ریاضی سب سے زیادہ اہم علوم کی ملکہ اور خدمتگار ہے - ای ٹی بیل

11.1 مقدمہ

آپ یاد رہے گی کہ ایک نقطے کی طرف سے ایک طاقے میں موقع تشریح کرنے کے لیے، ہمیں اس طاقے میں دو متوازی نہ نکلنے والی متعامد خطوط کی ضرورت ہوتی ہے۔ یہ خطوط محددی محوروں کہلاتے ہیں اور دو اعداد نقطے کے محددی محوروں کے تعلق سے کہلاتے ہیں۔ حقیقی زندگی میں، ہم صرف ایک طاقے میں رہنے والے نقاط کے ساتھ سامنے آتے ہیں۔ مثال کے طور پر، ایسے زمانے کے لحاظ سے فضاء میں چلنے والی تیل کی موقع یا ایک ہواپٹ کی موقع کی تفصیل کریں جو اپنے پرواز کے دوران ایک جگہ سے دوسری جگہ چلتا ہے۔

<img src =“https://temp-public-img-folder.s3.ap-south-1.amazonaws.com/sathee.prutor.images/images/ncertbook/math/m11/introduction_to_three_dimensional_geometry/ncert_m11_ch11_leonhard.png"">

بالمثل، اگر ہم ایک کمرے کے سینے سے آواز خرچ کرنے والی بجلی کی لمبائی کے زیر تک کے موقع یا کمرے میں ایک بجلی کی برق کے مرکزی زیر تک کے موقع کی تفصیل کرنا چاہیے، تو ہمیں نقطے کے موقع کی تفصیل کرنے کے لیے نہ صرف دو متوازی دیواروں سے نقطے کی عمودی دوری کی ضرورت ہوگی بلکہ اس نقطے کی سفیدی سے عمودی دوری بھی ضروری ہوگی۔ لہٰذا، ہمیں نہ صرف دو بلکہ سہ محددی طاقتوں سے نقطے کی عمودی دوری کا تمثیل کرنے کے لیے سہ اعداد کی ضرورت ہوگی، جن کو کمرے کی سفیدی اور کمرے کے دونوں متوازی دیواروں کہلاتے ہیں۔ سہ اعداد جو سہ دوریوں کا تمثیل کرتے ہیں، یہ نقطے کے سہ محددی طاقتوں کے تعلق سے کہلاتے ہیں۔ اتنا ہی، فضا میں ایک نقطے کے ساتھ ساتھ سہ محددی ہوتے ہیں۔ اس فصل میں، ہم تین بعدی فضا میں ریاضیات کے بنیادی تصورات کی تدقیق کریں گے۔

11.2 تین بعدی فضا میں محددی محوروں اور محددی طاقتوں

ایسے سہ طاقتوں کو سمجھیں جو ایک نقطے پر ایک دوسرے کے متوازی ہونے کی وجہ سے ایک دوسرے کے ساتھ متوازی ہوتے ہیں (شکل 11.1)۔ یہ سہ طاقتوں کے ساتھ ایک دوسرے کے ساتھ متوازی خطوط $X^{\prime} OX, Y^{\prime} OY$ اور $Z^{\prime} OZ$ کو ایک دوسرے کے ساتھ متوازی ہوتے ہیں، جن کو علیحدہ طور پر $x, y$ اور $z$-محور کہا جاتا ہے۔ ہم یاد رکھیں کہ یہ خطوط علیحدہ طور پر متوازی ہوتے ہیں۔ یہ خطوط مربع محددی نظام کی تشکیل دیتے ہیں۔ طاقے XOY، YOZ اور ZOX، جن کو علیحدہ طور پر XY-طاقہ، YZ-طاقہ اور ZX-طاقہ کہا جاتا ہے، سہ محددی طاقتوں کہلاتے ہیں۔ ہم XOY طاقے کو ورق کے طاقے کہلاتے ہیں اور

<img src =“https://temp-public-img-folder.s3.ap-south-1.amazonaws.com/sathee.prutor.images/images/ncertbook/math/m11/introduction_to_three_dimensional_geometry/ncert_m11_ch11_fig_11_1.png"">

شکل 11.1 خط $Z^{\prime} OZ$ کو طاقے $XOY$ کے عمودی کہلاتا ہے۔ اگر ورق کا طاقہ أفقی طور پر سمجھا جائے، تو خط $Z^{\prime} OZ$ عمودی ہوگا۔ XY-طاقے سے $OZ$ کی طرف بالا پر موجود دوریوں کو موجب سمجھا جاتا ہے اور اسی طرح $OZ^{\prime}$ کی طرف نیچے پر موجود دوریوں کو منفی سمجھا جاتا ہے۔ بالمثل، $ZX$-طاقے کے دائیں طرف $OY$ کے ساتھ موجود دوری کو موجب سمجھا جاتا ہے، ZX-طاقے کے بائیں طرف اور $O Y^{\prime}$ کے ساتھ موجود دوری کو منفی سمجھا جاتا ہے، YZ-طاقے کے آگے $O X$ کے ساتھ موجود دوری کو موجب سمجھا جاتا ہے اور اس کے پیچھے $OX^{\prime}$ کے ساتھ موجود دوری کو منفی سمجھا جاتا ہے۔ نقطہ $O$ محددی نظام کا ذراع کہلاتا ہے۔ سہ محددی طاقتوں نے فضا کو آٹھ حصوں میں تقسیم کیا ہے جن کو آٹھ حصوں کہلاتے ہیں۔ یہ آٹھ حصوں کو $XOYZ, X^{\prime} OYZ, X^{\prime} OY Y, XOY ’ Z, XOYZ$، $X^{\prime} OYZ, X^{\prime} OY^{\prime} Z^{\prime}$ اور $XOY^{\prime} Z^{\prime}$ کہا جا سکتا ہے اور علیحدہ طور پر I، II، III، … VIII کہلا دیا جا سکتا ہے۔

11.3 فضا میں ایک نقطے کے محددی

ایک مقررہ محددی نظام کو فضا میں انتخاب کرنے کے بعد، جس میں محددی محوروں، محددی طاقتوں اور ذراع کے ساتھ ساتھ، ہم اب اس بات کی تفصیل کرتے ہیں کہ ایک فضا میں موجود ایک نقطے کے ساتھ ساتھ سہ محددی کیسے جوڑا جاتا ہے اور عکس العمل میں، ایک سہ تاریکی کے ساتھ ساتھ ایک نقطے کی تشریح کیسے کی جاتی ہے۔

<img src =“https://temp-public-img-folder.s3.ap-south-1.amazonaws.com/sathee.prutor.images/images/ncertbook/math/m11/introduction_to_three_dimensional_geometry/ncert_m11_ch11_fig_11_2.png"">

شکل 11.2

فضا میں ایک نقطہ $P$ دیا جاتا ہے، ہم اس نقطے پر ایک عمودی PM کو XY-طاقے پر ڈالتے ہیں جہاں M اس عمودی کا فوٹ کہلاتا ہے (شکل 11.2)۔ اس کے بعد، نقطہ M سے ہم ایک عمودی ML کو $x$-محور پر ڈالتے ہیں، جو اس کے ساتھ L پر ملتا ہے۔ اگر OL $x, LM$ ہو $y$ اور MP $z$ ہو، تو $x, y$ اور $z$ نقطہ $P$ کے فضا میں علیحدہ طور پر $x, y$ اور $z$ محددی کہلاتے ہیں۔ شکل 11.2 میں ہم یاد رکھیں کہ نقطہ $P(x, y, z)$ آٹھ حصے XOYZ میں رہتا ہے اور اتنا ہی، $x, y$، $z$ سب موجب ہوتے ہیں۔ اگر $P$ کسی دوسرے آٹھ حصے میں تو $x, y$ اور $z$ کے علامات علیحدہ طور پر تبدیل ہو جاتے ہیں۔ اتنا ہی، فضا میں ہر نقطے $P$ کے ساتھ ساتھ ایک مرتب تاریکی $(x, y, z)$ کے ساتھ ساتھ سہ حقیقی اعداد کا تعلق ہوتا ہے۔

عکس العمل میں، ہر سہ تاریکی $(x, y, z)$ دی گئی ہے، ہم پہلے $x$-محور پر نقطہ $L$ کو $x$ کے تعلق سے مقرر کرتے ہیں، اس کے بعد XY-طاقے میں نقطہ $M$ کی تشریح کرتے ہیں جس کے محددی $(x, y)$ XY-طاقے میں نقطہ M کے محددی ہوتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ LM $x$-محور کے عمودی ہے یا $y$-محور کے متواز ہے۔ نقطہ M تک پہنچنے کے بعد، ہم ایک عمودی MP کو XY-طاقے پر ڈالتے ہیں اور اس پر نقطہ $P$ کی تشریح کرتے ہیں جو $z$ کے تعلق سے مقرر کیا جاتا ہے۔ اتنا ہی، نقطہ $P$ جو اتنا ہی محددی $(x, y, z)$ کہلاتا ہے۔ اتنا ہی، فضا میں نقطوں اور مرتب سہ حقیقی اعداد $(x, y, z)$ کے درمیان ایک ایک تعلق ہوتا ہے۔

بدلے میں، فضا میں نقطہ $P$ کے ساتھ ساتھ، ہم سہ محددی طاقتوں کے متواز پلان ڈرا کرتے ہیں، جو $x$-محور، $y$-محور اور $z$-محور کے ساتھ علیحدہ طور پر نقطہ $A, B$ اور $C$ پر ملتے ہیں (شکل 11.3)۔ اگر $OA=x, OB=y$ اور $OC=z$ ہوں۔ تو نقطہ $P$ کے محددی $x, y$ اور $z$ ہوں گے اور ہم $P(x, y, z)$ لکھتے ہیں۔ عکس العمل میں، $x, y$ اور $z$ دیے گئے ہیں، ہم سہ محددی محوروں پر نقطہ $A, B$ اور $C$ کی تشریح کرتے ہیں۔ نقطہ $A, B$ اور $C$ کے ساتھ ساتھ، ہم YZ-طاقے، ZX-طاقے اور XY-طاقے کے متواز پلان ڈرا کرتے ہیں،

<img src =“https://temp-public-img-folder.s3.ap-south-1.amazonaws.com/sathee.prutor.images/images/ncertbook/math/m11/introduction_to_three_dimensional_geometry/ncert_m11_ch11_fig_11_3.png"">

شکل 11.3

علیحدہ طور پر۔ یہ سہ پلان کا تقاطع، جیسے کہ ADPF، BDPE اور CEPF کا تقاطع، باضروس کے مطابق نقطہ $P$ کے تعلق سے مقرر کیا جاتا ہے، جو مرتب تاریکی $(x, y, z)$ کے تعلق سے مقرر کیا جاتا ہے۔ ہم یاد رکھتے ہیں کہ اگر $P(x, y, z)$ فضا میں کوئی نقطہ ہو، تو $x, y$ اور $z$ YZ، ZX اور XY-طاقتوں سے علیحدہ طور پر عمودی دوریوں کہلاتے ہیں۔

نوٹ - ذراع $O$ کے محددی $(0,0,0)$ ہیں۔ $x$-محور پر ہر نقطے کے محددی $(x, 0,0)$ ہوں گے اور YZ-طاقے میں ہر نقطے کے محددی $(0, y, z)$ ہوں گے۔

رائے ایک نقطے کے محددی کے علامات نقطے کے آٹھ حصوں میں کس طرح رہتے ہیں، اس کی تفصیل دیتے ہیں۔ درج ذیل جدول آٹھ حصوں میں محددی کے علامات کی تفصیل دیتا ہے۔

جدول 11.1

مثال 1 شکل 11.3 میں، اگر $P$ $(2,4,5)$ ہو، تو $F$ کے محددی کی تفصیل کریں۔

حل نقطہ $F$ کے لیے OY کے ساتھ موجود دوری صفر ہوتی ہے۔ اتنا ہی، نقطہ $F$ کے محددی $(2,0,5)$ ہیں۔

مثال 2 نقطہ $(-3,1,2)$ اور $(-3,1,-2)$ کے آٹھ حصوں میں کس طرح رہتے ہیں، اس کی تفصیل کریں۔

حل جدول 11.1 سے جانتے ہیں کہ نقطہ $(-3,1,2)$ دوسرے آٹھ حصے میں رہتا ہے اور نقطہ $(-3,1,-2)$ آٹھ حصے VI میں رہتا ہے۔

11.4 دو نقطوں کے درمیان دوری

ہم دو نقطوں کے درمیان دوری کے بارے میں دو بعدی محددی نظام میں تدریس کی ہے۔ اب ہم اس تدریس کو تین بعدی نظام میں چھوڑ دیں گے۔

اگر $P(x_1, y_1, z_1)$ اور $Q(x_2, y_2, z_2)$ دو نقطوں کو ایک مربع محددی محوروں $OX, OY$ اور $OZ$ کے تعلق سے کہلاتے ہیں۔ نقطہ $P$ اور $Q$ کے ساتھ ساتھ محددی طاقتوں کے متواز پلان ڈرا کرتے ہیں تاکہ ایک مربع پارالیلوپیپیڈ کی تشکیل دی جاسکے جس کا ایک ڈائیگونل PQ (شکل 11.4) ہو۔

<img src =“https://temp-public-img-folder.s3.ap-south-1.amazonaws.com/sathee.prutor.images/images/ncertbook/math/m11/introduction_to_three_dimensional_geometry/ncert_m11_ch11_fig_11_4.png"">

شکل 11.4

اب $\angle PAQ$ ایک مستقیم $\quad \mathbf{X}$ ہوتا ہے، اتنا ہی، مثلث PAQ میں،

$ PQ^{2}=PA^{2}+AQ^{2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots(1) $

بالمثل، مثلث ANQ ایک مستقیم زاویہ والا مثلث ہے جس کا $\angle ANQ$ ایک مستقیم زاویہ ہوتا ہے۔

اتنا ہی، $\quad\quad\quad AQ^{2}=AN^{2}+NQ^{2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots(2)$

(1) اور (2) سے ہمیں ملتا ہے

$$ \mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{PA}^{2}+\mathrm{AN}^{2}+\mathrm{NQ}^{2} $$

اب $\quad\quad\quad\mathrm{PA}=y _{2}-y _{1}, \mathrm{AN}=x _{2}-x _{1}$ और $\mathrm{NQ}=z _{2}-z _{1}$

اتنا ہی، $\quad\quad\quad\mathrm{PQ}^{2}=\left(x _{2}-x _{1}\right)^{2}+\left(y _{2}-y _{1}\right)^{2}+\left(z _{2}-z _{1}\right)^{2}$

اتنا ہی، $\quad\quad\quad PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}}$

یہ ہمیں دو نقطوں $(x_1, y_1, z_1)$ اور $(x_2, y_2, z_2)$ کے درمیان دوری کی تفصیل دیتا ہے۔

خاص طور پر، اگر $x_1=y_1=z_1=0$، یعنی نقطہ $P$ ذراع $O$ ہو، تو $OQ=\sqrt{x_2{ }^{2}+y_2{ }^{2}+z_2{ }^{2}}$، جو ذراع $O$ اور کوئی بھی نقطہ $Q(x_2, y_2, z_2)$ کے درمیان دوری کی تفصیل دیتا ہے۔

مثال 3 نقطہ $P(1,-3,4)$ اور $Q(-4,1,2)$ کے درمیان دوری کی تفصیل کریں۔

حل نقطہ $P(1,-3,4)$ اور $Q(-4,1,2)$ کے درمیان دوری PQ ہے

$ \begin{aligned} PQ & =\sqrt{(-4-1)^{2}+(1+3)^{2}+(2-4)^{2}} \\ & =\sqrt{25+16+4} \\ & =\sqrt{45}=3 \sqrt{5} \text{ یونٹس } \end{aligned} $

مثال 4 نقطہ $P(-2,3,5)$، $Q(1,2,3)$ اور $R(7,0,-1)$ کو ایک دوسرے کے متواز ہونے کی تفصیل کریں۔

حل ہم یاد رکھتے ہیں کہ نقطہ ایک دوسرے کے متواز ہونے کے لیے ایک خط پر رہتے ہیں۔

اب،

$ \begin{aligned} & P Q=\sqrt{(1+2)^{2}+(2-3)^{2}+(3-5)^{2}}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14} \\ & Q R=\sqrt{(7-1)^{2}+(0-2)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{36+4+16}=\sqrt{56}=2 \sqrt{14} \end{aligned} $

اور

$ P R=\sqrt{(7+2)^{2}+(0-3)^{2}+(-1-5)^{2}}=\sqrt{81+9+36}=\sqrt{126}=3 \sqrt{14} $

اتنا ہی، $PQ+QR=PR$۔ اتنا ہی، $P, Q$ اور $R$ کو ایک دوسرے کے متواز کہلا دیا جاتا ہے۔

مثال 5 نقطہ A $(3,6,9), B(10,20,30)$ اور C $(25,-41,5)$، ایک مستقیم زاویہ ترکیب کے دو سروں ہیں؟

حل دوری جمع کرنے کے ذریعے ہمیں ملتا ہے

$ \begin{aligned} AB^{2} & =(10-3)^{2}+(20-6)^{2}+(30-9)^{2} \\ & =49+196+441=686 \\ BC^{2} & =(25-10)^{2}+(-41-20)^{2}+(5-30)^{2} \\ & =225+3721+625=4571 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} CA^{2} & =(3-25)^{2}+(6+41)^{2}+(9-5)^{2} \\ & =484+2209+16=2709 \end{aligned} $

ہمیں ملتا ہے $\quad \quad\quad CA^{2}+AB^{2} \neq BC^{2}$۔

اتنا ہی، ترکیب $ABC$ ایک مستقیم زاویہ ترکیب نہیں ہے۔

مثال 6 نقطہ $P$ کے مجموعے کے معادلے کی تفصیل کریں جس کے موقع $PA^{2}+PB^{2}=2 k^{2}$، جہاں $A$ اور $B$ نقطہ $(3,4,5)$ اور $(-1,3,-7)$ کہلاتے ہیں۔

حل نقطہ $P$ کے محددی $(x, y, z)$ ہوں گے۔

یہاں

$ \begin{aligned} & PA^{2}=(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2} \\ & PB^{2}=(x+1)^{2}+(y-3)^{2}+(z+7)^{2} \end{aligned} $

دیا گیا شرط $PA^{2}+PB^{2}=2 k^{2}$ کے مطابق، ہمیں ملتا ہے

$ (x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2}+(x+1)^{2}+(y-3)^{2}+(z+7)^{2}=2 k^{2} \\ \text{ یعنی، } \quad 2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}-4 x-14 y+4 z=2 k^{2}-109 . $

معمولی مثال

مثال 7 نقطہ A $(1,2,3)$، B (-1, -2, -1), C (2, 3, 2) اور $D(4,7,6)$ کو ایک مربع ڈھانپ کے دو سروں کہلا دیں $ABCD$، لیکن اس کو ایک مربع نہیں کہلا سکتا۔

حل ABCD کو ایک مربع ڈھانپ کہلانے کے لیے ہمیں دوسرے سروں کے برابر ہونے کی تفصیل کرنی ہوگی۔ نوٹ کریں کہ۔

$ \begin{aligned} & AB=\sqrt{(-1-1)^{2}+(-2-2)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{4+16+16}=6 \\ & BC=\sqrt{(2+1)^{2}+(3+2)^{2}+(2+1)^{2}}=\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43} \\ & CD=\sqrt{(4-2)^{2}+(7-3)^{2}+(6-2)^{2}}=\sqrt{4+16+16}=6 \\ & DA=\sqrt{(1-4)^{2}+(2-7)^{2}+(3-6)^{2}}=\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43} \end{aligned} $

اتنا ہی، $A B=C D$ اور $B C=A D, A B C D$ ایک مربع ڈھانپ ہے۔

اب، $ABCD$ کو ایک مربع نہیں کہلانے کے لیے، ہمیں اس بات کی تفصیل کرنی ہوگی کہ ڈائیگونل $AC$ اور $BD$ کم از کم ہوں۔ ہمیں ملتا ہے

$ \begin{aligned} & AC=\sqrt{(2-1)^{2}+(3-2)^{2}+(2-3)^{2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3} \\ & BD \quad=\sqrt{(4+1)^{2}+(7+2)^{2}+(6+1)^{2}=\sqrt{25+81+49}=\sqrt{155} . \end{aligned} $

اتنا ہی، $A C \neq B D, A B C D$ ایک مربع نہیں ہے۔

نوٹ - ہم ڈائیگونل $AC$ اور $BD$ کے خواص کے ذریعے بھی $ABCD$ کو ایک مربع ڈھانپ کہلا سکتے ہیں۔

مثال 8 نقطہ $P$ کے مجموعے کے معادلے کی تفصیل کریں جس کے موقع نقطہ $A(3,4,-5)$ اور $B(-2,1,4)$ سے برابر ہو۔

حل اگر $P(x, y, z)$ کوئی نقطہ ہو جس کے موقع $PA=PB$۔

اب $\sqrt{(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z+5)^{2}} = \sqrt{(x+2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-4)^{2}}$

یا $\quad\quad (x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z+5)^{2}=(x+2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-4)^{2}$

یا $\quad \quad 10 x+6 y-18 z-29=0$۔

مثال 9 ایک ترکیب $ABC$ کا مرکز نقطہ $(1,1,1)$ پر ہے۔ اگر نقطہ $A$ اور $B$ کے محددی علیحدہ طور پر $(3,-5,7)$ اور $(-1,7,-6)$ ہیں، تو نقطہ $C$ کے محددی کی تفصیل کریں۔

حل نقطہ $C$ کے محددی $(x, y, z)$ ہوں گے اور مرکز کے محددی $G$ ہوں گے۔ تو

اتنا ہی، $\quad \frac{x+3-1}{3}=1$، یا $x=1$ $ \begin{array}{ll} \frac{y-5+7}{3}=1, & \text { یا } y=1 \\ \frac{z+7-6}{3}=1, & \text { یا } z=2 . \end{array} $

اتنا ہی، نقطہ $C$ کے محددی $(1,1,2)$ ہیں۔

خلاء

تین بعدی فضا میں، مربع محددی نظام کے محددی محوروں کو سہ متوازی نہ نکلنے والی خطوط کہلاتے ہیں۔ محوروں کو $x$، $y$ اور $z$-محور کہلاتے ہیں۔

محوروں کے دونوں کے ساتھ ساتھ مقرر کیے گئے سہ طاقتوں کو محددی طاقتوں کہلاتے ہیں، جن کو XY، YZ اور ZX-طاقے کہلاتے ہیں۔

سہ محددی طاقتوں نے فضا کو آٹھ حصوں میں تقسیم کیا ہے جن کو آٹھ حصوں کہلاتے ہیں۔ تین بعدی ریاضیات میں ایک نقطہ $P$ کے محددی ہمیشہ ایسے سہ تاریکی کے شکل میں لکھا جاتا ہے جیسے $(x, y, z)$۔ یہاں $x, y$ اور $z$ YZ، ZX اور XY-طاقتوں سے علیحدہ طور پر دوریوں کہلاتے ہیں۔

(i) $x$-محور پر کوئی بھی نقطہ $(x, 0,0)$ کی شکل میں ہوتا ہے۔

(ii) $y$-محور پر کوئی بھی نقطہ $(0, y, 0)$ کی شکل میں ہوتا ہے۔

(iii) $z$-محور پر کوئی بھی نقطہ $(0,0, z)$ کی شکل میں ہوتا ہے۔

دو نقطوں $P(x_1, y_1, z_1)$ اور $Q(x_2, y_2, z_2)$ کے درمیان دوری درج ذیل میں ملتی ہے

$$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $$

تاریخی نوٹ

رینے ڈیکارٹس (1596-1650)، تحلیلی ریاضیات کے ماں باپ، عملی طور پر صرف ایک طاقے کے ریاضیات کے ساتھ سامنے آتے ہیں 1637۔ اسی طرح پییر اور ڈیکارٹس کے ساتھ ساتھ پییر فرما (1601-1665) اور لا ہائر (1640-1718) کے ذمہ داریوں میں بھی یہی ہے۔ اگرچہ ان کے کاموں میں تین بعدی محددی ریاضیات کے بدلہ کے لیے تجویزات مل سکتے ہیں لیکن کوئی تفصیل نہیں۔ ڈیکارٹس کے پاس تین بعدی محددی کے مفاہمے کا مفہم تھا لیکن اسے تیزی سے تجویز نہیں کیا تھا۔ جے۔ برنولی (1667-1748) 1715 میں لیبنیٹس کے ساتھ ایک تحریر میں آج ہمیں استعمال کرنے والے سہ محددی طاقتوں کو مقدم کیا۔ اینٹوان پرینٹ (1666-1716)، پہلی بار فرانسیسی ایکیڈمی کے لیے ایک ورق میں 1700 میں تحلیلی جامد ریاضیات کے سسٹمیک تیاری کا ذمہ داری رکھتا ہے۔

ایل (1707-1783) 1748 میں اپنے “مقدمہ ریاضیات” کے دوسرے جلد کے اینڈیپینڈنس کے چھیڑ کے 5 میں تین بعدی محددی ریاضیات کے سسٹمیک ذریعے استعمال کیا۔

1950 کے درمیان تک ریاضیات کو تین سے زیادہ بعدی فضا میں چھوڑ دیا نہیں جاتا تھا، جس کا ایسے جاہز کا استعمال ایسے ہوا جو آئنشٹائن کی نسبت کا نظریہ میں زمانے کے فضا کے کنٹینیم میں ہے۔