کیلکولس کو کلید کے طور پر استعمال کرتے ہوئے، ریاضی کو فطرت کے عمل کی وضاحت کے لیے کامیابی سے لاگو کیا جا سکتا ہے - وائٹ ہیڈ

12.1 تعارف

یہ باب کیلکولس کا تعارف ہے۔ کیلکولس ریاضی کی وہ شاخ ہے جو بنیادی طور پر ڈومین کے نقاط کے بدلنے کے ساتھ فنکشن کی قدر میں تبدیلی کے مطالعہ سے متعلق ہے۔ پہلے، ہم مشتق کا ایک بدیہی تصور دیتے ہیں (بغیر اس کی تعریف کے)۔ پھر ہم حد کی ایک سادہ تعریف دیتے ہیں اور حدود کے کچھ الجبرا کا مطالعہ کرتے ہیں۔ پھر ہم مشتق کی تعریف پر واپس آتے ہیں اور مشتقات کے کچھ الجبرا کا مطالعہ کرتے ہیں۔ ہم کچھ معیاری افعال کے مشتقات بھی حاصل کرتے ہیں۔

سر آئزک نیوٹن (1642-1727 عیسوی)

12.2 مشتقات کا بدیہی تصور

طبیعیاتی تجربات نے تصدیق کی ہے کہ ایک اونچی چٹان سے چھوڑا گیا جسم سر آئزک نیوٹن $(1642-1727)$ $t$ سیکنڈ میں $4.9 t^{2}$ میٹر کا فاصلہ طے کرتا ہے، یعنی، وقت $t$ کے سیکنڈوں میں جسم کے ذریعے طے شدہ فاصلہ $s$ میٹر میں $s=4.9 t^{2}$ کے طور پر دیا جاتا ہے۔

متصل جدول 13.1 ایک اونچی چٹان سے چھوڑے گئے جسم کے سیکنڈوں میں وقت کے مختلف وقفوں پر میٹر میں طے شدہ فاصلہ دیتا ہے۔

مقصد اس ڈیٹا سے وقت $t=2$ سیکنڈ پر جسم کی رفتار معلوم کرنا ہے۔ اس مسئلے کو حل کرنے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ $t=2$ سیکنڈ پر ختم ہونے والے وقت کے مختلف وقفوں کے لیے اوسط رفتار معلوم کریں اور امید کریں کہ یہ $t=2$ سیکنڈ پر رفتار پر کچھ روشنی ڈالیں گے۔

$t=t_1$ اور $t=t_2$ کے درمیان اوسط رفتار $t=t_l$ اور $t=t_2$ سیکنڈ کے درمیان طے شدہ فاصلے کے برابر ہے جسے $(t_2-t_1)$ سے تقسیم کیا گیا ہے۔ لہذا پہلے دو سیکنڈ میں اوسط رفتار

$$ \begin{aligned} & =\frac{\text{ Distance travelled between } t_2=2 \text{ and } t_1=0}{\text{ Time interval }(t_2-t_1)} \\ & =\frac{(19.6-0) m}{(2-0) s}=9.8 m / s . \end{aligned} $$

اسی طرح، $t=1$ اور $t=2$ کے درمیان اوسط رفتار ہے

$$ \frac{(19.6-4.9) m}{(2-1) s}=14.7 m / s $$

اسی طرح ہم مختلف $t_1$ کے لیے $t=t_1$ اور $t=2$ کے درمیان اوسط رفتار کا حساب لگاتے ہیں۔ مندرجہ ذیل جدول 13.2 $(v), t=t_1$ سیکنڈ اور $t=2$ سیکنڈ کے لیے اوسط رفتار دیتا ہے۔

جدول 12.1

جدول 12.2

جدول 12.2 سے، ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ اوسط رفتار بتدریج بڑھ رہی ہے۔ جیسے جیسے ہم $t=2$ پر ختم ہونے والے وقت کے وقفوں کو چھوٹا کرتے ہیں، ہم دیکھتے ہیں کہ ہمیں $t=2$ پر رفتار کا بہتر اندازہ ہوتا ہے۔ یہ امید کرتے ہوئے کہ 1.99 سیکنڈ اور 2 سیکنڈ کے درمیان واقعی کچھ ڈرامائی نہیں ہوتا، ہم نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ $t=2$ سیکنڈ پر اوسط رفتار $19.551 m / s$ سے تھوڑی زیادہ ہے۔

حساب کے مندرجہ ذیل سیٹ سے یہ نتیجہ کسی حد تک مضبوط ہوتا ہے۔ $t=2$ سیکنڈ سے شروع ہونے والے وقت کے مختلف وقفوں کے لیے اوسط رفتار کا حساب لگائیں۔ پہلے کی طرح اوسط رفتار $v$ $t=2$ سیکنڈ اور $t=t_2$ سیکنڈ کے درمیان ہے

$ \begin{aligned} & =\frac{\text{ 2 سیکنڈ اور } t_2 \text{ سیکنڈ کے درمیان طے شدہ فاصلہ }}{t_2-2} \\ & =\frac{\text{ } t_2 \text{ سیکنڈ میں طے شدہ فاصلہ }- \text{ 2 سیکنڈ میں طے شدہ فاصلہ }}{t_2-2} \end{aligned} $

$ =\frac{\text{ } t_2 \text{ سیکنڈ میں طے شدہ فاصلہ }-19.6}{t_2-2} $

مندرجہ ذیل جدول 12.3 $t=2$ سیکنڈ اور $t_2$ سیکنڈ کے درمیان میٹر فی سیکنڈ میں اوسط رفتار $v$ دیتا ہے۔

جدول 12.3

یہاں بھی ہم نوٹ کرتے ہیں کہ اگر ہم $t=2$ سے شروع ہونے والے چھوٹے وقت کے وقفے لیں، تو ہمیں $t=2$ پر رفتار کا بہتر اندازہ ہوتا ہے۔

حساب کے پہلے سیٹ میں، جو ہم نے کیا ہے وہ $t=2$ پر ختم ہونے والے بڑھتے ہوئے وقت کے وقفوں میں اوسط رفتار معلوم کرنا ہے اور پھر امید کرنا ہے کہ $t=2$ سے پہلے کچھ ڈرامائی نہیں ہوتا۔ حساب کے دوسرے سیٹ میں، ہم نے $t=2$ پر ختم ہونے والے وقت کے وقفوں میں گھٹتی ہوئی اوسط رفتار معلوم کی ہے اور پھر امید کی ہے کہ $t=2$ کے بعد کچھ ڈرامائی نہیں ہوتا۔ خالصتاً طبیعیاتی بنیادوں پر، اوسط رفتار کے یہ دونوں سلسلے ایک مشترک حد تک پہنچنے چاہئیں۔ ہم محفوظ طریقے سے نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں کہ $t=2$ پر جسم کی رفتار $19.551 m / s$ اور $19.649 m / s$ کے درمیان ہے۔ تکنیکی طور پر، ہم کہتے ہیں کہ $t=2$ پر فوری رفتار $19.551 m / s$ اور $19.649 m / s$ کے درمیان ہے۔ جیسا کہ معروف ہے، رفتار جابجائی کی تبدیلی کی شرح ہے۔ لہذا جو ہم نے حاصل کیا ہے وہ مندرجہ ذیل ہے۔ مختلف وقتوں پر طے شدہ فاصلے کے دیے گئے ڈیٹا سے ہم نے وقت کے ایک مخصوص لمحے پر فاصلے کی تبدیلی کی شرح کا تخمینہ لگایا ہے۔ ہم کہتے ہیں کہ فاصلے کے فنکشن $s=4.9 t^{2}$ کا مشتق $t=2$ پر 19.551 اور 19.649 کے درمیان ہے۔

اس حدی عمل کو دیکھنے کا ایک متبادل طریقہ شکل 12.1 میں دکھایا گیا ہے۔ یہ چٹان کی چوٹی سے جسم کے فاصلے $s$ بمقابلہ گزرے ہوئے وقت $t$ کا پلاٹ ہے۔ حد میں جیسے وقت کے وقفوں کا سلسلہ $h_1, h_2, \ldots$، صفر تک پہنچتا ہے، اوسط رفتار کا سلسلہ اسی حد تک پہنچتا ہے جیسا کہ تناسبوں کا سلسلہ

شکل 12.1

$ \frac{C_1 B_1}{AC_1}, \frac{C_2 B_2}{AC_2}, \frac{C_3 B_3}{AC_3}, \ldots $

جہاں $C_1 B_1=s_1-s_0$ وقت کے وقفے $h_1=AC_1$ میں جسم کے ذریعے طے شدہ فاصلہ ہے، وغیرہ۔ شکل 12.1 سے یہ نتیجہ اخذ کرنا محفوظ ہے کہ یہ بعد کا سلسلہ منحنی خطوط کے نقطہ $A$ پر مماس کی ڈھلوان تک پہنچتا ہے۔ دوسرے الفاظ میں، فوری رفتار $v(t)$ وقت $t=2$ پر ایک جسم کی منحنی خطوط $s=4.9 t^{2}$ کے مماس کی ڈھلوان کے برابر ہے جو $t=2$ پر ہے۔

12.3 حدیں

مندرجہ بالا بحث واضح طور پر اس حقیقت کی طرف اشارہ کرتی ہے کہ ہمیں حدی عمل کو زیادہ وضاحت کے ساتھ سمجھنے کی ضرورت ہے۔ ہم حدود کے تصور سے کچھ واقفیت حاصل کرنے کے لیے کچھ واضح مثالوں کا مطالعہ کرتے ہیں۔

فنکشن $f(x)=x^{2}$ پر غور کریں۔ مشاہدہ کریں کہ جیسے $x$ 0 کے بہت قریب اقدار لیتا ہے، $f(x)$ کی قدر بھی 0 کی طرف بڑھتی ہے (دیکھیں باب 2 کی شکل 2.10)۔ ہم کہتے ہیں

$ \begin{aligned} \lim\limits_{x \to 0} f(x)=0 \end{aligned} $

($f(x)$ کی حد کے طور پر پڑھا جائے جیسا کہ $x$ صفر کی طرف رجحان رکھتا ہے صفر کے برابر)۔ $f(x)$ کی حد جیسا کہ $x$ صفر کی طرف رجحان رکھتا ہے اسے $f(x)$ کی قدر کے طور پر سوچا جانا چاہیے جو $x=0$ پر فرض کرے۔

عام طور پر جیسے $x \to a, f(x) \to l$، پھر $l$ فنکشن $f(x)$ کی حد کہلاتی ہے جسے علامتی طور پر $\lim\limits_{x \to a} f(x)=l$ لکھا جاتا ہے۔

مندرجہ ذیل فنکشن $g(x)=|x|, x \neq 0$ پر غور کریں۔ مشاہدہ کریں کہ $g(0)$ تعریف نہیں ہے۔ $x$ کی اقدار کے لیے $g(x)$ کی قدر کا حساب لگانا جو 0 کے بہت قریب ہیں، ہم دیکھتے ہیں کہ $g(x)$ کی قدر 0 کی طرف بڑھتی ہے۔ لہذا، $\lim\limits_{x \to 0} g(x)=0$۔ یہ $x \neq 0$ کے لیے $y=|x|$ کے گراف سے بدیہی طور پر واضح ہے۔ (دیکھیں باب 2 کی شکل 2.13)۔

مندرجہ ذیل فنکشن پر غور کریں۔

$ h(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}, x \neq 2 $

$x$ کی اقدار کے لیے $h(x)$ کی قدر کا حساب لگائیں جو 2 کے بہت قریب ہیں (لیکن 2 پر نہیں)۔ خود کو قائل کریں کہ یہ تمام اقدار 4 کے قریب ہیں۔ فنکشن $y=h(x)$ کے گراف پر غور کرنے سے یہ کسی حد تک مضبوط ہوتا ہے جو یہاں دیا گیا ہے (شکل 12.2)۔

شکل 12.2

ان تمام مثالوں میں، فنکشن کی قدر جو ایک مخصوص نقطہ $x=a$ پر فرض کرنی چاہیے واقعی اس پر منحصر نہیں تھی کہ $x$ $a$ کی طرف کیسے رجحان رکھتا ہے۔ نوٹ کریں کہ بنیادی طور پر دو طریقے ہیں جن سے $x$ ایک عدد $a$ کی طرف بڑھ سکتا ہے یا تو بائیں طرف سے یا دائیں طرف سے، یعنی، $x$ کی تمام اقدار $a$ کے قریب $a$ سے کم ہو سکتی ہیں یا $a$ سے زیادہ ہو سکتی ہیں۔ یہ قدرتی طور پر دو حدود کی طرف لے جاتا ہے - دائیں ہاتھ کی حد اور بائیں ہاتھ کی حد۔ فنکشن $f(x)$ کی دائیں ہاتھ کی حد $f(x)$ کی وہ قدر ہے جو $f(x)$ کی اقدار سے طے ہوتی ہے جب $x$ $a$ کی طرف دائیں طرف سے رجحان رکھتا ہے۔ اسی طرح، بائیں ہاتھ کی حد۔ اس کی وضاحت کے لیے، فنکشن پر غور کریں

$ f(x)= \begin{cases}1, & x \leq 0 \\ 2, & x>0\end{cases} $

اس فنکشن کا گراف شکل 12.3 میں دکھایا گیا ہے۔ یہ واضح ہے کہ 0 پر $f$ کی قدر $f(x)$ کی اقدار سے طے ہوتی ہے جہاں $x \leq 0$ 1 کے برابر ہے، یعنی، $f(x)$ کی بائیں ہاتھ کی حد 0 پر ہے $ \lim\limits_{x \to 0} f(x)=1 . $

اسی طرح، 0 پر $f$ کی قدر $f(x)$ کی اقدار سے طے ہوتی ہے جہاں $x>0$ 2 کے برابر ہے، یعنی، $f(x)$ کی دائیں ہاتھ کی حد 0 پر ہے

$ \lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x)=2 . $

اس صورت میں دائیں اور بائیں ہاتھ کی حدیں مختلف ہیں، اور اس لیے ہم کہتے ہیں کہ $f(x)$ کی حد جیسا کہ $x$ صفر کی طرف رجحان رکھتا ہے موجود نہیں ہے (حالانکہ فنکشن 0 پر تعریف شدہ ہے)۔

خلاصہ

ہم کہتے ہیں $\lim\limits_{x \to a^{-}} f(x)$ $f$ کی متوقع قدر ہے نقطہ $x=a$ پر جو $f$ کی اقدار سے دی گئی ہے جو $x$ کے قریب ہیں اور $a$ کے بائیں طرف ہیں۔ اس قدر کو $f$ کی بائیں ہاتھ کی حد کہتے ہیں نقطہ $a$ پر۔

ہم کہتے ہیں $\lim\limits_{x \to a^{+}} f(x)$ $f$ کی متوقع قدر ہے نقطہ $x=a$ پر جو $f$ کی اقدار سے دی گئی ہے جو $x$ کے قریب ہیں اور $a$ کے دائیں طرف ہیں۔ اس قدر کو $f(x)$ کی دائیں ہاتھ کی حد کہتے ہیں نقطہ $a$ پر۔

اگر دائیں اور بائیں ہاتھ کی حدیں ملتی ہیں، تو ہم اس مشترک قدر کو $f(x)$ کی حد کہتے ہیں نقطہ $x=a$ پر اور اسے $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ سے ظاہر کرتے ہیں۔

وضاحت 1 فنکشن $f(x)=x+10$ پر غور کریں۔ ہم اس فنکشن کی حد $x=5$ پر معلوم کرنا چاہتے ہیں۔ آئیے فنکشن $f(x)$ کی قدر کا حساب لگائیں $x$ کے لیے جو 5 کے بہت قریب ہیں۔ 5 کے قریب اور بائیں طرف کے کچھ نقاط $4.9,4.95,4.99,4.995 \ldots$، وغیرہ ہیں۔ ان نقاط پر فنکشن کی اقدار ذیل کے جدول میں درج ہیں۔ اسی طرح، حقیقی عدد 5.001،

5.01، 5.1 بھی 5 کے قریب اور دائیں طرف کے نقاط ہیں۔ ان نقاط پر فنکشن کی اقدار بھی جدول 12.4 میں دی گئی ہیں۔

جدول 12.4

جدول 12.4 سے، ہم نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ $f(x)$ کی قدر $x=5$ پر 14.995 سے زیادہ اور 15.001 سے کم ہونی چاہیے، یہ فرض کرتے ہوئے کہ $x=4.995$ اور 5.001 کے درمیان کچھ ڈرامائی نہیں ہوتا۔ یہ معقول ہے کہ فرض کیا جائے کہ $f(x)$ کی قدر $x=5$ پر جیسا کہ 5 کے بائیں طرف کے اعداد بتاتے ہیں 15 ہے، یعنی،

$$ \lim\limits_{x \to 5^{-}} f(x)=15 . $$

اسی طرح، جب $x$ دائیں طرف سے 5 کی طرف بڑھتا ہے، $f(x)$ قدر 15 لے رہا ہونا چاہیے، یعنی،

$$ \lim\limits_{x \to 5^{+}} f(x)=15 \text{. } $$

لہذا، یہ ممکن ہے کہ $f(x)$ کی بائیں ہاتھ کی حد اور $f(x)$ کی دائیں ہاتھ کی حد دونوں 15 کے برابر ہیں۔ اس طرح،

$$ \lim\limits_{x \to 5^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \to 5^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \to 5} f(x)=15 . $$

حد کے 15 کے برابر ہونے کے بارے میں یہ نتیجہ اس فنکشن کے گراف کو دیکھ کر کسی حد تک مضبوط ہوتا ہے جو باب 2 کی شکل 2.16 میں دیا گیا ہے۔ اس شکل میں، ہم نوٹ کرتے ہیں کہ جیسے $x$ دائیں یا بائیں طرف سے 5 کی طرف بڑھتا ہے، فنکشن $f(x)=x+10$ کا گراف نقطہ $(5,15)$ کی طرف بڑھتا ہے۔

ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ $x=5$ پر فنکشن کی قدر بھی اتفاقاً 15 کے برابر ہوتی ہے۔

وضاحت 2 فنکشن $f(x)=x^{3}$ پر غور کریں۔ آئیے اس فنکشن کی حد $x=1$ پر معلوم کرنے کی کوشش کریں۔ پچھلی صورت کی طرح آگے بڑھتے ہوئے، ہم $x$ پر $f(x)$ کی قدر کو 1 کے قریب جدول بندی کرتے ہیں۔ یہ جدول 12.5 میں دی گئی ہے۔

جدول 12.5

اس جدول سے، ہم نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ $f(x)$ کی قدر $x=1$ پر 0.997002999 سے زیادہ اور 1.003003001 سے کم ہونی چاہیے، یہ فرض کرتے ہوئے کہ $x=0.999$ اور 1.001 کے درمیان کچھ ڈرامائی نہیں ہوتا۔ یہ معقول ہے کہ فرض کیا جائے کہ $f(x)$ کی قدر $x=1$ پر جیسا کہ 1 کے بائیں طرف کے اعداد بتاتے ہیں 1 ہے، یعنی،

$$ \lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x)=1 \text{. } $$

اسی طرح، جب $x$ دائیں طرف سے 1 کی طرف بڑھتا ہے، $f(x)$ قدر 1 لے رہا ہونا چاہیے، یعنی،

$$ \lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x)=1 \text{. } $$

لہذا، یہ ممکن ہے کہ $f(x)$ کی بائیں ہاتھ کی حد اور $f(x)$ کی دائیں ہاتھ کی حد دونوں 1 کے برابر ہیں۔ اس طرح،

$$ \lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \to 1} f(x)=1 . $$

حد کے 1 کے برابر ہونے کے بارے میں یہ نتیجہ اس فنکشن کے گراف کو دیکھ کر کسی حد تک مضبوط ہوتا ہے جو باب 2 کی شکل 2.11 میں دیا گیا ہے۔ اس شکل میں، ہم نوٹ کرتے ہیں کہ جیسے $x$ دائیں یا بائیں طرف سے 1 کی طرف بڑھتا ہے، فنکشن $f(x)=x^{3}$ کا گراف نقطہ $(1,1)$ کی طرف بڑھتا ہے۔

ہم دوبارہ مشاہدہ کرتے ہیں کہ $x=1$ پر فنکشن کی قدر بھی اتفاقاً 1 کے برابر ہوتی ہے۔

وضاحت 3 فنکشن $f(x)=3 x$ پر غور کریں۔ آئیے اس فنکشن کی حد $x=2$ پر معلوم کرنے کی کوشش کریں۔ مندرجہ ذیل جدول 12.6 اب خود وضاحتی ہے۔

جدول 12.6

پہلے کی طرح ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ جیسے $x$ بائیں یا دائیں طرف سے 2 کی طرف بڑھتا ہے، $f(x)$ کی قدر 6 کی طرف بڑھتی دکھائی دیتی ہے۔ ہم اسے اس طرح ریکارڈ کرتے ہیں

$$ \lim\limits_{x \to 2^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \to 2^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \to 2} f(x)=6 $$

اس کا گراف شکل 12.4 میں دکھایا گیا ہے جو اس حقیقت کو مضبوط کرتا ہے۔

شکل 12.4

یہاں بھی ہم نوٹ کرتے ہیں کہ $x=2$ پر فنکشن کی قدر $x=2$ پر حد سے ملتی ہے۔

وضاحت 4 مستقل فنکشن $f(x)=3$ پر غور کریں۔ آئیے اس کی حد $x=2$ پر معلوم کرنے کی کوشش کریں۔ یہ فنکشن مستقل فنکشن ہونے کے ناطے ہر جگہ ایک ہی قدر (اس صورت میں 3) لیتا ہے، یعنی، 2 کے قریب نقاط پر اس کی قدر 3 ہے۔ لہذا

$ \lim\limits_{x \to 2} f(x)=\lim\limits_{x \to 2^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \to 2} f(x)=3 $

$f(x)=3$ کا گراف ویسے بھی $x$-محور کے متوازی خط ہے جو $(0,3)$ سے گزرتا ہے اور باب 2 کی شکل 2.9 میں دکھایا گیا ہے۔ اس سے بھی یہ واضح ہے کہ مطلوبہ حد 3 ہے۔ درحقیقت، یہ آسانی سے مشاہدہ کیا جاتا ہے کہ $\lim\limits_{x \to a} f(x)=3$ کسی بھی حقیقی عدد $a$ کے لیے۔

وضاحت 5 فنکشن $f(x)=x^{2}+x$ پر غور کریں۔ ہم $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ معلوم کرنا چاہتے ہیں۔ ہم $x=1$ کے قریب $f(x)$ کی اقدار کو جدول 12.7 میں جدول بندی کرتے ہیں۔

جدول 12.7

اس سے یہ معقول ہے کہ نتیجہ اخذ کیا جائے کہ $\lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \to 1} f(x)=2$۔

$f(x)=x^{2}+x$ کے گراف سے جو شکل 12.5 میں دکھایا گیا ہے، یہ واضح ہے کہ جیسے $x$ 1 کی طرف بڑھتا ہے، گراف $(1,2)$ کی طرف بڑھتا ہے۔

شکل 12.5

یہاں، ہم دوبارہ مشاہدہ کرتے ہیں کہ

$ \lim\limits_{x \to 1} f(x)=f(1) $

اب، مندرجہ ذیل تین حقائق سے خود کو قائل کریں:

$ \lim\limits_{x \to 1} x^{2}=1, \lim\limits_{x \to 1} x=1 \text{ اور } \lim\limits_{x \to 1} x+1=2 $

پھر $ \quad\quad\quad\quad \lim\limits_{x \to 1} x^{2}+\lim\limits_{x \to 1} x=1+1=2=\lim\limits_{x \to 1}[x^{2}+x] \text{. } $

اور $ \quad\quad\quad\quad\lim\limits_{x \to 1} x . \lim\limits_{x \to 1}(x+1)=1 \cdot 2=2=\lim\limits_{x \to 1}[x(x+1)]=\lim\limits_{x \to 1}[x^{2}+x] . $

وضاحت 6 فنکشن $f(x)=\sin x$ پر غور کریں۔ ہم $\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \sin x$ میں دلچسپی رکھتے ہیں، جہاں زاویہ ریڈین میں ناپا جاتا ہے۔

یہاں، ہم $\frac{\pi}{2}$ کے قریب $f(x)$ کی (تقریبی) قدر کو جدول بندی کرتے ہیں (جدول 12.8)۔ اس سے، ہم نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں کہ

$ \lim\limits_{x \to \frac{\pi^{-}}{2}} f(x)=\lim\limits_{x \to \frac{\pi^{+}}{2}} f(x)=\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x)=1 $

مزید برآں، یہ $f(x)=\sin x$ کے گراف سے حمایت حاصل کرتا ہے جو باب 3 کی شکل 3.8 میں دیا گیا ہے۔ اس صورت میں بھی، ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ $\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \sin x=1$۔

جدول 12.8

وضاحت 7 فنکشن $f(x)=x+\cos x$ پر غور کریں۔ ہم $\lim\limits_{x \to 0} f(x)$ معلوم کرنا چاہتے ہیں۔ یہاں ہم 0 کے قریب $f(x)$ کی (تقریبی) قدر کو جدول بندی کرتے ہیں (جدول 12.9)۔

جدول 12.9

جدول 12.9 سے، ہم نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں کہ

$ \lim\limits_{x \to 0^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \to 0} f(x)=1 $

اس صورت میں بھی، ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ $\lim\limits_{x \to 0} f(x)=f(0)=1$۔

اب، کیا آپ خود کو قائل کر سکتے ہیں کہ

$ \lim\limits_{x \to 0}[x+\cos x]=\lim\limits_{x \to 0} x+\lim\limits_{x \to 0} \cos x \text{ واقعی سچ ہے؟ } $

وضاحت 8 فنکشن $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ پر غور کریں $x>0$ کے لیے۔ ہم $\lim\limits_{x \to 0} f(x)$ جاننا چاہتے ہیں۔

یہاں، مشاہدہ کریں کہ فنکشن کا ڈومین تمام مثبت حقیقی اعداد دیا گیا ہے۔ لہذا، جب ہم $f(x)$ کی اقدار کو جدول بندی کرتے ہیں، تو $x$ کے بائیں طرف سے 0 کی طرف بڑھنے کی بات کرنا معنی نہیں رکھتا۔ ذیل میں ہم مثبت $x$ کے لیے فنکشن کی اقدار کو جدول بندی کرتے ہیں جو 0 کے قریب ہیں (اس جدول میں $n$ کسی بھی مثبت عدد کو ظاہر کرتا ہے)۔

ذیل میں دیے گئے جدول 12.10 سے، ہم دیکھتے ہیں کہ جیسے $x$ $0, f(x)$ کی طرف رجحان رکھتا ہے، $f(x)$ بڑا اور بڑا ہوتا جاتا ہے۔ ہمارا یہاں مطلب یہ ہے کہ $f(x)$ کی قدر کسی بھی دیے گئے عدد سے زیادہ بنائی جا سکتی ہے۔

جدول 12.10

ریاضیاتی طور پر، ہم کہتے ہیں

$ \lim\limits_{x \to 0} f(x)=+\infty $

ہم یہ بھی تبصرہ کرتے ہیں کہ ہم اس کورس میں اس طرح