• قدیم اور جدید علوم کے درمیان اس کشمکش کے دور میں؛ ایک ایسے مطالعے کے لیے ضرور کچھ کہنے کو ہونا چاہیے جو نہ تو فیثا غورث سے شروع ہوا اور نہ ہی آئن سٹائن پر ختم ہوگا؛ بلکہ یہ سب سے قدیم اور سب سے کم عمر ہے۔ - جی ایچ ہارڈی

1.1 تعارف

سیٹ کا تصور آج کے دور کے ریاضی کا ایک بنیادی حصہ ہے۔ آج کل یہ تصور ریاضی کی تقریباً ہر شاخ میں استعمال ہو رہا ہے۔ سیٹس تعلقات اور افعال کی تعریف کرنے کے لیے استعمال ہوتے ہیں۔ ہندسہ، سلسلے، احتمال وغیرہ کے مطالعے کے لیے سیٹس کا علم درکار ہوتا ہے۔

جارج کینٹر (1845-1918 عیسوی)

سیٹس کا نظریہ جرمن ریاضی دان جارج کینٹر (1845-1918) نے تیار کیا۔ اس کا پہلا سامنا سیٹس سے “مثلثیاتی سلسلوں پر مسائل” پر کام کرتے ہوئے ہوا۔ اس باب میں، ہم سیٹس سے متعلق کچھ بنیادی تعریفوں اور عملوں پر بات کریں گے۔

1.2 سیٹس اور ان کی نمائندگی

روزمرہ کی زندگی میں، ہم اکثر مخصوص قسم کی چیزوں کے مجموعوں کا ذکر کرتے ہیں، جیسے، تاش کے پتوں کا پیکٹ، لوگوں کا ہجوم، کرکٹ ٹیم، وغیرہ۔ ریاضی میں بھی، ہمارا سامنا مجموعوں سے ہوتا ہے، مثلاً، قدرتی اعداد، نقاط، مفرد اعداد، وغیرہ۔ مزید خاص طور پر، ہم مندرجہ ذیل مجموعوں کا جائزہ لیتے ہیں:

(i) 10 سے کم طاق قدرتی اعداد، یعنی، 1, 3, 5, 7, 9

(ii) بھارت کی ندیاں

(iii) انگریزی حروف تہجی میں حروف علت، یعنی، $a, e, i, o, u$

(iv) مختلف قسم کے مثلث

(v) 210 کے مفرد اجزائے ضربی، یعنی، 2,3,5 اور 7

(vi) مساوات کا حل: $x^{2}-5 x+6=0$، یعنی، 2 اور 3۔

ہم نوٹ کرتے ہیں کہ مذکورہ بالا ہر مثال اشیاء کا ایک واضح طور پر متعین کردہ مجموعہ ہے اس معنی میں کہ ہم یقینی طور پر فیصلہ کر سکتے ہیں کہ آیا کوئی مخصوص شے کسی دیے گئے مجموعے سے تعلق رکھتی ہے یا نہیں۔ مثال کے طور پر، ہم کہہ سکتے ہیں کہ دریائے نیل بھارت کی ندیاں کے مجموعے سے تعلق نہیں رکھتا۔ دوسری طرف، دریائے گنگا اس مجموعے سے ضرور تعلق رکھتا ہے۔

ہم ذیل میں ریاضی میں خصوصاً استعمال ہونے والے سیٹس کی چند مزید مثالیں دیتے ہیں، یعنی۔

$\mathbf{N}$ : تمام قدرتی اعداد کا سیٹ

$\mathbf{Z}$ : تمام صحیح اعداد کا سیٹ

$\mathbf{Q}$ : تمام ناطق اعداد کا سیٹ

$\mathbf{R}$ : حقیقی اعداد کا سیٹ

$\mathbf{Z^{+}} $: مثبت صحیح اعداد کا سیٹ

$\mathbf{Q^{+}} $: مثبت ناطق اعداد کا سیٹ، اور

$\mathbf{R^{+}} $: مثبت حقیقی اعداد کا سیٹ۔

مذکورہ بالا دیے گئے مخصوص سیٹس کے علامات کا حوالہ اس متن میں بار بار دیا جائے گا۔

ایک بار پھر، دنیا کے پانچ سب سے مشہور ریاضی دانوں کا مجموعہ واضح طور پر متعین نہیں ہے، کیونکہ کسی ریاضی دان کو سب سے مشہور قرار دینے کا معیار شخص سے شخص میں مختلف ہو سکتا ہے۔ اس طرح، یہ ایک واضح طور پر متعین کردہ مجموعہ نہیں ہے۔

ہم کہیں گے کہ ایک سیٹ اشیاء کا ایک واضح طور پر متعین کردہ مجموعہ ہوتا ہے۔

مندرجہ ذیل نکات نوٹ کیے جا سکتے ہیں:

(i) کسی سیٹ کی اشیاء، عناصر اور ارکان ہم معنی الفاظ ہیں۔

(ii) سیٹس کو عموماً بڑے حروف A, B, C, X, Y, Z, وغیرہ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

(iii) سیٹ کے عناصر چھوٹے حروف $a, b, c, x, y, z$, وغیرہ سے ظاہر کیے جاتے ہیں۔

اگر $a$ سیٹ A کا ایک عنصر ہے، تو ہم کہتے ہیں کہ “$a$ A سے تعلق رکھتا ہے” یونانی علامت $\in$ (ایپسیلون) ‘سے تعلق رکھتا ہے’ کے فقرے کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ اس طرح، ہم لکھتے ہیں $a \in A$۔ اگر ‘$b$’ سیٹ $A$ کا عنصر نہیں ہے، تو ہم لکھتے ہیں $b \notin A$ اور پڑھتے ہیں “$b$ A سے تعلق نہیں رکھتا”۔

اس طرح، انگریزی حروف تہجی میں حروف علت کے سیٹ $V$ میں، $a \in V$ لیکن $b \notin V$۔ سیٹ $P$ میں جو 210 کے مفرد اجزائے ضربی کا سیٹ ہے، $30,3 \in P$ لیکن $15 \notin P$۔

سیٹ کی نمائندگی کے دو طریقے ہیں:

(i) روٹر یا جدولی شکل

(ii) سیٹ بلڈر شکل۔

(i) روٹر شکل میں، سیٹ کے تمام عناصر فہرست میں لکھے جاتے ہیں، عناصر کو کوما سے الگ کیا جاتا ہے اور انہیں گھمے ہوئے قوسین { } میں بند کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، 7 سے کم تمام مثبت زوج صحیح اعداد کا سیٹ روٹر شکل میں اس طرح بیان کیا جاتا ہے $\{2,4,6\}$۔ سیٹ کی نمائندگی روٹر شکل میں کرنے کی کچھ مزید مثالیں ذیل میں دی گئی ہیں:

(a) تمام قدرتی اعداد کا سیٹ جو 42 کو تقسیم کرتے ہیں، وہ ہے $\{1,2,3,6,7,14,21,42\}$۔

نوٹ - روٹر شکل میں، عناصر کی فہرست بنانے کا ترتیب غیر اہم ہوتا ہے۔ اس طرح، مذکورہ بالا سیٹ کو اس طرح بھی ظاہر کیا جا سکتا ہے $\{1,3,7,21,2,6,14,42\}$۔

(b) انگریزی حروف تہجی میں تمام حروف علت کا سیٹ ہے $\{a, e, i, o, u\}$۔

(c) طاق قدرتی اعداد کے سیٹ کو ظاہر کیا جاتا ہے $\{1,3,5, \ldots\}$ سے۔ نقطے ہمیں بتاتے ہیں کہ طاق اعداد کی فہرست لامحدود جاری رہتی ہے۔

نوٹ - یہ نوٹ کیا جا سکتا ہے کہ روٹر شکل میں سیٹ لکھتے وقت عام طور پر کسی عنصر کو دہرایا نہیں جاتا، یعنی، تمام عناصر الگ الگ لیے جاتے ہیں۔ مثال کے طور پر، لفظ ‘SCHOOL’ بنانے والے حروف کا سیٹ ہے $\{S, C, H, O, L\}$ یا $\{H, O, L, C, S\}$۔ یہاں، عناصر کی فہرست بنانے کے ترتیب کی کوئی اہمیت نہیں ہے۔

(ii) سیٹ بلڈر شکل میں، سیٹ کے تمام عناصر ایک ہی مشترکہ خاصیت رکھتے ہیں جو سیٹ سے باہر کسی بھی عنصر میں نہیں پائی جاتی۔ مثال کے طور پر، سیٹ $\{a, e, i, o, u\}$ میں، تمام عناصر ایک مشترکہ خاصیت رکھتے ہیں، یعنی، ان میں سے ہر ایک انگریزی حروف تہجی میں ایک حرف علت ہے، اور کوئی دوسرا حرف یہ خاصیت نہیں رکھتا۔ اس سیٹ کو $V$ سے ظاہر کرتے ہوئے، ہم لکھتے ہیں

$V=\{x: x$ انگریزی حروف تہجی میں ایک حرف علت ہے $\}$

یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ ہم سیٹ کے عنصر کی وضاحت علامت $x$ (یا کوئی دوسری علامت جیسے حروف $y, z$, وغیرہ استعمال کی جا سکتی ہے) کا استعمال کرتے ہوئے کرتے ہیں جس کے بعد کولن “:” آتا ہے۔ کولن کی علامت کے بعد، ہم وہ خصوصیت لکھتے ہیں جو سیٹ کے عناصر میں پائی جاتی ہے اور پھر پوری وضاحت کو گھمے ہوئے قوسین میں بند کر دیتے ہیں۔ سیٹ $V$ کی مذکورہ بالا وضاحت “تمام $x$ کا سیٹ اس طرح کہ $x$ انگریزی حروف تہجی کا ایک حرف علت ہے” کے طور پر پڑھی جاتی ہے۔ اس وضاحت میں گھمے ہوئے قوسین “تمام کا سیٹ” کے لیے ہیں، کولن “اس طرح کہ” کے لیے ہے۔ مثال کے طور پر، سیٹ

$A=\{x: x$ ایک قدرتی عدد ہے اور $3<x<10\}$ “تمام $x$ کا سیٹ اس طرح کہ $x$ ایک قدرتی عدد ہے اور $x$ 3 اور 10 کے درمیان واقع ہے” کے طور پر پڑھا جاتا ہے۔ لہٰذا، اعداد 4, 5, 6, 7,8 اور 9 سیٹ $A$ کے عناصر ہیں۔

اگر ہم اوپر $(a),(b)$ اور $(c)$ میں بیان کردہ سیٹس کو روٹر شکل میں بالترتیب $A, B$, $C$ سے ظاہر کریں، تو پھر $A, B, C$ کو سیٹ بلڈر شکل میں مندرجہ ذیل طور پر بھی ظاہر کیا جا سکتا ہے:

$A=\{x: x$ ایک قدرتی عدد ہے جو 42 کو تقسیم کرتا ہے $\}$

$B=\{y: y$ انگریزی حروف تہجی میں ایک حرف علت ہے $\}$

$C=\{z: z$ ایک طاق قدرتی عدد ہے $\}$

مثال 1 مساوات $x^{2}+x-2=0$ کے حل کا سیٹ روٹر شکل میں لکھیں۔

حل دی گئی مساوات کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے

$$ (x-1)(x+2)=0 \text {, i. e., } x=1,-2 $$

لہٰذا، دی گئی مساوات کے حل کا سیٹ روٹر شکل میں اس طرح لکھا جا سکتا ہے $\{1,-2\}$۔

مثال 2 سیٹ $\{x: x$ ایک مثبت صحیح عدد ہے اور $x^{2}<40\}$ کو روٹر شکل میں لکھیں۔

حل مطلوبہ اعداد ہیں $1,2,3,4,5,6$۔ لہٰذا، دیا گیا سیٹ روٹر شکل میں ہے $\{1,2,3,4,5,6\}$۔

مثال 3 سیٹ $A=\{1,4,9,16,25, \ldots\}$ کو سیٹ بلڈر شکل میں لکھیں۔

حل ہم سیٹ A کو اس طرح لکھ سکتے ہیں

$$ A=\{x: x \text { is the square of a natural number }\} $$

متبادل طور پر، ہم لکھ سکتے ہیں

$$ A=\{x: x=n^{2}, \text { where } n \in \mathbf{N}\} $$

مثال 4 سیٹ $\{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \frac{6}{7}\}$ کو سیٹ بلڈر شکل میں لکھیں۔

حل ہم دیکھتے ہیں کہ دیے گئے سیٹ میں ہر رکن کا شمار کنندہ (Numerator) ہر سے ایک کم ہے۔ نیز، شمار کنندہ 1 سے شروع ہوتا ہے اور 6 سے زیادہ نہیں ہوتا۔ لہٰذا، سیٹ بلڈر شکل میں دیا گیا سیٹ ہے

$$ \{ x: x=\frac{n}{n+1}, \text { where } n \text { is a natural number and } 1 \leq n \leq 6 \} $$

مثال 5 بائیں طرف روٹر شکل میں بیان کردہ ہر سیٹ کو دائیں طرف سیٹ بلڈر شکل میں بیان کردہ اسی سیٹ سے ملائیں:

$$ \begin{array}{ll} (i) \hspace{2 mm} \{P, R, I, N, C, A, L\} & (a) \hspace{2 mm} \{x: x \text{ is a positive integer and is a divisor of 18 } \} \\ (ii) \hspace{2 mm}\{0\} & (b)\hspace{2 mm} \{x: x \text{ is an integer and } x^{2}-9=0\} \\ (iii)\hspace{2 mm} \{1,2,3,6,9,18\} & (c)\hspace{2 mm} \{x: x \text { is a letter of the word PRINCIPAL }\} \\ (iv)\hspace{2 mm} \{{3,-3\}} & (d) \hspace{2 mm} \{x: x \text{ is an integer and } x+1=1\} \end{array} $$

حل چونکہ (d) میں، لفظ PRINCIPAL میں 9 حروف ہیں اور دو حروف P اور I دہرائے گئے ہیں، لہٰذا (i) کا میل (d) سے ہوتا ہے۔ اسی طرح، (ii) کا میل (c) سے ہوتا ہے کیونکہ $x+1=1$ کا مطلب ہے $x=0$۔ نیز، 1, 2 ,3, 6, 9, 18 سب 18 کے قاسم ہیں اور اس طرح (iii) کا میل (a) سے ہوتا ہے۔ آخر میں، $x^{2}-9=0$ کا مطلب ہے $x=3,-3$ اور اس طرح (iv) کا میل (b) سے ہوتا ہے۔

1.3 خالی سیٹ

سیٹ پر غور کریں

$A=\{x: x$ ایک اسکول میں فی الحال کلاس XI کا طالب علم ہے $\}$

ہم اسکول جا سکتے ہیں اور اسکول میں فی الحال کلاس XI میں پڑھنے والے طلباء کی تعداد گن سکتے ہیں۔ اس طرح، سیٹ A میں محدود تعداد میں عناصر ہیں۔

اب ہم ایک اور سیٹ $B$ اس طرح لکھتے ہیں:

$B = \{x: x$ ایک ایسا طالب علم ہے جو فی الحال کلاس X اور XI دونوں میں پڑھ رہا ہے $\}$

ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ ایک طالب علم ایک ہی وقت میں کلاس X اور XI دونوں میں نہیں پڑھ سکتا۔ اس طرح، سیٹ B میں کوئی عنصر بالکل نہیں ہے۔

تعریف 1 ایک سیٹ جس میں کوئی عنصر نہ ہو، خالی سیٹ یا نل سیٹ یا وائڈ سیٹ کہلاتا ہے۔

اس تعریف کے مطابق، B ایک خالی سیٹ ہے جبکہ A خالی سیٹ نہیں ہے۔ خالی سیٹ کو علامت $\phi$ یا { } سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

ہم ذیل میں خالی سیٹس کی چند مثالیں دیتے ہیں۔

(i) فرض کریں $A=\{x: 1<x<2, x$ ایک قدرتی عدد ہے $\}$۔ پھر A خالی سیٹ ہے، کیونکہ 1 اور 2 کے درمیان کوئی قدرتی عدد نہیں ہے۔

(ii) $B=\{x: x^{2}-2=0$ اور $x$ ایک ناطق عدد ہے $\}$۔ پھر $B$ خالی سیٹ ہے کیونکہ مساوات $x^{2}-2=0$ $x$ کی کسی بھی ناطق قیمت سے تسلی نہیں ہوتی۔

(iii) $C =$ $\{x: x$ ایک زوج مفرد عدد ہے جو 2 سے بڑا ہے $\}$۔ پھر $C$ خالی سیٹ ہے، کیونکہ 2 واحد زوج مفرد عدد ہے۔

(iv) $D=\{x: x^{2}=4, x.$ طاق ہے $\}$۔ پھر $D$ خالی سیٹ ہے، کیونکہ مساوات $x^{2}=4$ $x$ کی کسی بھی طاق قیمت سے تسلی نہیں ہوتی۔

1.4 محدود اور لامحدود سیٹس

فرض کریں $\quad A=\{1,2,3,4,5\}, \quad B=\{a, b, c, d, e, g\}$ اور $\quad C=\{$ دنیا کے مختلف حصوں میں فی الحال رہنے والے مرد $\}$

ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ A میں 5 عناصر ہیں اور B میں 6 عناصر ہیں۔ $C$ میں کتنے عناصر ہیں؟ جیسا کہ ہے، ہم $C$ میں عناصر کی تعداد نہیں جانتے، لیکن یہ کوئی قدرتی عدد ہے جو کافی بڑا عدد ہو سکتا ہے۔ سیٹ $S$ کے عناصر کی تعداد سے ہمارا مطلب سیٹ کے الگ الگ عناصر کی تعداد ہے اور ہم اسے $n$ (S) سے ظاہر کرتے ہیں۔ اگر $n$ (S) ایک قدرتی عدد ہے، تو پھر $S$ غیر خالی محدود سیٹ ہے۔

قدرتی اعداد کے سیٹ پر غور کریں۔ ہم دیکھتے ہیں کہ اس سیٹ کے عناصر کی تعداد محدود نہیں ہے کیونکہ قدرتی اعداد کی تعداد لامحدود ہے۔ ہم کہتے ہیں کہ قدرتی اعداد کا سیٹ ایک لامحدود سیٹ ہے۔ اوپر دیے گئے سیٹس A, B اور C محدود سیٹس ہیں اور $n(A)=5, n(B)=6$ اور $n(C)=$ کچھ محدود عدد ہیں۔

تعریف 2 ایک سیٹ جو خالی ہو یا جس میں عناصر کی ایک معین تعداد ہو، محدود کہلاتا ہے ورنہ، سیٹ کو لامحدود کہا جاتا ہے۔

کچھ مثالیں پر غور کریں:

(i) فرض کریں $W$ ہفتے کے دنوں کا سیٹ ہو۔ پھر $W$ محدود ہے۔

(ii) فرض کریں $S$ مساوات $x^{2}-16=0$ کے حل کا سیٹ ہو۔ پھر $S$ محدود ہے۔

(iii) فرض کریں $G$ ایک خط پر نقاط کا سیٹ ہو۔ پھر $G$ لامحدود ہے۔

جب ہم کسی سیٹ کی نمائندگی روٹر شکل میں کرتے ہیں، تو ہم سیٹ کے تمام عناصر گھمے ہوئے قوسین { } کے اندر لکھتے ہیں۔ کسی لامحدود سیٹ کے تمام عناصر گھمے ہوئے قوسین { } کے اندر لکھنا ممکن نہیں ہے کیونکہ ایسے سیٹ کے عناصر کی تعداد محدود نہیں ہوتی۔ اس لیے، ہم کچھ لامحدود سیٹس کی نمائندگی روٹر شکل میں چند عناصر لکھ کر کرتے ہیں جو سیٹ کی ساخت کو واضح طور پر ظاہر کرتے ہیں اور ان کے بعد (یا پہلے) تین نقطے لگاتے ہیں۔

مثال کے طور پر، $\{1,2,3 \ldots\}$ قدرتی اعداد کا سیٹ ہے، $\{1,3,5,7, \ldots\}$ طاق قدرتی اعداد کا سیٹ ہے، $\{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3, \ldots\}$ صحیح اعداد کا سیٹ ہے۔ یہ تمام سیٹس لامحدود ہیں۔

نوٹ - تمام لامحدود سیٹس کو روٹر شکل میں بیان نہیں کیا جا سکتا۔ مثال کے طور پر، حقیقی اعداد کے سیٹ کو اس شکل میں بیان نہیں کیا جا سکتا، کیونکہ اس سیٹ کے عناصر کسی مخصوص نمونے کی پیروی نہیں کرتے۔

مثال 6 بتائیں کہ مندرجہ ذیل میں سے کون سے سیٹس محدود یا لامحدود ہیں:

(i) $\{x: x \in N$ اور $(x-1)(x-2)=0\}$

(ii) $\{x: x \in N.$ اور $.x^{2}=4\}$

(iii) $\{x: x \in N$ اور $2 x-1=0\}$

(iv) $\quad\{x: x \in N$ اور $x$ مفرد ہے $\}$

(v) $\{x: x \in N$ اور $x$ طاق ہے $\}$

حل (i) دیا گیا سیٹ $=\{1,2\}$۔ لہٰذا، یہ محدود ہے۔

(ii) دیا گیا سیٹ $=\{2\}$۔ لہٰذا، یہ محدود ہے۔

(iii) دیا گیا سیٹ $=\phi$۔ لہٰذا، یہ محدود ہے۔

(iv) دیا گیا سیٹ تمام مفرد اعداد کا سیٹ ہے اور چونکہ مفرد اعداد کا سیٹ لامحدود ہے۔ لہٰذا دیا گیا سیٹ لامحدود ہے۔

(v) چونکہ طاق اعداد کی تعداد لامحدود ہے، لہٰذا، دیا گیا سیٹ لامحدود ہے۔

1.5 مساوی سیٹس

دو سیٹس A اور B دیے گئے ہوں، اگر A کا ہر عنصر B کا بھی عنصر ہو اور اگر B کا ہر عنصر A کا بھی عنصر ہو، تو سیٹس A اور B مساوی کہلاتے ہیں۔ واضح طور پر، دونوں سیٹس میں بالکل وہی عناصر ہوتے ہیں۔

تعریف 3 دو سیٹس A اور B مساوی کہلاتے ہیں اگر ان میں بالکل وہی عناصر ہوں اور ہم لکھتے ہیں $A=B$۔ ورنہ، سیٹس غیر مساوی کہلاتے ہیں اور ہم لکھتے ہیں $A \neq B$۔

ہم مندرجہ ذیل مثالیں پر غور کرتے ہیں:

(i) فرض کریں $A=\{1,2,3,4\}$ اور $B=\{3,1,4,2\}$۔ پھر $A=B$۔

(ii) فرض کریں $A$ 6 سے کم مفرد اعداد کا سیٹ ہو اور $P$ 30 کے مفرد اجزائے ضربی کا سیٹ ہو۔ پھر A اور P مساوی ہیں، کیونکہ 2, 3 اور 5 30 کے واحد مفرد اجزائے ضربی ہیں اور یہ بھی 6 سے کم ہیں۔

نوٹ - ایک سیٹ تبدیل نہیں ہوتا اگر سیٹ کے ایک یا زیادہ عناصر دہرائے جائیں۔ مثال کے طور پر، سیٹس $A=\{1,2,3\}$ اور $B=\{2,2,1,3,3\}$ مساوی ہیں، کیونکہ A کا ہر عنصر B میں ہے اور اس کے برعکس۔ اسی لیے ہم عام طور پر کسی سیٹ کی وضاحت کرتے وقت کسی عنصر کو دہراتے نہیں ہیں۔

مثال 7 مساوی سیٹس کے جوڑے تلاش کریں، اگر کوئی ہوں، وجوہات دیں:

$$ \begin{aligned} & A=\{0\}, \quad B=\{x: x>15 \text { and } x<5\}, \\ & C=\{x: x-5=0\}, \quad D=\{x: x^{2}=25\}, \\ & E=\{x: x \text { is an integral positive root of the equation } x^{2}-2 x-15=0\} \end{aligned} $$

حل چونکہ $0 \in A$ اور $0$ سیٹس $B, C, D$ اور $E$ میں سے کسی سے تعلق نہیں رکھتا، اس لیے یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ، $A \neq B, A \neq C, A \neq D, A \neq E$۔

چونکہ $B=\phi$ لیکن باقی سیٹس میں سے کوئی بھی خالی نہیں ہے۔ لہٰذا $B \neq C, B \neq D$ اور $B \neq E$۔ نیز $C=\{5\}$ لیکن $-5 \in D$، لہٰذا $C \neq D$۔

چونکہ $E=\{5\}, C=E$۔ مزید، $D=\{-5,5\}$ اور $E=\{5\}$، ہم پاتے ہیں کہ، $D \neq E$۔ اس طرح، مساوی سیٹس کا واحد جوڑا $C$ اور $E$ ہے۔

مثال 8 مندرجہ ذیل میں سے کون سے سیٹس کے جوڑے مساوی ہیں؟ اپنے جواب کی توجیح دیں۔

(i) X، لفظ “ALLOY” میں حروف کا سیٹ اور B، لفظ “LOYAL” میں حروف کا سیٹ۔

(ii) $A=\{n: n \in Z.$ اور $.n^{2} \leq 4\}$ اور $B=\{x: x \in R.$ اور $.x^{2}-3 x+2=0\}$۔

حل (i) ہمارے پاس، $X=\{A, L, L, O, Y\}, B=\{L, O, Y, A, L\}$۔ پھر $X$ اور $B$ مساوی سیٹس ہیں کیونکہ سیٹ میں عناصر کے دہرانے سے سیٹ تبدیل نہیں ہوتا۔ اس طرح،

$$ X=\{A, L, O, Y\}=B $$

(ii) $A=\{-2,-1,0,1,2\}, B=\{1,2\}$۔ چونکہ $0 \in A$ اور $0 \notin B, A$ اور $B$ مساوی سیٹس نہیں ہیں۔

1.6 ذیلی سیٹس

سیٹس پر غور کریں: $X=$ آپ کے اسکول میں تمام طلباء کا سیٹ، $Y=$ آپ کی کلاس میں تمام طلباء کا سیٹ۔

ہم نوٹ کرتے ہیں کہ $Y$ کا ہر عنصر $X$ کا بھی عنصر ہے؛ ہم کہتے ہیں کہ $Y$، $X$ کا ایک ذیلی سیٹ ہے۔ یہ حقیقت کہ $Y$، $X$ کا ذیلی سیٹ ہے، علامات میں اس طرح ظاہر کی جاتی ہے $Y \subset X$۔ علامت $\subset$ ‘کا ذیلی سیٹ ہے’ یا ‘میں موجود ہے’ کے لیے استعمال ہوتی ہے۔

تعریف 4 $A$ سیٹ $A$ کو سیٹ $B$ کا ذیلی سیٹ کہا جاتا ہے اگر $A$ کا ہر عنصر B کا بھی عنصر ہو۔

دوسرے الفاظ میں، $A \subset B$ اگر جب بھی $a \in A$، تو پھر $a \in B$۔ علامت “$\Rightarrow$” جو کہ ‘مطلب ہے’ کو ظاہر کرتی ہے، استعمال کرنا اکثر آسان ہوتا ہے۔ اس علامت کا استعمال کرتے ہوئے، ہم ذیلی سیٹ کی تعریف کو اس طرح لکھ سکتے ہیں:

$$ A \subset B \text { if } a \in A \Rightarrow a \in B $$

ہم مذکورہ بالا فقرے کو “$A$، $B$ کا ذیلی سیٹ ہے اگر $a$، $A$ کا عنصر ہونے کا مطلب ہے کہ $a$ بھی $B$ کا عنصر ہے” کے طور پر پڑھتے ہیں۔ اگر $A$، $B$ کا ذیلی سیٹ نہیں ہے، تو ہم لکھتے ہیں $A \not \subset B$۔

ہم نوٹ کر سکتے ہیں کہ $A$ کے $B$ کا ذیلی سیٹ ہونے کے لیے، صرف یہ ضروری ہے کہ A کا ہر عنصر B میں ہو۔ یہ ممکن ہے کہ B کا ہر عنصر A میں ہو یا نہ ہو۔ اگر ایسا ہوتا ہے کہ $B$ کا ہر عنصر $A$ میں بھی ہے، تو پھر ہمارے پاس $B \subset A$ بھی ہوگا۔ اس صورت میں، $A$ اور $B$ ایک ہی سیٹ ہیں تاکہ ہمارے پاس $A \subset B$ اور $B \subset A \Leftrightarrow A=B$ ہو، جہاں “$\Leftrightarrow$” دو طرفہ مضمرات کے لیے ایک علامت ہے، اور عموماً ‘اگر اور صرف اگر’ کے طور پر پڑھی جاتی ہے (مختصراً “iff” لکھا جاتا ہے)۔

مذکورہ بالا تعریف سے یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ ہر سیٹ $A$ اپنا ہی ذیلی سیٹ ہوتا ہے، یعنی، $A \subset A$۔ چونکہ خالی سیٹ $\phi$ میں کوئی عنصر نہیں ہوتا، ہم اس بات پر متفق ہیں کہ $\phi$ ہر سیٹ کا ذیلی سیٹ ہے۔ اب ہم کچھ مثالیں پر غور کرتے ہیں:

(i) ناطق اعداد کا سیٹ $\mathbf{Q}$، حقیقی اعداد کے سیٹ $\mathbf{R}$ کا ذیلی سیٹ ہے، اور ہم لکھتے ہیں $\mathbf{Q} \subset R$۔

(ii) اگر $A$ 56 کے تمام قاسم کا سیٹ ہو اور $B$ 56 کے تمام مفرد قاسم کا سیٹ ہو، تو پھر $B$، $A$ کا ذیلی سیٹ ہے اور ہم لکھتے ہیں $B \subset A$۔

(iii) فرض کریں $A=\{1,3,5\}$ اور $B=\{x: x$ ایک طاق قدرتی عدد ہے جو 6 سے کم ہے $\}$۔ پھر $A \subset B$ اور $B \subset A$ اور اس طرح $A=B$۔

(iv) فرض کریں $A=\{a, e, i, o, u\}$ اور $B=\{a, b, c, d\}$۔ پھر $A$، $B$ کا ذیلی سیٹ نہیں ہے، نیز $B$، $A$ کا ذیلی سیٹ نہیں ہے۔

فرض کریں $A$ اور $B$ دو سیٹس ہیں۔ اگر $A \subset B$ اور $A \neq B$، تو پھر $A$ کو $B$ کا صحیح ذیلی سیٹ کہا جاتا ہے اور $B$ کو $A$ کا سپر سیٹ کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر،

$A=\{1,2,3\}$، $B=\{1,2,3,4\}$ کا صحیح ذیلی سیٹ ہے۔

اگر کسی سیٹ $A$ میں صرف ایک عنصر ہو، تو ہم اسے سنگلٹن سیٹ کہتے ہیں۔ اس طرح، $\{a\}$ ایک سنگلٹن سیٹ ہے۔

مثال 9 سیٹس پر غور کریں

$$ \phi, A=\{1,3\}, B=\{1,5,9\}, C=\{1,3,5,7,9\}. $$

مندرجہ ذیل میں سے ہر جوڑے سیٹس کے درمیان علامت $\subset$ یا $\not \subset$ داخل کریں:

(i) $\phi \ldots B$ $\quad$ (ii) $A \ldots B$ $\quad$ (iii) $A \ldots C$ $\quad$ (iv) $B \ldots C$

حل (i) $\phi \subset B$ کیونکہ $\phi$ ہر سیٹ کا ذیلی سیٹ ہوتا ہے۔

(ii) $A \not \subset B$ کیونکہ $3 \in A$ اور $3 \notin B$

(iii) $A \subset C$ کیونکہ $1,3 \in A$ بھی $C$ سے تعلق رکھتا ہے۔

(iv) $B \subset C$ کیونکہ $B$ کا ہر عنصر $C$ کا بھی عنصر ہے۔

مثال 10 فرض کریں $A=\{a, e, i, o, u\}$ اور $B=\{a, b, c, d\}$۔ کیا A، B کا ذیلی سیٹ ہے؟ نہیں۔ (کیوں؟)۔ کیا B، A کا ذیلی سیٹ ہے؟ نہیں۔ (کیوں؟)

مثال 11 فرض کریں $A, B$ اور $C$ تین سیٹس ہوں۔ اگر $A \in B$ اور $B \subset C$، کیا یہ سچ ہے کہ $A \subset C$؟۔ اگر نہیں، تو ایک مثال دیں۔

حل نہیں۔ فرض کریں $A=\{1\}, B=\{\{1\}, 2\}$ اور $C=\{\{1\}, 2,3\}$۔ یہاں $A \in B$ کیونکہ $A=\{1\}$ اور $B \subset C$۔ لیکن $A \not \subset C$ کیونکہ $1 \in A$ اور $1 \notin C$۔

نوٹ کریں کہ کسی سیٹ کا ایک عنصر کبھی بھی اپنا ذیلی سیٹ نہیں ہو سکتا۔

1.6.1 حقیقی اعداد کے سیٹ کے ذیلی سیٹس

جیسا کہ سیکشن 1.6 میں نوٹ کیا گیا ہے، $\mathbf{R}$ کے بہت سے اہم ذیلی سیٹس ہیں۔ ہم ذیل میں ان میں سے کچھ کے نام دیتے