11.1 పరిచయం

ఇప్పటివరకు మన అధ్యయనం సంఖ్యలు మరియు ఆకారాలతో ఉంది. మనం సంఖ్యలు, సంఖ్యలపై కార్యకలాపాలు మరియు సంఖ్యల లక్షణాలను నేర్చుకున్నాము. జీవితంలోని వివిధ సమస్యలకు సంఖ్యల జ్ఞానాన్ని మనం అనువర్తించాము. మనం సంఖ్యలను అధ్యయనం చేసిన గణిత శాఖ అంకగణితం. రెండు మరియు మూడు కొలతలలోని పటాలు మరియు వాటి లక్షణాల గురించి కూడా మనం నేర్చుకున్నాము. మనం ఆకారాలను అధ్యయనం చేసిన గణిత శాఖ రేఖాగణితం. ఇప్పుడు మనం గణితంలోని మరొక శాఖను అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభిస్తున్నాము. దీనిని బీజగణితం అంటారు.

మనం అధ్యయనం చేయబోయే కొత్త శాఖ యొక్క ప్రధాన లక్షణం అక్షరాల ఉపయోగం. అక్షరాల ఉపయోగం నియమాలు మరియు సూత్రాలను సాధారణ పద్ధతిలో వ్రాయడానికి అనుమతిస్తుంది. అక్షరాలను ఉపయోగించడం ద్వారా, మనం ఏదైనా సంఖ్య గురించి మాట్లాడవచ్చు మరియు కేవలం ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య గురించి మాత్రమే కాదు. రెండవదిగా, అక్షరాలు తెలియని పరిమాణాలను సూచించవచ్చు. తెలియని వాటిని నిర్ణయించే పద్ధతులను నేర్చుకోవడం ద్వారా, మనం పజిల్స్ మరియు రోజువారీ జీవితం నుండి అనేక సమస్యలను పరిష్కరించడానికి శక్తివంతమైన సాధనాలను అభివృద్ధి చేస్తాము. మూడవదిగా, అక్షరాలు సంఖ్యలను సూచిస్తాయి కాబట్టి, సంఖ్యల మాదిరిగానే వాటిపై కార్యకలాపాలు చేయవచ్చు. ఇది బీజగణిత వ్యక్తీకరణలు మరియు వాటి లక్షణాల అధ్యయనానికి దారి తీస్తుంది.

బీజగణితం మీకు ఆసక్తికరంగా మరియు ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. సమస్యలను పరిష్కరించడంలో ఇది చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. సరళమైన ఉదాహరణలతో మన అధ్యయనాన్ని ప్రారంభిద్దాం.

11.2 అగ్గిపుల్లల నమూనాలు

అమీనా మరియు సరిత అగ్గిపుల్లలతో నమూనాలు తయారు చేస్తున్నారు. వారు ఇంగ్లీష్ వర్ణమాల అక్షరాల సరళ నమూనాలు తయారు చేయాలని నిర్ణయించుకున్నారు. అమీనా రెండు అగ్గిపుల్లలను తీసుకొని Fig 11.1 (a)లో చూపిన విధంగా L అక్షరాన్ని ఏర్పరుస్తుంది.

అప్పుడు సరిత కూడా రెండు కర్రలను తీసుకొని, మరొక అక్షరం $L$ని ఏర్పరుస్తుంది మరియు దానిని అమీనా చేసినదాని పక్కన ఉంచుతుంది [Fig 11.1 (b)].

అప్పుడు అమీనా మరో $L$ని జోడిస్తుంది మరియు ఇది Fig 11.1 (c)లో చుక్కల ద్వారా చూపిన విధంగా కొనసాగుతుంది.

వారి స్నేహితుడు అప్పు లోపలికి వస్తాడు. అతను నమూనాను చూస్తాడు. అప్పు ఎప్పుడూ ప్రశ్నలు అడుగుతాడు. అతను అమ్మాయిలను అడుగుతాడు, “ఏడు Lలు తయారు చేయడానికి ఎన్ని అగ్గిపుల్లలు అవసరం”? అమీనా మరియు సరిత క్రమబద్ధంగా ఉంటారు. వారు 1L, 2Ls, 3Ls మొదలైనవాటితో నమూనాలను ఏర్పరుస్తూ పోతారు మరియు ఒక పట్టికను సిద్ధం చేస్తారు.

పట్టిక 1

అప్పుకు Table 1 నుండి తన ప్రశ్నకు సమాధానం లభిస్తుంది; 7Ls కి 14 అగ్గిపుల్లలు అవసరం.

పట్టికను వ్రాస్తున్నప్పుడు, అమీనా అగ్గిపుల్లల సంఖ్య Lల సంఖ్యకు రెట్టింపు అని గ్రహిస్తుంది.

అవసరమైన అగ్గిపుల్లల సంఖ్య $=2 \times$ Lల సంఖ్య.

సౌలభ్యం కోసం, Lల సంఖ్య కోసం $n$ అక్షరాన్ని వ్రాద్దాం. ఒక $\mathrm{L}$ తయారు చేస్తే, $n=1$; రెండు Lలు తయారు చేస్తే, $n=2$ మరియు అలా కొనసాగితే; అందువలన, $n$ ఏదైనా సహజ సంఖ్య $1,2,3,4,5, \ldots$ కావచ్చు. అప్పుడు మనం వ్రాస్తాము, అవసరమైన అగ్గిపుల్లల సంఖ్య $=2 \times n$.

$2 \times n$ అని వ్రాయకుండా, మనం $2 n$ అని వ్రాస్తాము. $2 n$ అనేది $2 \times n$తో సమానమని గమనించండి.

ఏ సంఖ్యలో Lలను ఏర్పరచడానికి అవసరమైన అగ్గిపుల్లల సంఖ్యను తన నియమం ఇస్తుందని అమీనా తన స్నేహితులకు చెప్పింది.

అందువలన, $n=1$ కోసం, అవసరమైన అగ్గిపుల్లల సంఖ్య $=2 \times 1=2$

$n=2$ కోసం, అవసరమైన అగ్గిపుల్లల సంఖ్య $=2 \times 2=4$

$n=3$ కోసం, అవసరమైన అగ్గిపుల్లల సంఖ్య $=2 \times 3=6$ మొదలైనవి.

ఈ సంఖ్యలు Table 1 నుండి వచ్చిన వాటితో ఏకీభవిస్తాయి.

“ఈ నియమం చాలా శక్తివంతంగా ఉంది! ఈ నియమాన్ని ఉపయోగించి, $100 Ls$ కూడా ఏర్పరచడానికి ఎన్ని అగ్గిపుల్లలు అవసరమో చెప్పగలను. ఒకసారి నియమం తెలిసిన తర్వాత, నేను నమూనాను గీయవలసిన అవసరం లేదు లేదా పట్టిక తయారు చేయవలసిన అవసరం లేదు” అని సరిత చెప్పింది.

మీరు సరితతో ఏకీభవిస్తున్నారా?

11.3 చరరాశి యొక్క భావన

పై ఉదాహరణలో, Lల నమూనా తయారు చేయడానికి అవసరమైన అగ్గిపుల్లల సంఖ్యను ఇచ్చే నియమాన్ని మనం కనుగొన్నాము. నియమం ఇలా ఉంది:

అవసరమైన అగ్గిపుల్లల సంఖ్య $=\mathbf{2} \boldsymbol{{}n}$

ఇక్కడ, $n$ అనేది నమూనాలోని Lల సంఖ్య, మరియు $n$ విలువలను $1,2,3,4, \ldots$ తీసుకుంటుంది. Table 1ని మరోసారి చూద్దాం. పట్టికలో, $n$ యొక్క విలువ మారుతూ (పెరుగుతూ) ఉంటుంది. దీని ఫలితంగా, అవసరమైన అగ్గిపుల్లల సంఖ్య కూడా మారుతూ (పెరుగుతూ) ఉంటుంది.

$\boldsymbol{n}$ ఒక చరరాశికి ఉదాహరణ. దీని విలువ స్థిరంగా లేదు; ఇది ఏదైనా విలువను $\mathbf{1,2,3,4,} \ldots$ తీసుకోగలదు. చరరాశి $\boldsymbol{n}$ని ఉపయోగించి అవసరమైన అగ్గిపుల్లల సంఖ్య కోసం మనం నియమాన్ని వ్రాశాము.

‘చరరాశి’ అనే పదానికి అర్థం మారగలదు, అనగా మార్పు చెందగలదు. ఒక చరరాశి యొక్క విలువ స్థిరంగా ఉండదు. ఇది వివిధ విలువలను తీసుకోగలదు.

చరరాశుల గురించి మరింత తెలుసుకోవడానికి మనం అగ్గిపుల్లల నమూనాల యొక్క మరొక ఉదాహరణను చూద్దాం.

11.4 మరిన్ని అగ్గిపుల్లల నమూనాలు

అమీనా మరియు సరిత అగ్గిపుల్లల నమూనాలపై చాలా ఆసక్తిని కలిగి ఉన్నారు. ఇప్పుడు వారు $C$ అక్షరం యొక్క నమూనాను ప్రయత్నించాలనుకుంటున్నారు. ఒక ⟦30⟨ను తయారు చేయడానికి, వారు Fig. 11.2(a)లో చూపిన విధంగా మూడు అగ్గిపుల్లలను ఉపయోగిస్తారు.

Cల నమూనా తయారు చేయడానికి అవసరమైన అగ్గిపుల్లల సంఖ్యను Table 2 ఇస్తుంది.

పట్టిక 2

మీరు పట్టికలో ఖాళీగా మిగిలిన ఎంట్రీలను పూరించగలరా?

సరిత ఈ నియమంతో ముందుకు వస్తుంది:

అవసరమైన అగ్గిపుల్లల సంఖ్య $=\mathbf{3} \boldsymbol{{}n}$

ఆమె Cల సంఖ్య కోసం $n$ అక్షరాన్ని ఉపయోగించింది; $n$ అనేది $1,2,3,4, \ldots$ విలువలను తీసుకునే ఒక చరరాశి

మీరు సరితతో ఏకీభవిస్తున్నారా?

$3 n$ అనేది $3 \times n$తో సమానమని గుర్తుంచుకోండి.

తరువాత, అమీనా మరియు సరిత Fల నమూనాను తయారు చేయాలనుకుంటున్నారు. వారు Fig 11.3(a)లో చూపిన విధంగా 4 అగ్గిపుల్లలను ఉపయోగించి ఒక Fని తయారు చేస్తారు.

మీరు ఇప్పుడు $F$ల నమూనాలు తయారు చేయడానికి నియమాన్ని వ్రాయగలరా?

వర్ణమాల యొక్క ఇతర అక్షరాలు మరియు అగ్గిపుల్లలతో తయారు చేయగల ఇతర ఆకారాల గురించి ఆలోచించండి. ఉదాహరణకు, U $(\bigsqcup)$, V (\/), త్రిభుజం ($\triangle$), చతురస్రం ($\square$) మొదలైనవి. ఏదైనా ఐదు ఎంచుకొని వాటితో అగ్గిపుల్లల నమూనాలు తయారు చేయడానికి నియమాలను వ్రాయండి.

11.5 చరరాశుల యొక్క మరిన్ని ఉదాహరణలు

చరరాశిని చూపించడానికి మనం $n$ అక్షరాన్ని ఉపయోగించాము. రాజు అడుగుతాడు, “ఎందుకు $m$ కాదు”? $n$లో ప్రత్యేకంగా ఏమీ లేదు, ఏ అక్షరాన్నైనా ఉపయోగించవచ్చు.

చరరాశిని చూపించడానికి ఎవరైనా ఏదైనా అక్షరాన్ని $m, l, p, x, y, z$ మొదలైనవాటిని ఉపయోగించవచ్చు. గుర్తుంచుకోండి, చరరాశి అనేది స్థిర విలువ లేని సంఖ్య. ఉదాహరణకు, సంఖ్య 5 లేదా సంఖ్య 100 లేదా ఏదైనా ఇచ్చిన సంఖ్య చరరాశి కాదు. వాటికి స్థిర విలువలు ఉంటాయి. అదేవిధంగా, త్రిభుజం యొక్క కోణాల సంఖ్యకు స్థిర విలువ ఉంటుంది, అనగా 3. ఇది చరరాశి కాదు. చతుర్భుజం యొక్క మూలల సంఖ్య (4) స్థిరంగా ఉంటుంది; ఇది కూడా చరరాశి కాదు. కానీ మనం చూసిన ఉదాహరణలలో $\boldsymbol{{}n}$ ఒక చరరాశి. ఇది వివిధ విలువలను $1,2,3,4, \ldots$ తీసుకుంటుంది.

ఇప్పుడు మరింత పరిచిత పరిస్థితిలో చరరాశులను పరిశీలిద్దాం.

విద్యార్థులు పాఠశాల పుస్తక దుకాణం నుండి నోట్బుక్లు కొనడానికి వెళ్లారు. ఒక నోట్బుక్ ధర ₹ 5. మున్ను 5 నోట్బుక్లు కొనాలనుకుంటుంది, అప్పు 7 నోట్బుక్లు కొనాలనుకుంటాడు, సారా 4 నోట్బుక్లు కొనాలనుకుంటుంది మరియు అలా కొనసాగుతుంది. ఒక విద్యార్థి నోట్బుక్లు కొనడానికి పుస్తక దుకాణానికి వెళ్లినప్పుడు ఎంత డబ్బు తీసుకువెళ్లాలి?

ఇది విద్యార్థి ఎన్ని నోట్బుక్లు కొనాలనుకుంటున్నాడో దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. విద్యార్థులు కలిసి పని చేసి ఒక పట్టికను సిద్ధం చేస్తారు.

పట్టిక 3

$m$ అక్షరం ఒక విద్యార్థి కొనాలనుకునే నోట్బుక్ల సంఖ్యను సూచిస్తుంది; $m$ ఒక చరరాశి, ఇది ఏదైనా విలువను $1,2,3,4, \ldots$ తీసుకోగలదు. $m$ నోట్బుక్ల మొత్తం ఖర్చు ఈ నియమం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది:

రూపాయలలో మొత్తం ఖర్చు $=5 \times$ అవసరమైన నోట్బుక్ల సంఖ్య

$ =5 m $

మున్ను 5 నోట్బుక్లు కొనాలనుకుంటే, $m=5$ని తీసుకొని, మున్ను తనతో పాఠశాల పుస్తక దుకాణానికి $₹ 5 \times 5$ లేదా $₹ 25$ తీసుకువెళ్లాలని మనం చెప్పగలం.

మరో ఉదాహరణ తీసుకుందాం. పాఠశాలలో గణతంత్ర దినోత్సవ వేడుక కోసం, ప్రధాన అతిథి సమక్షంలో పిల్లలు సామూహిక డ్రిల్ ప్రదర్శించబోతున్నారు. వారు ఒక వరుసలో 10 మంది నిలబడతారు (Fig 11.4). డ్రిల్లో ఎంత మంది పిల్లలు ఉండవచ్చు?

పిల్లల సంఖ్య వరుసల సంఖ్యపై ఆధారపడి ఉంటుంది. Fig 11.4లో 1 వరుస ఉంటే, 10 మంది పిల్లలు ఉంటారు. 2 వరుసలు ఉంటే, $2 \times 10$ లేదా 20 మంది పిల్లలు ఉంటారు మరియు అలా కొనసాగుతుంది. $r$ వరుసలు ఉంటే, డ్రిల్లో $10 r$ మంది పిల్లలు ఉంటారు; ఇక్కడ, $r$ అనేది వరుసల సంఖ్యను సూచించే చరరాశి మరియు అందువలన $1,2,3,4, \ldots$ విలువలను తీసుకుంటుంది.

ఇప్పటివరకు చూసిన అన్ని ఉదాహరణలలో, చరరాశిని ఒక సంఖ్యతో గుణించారు. చరరాశికి సంఖ్యలను కూడిన లేదా తీసివేసిన విధంగా కూడా వివిధ పరిస్థితులు ఉండవచ్చు, క్రింద చూపినట్లుగా.

సరిత తన సేకరణలో అమీనా కంటే 10 ఎక్కువ గోళీలు ఉన్నాయని చెప్పింది. అమీనా వద్ద 20 గోళీలు ఉంటే, సరిత వద్ద 30 గోళీలు ఉంటాయి. అమీనా వద్ద 30 గోళీలు ఉంటే, సరిత వద్ద 40 గోళీలు ఉంటాయి మరియు అలా కొనసాగుతుంది. అమీనా వద్ద ఖచ్చితంగా ఎన్ని గోళీలు ఉన్నాయో మనకు తెలియదు. ఆమె వద్ద ఏదైనా సంఖ్యలో గోళీలు ఉండవచ్చు.

కానీ మనకు తెలుసు, సరిత గోళీలు $=$ అమీనా గోళీలు +10.

అమీనా గోళీలను $x$ అక్షరంతో సూచిస్తాము. ఇక్కడ, $x$ ఒక చరరాశి, ఇది ఏదైనా విలువను $1,2,3,4, \ldots, 10, \ldots, 20, \ldots, 30, \ldots$ తీసుకోగలదు. $x$ని ఉపయోగించి, మనం సరిత గోళీలు $=x+10$ అని వ్రాస్తాము. $(x+10)$ అనే వ్యక్తీకరణను ‘$x$ ప్లస్ టెన్’ అని చదువుతారు. దీని అర్థం $x$కి 10 కూడబడింది. $x$ అయితే $20,(x+10)$ 30. $x$ అయితే $30,(x+10)$ 40 మరియు అలా కొనసాగుతుంది.

$(x+10)$ అనే వ్యక్తీకరణను మరింత సరళీకరించలేము.

$x+10$ని $10 x$తో గందరగోళం చేయకండి, అవి భిన్నంగా ఉంటాయి.

$10 x, x$లో, $(x+10), 10$ని 10తో గుణించారు. $x$లో, $x$ని $x=2,10 x=10 \times 2=20$కి కూడారు.

$x+10=2+10=12$ యొక్క కొన్ని విలువల కోసం మనం దీన్ని తనిఖీ చేయవచ్చు.

ఉదాహరణకు,

$x=10,10 x=10 \times 10=100$ అయితే మరియు $x+10=10+10=20$.

$x$ అయితే మరియు $x$.

రాజు మరియు బాలు సోదరులు. బాలు రాజు కంటే 3 సంవత్సరాలు చిన్నవాడు. రాజు వయస్సు 12 సంవత్సరాలు అయినప్పుడు, బాలు వయస్సు 9 సంవత్సరాలు. రాజు వయస్సు 15 సంవత్సరాలు అయినప్పుడు, బాలు వయస్సు 12 సంవత్సరాలు. రాజు వయస్సు ఖచ్చితంగా మనకు తెలియదు. ఇది ఏదైనా విలువ కలిగి ఉండవచ్చు. రాజు వయస్సును సంవత్సరాలలో $x$తో సూచిద్దాం, $(x-3)$ ఒక చరరాశి. రాజు వయస్సు సంవత్సరాలలో $(x-3)$ అయితే, బాలు వయస్సు సంవత్సరాలలో $x$. $x$ అనే వ్యక్తీకరణను $(x-3)$ మైనస్ త్రీ అని చదువుతారు. మీరు ఊహించినట్లుగా, $x$ 12 అయినప్పుడు, $15,(x-3)$ 9 మరియు $T$ అయినప్పుడు $\substack{— \\ | }$ 12.

అభ్యాసం 11.1

1. క్రింది అగ్గిపుల్లల నమూనాలు తయారు చేయడానికి అవసరమైన అగ్గిపుల్లల సంఖ్యను ఇచ్చే నియమాన్ని కనుగొనండి. నియమాన్ని వ్రాయడానికి ఒక చరరాశిని ఉపయోగించండి.

(a) $T$ అక్షరం యొక్క నమూనా $\substack{— \\ | }$ గా
(b) $Z$ అక్షరం యొక్క నమూనా $\substack{— \\ / \\ —}$ గా
(c) $U$ అక్షరం యొక్క నమూనా $\bigsqcup$ గా
(d) $V$ అక్షరం యొక్క నమూనా $\mathbf{V}$ గా
(e) $E$ అక్షరం యొక్క నమూనా $|\substack{- \\ - \\ -}$ గా
(f) $S$ అక్షరం యొక్క నమూనా $|\substack{- \\ - \\ -}|$ గా
(g) $A$ అక్షరం యొక్క నమూనా $\mathbf{|\substack{- \\ - \\ }|}$ గా

2. L, C మరియు F అక్షరాల నమూనాల కోసం నియమం మనకు ఇప్పటికే తెలుసు. ప్ర. 1 నుండి (పైన ఇవ్వబడిన) కొన్ని అక్షరాలు L ద్వారా ఇవ్వబడిన నియమాన్నే మనకు ఇస్తాయి. అవి ఏవి? ఇది ఎందుకు జరుగుతుంది?

3. క్యాడెట్లు ఒక పరేడ్లో మార్చ్ చేస్తున్నారు. ఒక వరుసలో 5 క్యాడెట్లు ఉన్నారు. వరుసల సంఖ్య ఇచ్చినప్పుడు, క్యాడెట్ల సంఖ్యను ఇచ్చే నియమం ఏమిటి? (వరుసల సంఖ్య కోసం $n$ని ఉపయోగించండి.)

4. ఒక పెట్టెలో 50 మామిడి పండ్లు ఉంటే, పెట్టెల సంఖ్య పరంగా మొత్తం మామిడి పండ్ల సంఖ్యను ఎలా వ్రాస్తారు? (పెట్టెల సంఖ్య కోసం $b$ని ఉపయోగించండి.)

5. ఉపాధ్యాయుడు విద్యార్థికి 5 పెన్సిళ్లు పంచుతారు. విద్యార్థుల సంఖ్య ఇచ్చినప్పుడు, ఎన్ని పెన్సిళ్లు అవసరమో మీరు చెప్పగలరా? (విద్యార్థుల సంఖ్య కోసం $s$ని ఉపయోగించండి.)

6. ఒక పక్షి ఒక నిమిషంలో 1 కిలోమీటర్ ఎగురుతుంది. నిమిషాలలో ఎగిరే సమయం పరంగా పక్షి కవర్ చేసిన దూరాన్ని మీరు వ్యక్తపరచగలరా? (నిమిషాలలో ఎగిరే సమయం కోసం $t$ని ఉపయోగించండి.)

7. రాధ చాక్ పౌడర్తో ఒక డాట్ రంగోలి (చుక్కలను కలిపే రేఖల అందమైన నమూనా) గీస్తోంది. ఆమె వద్ద ఒక వరుసలో 9 చుక్కలు ఉన్నాయి. $r$ వరుసలకు ఆమె రంగోలికి ఎన్ని చుక్కలు ఉంటాయి? 8 వరుసలు ఉంటే ఎన్ని చుక్కలు ఉంటాయి? 10 వరుసలు ఉంటే?

8. లీల రాధ చిన్న సోదరి. లీల రాధ కంటే 4 సంవత్సరాలు చిన్న