య చాలా దూరంగా ఎడమవైపున ఉంది? 1005 మరియు 9756లో, ఏ సంఖ్య మరొక సంఖ్యకు సాపేక్షంగా కుడివైపున ఉంటుందో మీరు చెప్పగలరా.

12 యొక్క వారసుడు మరియు 7 యొక్క పూర్వీకుడిని సంఖ్య రేఖపై ఉంచండి.

సంఖ్య రేఖపై సంకలనం

పూర్ణ సంఖ్యల సంకలనాన్ని సంఖ్య రేఖపై చూపించవచ్చు. 3 మరియు 4 యొక్క సంకలనాన్ని చూద్దాం.

3 నుండి ప్రారంభించండి. మనం ఈ సంఖ్యకు 4ని కలుపుతున్నందున, మనం కుడివైపుకు 4 జంపులు చేస్తాము; 3 నుండి 4, 4 నుండి 5, 5 నుండి 6 మరియు 6 నుండి 7 వరకు పైన చూపినట్లుగా. నాల్గవ జంపులో చివరి \to యొక్క కొన 7 వద్ద ఉంది.

3 మరియు 4 యొక్క మొత్తం 7, అంటే $3+4=7$.

ఇవి చేయండి

సంఖ్య రేఖను ఉపయోగించి $4+5$; $2+6 ; 3+5$ మరియు $1+6$ని కనుగొనండి.

సంఖ్య రేఖపై వ్యవకలనం

రెండు పూర్ణ సంఖ్యల వ్యవకలనాన్ని కూడా సంఖ్య రేఖపై చూపించవచ్చు. $7-5$ని కనుగొందాం.

7 నుండి ప్రారంభించండి. 5 తీసివేయబడుతున్నందున, 1 యూనిట్ యొక్క 1 జంపుతో ఎడమవైపుకు తరలించండి. అలాంటి 5 జంపులు చేయండి. మనం బిందువు 2 వద్దకు చేరుకుంటాము. మనకు $7-5=2$ లభిస్తుంది.

ఇవి చేయండి

సంఖ్య రేఖను ఉపయోగించి $8-3$; $6-2 ; 9-6$ని కనుగొనండి.

సంఖ్య రేఖపై గుణకారం

ఇప్పుడు మనం సంఖ్య రేఖపై పూర్ణ సంఖ్యల గుణకారాన్ని చూస్తాము

$4 \times 3$ని కనుగొందాం.

0 నుండి ప్రారంభించి, ఒక సారి 3 యూనిట్లు కుడివైపుకు తరలించండి, అలాంటి 4 మూవ్లు చేయండి. మీరు ఎక్కడ చేరుకుంటారు? మీరు 12 వద్దకు చేరుకుంటారు. కాబట్టి, మనం చెప్పేది, $3 \times 4=12$.

ఇవి చేయండి

సంఖ్య రేఖను ఉపయోగించి $2 \times 6; 3\times3;4 \times 2 $ని కనుగొనండి

అభ్యాసం 2.1

1. 10999 తర్వాత వచ్చే మూడు సహజ సంఖ్యలను రాయండి.

2. 10001కు ముందు వచ్చే మూడు పూర్ణ సంఖ్యలను రాయండి.

3. అతిచిన్న పూర్ణ సంఖ్య ఏది?

4. 32 మరియు 53 మధ్య ఎన్ని పూర్ణ సంఖ్యలు ఉన్నాయి?

5. క్రింది వాటి యొక్క వారసుడిని రాయండి :

(a) 2440701
(b) 100199
(c) 1099999
(d) 2345670

6. క్రింది వాటి యొక్క పూర్వీకుడిని రాయండి :

(a) 94
(b) 10000
(c) 208090
(d) 7654321

7. క్రింది జతల సంఖ్యలలో, సంఖ్య రేఖపై ఏ పూర్ణ సంఖ్య మరొక సంఖ్యకు ఎడమవైపున ఉందో తెలపండి. వాటిని తగిన $sign(>,<)$తో కూడా రాయండి.

(a) 530,503
(b) 370,307
(c) 98765,56789
(d) 9830415,10023001

8. క్రింది ప్రకటనలలో ఏవి నిజం $(T)$ మరియు ఏవి తప్పు $(F)$ ?

(a) సున్నా అతిచిన్న సహజ సంఖ్య.
(b) 400, 399 యొక్క పూర్వీకుడు.
(c) సున్నా అతిచిన్న పూర్ణ సంఖ్య.
(d) 600, 599 యొక్క వారసుడు.
(e) అన్ని సహజ సంఖ్యలు పూర్ణ సంఖ్యలు.
(f) అన్ని పూర్ణ సంఖ్యలు సహజ సంఖ్యలు.
(g) రెండు అంకెల సంఖ్య యొక్క పూర్వీకుడు ఎప్పుడూ ఒక అంకె సంఖ్య కాదు.
(h) 1 అతిచిన్న పూర్ణ సంఖ్య.
(i) సహజ సంఖ్య 1కి పూర్వీకుడు లేడు.
(j) పూర్ణ సంఖ్య 1కి పూర్వీకుడు లేడు.
(k) పూర్ణ సంఖ్య 13, 11 మరియు 12 మధ్య ఉంటుంది.
(l) పూర్ణ సంఖ్య 0కి పూర్వీకుడు లేడు.
(m) రెండు అంకెల సంఖ్య యొక్క వారసుడు ఎల్లప్పుడూ రెండు అంకెల సంఖ్యే.

మనం ఏమి చర్చించాము?

1. మనం లెక్కించడానికి ఉపయోగించే సంఖ్యలు $1,2,3, \ldots$ సహజ సంఖ్యలుగా పిలువబడతాయి.

2. మీరు ఒక సహజ సంఖ్యకు 1ని కలిపితే, మీరు దాని వారసుడిని పొందుతారు. మీరు ఒక సహజ సంఖ్య నుండి 1ని తీసివేస్తే, మీరు దాని పూర్వీకుడిని పొందుతారు.

3. ప్రతి సహజ సంఖ్యకు ఒక వారసుడు ఉంటాడు. 1 మినహా ప్రతి సహజ సంఖ్యకు ఒక పూర్వీకుడు ఉంటాడు.

4. మనం సహజ సంఖ్యల సముదాయానికి సున్నా సంఖ్యను కలిపితే, మనకు పూర్ణ సంఖ్యల సముదాయం లభిస్తుంది. అందువలన, సంఖ్యలు $0,1,2,3, \ldots$ పూర్ణ సంఖ్యల సముదాయాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

5. ప్రతి పూర్ణ సంఖ్యకు ఒక వారసుడు ఉంటాడు. సున్నా మినహా ప్రతి పూర్ణ సంఖ్యకు ఒక పూర్వీకుడు ఉంటాడు.

6. అన్ని సహజ సంఖ్యలు పూర్ణ సంఖ్యలు, కానీ అన్ని పూర్ణ సంఖ్యలు సహజ సంఖ్యలు కావు.

7. మనం ఒక రేఖ తీసుకుని, దానిపై ఒక బిందువును గుర్తించి దానిని 0 అని లేబుల్ చేస్తాము. అప్పుడు మనం 0కి కుడివైపున, సమాన అంతరాలలో బిందువులను గుర్తించి వాటిని $1,2,3, \ldots$గా లేబుల్ చేస్తాము. అందువలన, మనకు పూర్ణ సంఖ్యలు ప్రతినిధిత్వం చేయబడిన ఒక సంఖ్య రేఖ ఉంటుంది. మనం సంఖ్య రేఖపై సంకలనం, వ్యవకలనం మరియు గుణకారం యొక్క సంఖ్య కార్యకలాపాలను సులభంగా చేయగలము.

8. సంకలనం సంఖ్య రేఖపై కుడివైపుకు తరలించడానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది, అయితే వ్యవకలనం ఎడమవైపుకు తరలించడానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. గుణకారం సున్నా నుండి ప్రారంభించి సమాన దూరం యొక్క జంపులు చేయడానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.