“شماریات کو اوسط اور ان کے تخمینوں کا علم کہا جا سکتا ہے۔” - اے ایل بوولے اور اے ایل بوڈنگٹن

تعارف

ہم جانتے ہیں کہ شماریات مخصوص مقاصد کے لیے جمع کردہ ڈیٹا سے متعلق ہے۔ ہم اس کا تجزیہ اور تشریح کر کے ڈیٹا کے بارے میں فیصلے کر سکتے ہیں۔ پچھلی کلاسوں میں، ہم نے ڈیٹا کو گرافیکی اور جدولی شکل میں پیش کرنے کے طریقے پڑھے ہیں۔ یہ نمائندگی ڈیٹا کی کچھ نمایاں خصوصیات یا خواص کو ظاہر کرتی ہے۔ ہم نے دیے گئے ڈیٹا کے لیے ایک نمائندہ قدر تلاش کرنے کے طریقے بھی پڑھے ہیں۔ اس قدر کو مرکزی رجحان کا پیمانہ کہتے ہیں۔ یاد رکھیں کہ اوسط (حسابی اوسط)، میڈین اور موڈ مرکزی رجحان کے تین پیمانے ہیں۔ مرکزی رجحان کا ایک پیمانہ ہمیں ایک سرسری خیال دیتا ہے کہ ڈیٹا پوائنٹس کہاں مرتکز ہیں۔ لیکن، ڈیٹا سے بہتر تشریح کرنے کے لیے،

کارل پیئرسن (1857-1936 عیسوی)

ہمیں یہ بھی ایک خیال ہونا چاہیے کہ ڈیٹا کس طرح منتشر ہے یا مرکزی رجحان کے پیمانے کے اردگرد کتنا گروہ بند ہے۔

اب دو بلے بازوں کے آخری دس میچوں میں بنائے گئے رنز پر غور کریں:

بلے باز A: $30,91,0,64,42,80,30,5,117,71$

بلے باز B: $53,46,48,50,53,53,58,60,57,52$

واضح طور پر، ڈیٹا کی اوسط اور میڈین ہیں:

یاد رکھیں کہ، ہم ڈیٹا کی اوسط (جسے $\bar{x}$ سے ظاہر کیا جاتا ہے) مشاہدات کی تعداد سے مشاہدات کے مجموعے کو تقسیم کر کے حساب کرتے ہیں، یعنی،

$ \bar{x}=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} x_i $

نیز، میڈین حاصل کرنے کے لیے پہلے ڈیٹا کو چڑھتے یا اترتے ترتیب میں ترتیب دیا جاتا ہے اور درج ذیل اصول لاگو کیا جاتا ہے۔

اگر مشاہدات کی تعداد طاق ہو، تو میڈین $(\frac{n+1}{2})^{\text{th }}$ واں مشاہدہ ہوتا ہے۔

اگر مشاہدات کی تعداد جفت ہو، تو میڈین $(\frac{n}{2})^{\text{th }}$ اور $(\frac{n}{2}+1)^{\text{th }}$ ویں مشاہدات کی اوسط ہوتی ہے۔

ہم پاتے ہیں کہ دونوں بلے بازوں $A$ اور B کے بنائے گئے رنز کی اوسط اور میڈین ایک جیسی ہیں یعنی 53۔ کیا ہم کہہ سکتے ہیں کہ دونوں کھلاڑیوں کی کارکردگی ایک جیسی ہے؟ واضح طور پر نہیں، کیونکہ بلے باز A کے اسکور میں تغیر 0 (کم از کم) سے 117 (زیادہ سے زیادہ) تک ہے۔ جبکہ بلے باز B کے بنائے گئے رنز کی رینج 46 سے 60 تک ہے۔

آئیے اب مذکورہ اسکورز کو نمبر لائن پر نقطوں کے طور پر پلاٹ کریں۔ ہمیں درج ذیل خاکے ملتے ہیں:

بلے باز A کے لیے

شکل 13.1

بلے باز B کے لیے

شکل 13.2

ہم دیکھ سکتے ہیں کہ بلے باز B سے متعلق نقطے ایک دوسرے کے قریب ہیں اور مرکزی رجحان کے پیمانے (اوسط اور میڈین) کے اردگرد گروہ بند ہیں، جبکہ بلے باز A سے متعلق نقطے منتشر یا زیادہ پھیلے ہوئے ہیں۔

اس طرح، مرکزی رجحان کے پیمانے کسی دیے گئے ڈیٹا کے بارے میں مکمل معلومات دینے کے لیے کافی نہیں ہیں۔ تغیر ایک اور عنصر ہے جس کا شماریات کے تحت مطالعہ کرنا ضروری ہے۔ ‘مرکزی رجحان کے پیمانوں’ کی طرح ہم تغیر کو بیان کرنے کے لیے ایک واحد عدد چاہتے ہیں۔ اس واحد عدد کو ‘تفرق کا پیمانہ’ کہتے ہیں۔ اس باب میں، ہم تفرق کے کچھ اہم پیمانوں اور ان کے حساب کے طریقے غیر گروہ بند اور گروہ بند ڈیٹا کے لیے سیکھیں گے۔

13.2 تفرق کے پیمانے

ڈیٹا میں تفرق یا انتشار کا اندازہ مشاہدات اور وہاں استعمال ہونے والے مرکزی رجحان کے پیمانے کی اقسام کی بنیاد پر کیا جاتا ہے۔ تفرق کے درج ذیل پیمانے ہیں:

(i) رینج، (ii) چوتی انحراف، (iii) اوسط انحراف، (iv) معیاری انحراف۔

اس باب میں، ہم چوتی انحراف کے علاوہ تفرق کے یہ تمام پیمانے پڑھیں گے۔

13.3 رینج

یاد رکھیں کہ، دو بلے بازوں A اور B کے بنائے گئے رنز کی مثال میں، ہمیں ہر سیریز میں کم از کم اور زیادہ سے زیادہ رنز کی بنیاد پر اسکورز میں تغیر کا کچھ اندازہ تھا۔ اس کے لیے ایک واحد عدد حاصل کرنے کے لیے، ہم ہر سیریز کی زیادہ سے زیادہ اور کم از کم اقدار کا فرق نکالتے ہیں۔ اس فرق کو ڈیٹا کی ‘رینج’ کہتے ہیں۔

بلے باز A کے معاملے میں، رینج $=117-0=117$ اور بلے باز B کے لیے، رینج $=60-46=14$۔ واضح طور پر، A کی رینج $>$ B کی رینج سے۔ لہذا، اسکور A کے معاملے میں منتشر یا پھیلے ہوئے ہیں جبکہ B کے لیے یہ ایک دوسرے کے قریب ہیں۔

اس طرح، کسی سیریز کی رینج $=$ زیادہ سے زیادہ قدر - کم از کم قدر۔

ڈیٹا کی رینج ہمیں تغیر یا انتشار کا ایک سرسری خیال دیتی ہے لیکن مرکزی رجحان کے پیمانے سے ڈیٹا کے تفرق کے بارے میں نہیں بتاتی۔ اس مقصد کے لیے، ہمیں تغیر کا کچھ اور پیمانہ درکار ہے۔ واضح طور پر، ایسا پیمانہ اقدار کے مرکزی رجحان سے فرق (یا انحراف) پر منحصر ہونا چاہیے۔

تفرق کے اہم پیمانے، جو مشاہدات کے مرکزی رجحان سے انحراف پر منحصر ہیں، اوسط انحراف اور معیاری انحراف ہیں۔ آئیے ان پر تفصیل سے بات کرتے ہیں۔

13.4 اوسط انحراف

یاد رکھیں کہ کسی مشاہدے $x$ کا ایک مقررہ قدر ‘$a$’ سے انحراف فرق $x-a$ ہے۔ $x$ کی اقدار کے مرکزی قدر ‘$a$’ سے تفرق معلوم کرنے کے لیے، ہم $a$ کے بارے میں انحرافات نکالتے ہیں۔ تفرق کا ایک مطلق پیمانہ ان انحرافات کی اوسط ہے۔ اوسط معلوم کرنے کے لیے، ہمیں انحرافات کا مجموعہ حاصل کرنا ہوگا۔ لیکن، ہم جانتے ہیں کہ مرکزی رجحان کا پیمانہ مشاہدات کے سیٹ کی زیادہ سے زیادہ اور کم از کم اقدار کے درمیان ہوتا ہے۔ لہذا، کچھ انحراف منفی اور کچھ مثبت ہوں گے۔ اس طرح، انحرافات کا مجموعہ ختم ہو سکتا ہے۔ مزید برآں، اوسط $(\bar{x})$ سے انحرافات کا مجموعہ صفر ہوتا ہے۔

نیز $\quad \quad \quad $ انحرافات کی اوسط $=\frac{\text{ Sum of deviations }}{\text{ Number of observations }}=\frac{0}{n}=0$

اس طرح، تفرق کے پیمانے کے حوالے سے، اوسط کے بارے میں انحرافات کی اوسط معلوم کرنا ہمارے لیے کسی کام کی نہیں ہے۔

یاد رکھیں کہ، تفرق کے ایک مناسب پیمانے کو تلاش کرنے میں، ہمیں ہر قدر کا مرکزی رجحان یا ایک مقررہ عدد ‘$a$’ سے فاصلہ درکار ہوتا ہے۔ یاد رکھیں کہ دو اعداد کے فرق کی مطلق قدر نمبر لائن پر ظاہر کرنے پر اعداد کے درمیان فاصلہ دیتی ہے۔ اس طرح، ایک مقررہ عدد ‘$a$’ سے تفرق کا پیمانہ معلوم کرنے کے لیے ہم مرکزی قدر سے انحرافات کی مطلق اقدار کی اوسط لے سکتے ہیں۔ اس اوسط کو ‘اوسط انحراف’ کہتے ہیں۔ اس طرح مرکزی قدر ‘$a$’ کے بارے میں اوسط انحراف مشاہدات کے ‘$a$’ سے انحرافات کی مطلق اقدار کی اوسط ہے۔ ‘$a$’ سے اوسط انحراف کو M.D. (a) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ لہذا،

$ \text{ M.D. }(a)=\frac{\text{ ‘a’ سے انحرافات کی مطلق اقدار کا مجموعہ }}{\text{ مشاہدات کی تعداد }} . $

تبصرہ اوسط انحراف مرکزی رجحان کے کسی بھی پیمانے سے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ تاہم، اوسط اور میڈین سے اوسط انحراف شماریاتی مطالعات میں عام طور پر استعمال ہوتے ہیں۔

13.4.1 غیر گروہ بند ڈیٹا کے لیے اوسط انحراف

فرض کریں $n$ مشاہدات $x_1, x_2, x_3, \ldots ., x_n$ ہیں۔ اوسط یا میڈین کے بارے میں اوسط انحراف کے حساب میں درج ذیل مراحل شامل ہیں:

مرحلہ 1 مرکزی رجحان کا وہ پیمانہ حساب کریں جس کے بارے میں ہمیں اوسط انحراف معلوم کرنا ہے۔ اسے ‘$a$’ مان لیں۔

مرحلہ 2 ہر $x_i$ کا $a$ سے انحراف معلوم کریں، یعنی، $x_1-a, x_2-a, x_3-a, \ldots, x_n-a$

مرحلہ 3 انحرافات کی مطلق اقدار معلوم کریں، یعنی، منفی علامت (-) ہٹا دیں، اگر موجود ہو، یعنی، $|x_1-a|,|x_2-a|,|x_3-a|, \ldots .,|x_n-a|$

مرحلہ 4 انحرافات کی مطلق اقدار کی اوسط معلوم کریں۔ یہ اوسط $a$ کے بارے میں اوسط انحراف ہے، یعنی،

$ \text{ M.D. }(a)=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}|x_i-a|}{n} $

اس طرح $\quad\quad\quad$ M.D. $(\bar{x})=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}|x_i-\bar{x}|$، جہاں $\bar{x}=$ اوسط

اور $\quad\quad\quad$ M.D. $(M)=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}|x_i-M|$، جہاں $M=$ میڈین

نوٹ - اس باب میں، ہم میڈین کو ظاہر کرنے کے لیے علامت M استعمال کریں گے جب تک کہ کچھ اور بیان نہ کیا گیا ہو۔

آئیے اب درج ذیل مثالوں میں مذکورہ طریقے کے مراحل کو واضح کریں۔

مثال 1 درج ذیل ڈیٹا کے لیے اوسط کے بارے میں اوسط انحراف معلوم کریں:

$ 6,7,10,12,13,4,8,12 $

حل ہم مرحلہ وار آگے بڑھتے ہیں اور درج ذیل حاصل کرتے ہیں:

مرحلہ 1 دیے گئے ڈیٹا کی اوسط ہے

$ \bar{x}=\frac{6+7+10+12+13+4+8+12}{8}=\frac{72}{8}=9 $

مرحلہ 2 متعلقہ مشاہدات کا اوسط $\bar{x}$ سے انحراف، یعنی، $x_i-\bar{x}$ ہیں

$\quad\quad\quad\quad 6-9,7-9,10-9,12-9,13-9,4-9,8-9,12-9$,

یا $ \quad\quad\quad\quad -3,-2,1,3,4,-5,-1,3 $

مرحلہ 3 انحرافات کی مطلق اقدار، یعنی، $|x_i-\bar{x}|$ ہیں

$ 3,2,1,3,4,5,1,3 $

مرحلہ 4 اوسط کے بارے میں مطلوبہ اوسط انحراف ہے

$ \text{ M.D. } \begin{aligned} (\bar{x}) & =\frac{\sum\limits_{i=1}^{8}|x_i-\bar{x}|}{8} \\ & =\frac{3+2+1+3+4+5+1+3}{8}=\frac{22}{8}=2.75 \end{aligned} $

نوٹ - ہر بار مراحل کو دہرانے کے بجائے، ہم حوالہ دیے بغیر مرحلہ وار حساب کتاب جاری رکھ سکتے ہیں۔

مثال 2 درج ذیل ڈیٹا کے لیے اوسط کے بارے میں اوسط انحراف معلوم کریں:

$ 12,3,18,17,4,9,17,19,20,15,8,17,2,3,16,11,3,1,0,5 $

حل ہمیں پہلے دیے گئے ڈیٹا کی اوسط $(\bar{x})$ معلوم کرنی ہوگی

$ \bar{x}=\frac{1}{20} \sum\limits_{i=1}^{20} x_i=\frac{200}{20}=10 $

اوسط سے انحرافات کی متعلقہ مطلق اقدار، یعنی، $|x_i-\bar{x}|$ ہیں

$ 2,7,8,7,6,1,7,9,10,5,2,7,8,7,6,1,7,9,10,5 $

لہذا $\quad \sum\limits_{i=1}^{20}|x_i-\bar{x}|=124$

اور $ \quad\quad\quad\quad\text{ M.D. }(\bar{x})=\frac{124}{20}=6.2 $

مثال 3 درج ذیل ڈیٹا کے لیے میڈین کے بارے میں اوسط انحراف معلوم کریں:

$ 3,9,5,3,12,10,18,4,7,19,21 \text{. } $

حل یہاں مشاہدات کی تعداد 11 ہے جو طاق ہے۔ ڈیٹا کو چڑھتے ترتیب میں ترتیب دے کر، ہمارے پاس $3,3,4,5,7,9,10,12,18,19,21$ ہے

اب

$ \text{ میڈین }=(\frac{11+1}{2})^{\text{واں }} \text{ یا } 6^{\text{واں }} \text{ مشاہدہ }=9 $

میڈین سے متعلقہ انحرافات کی مطلق اقدار، یعنی، $|x_i-\mathbf{M}|$ ہیں $6,6,5,4,2,0,1,3,9,10,12$

لہذا $ \quad\quad\quad\quad\quad \sum\limits_{i=1}^{11}|x_i-M|=58 $

اور $ \quad\quad\quad\text{ M.D. }(M)=\frac{1}{11} \sum\limits_{i=1}^{11}|x_i-M|=\frac{1}{11} \times 58=5.27 $

13.4.2 گروہ بند ڈیٹا کے لیے اوسط انحراف

ہم جانتے ہیں کہ ڈیٹا کو دو طریقوں سے گروہ بند کیا جا سکتا ہے:

(الف) غیر مسلسل تعدد تقسیم، (ب) مسلسل تعدد تقسیم۔

آئیے دونوں اقسام کے ڈیٹا کے لیے اوسط انحراف معلوم کرنے کے طریقے پر بات کرتے ہیں۔

(الف) غیر مسلسل تعدد تقسیم فرض کریں دیا گیا ڈیٹا $n$ مختلف اقدار $x_1, x_2, \ldots, x_n$ پر مشتمل ہے جو بالترتیب تعدد $f_1, f_2, \ldots, f_n$ کے ساتھ واقع ہوتی ہیں۔ اس ڈیٹا کو جدولی شکل میں درج ذیل طور پر پیش کیا جا سکتا ہے، اور اسے غیر مسلسل تعدد تقسیم کہتے ہیں:

$ \begin{matrix} x: x_1 & x_2 & x_3 \ldots x_n \\ f: f_1 & f_2 & f_3 \ldots f_n \end{matrix} $

(i) اوسط کے بارے میں اوسط انحراف

سب سے پہلے ہم دیے گئے ڈیٹا کی اوسط $\bar{x}$ درج ذیل فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے معلوم کرتے ہیں

$ \bar{x}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} x_i f_i}{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} x_i f_i $

جہاں $\sum\limits_{i=1}^{n} x_i f_i$ مشاہدات $x_i$ اور ان کی متعلقہ تعدد $f_i$ کے حاصل ضرب کے مجموعے کو ظاہر کرتا ہے اور $N=\sum\limits_{i=1}^{n} f_i$ تعدد کا مجموعہ ہے۔

پھر، ہم مشاہدات $x_i$ کا اوسط $\bar{x}$ سے انحراف معلوم کرتے ہیں اور ان کی مطلق اقدار لیتے ہیں، یعنی، $|x_i-\bar{x}|$ تمام $i=1,2, \ldots, n$ کے لیے۔

اس کے بعد، انحرافات کی مطلق اقدار کی اوسط معلوم کریں، جو اوسط کے بارے میں مطلوبہ اوسط انحراف ہے۔ اس طرح

$ \quad\quad\text{ M.D. }(\bar{x})=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i|x_i-\bar{x}|}{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i|x_i-\bar{x}| $

(ii) میڈین کے بارے میں اوسط انحراف میڈین کے بارے میں اوسط انحراف معلوم کرنے کے لیے، ہم دی گئی غیر مسلسل تعدد تقسیم کی میڈین معلوم کرتے ہیں۔ اس کے لیے مشاہدات کو چڑھتے ترتیب میں ترتیب دیا جاتا ہے۔ اس کے بعد مجموعی تعدد حاصل کیے جاتے ہیں۔ پھر، ہم اس مشاہدے کی نشاندہی کرتے ہیں جس کی مجموعی تعدد $\frac{N}{2}$ کے برابر یا اس سے زیادہ قریب ترین ہو، جہاں $N$ تعدد کا مجموعہ ہے۔ مشاہدے کی یہ قدر ڈیٹا کے درمیان میں ہوتی ہے، لہذا، یہ مطلوبہ میڈین ہے۔ میڈین معلوم کرنے کے بعد، ہم میڈین سے انحرافات کی مطلق اقدار کی اوسط حاصل کرتے ہیں۔ اس طرح،

$ \text{ M.D.(M) }=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{n} f_i|x_i-M| $

مثال 4 درج ذیل ڈیٹا کے لیے اوسط کے بارے میں اوسط انحراف معلوم کریں:

حل آئیے دیے گئے ڈیٹا کی ایک جدول 13.1 بنائیں اور حساب کتاب کے بعد دیگر کالم شامل کریں۔

جدول 13.1

$ N=\sum\limits_{i=1}^{6} f_i=40, \quad \sum\limits_{i=1}^{6} f_i x_i=300, \quad \sum\limits_{i=1}^{6} f_i|x_i-\bar{x}|=92 $

لہذا $ \quad \quad \quad\bar{x}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{6} f_i x_i=\frac{1}{40} \times 300=7.5 $

اور $\quad \quad \quad$ M. D. $(\bar{x})=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{6} f_i|x_i-\bar{x}|=\frac{1}{40} \times 92=2.3$

مثال 5 درج ذیل ڈیٹا کے لیے میڈین کے بارے میں اوسط انحراف معلوم کریں:

حل دی گئی مشاہدات پہلے ہی چڑھتے ترتیب میں ہیں۔ دیے گئے ڈیٹا میں مجموعی تعدد کا ایک قطار شامل کر کے، ہم حاصل کرتے ہیں (جدول 13.2)۔

جدول 13.2

اب، $N=30$ جو جفت ہے۔

میڈین $15^{\text{th }}$ اور $16^{\text{th }}$ ویں مشاہدات کی اوسط ہے۔ یہ دونوں مشاہدات مجموعی تعدد 18 میں پڑتے ہیں، جس کے لیے متعلقہ مشاہدہ 13 ہے۔

لہذا، میڈین $M=\frac{15^{\text{th }} \text{ observation }+16^{\text{th }} \text{ observation }}{2}=\frac{13+13}{2}=13$

اب، میڈین سے انحرافات کی مطلق اقدار، یعنی، $|x_i-M|$ جدول 13.3 میں دکھائی گئی ہیں۔ ہمارے پاس ہے

جدول 13.3

$ \quad \quad \quad \quad \sum\limits_{i=1}^{8} f_i=30 \text{ اور } \sum\limits_{i=1}^{8} f_i|x_i-M|=149 $

لہذا

$ \begin{aligned} \text{ M. D. }(M) & =\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{8} f_i|x_i-M| \\ & =\frac{1}{30} \times 149=4.97 \end{aligned} $

(ب) مسلسل تعدد تقسیم ایک مسلسل تعدد تقسیم ایک ایسی سیریز ہے جس میں ڈیٹا کو ان کی متعلقہ تعدد کے ساتھ بغیر خلا کے مختلف طبقہ وقفوں میں درجہ بند کیا جاتا ہے۔

مثال کے طور پر، 100 طلبہ کے حاصل کردہ نمازوں کو ایک مسلسل تعدد تقسیم میں درج ذیل طور پر پیش کیا گیا ہے:

(i) اوسط کے بارے میں اوسط انحراف مسلسل تعدد تقسیم کی اوسط حساب کرتے وقت، ہم نے یہ فرض کیا تھا کہ ہر طبقہ میں تعدد اس کے وسطی نقطہ پر مرتکز ہوتی ہے۔ یہاں بھی، ہم ہر دیے گئے طبقہ کا وسطی نقطہ لکھتے ہیں اور اوسط انحراف معلوم کرنے کے لیے غیر مسلسل تعدد تقسیم کی طرح آگے بڑھتے ہیں۔

آئیے درج ذیل مثال لیں۔

مثال 6 درج ذیل ڈیٹا کے لیے اوسط کے بارے میں اوسط انحراف معلوم کریں۔

حل ہم دیے گئے ڈیٹا سے درج ذیل جدول 13.4 بناتے ہیں:

جدول 13.4

یہاں $ \quad \quad \quad N=\sum\limits_{i=1}^{7} f_i=40, \sum\limits_{i=1}^{7} f_i x_i=1800, \sum\limits_{i=1}^{7} f_i|x_i-\bar{x}|=400 $

لہذا $ \quad \quad \quad\bar{x}=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{7} f_i x_i=\frac{1800}{40}=45 $

اور $ \quad \quad \quad\text{ M.D. }(\bar{x})=\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^{7} f_i|x_i-\bar{x}|=\frac{1}{40} \times 400=10 $

اوسط کے بارے میں اوسط انحراف حساب کرنے کا مختصر طریقہ

ہم $\bar{x}$ کے حساب کتاب کی مشکل سے بچ سکتے ہیں مرحلہ انحراف طریقہ اپنا کر۔ یاد رکھیں کہ اس طریقے میں، ہم ایک مفروضہ اوسط لیتے ہیں جو ڈیٹا کے درمیان میں یا اس کے قریب ہوتی ہے۔ پھر مشاہدات (یا طبقات کے وسطی نقاط) کے انحرافات مفروضہ اوسط سے لیے جاتے ہیں۔ یہ نمبر لائن پر صفر سے مفروضہ اوسط تک مبدا کی منتقلی کے سوا کچھ نہیں ہے، جیسا کہ شکل 13.3 میں دکھایا گیا ہے۔

شکل 13.3

اگر تمام انحرافات کا ایک مشترک عامل ہے، تو ہم انہیں اس مشترک عامل سے تقسیم کرتے ہیں تاکہ انحرافات مزید آسان ہو جائیں۔ انہیں مرحلہ انحراف کہتے ہیں۔ مرحلہ انحراف لینے کا عمل نمبر لائن پر پیمانے کی تبدیلی ہے جیسا کہ شکل 13.4 میں دکھایا گیا ہے۔

انحرافات اور مرحلہ انحراف مشاہدات کے سائز کو کم کرتے ہیں، تاکہ حساب کتاب مثلاً ضرب وغیرہ آسان ہو جائیں۔ فرض کریں، نئی متغیر کو $d_i=\frac{x_i-a}{h}$ سے ظاہر کیا جاتا ہے، جہاں ‘$a$’ مفروضہ اوسط ہے اور $h$ مشترک عامل ہے۔ پھر، مرحلہ انحراف طریقے سے اوسط $\bar{x}$ درج ذیل طور پر دی جاتی ہے

$ \bar{x}=a+\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} f_i d_i}{N} \times h $

آئیے مثال 6 کا ڈیٹا لیں اور مرحلہ انحراف طریقہ استعمال کرتے ہوئے اوسط انحراف معلوم کریں۔

مفروضہ اوسط $a=45$ اور $h=10$ لیں، اور درج ذیل جدول 13.5 بنائیں۔

جدول 13.5

لہذا

$ \begin{aligned} & \bar{x}=a+\frac{\sum\limits_{i=1}^{7