5.1 పరిచయం

మన చుట్టూ మనం చూసే అన్ని ఆకారాలు వక్రరేఖలు లేదా సరళరేఖలను ఉపయోగించి ఏర్పడతాయి. మన పరిసరాలలో మూలలు, అంచులు, తలాలు, తెరచిన వక్రరేఖలు మరియు మూసిన వక్రరేఖలను మనం చూడవచ్చు. మనం వాటిని రేఖాఖండాలు, కోణాలు, త్రిభుజాలు, బహుభుజులు మరియు వృత్తాలుగా వర్గీకరిస్తాము. వాటికి వివిధ పరిమాణాలు మరియు కొలతలు ఉన్నాయని మనం కనుగొంటాము. ఇప్పుడు వాటి పరిమాణాలను పోల్చడానికి సాధనాలను అభివృద్ధి చేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

5.2 రేఖాఖండాలను కొలవడం

మనం చాలా రేఖాఖండాలను గీసి చూశాము. ఒక త్రిభుజం మూడు రేఖాఖండాలతో, ఒక చతుర్భుజం నాలుగు రేఖాఖండాలతో తయారవుతుంది.
$\quad$ ఒక రేఖాఖండం అనేది ఒక రేఖ యొక్క నిర్దిష్ట భాగం. ఇది ఒక రేఖాఖండాన్ని కొలవడాన్ని సాధ్యపరుస్తుంది. ప్రతి రేఖాఖండం యొక్క ఈ కొలత దాని “పొడవు” అనే ప్రత్యేక సంఖ్య. రేఖాఖండాలను పోల్చడానికి మనం ఈ ఆలోచనను ఉపయోగిస్తాము.

ఏవైనా రెండు రేఖాఖండాలను పోల్చడానికి, మనం వాటి పొడవుల మధ్య సంబంధాన్ని కనుగొంటాము. ఇది అనేక విధాలుగా చేయవచ్చు.

(i) పరిశీలన ద్వారా పోలిక:

వాటిని చూడటం ద్వారా మాత్రమే ఏది పొడవుగా ఉందో చెప్పగలరా?

$\overline{AB}$ పొడవుగా ఉందని మీరు చూడగలరు.

కానీ మీ సాధారణ తీర్పు గురించి మీరు ఎల్లప్పుడూ ఖచ్చితంగా ఉండలేరు.

ఉదాహరణకు, ప్రక్కనే ఉన్న ఖండాలను చూడండి :

ఈ రెండింటి మధ్య పొడవుల వ్యత్యాసం స్పష్టంగా ఉండకపోవచ్చు. ఇది పోలిక యొక్క ఇతర మార్గాలను అవసరమైనవిగా చేస్తుంది.

ఈ ప్రక్కనే ఉన్న పటంలో, $\overline{AB}$ మరియు $\overline{PQ}$ సమాన పొడవులను కలిగి ఉన్నాయి. ఇది చాలా స్పష్టంగా లేదు.

కాబట్టి, రేఖాఖండాలను పోల్చడానికి మంచి పద్ధతులు మనకు అవసరం.

(ii) ట్రేసింగ్ ద్వారా పోలిక

$\overline{AB}$ మరియు $\overline{CD}$ లను పోల్చడానికి, మనం ఒక ట్రేసింగ్ పేపర్ ఉపయోగించి, $\overline{CD}$ ను ట్రేస్ చేసి, ఆ ట్రేస్ చేసిన ఖండాన్ని $\overline{AB}$ పై ఉంచుతాము.

ఇప్పుడు $\overline{AB}$ మరియు $\overline{CD}$ లలో ఏది పొడవుగా ఉందో మీరు నిర్ణయించగలరా?

ఈ పద్ధతి రేఖాఖండాన్ని ట్రేస్ చేయడంలో ఉన్న ఖచ్చితత్వంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. అంతేకాకుండా, మీరు మరొక పొడవుతో పోల్చాలనుకుంటే, మీరు మరొక రేఖాఖండాన్ని ట్రేస్ చేయాలి. ఇది కష్టం మరియు మీరు వాటిని పోల్చాలనుకున్న ప్రతిసారీ పొడవులను ట్రేస్ చేయలేరు.

(iii) పాలకుడు మరియు డివైడర్ ఉపయోగించి పోలిక

మీ పరికర పెట్టెలోని అన్ని పరికరాలను మీరు చూశారా లేదా గుర్తించగలరా? ఇతర వస్తువులతోపాటు, మీ దగ్గర ఒక పాలకుడు మరియు ఒక డివైడర్ ఉన్నాయి.

పాలకుడు దాని ఒక అంచు వెంబడి ఎలా గుర్తించబడిందో గమనించండి. ఇది 15 భాగాలుగా విభజించబడింది. ఈ 15 భాగాలలో ప్రతి ఒక్కటి $1 cm$ పొడవు కలిగి ఉంటాయి.

ప్రతి సెంటీమీటర్ 10 ఉపభాగాలుగా విభజించబడింది. ఒక $cm$ యొక్క విభజన యొక్క ప్రతి ఉపభాగం $1 mm$.

1 mm అంటే 0.1 cm.
2 mm అంటే 0.2 cm మరియు అలాగే .
2.3 cm అంటే 2 cm మరియు 3 mm.

ఎన్ని మిల్లీమీటర్లు ఒక సెంటీమీటర్ను ఏర్పరుస్తాయి? $1 cm=10$ $mm$ కాబట్టి, మనం $2 cm$ ను ఎలా వ్రాస్తాము? $3 mm$ ? $7.7 cm$ అంటే మనం ఏమి అర్థం చేసుకుంటాము?

పాలకుడి యొక్క సున్నా గుర్తును A వద్ద ఉంచండి. B కి ఎదురుగా ఉన్న గుర్తును చదవండి. ఇది $\overline{A B}$ యొక్క పొడవును ఇస్తుంది. పొడవు $5.8 cm$ అని అనుకుందాం, మనం వ్రాయవచ్చు,

పొడవు $A B=5.8 cm$ లేదా మరింత సరళంగా $A B=5.8 cm$.

ఈ విధానంలో కూడా దోషాలకు అవకాశం ఉంది. పాలకుడి యొక్క మందం దానిపై ఉన్న గుర్తులను చదవడంలో ఇబ్బందులను కలిగించవచ్చు.

ఆలోచించండి, చర్చించండి మరియు వ్రాయండి

1. మనం ఇతర ఏ దోషాలు మరియు ఇబ్బందులను ఎదుర్కోవచ్చు?

2. పాలకుడిపై ఉన్న గుర్తును సరిగ్గా చూడకపోతే ఎలాంటి దోషాలు సంభవించవచ్చు? ఒక వ్యక్తి దానిని ఎలా నివారించవచ్చు?

స్థానం దోషం

సరైన కొలత పొందడానికి, కళ్ళు సరిగ్గా స్థానంలో ఉండాలి, గుర్తు పైన నిలువుగా. లేకపోతే కోణీయ దృష్టి కారణంగా దోషాలు సంభవించవచ్చు.

మనం ఈ సమస్యను నివారించగలమా? మంచి మార్గం ఉందా?

పొడవును కొలవడానికి డివైడర్ను ఉపయోగిద్దాం.

డివైడర్ను తెరవండి. దాని ఒక చేతి యొక్క చివరి బిందువును A వద్ద మరియు రెండవ చేతి యొక్క చివరి బిందువును B వద్ద ఉంచండి. డివైడర్ యొక్క తెరవడం దిగజారకుండా జాగ్రత్త పడండి, డివైడర్ను ఎత్తి పాలకుడిపై ఉంచండి. ఒక చివరి బిందువు పాలకుడి యొక్క సున్నా గుర్తు వద్ద ఉందని నిర్ధారించుకోండి. ఇప్పుడు మరొక చివరి బిందువు ఎదురుగా ఉన్న గుర్తును చదవండి.

ఇవి చేయండి

1. ఏదైనా పోస్ట్ కార్డ్ తీసుకోండి. దాని రెండు ప్రక్కనే ఉన్న భుజాలను కొలవడానికి పైన ఉన్న పద్ధతిని ఉపయోగించండి.

2. సమతల పైభాగం కలిగిన ఏవైనా మూడు వస్తువులను ఎంచుకోండి. డివైడర్ మరియు పాలకుడిని ఉపయోగించి పైభాగం యొక్క అన్ని భుజాలను కొలవండి.

అభ్యాసం 5.1

1. కేవలం పరిశీలన ద్వారా రేఖాఖండాలను పోల్చడంలో ఉన్న ప్రతికూలత ఏమిటి?

3. ఒక రేఖాఖండం యొక్క పొడవును కొలిచేటప్పుడు పాలకుడి కంటే డివైడర్ను ఉపయోగించడం ఎందుకు మంచిది?

4. ఏదైనా రేఖాఖండాన్ని గీయండి, $\overline{AB}$ అనుకోండి. $A$ మరియు $B$ ల మధ్యలో ఉన్న ఏదైనా బిందువు $C$ ను తీసుకోండి. $AB, BC$ మరియు $AC$ ల పొడవులను కొలవండి. $AB=AC+CB$ అనేది నిజమేనా?

[గమనిక: $A, B, C$ లు ఒక రేఖపై ఏవైనా మూడు బిందువులు అయి $A C+C B=A B$ అయితే, $C$ అనేది $A$ మరియు $B$ ల మధ్య ఉందని మనం ఖచ్చితంగా చెప్పగలం.]

4. $A, B, C$ లు ఒక రేఖపై మూడు బిందువులు అయి $AB=5 cm, BC=3 cm$ మరియు $AC=8 cm$ అయితే, వాటిలో ఏది మిగతా రెండింటి మధ్య ఉంటుంది?

5. $D$ అనేది $\overline{AG}$ యొక్క మధ్యబిందువు అని ధృవీకరించండి.

6. $B$ అనేది $\overline{AC}$ యొక్క మధ్యబిందువు మరియు $C$ అనేది $\overline{BD}$ యొక్క మధ్యబిందువు అయితే, ఇక్కడ $A, B, C, D$ లు ఒక సరళరేఖపై ఉంటే, $AB=CD$ అని ఎందుకు చెప్పగలం?

7. ఐదు త్రిభుజాలను గీయండి మరియు వాటి భుజాలను కొలవండి. ప్రతి సందర్భంలో, ఏదైనా రెండు భుజాల పొడవుల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ మూడవ భుజం కంటే తక్కువగా ఉందో లేదో తనిఖీ చేయండి.

5.3 కోణాలు - ‘లంబ’ మరియు ‘సరళ’

మీరు భూగోళంలో దిశల గురించి విన్నారు. చైనా భారతదేశానికి ఉత్తరంలో ఉందని, శ్రీలంక దక్షిణంలో ఉందని మనకు తెలుసు. సూర్యుడు తూర్పున ఉదయించి పడమరలో అస్తమిస్తాడని కూడా మనకు తెలుసు. నాలుగు ప్రధాన దిశలు ఉన్నాయి. అవి ఉత్తరం (N), దక్షిణం (S), తూర్పు (E) మరియు పడమర (W).

ఉత్తరానికి ఎదురుగా ఉన్న దిశ ఏదో మీకు తెలుసా?

పడమరకు ఎదురుగా ఉన్న దిశ ఏది?

మీకు ఇప్పటికే తెలిసిన దాన్ని మళ్లీ గుర్తుకు తెచ్చుకోండి. కోణాల గురించి కొన్ని లక్షణాలను నేర్చుకోవడానికి ఇప్పుడు మనం ఈ జ్ఞానాన్ని ఉపయోగిస్తాము.

ఉత్తరం వైపు ఎదురుగా నిలబడండి.

ఇది చేయండి

తూర్పు వైపు తిరగడానికి సవ్యదిశలో తిరగండి.

మీరు ఒక లంబకోణం ద్వారా తిరిగారని మేము చెప్తాము.

దీనిని ‘లంబకోణ-మలుపు’తో, సవ్యదిశలో అనుసరించండి.

ఇప్పుడు మీరు దక్షిణం వైపు ఎదురుగా ఉన్నారు.

మీరు అపసవ్య దిశలో ఒక లంబకోణంతో తిరిగితే, మీరు ఏ దిశ వైపు ఎదురుగా ఉంటారు? అది మళ్లీ తూర్పు! (ఎందుకు?)

కింది స్థానాలను అధ్యయనం చేయండి:

ఉత్తరం వైపు ఎదురుగా ఉండటం నుండి దక్షిణం వైపు ఎదురుగా ఉండడానికి, మీరు రెండు లంబకోణాల ద్వారా తిరిగారు. ఇది రెండు లంబకోణాల ద్వారా ఒకే మలుపు కాదా?

ఉత్తరం నుండి తూర్పుకు మలుపు ఒక లంబకోణం ద్వారా.

ఉత్తరం నుండి దక్షిణానికి మలుపు రెండు లంబకోణాల ద్వారా; దీనిని సరళకోణం అంటారు. (NS ఒక సరళరేఖ!)

దక్షిణం వైపు ఎదురుగా నిలబడండి.

ఒక సరళకోణం ద్వారా తిరగండి.

ఇప్పుడు మీరు ఏ దిశ వైపు ఎదురుగా ఉన్నారు?

మీరు ఉత్తరం వైపు ఎదురుగా ఉన్నారు!

ఉత్తరం నుండి దక్షిణానికి తిరగడానికి, మీరు ఒక సరళకోణం మలుపు తిరిగారు, మళ్లీ దక్షిణం నుండి ఉత్తరానికి తిరగడానికి, మీరు అదే దిశలో మరొక సరళకోణం మలుపు తిరిగారు. ఈ విధంగా, రెండు సరళకోణాల ద్వారా తిరగడం వలన మీరు మీ అసలు స్థానానికి చేరుకుంటారు.

ఆలోచించండి, చర్చించండి మరియు వ్రాయండి

మీ అసలు స్థానానికి చేరుకోవడానికి మీరు అదే దిశలో ఎన్ని లంబకోణాలు తిరగాలి?

అదే దిశలో రెండు సరళకోణాలు (లేదా నాలుగు లంబకోణాలు) తిరగడం వలన పూర్తి మలుపు ఏర్పడుతుంది. ఈ ఒక పూర్తి మలుపును ఒక పరిభ్రమణం అంటారు. ఒక పరిభ్రమణం కోసం కోణం ఒక పూర్ణకోణం.

గడియార ముఖాలపై మనం అలాంటి పరిభ్రమణలను చూడవచ్చు. ఒక గడియారం యొక్క ముల్లు ఒక స్థానం నుండి మరొక స్థానానికి కదులుతున్నప్పుడు, అది ఒక కోణం ద్వారా తిరుగుతుంది.

ఒక గడియారం యొక్క ముల్లు 12 వద్ద ప్రారంభమై తిరిగి 12 వద్దకు చేరే వరకు తిరుగుతుందని అనుకుందాం. అది ఒక పరిభ్రమణం చేయలేదా? కాబట్టి, అది ఎన్ని లంబకోణాలు కదిలింది? ఈ ఉదాహరణలను పరిగణించండి:

ఇవి చేయండి

1. అర పరిభ్రమణానికి కోణం పేరు ఏమిటి?

2. నాలుగో వంతు పరిభ్రమణానికి కోణం పేరు ఏమిటి?

3. గడియారంపై నాలుగో వంతు, అర మరియు మూడు వంతుల పరిభ్రమణ యొక్క ఐదు ఇతర పరిస్థితులను గీయండి.

మూడు వంతుల పరిభ్రమణానికి ప్రత్యేక పేరు లేదని గమనించండి.

అభ్యాసం 5.2

1. ఒక గడియారం యొక్క గంటల ముల్లు సవ్యదిశలో తిరిగేటప్పుడు, అది ఎంత భాగం పరిభ్రమణం చేస్తుంది, అది

(a) 3 నుండి 9
(b) 4 నుండి 7
(c) 7 నుండి 10
(d) 12 నుండి 9
(e) 1 నుండి 10
(f) 6 నుండి 3

2. ఒక గడియారం యొక్క ముల్లు ఎక్కడ ఆగుతుంది, అది

(a) 12 వద్ద ప్రారంభమై $\frac{1}{2}$ పరిభ్రమణం, సవ్యదిశలో చేస్తే?
(b) 2 వద్ద ప్రారంభమై $\frac{1}{2}$ పరిభ్రమణం, సవ్యదిశలో చేస్తే?
(c) 5 వద్ద ప్రారంభమై $\frac{1}{4}$ పరిభ్రమణం, సవ్యదిశలో చేస్తే?
(d) 5 వద్ద ప్రారంభమై $\frac{3}{4}$ పరిభ్రమణం, సవ్యదిశలో చేస్తే?

3. మీరు ఏ దిశ వైపు ఎదురుగా ఉంటారు, మీరు

(a) తూర్పు వైపు ఎదురుగా ఉండి $\frac{1}{2}$ పరిభ్రమణం సవ్యదిశలో చేస్తే?
(b) తూర్పు వైపు ఎదురుగా ఉండి $1 \frac{1}{2}$ పరిభ్రమణం సవ్యదిశలో చేస్తే?
(c) పడమర వైపు ఎదురుగా ఉండి $\frac{3}{4}$ పరిభ్రమణం అపసవ్య దిశలో చేస్తే?
(d) దక్షిణం వైపు ఎదురుగా ఉండి ఒక పూర్తి పరిభ్రమణం చేస్తే?

(ఈ చివరి ప్రశ్నకు మనం సవ్యదిశ లేదా అపసవ్య దిశను పేర్కొనాలా? ఎందుకు కాదు?)

4. మీరు ఎంత భాగం పరిభ్రమణం ద్వారా తిరిగారు, మీరు

(a) తూర్పు వైపు ఎదురుగా ఉండి సవ్యదిశలో తిరిగి ఉత్తరం వైపు ఎదురుగా ఉంటే?
(b) దక్షిణం వైపు ఎదురుగా ఉండి సవ్యదిశలో తిరిగి తూర్పు వైపు ఎదురుగా ఉంటే?
(c) పడమర వైపు ఎదురుగా ఉండి సవ్యదిశలో తిరిగి తూర్పు వైపు ఎదురుగా ఉంటే?

5. ఒక గడియారం యొక్క గంటల ముల్లు తిరిగేటప్పుడు అది చేసే లంబకోణాల సంఖ్యను కనుగొనండి, అది

(a) 3 నుండి 6
(b) 2 నుండి 8
(c) 5 నుండి 11
(d) 10 నుండి
(e) 12 నుండి 9
(f) 12 నుండి 6

6. మీరు ఎన్ని లంబకోణాలు చేస్తారు, మీరు

(a) దక్షిణం వైపు ఎదురుగా ఉండి సవ్యదిశలో తిరిగి పడమర వైపు ఎదురుగా ఉంటే?
(b) ఉత్తరం వైపు ఎదురుగా ఉండి అపసవ్య దిశలో తిరిగి తూర్పు వైపు ఎదురుగా ఉంటే?
(c) పడమర వైపు ఎదురుగా ఉండి పడమర వైపు ఎదురుగా తిరిగితే?
(d) దక్షిణం వైపు ఎదురుగా ఉండి ఉత్తరం వైపు ఎదురుగా తిరిగితే?

7. ఒక గడియారం యొక్క గంటల ముల్లు ఎక్కడ ఆగుతుంది, అది

(a) 6 నుండి ప్రారంభమై 1 లంబకోణం ద్వారా తిరిగితే?
(b) 8 నుండి ప్రారంభమై 2 లంబకోణాలు ద్వారా తిరిగితే?
(c) 10 నుండి ప్రారంభమై 3 లంబకోణాలు ద్వారా తిరిగితే?
(d) 7 నుండి ప్రారంభమై 2 సరళకోణాలు ద్వారా తిరిగితే?

5.4 కోణాలు - ‘లఘు’, ‘గురు’ మరియు ‘పరావర్తన’

లంబకోణం మరియు సరళకోణం అంటే ఏమిటో మనం చూశాము. అయితే, మనం చూసే అన్ని కోణాలు ఈ రెండు రకాలలో ఒకటి కావు. గోడతో (లేదా నేలతో) ఒక నిచ్చెన చేసే కోణం లంబకోణం కాదు లేదా సరళకోణం కాదు.

ఆలోచించండి, చర్చించండి మరియు వ్రాయండి

లంబకోణం కంటే చిన్న కోణాలు ఉన్నాయా? లంబకోణం కంటే పెద్ద కోణాలు ఉన్నాయా? మీరు బండి చదరపు చూశారా? ఇది ఆంగ్ల వర్ణమాల యొక్క “L” అక్షరం లాగా ఉంటుంది. లంబకోణాలను తనిఖీ చేయడానికి అతను దానిని ఉపయోగిస్తాడు. లంబకోణానికి ఇలాంటి ‘టెస్టర్’ ను కూడా మనం తయారు చేద్దాం.

ఇది చేయండి

మీరు తయారు చేసిన ‘లంబకోణ-టెస్టర్’ ను గమనించండి. [దీనిని మనం RA టెస్టర్ అని పిలవాలా?] ఒక అంచు మరొక దానిపై నిలువుగా ముగుస్తుందా?
$\quad$ మూలలు ఉన్న ఏదైనా ఆకారం ఇవ్వబడిందని అనుకుందాం. మూలల వద్ద ఉన్న కోణాన్ని పరీక్షించడానికి మీరు మీ RA టెస్టర్ను ఉపయోగించవచ్చు.

అంచులు కాగితం యొక్క మూలలతో సరిపోతాయా? అవును అయితే, అది లంబకోణాన్ని సూచిస్తుంది.

ఇవి చేయండి

1. ఒక గడియారం యొక్క గంటల ముల్లు 12 నుండి 5 కి కదులుతుంది.

గంటల ముల్లు యొక్క పరిభ్రమణం 1 లంబకోణం కంటే ఎక్కువగా ఉందా?

2. గడియారం యొక్క గంటల ముల్లు 5 నుండి 7 కి కదులుతున్నప్పుడు అద