اپنے شاگردوں کے لیے علم اور حقیقی زندگی کے تعلق کو واضح طور پر دکھائیں اور انہیں سمجھائیں کہ علم کے ذریعے دنیا کو کیسے تبدیل کیا جا سکتا ہے۔ - برٹرینڈ رسل

10.1 تعارف

پچھلے باب 10 میں، ہم نے ایک خط کے مساوات کی مختلف شکلوں کا مطالعہ کیا ہے۔ اس باب میں، ہم کچھ دیگر منحنی خطوط کا مطالعہ کریں گے، یعنی دائروں، بیضویوں، قطع زائد اور ہائپر بولاز کا۔ قطع زائد اور ہائپر بولا کے نام اپولونیس نے دیے ہیں۔ یہ منحنی درحقیقت، مخروطی قطع یا عام طور پر مخروطیات کے نام سے جانے جاتے ہیں کیونکہ یہ ایک مستوی اور دوہری ناپ والے سیدھے دائری مخروط کے تقاطع سے حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ ان منحنی خطوط کی اطلاقات کے میدان بہت وسیع ہیں جیسے سیاروی حرکت، دوربینوں اور اینٹینا کی ڈیزائننگ، فلیش لائٹس اور آٹوموبائل ہیڈ لائٹس میں ریفلیکٹرز، وغیرہ۔

اپولونیس (262 ق م -190 ق م)

اب، آئندہ اقساط میں ہم دیکھیں گے کہ کیسے ایک مستوی اور دوہری ناپ والے سیدھے دائری مخروط کا تقاطع مختلف اقسام کے منحنی خطوط کا نتیجہ دیتا ہے۔

10.2 مخروط کے قطع

فرض کریں $l$ ایک مقررہ عمودی خط ہے اور $m$ ایک اور خط ہے جو اسے ایک مقررہ نقطہ $V$ پر قطع کرتا ہے اور اس سے زاویہ $\alpha$ پر جھکا ہوا ہے (شکل 10.1)۔

شکل 10.1

فرض کریں ہم خط $m$ کو خط $l$ کے گرد اس طرح گھماتے ہیں کہ زاویہ $\alpha$ مستقل رہے۔ پھر پیدا ہونے والی سطح ایک دوہری ناپ والا سیدھا دائری کھوکھلا مخروط ہے جسے بعد میں مخروط کہا جائے گا اور جو دونوں سمتوں میں لامحدود دور تک پھیلا ہوا ہے (شکل 10.2)۔

شکل 10.2

نقطہ $V$ کو راس کہتے ہیں؛ خط $l$ مخروط کا محور ہے۔ گھومنے والا خط $m$ مخروط کا جنریٹر کہلاتا ہے۔ راس مخروط کو دو حصوں میں تقسیم کرتا ہے جنہیں ناپ کہتے ہیں۔

اگر ہم ایک مستوی اور مخروط کا تقاطع لیں، تو حاصل ہونے والا قطع مخروطی قطع کہلاتا ہے۔ لہٰذا، مخروطی قطع وہ منحنی خطوط ہیں جو ایک سیدھے دائری مخروط کو ایک مستوی سے قطع کرنے پر حاصل ہوتے ہیں۔

ہم مخروطی قطع کی مختلف اقسام حاصل کرتے ہیں جو قطع کرنے والے مستوی کی مخروط کے ساتھ نسبتاً پوزیشن پر اور اس کے مخروط کے عمودی محور سے بنائے گئے زاویہ پر منحصر ہیں۔ فرض کریں $\beta$ وہ زاویہ ہے جو قطع کرنے والے مستوی نے مخروط کے عمودی محور سے بنایا ہے (شکل 10.3)۔

شکل 10.3

مستوی اور مخروط کا تقاطع یا تو مخروط کے راس پر ہو سکتا ہے یا ناپ کے کسی دوسرے حصے پر جو راس کے نیچے یا اوپر ہو۔

10.2.1 دائرہ، بیضوی، قطع زائد اور ہائپر بولا

جب مستوی مخروط کے ناپ (راس کے علاوہ) کو قطع کرتا ہے، تو ہمارے پاس مندرجہ ذیل حالات ہیں:

(الف) جب $\beta=90^{\circ}$، قطع ایک دائرہ ہے (شکل 10.4)۔

شکل 10.4

(ب) جب $\alpha<\beta<90^{\circ}$، قطع ایک بیضوی ہے (شکل 10.5)۔

شکل 10.5

(ج) جب $\beta=\alpha$؛ قطع ایک قطع زائد ہے (شکل 10.6)۔

شکل 10.6

(اوپر کے تینوں حالات میں، مستوی مخروط کے ایک ناپ کو مکمل طور پر قطع کرتا ہے)۔

(د) جب $0 \leq \beta<\alpha$؛ مستوی دونوں ناپوں سے گزرتا ہے اور تقاطع کا منحنی ایک ہائپر بولا ہے (شکل 10.7)۔

شکل 10.7

10.2.2 انحطاط پذیر مخروطی قطع

جب مستوی مخروط کے راس پر قطع کرتا ہے، تو ہمارے پاس مندرجہ ذیل مختلف کیسز ہیں:

(الف) جب $\alpha<\beta \leq 90^{\circ}$، تو قطع ایک نقطہ ہے (شکل 10.8)۔

شکل 10.8

(ب) جب $\beta=\alpha$، مستوی مخروط کے ایک جنریٹر پر مشتمل ہوتا ہے اور قطع ایک سیدھی خط ہے (شکل 10.9)۔

شکل 10.9

یہ قطع زائد کا انحطاط پذیر کیس ہے۔

(ج) جب $0 \leq \beta<\alpha$، قطع متقاطع سیدھی خطوط کا ایک جوڑا ہے (شکل 10.10)۔ یہ ہائپر بولا کا انحطاط پذیر کیس ہے۔

شکل 10.8 (الف)

شکل 10.8 (ب)

آئندہ اقساط میں، ہم ان مخروطی قطع میں سے ہر ایک کی مساوات معیاری شکل میں حاصل کریں گے انہیں ہندسی خصوصیات کی بنیاد پر تعریف کر کے۔

10.3 دائرہ

تعریف 1 ایک دائرہ مستوی میں تمام نقاط کا مجموعہ ہے جو مستوی میں ایک مقررہ نقطہ سے مساوی فاصلے پر ہیں۔

مقررہ نقطہ دائرہ کا مرکز کہلاتا ہے اور مرکز سے دائرہ کے کسی نقطہ تک کا فاصلہ دائرہ کا رداس کہلاتا ہے (شکل 10.11)۔

شکل 10.11

دائرہ کی مساوات سب سے سادہ ہوتی ہے اگر دائرہ کا مرکز مبدا پر ہو۔ تاہم، ہم نیچے ایک دیے گئے مرکز اور رداس کے ساتھ دائرہ کی مساوات اخذ کرتے ہیں (شکل 10.12)۔

شکل 10.12

فرض کریں $C(h, k)$ مرکز ہو اور $r$ دائرہ کا رداس ہو۔ فرض کریں $P(x, y)$ دائرہ پر کوئی نقطہ ہے (شکل 10.12)۔ پھر، تعریف کے مطابق، $|CP|=r$۔ فاصلے کے فارمولے سے، ہمارے پاس ہے

یعنی

$ \begin{aligned} & \sqrt{(x-h)^{2}+-k)^{2}}=r \\ & (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2} \end{aligned} $

یہ مرکز $(h, k)$ اور رداس $r$ والے دائرہ کی مطلوبہ مساوات ہے۔

مثال 1 مرکز $(0,0)$ اور رداس $r$ والے دائرہ کی ایک مساوات تلاش کریں۔

حل یہاں $h=k=0$۔ لہٰذا، دائرہ کی مساوات $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ہے۔

مثال 2 مرکز $(-3,2)$ اور رداس 4 والے دائرہ کی مساوات تلاش کریں۔

حل یہاں $h=-3, k=2$ اور $r=4$۔ لہٰذا، مطلوبہ دائرہ کی مساوات ہے

$$ (x+3)^{2}+(y-2)^{2}=16 $$

مثال 3 دائرہ $x^{2}+y^{2}+8 x+10 y-8=0$ کا مرکز اور رداس تلاش کریں۔

حل دی گئی مساوات ہے

$$ (x^{2}+8 x)+(y^{2}+10 y)=8 $$

اب، قوسین کے اندر مربع مکمل کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$ (x^{2}+8 x+16)+(y^{2}+10 y+25)=8+16+25 $

یعنی

$ (x+4)^{2}+(y+5)^{2}=49 $

یعنی

$[x-(-4)]^2 + [y-(-5)]^2 = 7^2$

لہٰذا، دیے گئے دائرہ کا مرکز $(-4,-5)$ پر ہے اور رداس 7 ہے۔

مثال 4 اس دائرہ کی مساوات تلاش کریں جو نقاط $(2,-2)$، اور $(3,4)$ سے گزرتا ہے اور جس کا مرکز خط $x+y=2$ پر واقع ہے۔

حل فرض کریں دائرہ کی مساوات $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ ہے۔

چونکہ دائرہ $(2,-2)$ اور $(3,4)$ سے گزرتا ہے، ہمارے پاس ہے

$$ \begin{equation*} (2-h)^{2}+(-2-k)^{2}=r^{2} \tag{1} \end{equation*} $$

اور $$ \begin{equation*} (3-h)^{2}+(4-k)^{2}=r^{2} \tag{2} \end{equation*} $$

نیز چونکہ مرکز خط $x+y=2$ پر واقع ہے، ہمارے پاس ہے

$$ \begin{equation*} h+k=2 \tag{3} \end{equation*} $$

مساوات (1)، (2) اور (3) کو حل کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$ h=0.7, \quad k=1.3 \text{ اور } r^{2}=12.58 $

لہٰذا، مطلوبہ دائرہ کی مساوات ہے

$ (x-0.7)^{2}+(y-1.3)^{2}=12.58 . $

10.4 قطع زائد

تعریف 2 قطع زائد مستوی میں تمام نقاط کا مجموعہ ہے جو مستوی میں ایک مقررہ خط اور ایک مقررہ نقطہ (خط پر نہیں) سے مساوی فاصلے پر ہیں۔

مقررہ خط قطع زائد کا ہادی کہلاتا ہے اور مقررہ نقطہ $F$ بؤر کہلاتا ہے (شکل 10.13)۔ (‘پیرا’ کا مطلب ہے ‘کے لیے’ اور ‘بولا’ کا مطلب ہے ‘پھینکنا’، یعنی وہ شکل جو بیان کی جاتی ہے جب آپ ہوا میں ایک گیند پھینکتے ہیں)۔

شکل 10.13

نوٹ - اگر مقررہ نقطہ مقررہ خط پر واقع ہو، تو مستوی میں نقاط کا مجموعہ، جو مقررہ نقطہ اور مقررہ خط سے مساوی فاصلے پر ہیں، وہ مقررہ نقطہ سے گزرنے والی اور مقررہ خط پر عمود سیدھی خط ہے۔ ہم اس سیدھی خط کو قطع زائد کا انحطاط پذیر کیس کہتے ہیں۔

بؤر سے گزرنے والی اور ہادی پر عمود خط قطع زائد کا محور کہلاتا ہے۔ قطع زائد اور محور کا تقاطع نقطہ قطع زائد کا راس کہلاتا ہے (شکل 10.14)۔

شکل 10.14

10.4.1 قطع زائد کی معیاری مساواتیں

قطع زائد کی مساوات سب سے سادہ ہوتی ہے اگر راس مبدا پر ہو اور محور تقارن $x$-محور یا $y$-محور کے ساتھ ہو۔ قطع زائد کی چار ممکنہ ایسی ترتیبیں نیچے شکل 10.15 (الف) سے (د) میں دکھائی گئی ہیں۔

(الف)

(ب)

$x^{2}=4 a y$

(ج)

$x^{2}=-4 a y$

(د)

ہم اوپر شکل 10.15 (الف) میں دکھائے گئے قطع زائد کی مساوات بؤر $(a, 0) a>0$ پر؛ اور ہادی $x=-a$ کے طور پر نیچے اخذ کریں گے:

فرض کریں $F$ بؤر ہو اور $l$ ہادی ہو۔ فرض کریں FM ہادی پر عمود ہے اور FM کو نقطہ O پر نصف کرتا ہے۔ MO کو X تک بڑھائیں۔ قطع زائد کی $(-a, y)$ B تعریف کے مطابق، وسط نقطہ $O$ قطع زائد پر ہے اور قطع زائد کا راس کہلاتا ہے۔ $O$ کو مبدا کے طور پر لیں، $OX$ $x$-محور اور $OY$ اس پر عمود کو $y$-محور کے طور پر لیں۔ فرض کریں ہادی سے بؤر تک کا فاصلہ $2 a$ ہے۔ پھر، بؤر کے محدد $(a, 0)$ ہیں، اور ہادی کی مساوات $x+a=0$ ہے جیسا کہ شکل 10.16 میں ہے۔

شکل $\mathbf{1 0 . 1 6}$

فرض کریں $P(x, y)$ قطع زائد پر کوئی نقطہ ہے جیسا کہ

$$ PF=PB, \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1) $$

جہاں $PB$ $l$ پر عمود ہے۔ $B$ کے محدد $(-a, y)$ ہیں۔ فاصلے کے فارمولے سے، ہمارے پاس ہے

$ PF=\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}} \text{ اور } PB=\sqrt{(x+a)^{2}} $

چونکہ $PF=PB$، ہمارے پاس ہے

$ \sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}}=\sqrt{(x+a)^{2}} $

یعنی $ \quad\quad\quad(x-a)^{2}+y^{2}=(x+a)^{2}$

یا $\quad\quad\quad x^{2}-2 a x+a^{2}+y^{2}=x^{2}+2 a x+a^{2}$

یا $\quad\quad\quad y^{2}=4 a x(a>0)$۔

لہٰذا، قطع زائد پر کوئی بھی نقطہ مطمئن کرتا ہے

$ y^{2}=4 a x \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(2) $

اس کے برعکس، فرض کریں $P(x, y)$ مساوات (2) کو مطمئن کرتا ہے

$ \begin{aligned} PF & =\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}} \quad=\sqrt{(x-a)^{2}+4 a x} \\ & =\sqrt{(x+a)^{2}}=PB \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(3) \end{aligned} $

اور اس طرح $P(x, y)$ قطع زائد پر واقع ہے۔

لہٰذا، (2) اور (3) سے ہم نے ثابت کیا ہے کہ مبدا پر راس، بؤر $(a, 0)$ پر اور ہادی $x=-a$ والے قطع زائد کی مساوات $y^{2}=4 a x$ ہے۔

بحث مساوات (2) میں، چونکہ $a>0, x$ کوئی مثبت قدر یا صفر فرض کر سکتا ہے لیکن کوئی منفی قدر نہیں اور منحنی لامحدود طور پر پہلے اور چوتھے ربع میں پھیلا ہوا ہے۔ قطع زائد کا محور مثبت $x$-محور ہے۔

اسی طرح، ہم قطع زائد کی مساوات اخذ کر سکتے ہیں:

شکل 11.15 (ب) میں $y^{2}=-4 a x$ کے طور پر،

شکل 11.15 (ج) میں $x^{2}=4 a y$ کے طور پر،

شکل $11.15(d)$ میں $x^{2}=-4 a y$ کے طور پر،

یہ چار مساواتیں قطع زائد کی معیاری مساواتیں کہلاتی ہیں۔

نوٹ - قطع زائد کی معیاری مساواتوں کا بؤر ایک محدد محور پر ہوتا ہے؛ راس مبدا پر ہوتا ہے اور اس طرح ہادی دوسرے محدد محور کے متوازی ہوتی ہے۔ تاہم، کسی بھی نقطہ پر بؤر اور کسی بھی خط کو ہادی کے طور پر رکھنے والے قطع زائد کی مساواتوں کا مطالعہ یہاں کے دائرہ کار سے باہر ہے۔

قطع زائد کی معیاری مساواتوں، شکل 10.15، سے ہمارے پاس مندرجہ ذیل مشاہدات ہیں:

1. قطع زائد قطع زائد کے محور تقارن کے لحاظ سے متناظر ہوتا ہے۔ اگر مساوات میں $y^{2}$ کی اصطلاح ہو، تو محور تقارن $x$-محور کے ساتھ ہوتا ہے اور اگر مساوات میں $x^{2}$ کی اصطلاح ہو، تو محور تقارن $y$-محور کے ساتھ ہوتا ہے۔

2. جب محور تقارن $x$-محور کے ساتھ ہو تو قطع زائد کھلتا ہے

(الف) دائیں طرف اگر $x$ کا ضابط مثبت ہو،

(ب) بائیں طرف اگر $x$ کا ضابط منفی ہو۔

3. جب محور تقارن $y$-محور کے ساتھ ہو تو قطع زائد کھلتا ہے

(ج) اوپر کی طرف اگر $y$ کا ضابط مثبت ہو۔

(د) نیچے کی طرف اگر $y$ کا ضابط منفی ہو۔

10.4.2 عرض البؤر

تعریف 3 قطع زائد کا عرض البؤر قطع زائد کے محور پر عمود ایک خط قطع ہے، جو بؤر سے گزرتا ہے اور جس کے اختتامی نقاط قطع زائد پر واقع ہوتے ہیں (شکل 10.17)۔

شکل 10.17

قطع زائد $ y^{2}= 4 a x $ کے عرض البؤر کی لمبائی تلاش کرنے کے لیے (شکل 10.18)۔

شکل 10.18

قطع زائد کی تعریف کے مطابق، $AF=AC$۔

لیکن $ \mathrm{AC}=\mathrm{FM}=2 a $

لہٰذا $ \mathrm{AF}=2 a $

اور چونکہ قطع زائد $x$-محور کے لحاظ سے متناظر ہے $AF=FB$ اور اس طرح

$AB=$ عرض البؤر کی لمبائی $=4 a$۔

مثال 5 قطع زائد $y^{2}=8 x$ کے بؤر کے محدد، محور، ہادی کی مساوات اور عرض البؤر تلاش کریں۔

حل دی گئی مساوات میں $y^{2}$ شامل ہے، لہٰذا محور تقارن $x$-محور کے ساتھ ہے۔

$x$ کا ضابط مثبت ہے لہٰذا قطع زائد دائیں طرف کھلتا ہے۔ دی گئی مساوات $y^{2}=4 a x$ سے موازنہ کرتے ہوئے، ہم پاتے ہیں کہ $a=2$۔

اس طرح، قطع زائد کا بؤر $(2,0)$ ہے اور قطع زائد کی ہادی کی مساوات $x=-2$ ہے (شکل 10.19)۔

شکل 10.19

عرض البؤر کی لمبائی $4 a=4 \times 2=8$ ہے۔

مثال 6 بؤر $(2,0)$ اور ہادی $x=-2$ والے قطع زائد کی مساوات تلاش کریں۔

حل چونکہ بؤر $(2,0)$ $x$-محور پر واقع ہے، $x$-محور خود قطع زائد کا محور ہے۔ لہٰذا قطع زائد کی مساوات یا تو $y^{2}=4 a x$ کی شکل کی ہے یا $y^{2}=-4 a x$ کی۔ چونکہ ہادی $x=-2$ ہے اور بؤر $(2,0)$ ہے، قطع زائد $y^{2}=4 a x$ کی شکل کا ہوگا جہاں $a=2$۔ لہٰذا مطلوبہ مساوات ہے

$ y^{2}=4(2) x=8 x $

مثال 7 راس $(0,0)$ پر اور بؤر $(0,2)$ پر والے قطع زائد کی مساوات تلاش کریں۔

حل چونکہ راس $(0,0)$ پر ہے اور بؤر $(0,2)$ پر ہے جو $y$-محور پر واقع ہے، $y$-محور قطع زائد کا محور ہے۔ لہٰذا، قطع زائد کی مساوات $x^{2}=4 a y$ کی شکل کی ہے۔ اس طرح، ہمارے پاس ہے

$ x^{2}=4(2) y \text{, یعنی، } x^{2}=8 y \text{. } $

مثال 8 اس قطع زائد کی مساوات تلاش کریں جو $y$-محور کے لحاظ سے متناظر ہے، اور نقطہ $(2,-3)$ سے گزرتا ہے۔

حل چونکہ قطع زائد $y$-محور کے لحاظ سے متناظر ہے اور اس کا راس مبدا پر ہے، مساوات $x^{2}=4 a y$ یا $x^{2}=-4 a y$ کی شکل کی ہے، جہاں علامت اس پر منحصر ہے کہ قطع زائد اوپر کی طرف کھلتا ہے یا نیچے کی طرف۔ لیکن قطع زائد $(2,-3)$ سے گزرتا ہے جو چوتھے ربع میں واقع ہے، یہ نیچے کی طرف کھلنا چاہیے۔ اس طرح مساوات $x^{2}=-4 a y$ کی شکل کی ہے۔

چونکہ قطع زائد $(2,-3)$ سے گزرتا ہے، ہمارے پاس ہے

$ 2^{2}=-4 a(-3) \text{, یعنی، } a=\frac{1}{3} $

لہٰذا، قطع زائد کی مساوات ہے

$ x^{2}=-4(\frac{1}{3}) y \text{, یعنی، } 3 x^{2}=-4 y $

10.5 بیضوی

تعریف 4 ایک بیضوی مستوی میں تمام نقاط کا مجموعہ ہے، جن کا مستوی میں دو مقررہ نقاط سے فاصلوں کا مجموعہ ایک مستقل ہوتا ہے۔

دو مقررہ نقاط بیضوی کے بؤر (فوکس کی جمع) کہلاتے ہیں (شکل 10.20)۔

شکل 10.20

نوٹ - مستقل جو بیضوی کے ایک نقطہ کا دو مقررہ نقاط سے فاصلوں کا مجموعہ ہے ہمیشہ دو مقررہ نقاط کے درمیان فاصلے سے زیادہ ہوتا ہے۔

بؤر کو ملانے والے خط قطع کے وسط نقطہ کو بیضوی کا مرکز کہتے ہیں۔ بیضوی کے بؤر سے گزرنے والا خط قطع طویل محور کہلاتا ہے اور مرکز سے گزرنے والا اور طویل محور پر عمود خط قطع قصر محور کہلاتا ہے۔ طویل محور کے اختتامی نقاط بیضوی کے رئوس کہلاتے ہیں (شکل 10.21)۔

شکل 10.21

ہم طویل محور کی لمبائی کو $2 a$ سے، قصر محور کی لمبائی کو $2 b$ سے اور بؤر کے درمیان فاصلے کو $2 c$ سے ظاہر کرتے ہیں۔ اس طرح، نیم طویل محور کی لمبائی $a$ ہے اور نیم قصر محور کی لمبائی $b$ ہے (شکل 10.22)۔

شکل 10.22

10.5.1 نیم طویل محور، نیم قصر محور اور بؤر کا مرکز سے فاصلے کے درمیان تعلق (شکل 10.23)

شکل 10.23

قصر محور کے ایک سرے پر ایک نقطہ $P$ لیں۔

نقطہ $P$ سے بؤر تک فاصلوں کا مجموعہ ہے

$F_1P + F_2P = F_1O + OP + F_2P$

(چونکہ، $F_1P = F_1O + OP$)

$\quad \quad \quad \quad \quad = c + a +a - c = 2a$

قصر محور کے ایک سرے پر ایک نقطہ Q لیں۔

نقطہ Q سے بؤر تک فاصلوں کا مجموعہ ہے

$F_1 P+F_2 Q=\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}=2 \sqrt{b^{2}+c^{2}}$

چونکہ دونوں $P$ اور $Q$ بیضوی پر واقع ہیں۔

بیضوی کی تعریف کے مطابق، ہمارے پاس ہے

$ \begin{aligned} 2 \sqrt{b^{2}+c^{2}} & =2 a, \text{ یعنی، } \quad a=\sqrt{b^{2}+c^{2}} \\ \text{یا} \quad \quad \quad \quad a^{2} & =b^{2}+c^{2}, \text{ یعنی، } c=\sqrt{a^{2}-b^{2}} \end{aligned} $

10.5.2 مرکزیت

تعریف 5 بیضوی کی مرکزیت بیضوی کے مرکز سے ایک بؤر اور ایک راس تک کے فاصلوں کا تناسب ہے (مرکزیت کو $e$ سے ظاہر کیا جاتا ہے) یعنی، $e=\frac{c}{a}$۔

پھر چونکہ بؤر مرکز سے $c$ کے فاصلے پر ہے، مرکزیت کے لحاظ سے بؤر مرکز سے ae کے فاصلے پر ہے۔

10.5.3 بیضوی کی معیاری مساواتیں

بیضوی کی مساوات سب سے سادہ ہوتی ہے اگر بیضوی کا مرکز مبدا پر ہو اور بؤر $x$-محور یا $y$-محور پر ہوں۔ دو ایسی ممکنہ ترتیبیں شکل 10.24 میں دکھائی گئی ہیں۔

ہم اوپر شکل 10.24 (الف) میں دکھائے گئے بیضوی کی مساوات اخذ کریں گے جس کے بؤر $x$-محور پر ہیں۔

فرض کریں $F_1$ اور $F_2$ بؤر ہوں اور $O$ خط قطع $F_1 F_2$ کا وسط نقطہ ہو۔ فرض کریں $O$ مبدا ہو اور خط $O$ سے $F_2$ تک مثبت $x$-محور ہو اور وہ خط جو $F_1$ سے گزرتا ہے منفی $x$-محور ہو۔ فرض کریں، خط جو $O$ سے گزرتا ہے اور $x$-محور پر عمود ہے $y$-محور ہو۔ فرض کریں $F_1$ کے محدد $(-c, 0)$ ہوں اور $F_2$ کے $(c, 0)$ ہوں (شکل 10.25)۔

شکل 10.25

فرض کریں $P(x, y)$ بیضوی پر کوئی نقطہ ہے جیسا کہ $P$ سے دو بؤر تک فاصلوں کا مجموعہ $2 a$ ہو تو دیا گیا ہے

$ PF_1+PF_2=2 a . \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $

فاصلے کے فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے، ہمارے پاس ہے

$ \begin{aligned} & \qquad \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2 a \\ & \text{ یعنی، } \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=2 a-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \end{aligned} $

$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $

دونوں طرفوں کو مربع کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$ (x+c)^{2}+y^{2}=4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+(x-c)^{2}+y^{2} $

جو سادہ کرنے پر دیتا ہے

$ \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=a-\frac{c}{a} x $

دوبارہ مربع کرنے اور مزید سادہ کرنے پر، ہم حاصل کرتے ہیں

$ \begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}-c^{2}}=1 & \\ \text{ یعنی، } \quad \quad\quad \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 & (\text{ چونکہ } c^{2}=a^{2}-b^{2}) \end{aligned} $

لہٰذا بیضوی پر کوئی بھی نقطہ مطمئن کرتا ہے

$$ \begin{equation*} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \tag{2} \end{equation*} $$

اس کے برعکس، فرض کریں $P(x, y)$ مساوات (2) کو مطمئن کرتا ہے جہاں $0<c<a$۔ پھر

$$ y^{2}=b^{2}(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}) $$

لہٰذا، $PF_1=\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}$

$ \begin{aligned} & =\sqrt{(x+c)^{2}+b^{2}(\frac{a^{2}-x^{2}}{a^{2}})} \\ & =\sqrt{(x+c)^{2}+(a^{2}-c^{2})(\frac{a^{2}-x^{2}}{a^{2}})}(\text{ چونکہ } b^{2}=a^{2}-c^{2}) \\ & =\sqrt{(a+\frac{c x}{a})^{2}}=a+\frac{c}{a} x \end{aligned} $

اسی طرح $\quad PF_2=a-\frac{c}{a} x$

لہٰذا $\quad PF_1+PF_2=a+\frac{c}{a} x+a-\frac{c}{a} x=2 a \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(3)$

تو، کوئی بھی نقطہ جو $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ کو مطمئن کرتا ہے، ہندسی شرط کو مطمئن کرتا ہے اور اس طرح $P(x, y)$ بیضوی پر واقع ہے۔

لہٰذا (2) اور (3) سے، ہم نے ثابت کیا کہ مبدا پر مرکز اور طویل محور $x$-محور کے ساتھ والے بیضوی کی مساوات ہے

$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $

بحث اوپر حاصل کردہ بیضوی کی مساوات سے، یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ بیضوی پر ہر نقطہ $P(x, y)$ کے لیے، ہمارے پاس ہے

$ \frac{x^{2}}{a^{2}}=1-\frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1 \text{, یعنی، } x^{2} \leq a^{2} \text{, تو }-a \leq x \leq a \text{. } $

لہٰذا، بیضوی خطوط $x=-a$ اور $x=a$ کے درمیان واقع ہے اور ان خطوط کو چھوتا ہے۔

اسی طرح، بیضوی خطوط $y=-b$ اور $y=b$ کے درمیان واقع ہے اور ان خطوط کو چھوتا ہے۔

اسی طرح، ہم شکل 10.24 (ب) میں بیضوی کی مساوات $\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$ کے طور پر اخذ کر سکتے ہیں۔ یہ دو مساواتیں بیضویوں کی معیاری مساواتیں کہلاتی ہیں۔

نوٹ - بیضویوں کی معیاری مساواتوں کا مرکز مبدا پر ہوتا ہے اور طویل اور قصر محور محدد محور ہوتے ہیں