جہاں ریاضیاتی استدلال حاصل کیا جا سکتا ہے، وہاں کسی دوسرے طریقے کا استعمال اتنی ہی بڑی حماقت ہے جتنی کہ اندھیرے میں کسی چیز کو ٹٹولنا، جب آپ کے ہاتھ میں موم بتی ہو۔ - جان آر بوتھ نوٹ

14.1 واقعہ

ہم نے تصادفی تجربے اور تجربے سے وابستہ نمونہ فضا کے بارے میں پڑھا ہے۔ نمونہ فضا تجربے سے متعلق تمام سوالات کے لیے ایک عالمگیر سیٹ کے طور پر کام کرتی ہے۔

سکے کو دو بار اچھالنے کے تجربے پر غور کریں۔ اس سے وابستہ نمونہ فضا $S=\{HH, HT, TH, TT\}$ ہے۔

اب فرض کریں کہ ہم ان نتائج میں دلچسپی رکھتے ہیں جو بالکل ایک سر کے ظہور سے مطابقت رکھتے ہیں۔ ہم پاتے ہیں کہ $HT$ اور $TH$ نمونہ فضا $S$ کے وہ واحد عناصر ہیں جو اس واقعہ کے وقوع سے مطابقت رکھتے ہیں۔ یہ دونوں عناصر سیٹ $E=\{HT, TH\}$ بناتے ہیں۔

ہم جانتے ہیں کہ سیٹ $E$ نمونہ فضا $S$ کا ایک ذیلی سیٹ ہے۔ اسی طرح، ہم واقعات اور S کے ذیلی سیٹوں کے درمیان مندرجہ ذیل مطابقت پاتے ہیں۔

مندرجہ بالا بحث سے پتہ چلتا ہے کہ نمونہ فضا کا ایک ذیلی سیٹ ایک واقعہ سے وابستہ ہوتا ہے اور ایک واقعہ نمونہ فضا کے ایک ذیلی سیٹ سے وابستہ ہوتا ہے۔ اس روشنی میں ہم واقعہ کی تعریف اس طرح کرتے ہیں۔

تعریف نمونہ فضا $S$ کا کوئی بھی ذیلی سیٹ $E$ ایک واقعہ کہلاتا ہے۔

14.1.1 کسی واقعہ کا وقوع

پانسہ پھینکنے کے تجربے پر غور کریں۔ فرض کریں $E$ اس واقعہ کو ظاہر کرتا ہے کہ “4 سے چھوٹی عدد ظاہر ہوتی ہے”۔ اگر درحقیقت پانسے پر ‘1’ ظاہر ہوا تھا تو ہم کہتے ہیں کہ واقعہ $E$ وقوع پذیر ہوا ہے۔ درحقیقت اگر نتائج 2 یا 3 ہوں، تو ہم کہتے ہیں کہ واقعہ $E$ وقوع پذیر ہوا ہے۔

اس طرح، نمونہ فضا $S$ کے واقعہ $E$ کو وقوع پذیر ہوا ہوا کہا جاتا ہے اگر تجربے کا نتیجہ $\omega$ ایسا ہو کہ $\omega \in E$۔ اگر نتیجہ $\omega$ ایسا ہو کہ $\omega \notin E$، تو ہم کہتے ہیں کہ واقعہ $E$ وقوع پذیر نہیں ہوا ہے۔

14.1.2 واقعات کی اقسام

واقعات کو ان کے عناصر کی بنیاد پر مختلف اقسام میں درجہ بندی کیا جا سکتا ہے۔

1. ناممکن اور یقینی واقعات خالی سیٹ $\phi$ اور نمونہ فضا $S$ واقعات کو بیان کرتے ہیں۔ درحقیقت $\phi$ کو ناممکن واقعہ کہا جاتا ہے اور S، یعنی پوری نمونہ فضا کو یقینی واقعہ کہا جاتا ہے۔

انہیں سمجھنے کے لیے آئیے پانسہ پھینکنے کے تجربے پر غور کریں۔ اس سے وابستہ نمونہ فضا ہے $ S=\{1,2,3,4,5,6\} $

فرض کریں $E$ وہ واقعہ ہے کہ “پانسے پر ظاہر ہونے والی عدد 7 کا ضربی ہے”۔ کیا آپ واقعہ $E$ سے وابستہ ذیلی سیٹ لکھ سکتے ہیں؟

واضح طور پر کوئی بھی نتیجہ واقعہ میں دی گئی شرط کو پورا نہیں کرتا، یعنی نمونہ فضا کا کوئی بھی عنصر واقعہ $E$ کے وقوع کو یقینی نہیں بناتا۔ اس طرح، ہم کہتے ہیں کہ خالی سیٹ صرف واقعہ $E$ سے مطابقت رکھتا ہے۔ دوسرے الفاظ میں ہم کہتے ہیں کہ پانسے کے اوپری رخ پر 7 کا ضربی ہونا ناممکن ہے۔ اس طرح، واقعہ $E=\phi$ ایک ناممکن واقعہ ہے۔

اب آئیے ایک اور واقعہ $F$ “طاق یا جفت عدد ظاہر ہوتا ہے” پر غور کریں۔ واضح طور پر $F=\{1,2,3,4,5,6\}=,S$، یعنی تجربے کے تمام نتائج واقعہ $F$ کے وقوع کو یقینی بناتے ہیں۔ اس طرح، واقعہ $F=S$ ایک یقینی واقعہ ہے۔

2. سادہ واقعہ اگر کسی واقعہ $E$ میں نمونہ فضا کا صرف ایک نمونہ نقطہ ہو، تو اسے سادہ (یا ابتدائی) واقعہ کہا جاتا ہے۔ ایسی نمونہ فضا میں جو $n$ متمایز عناصر رکھتی ہو، بالکل $n$ سادہ واقعات ہوتے ہیں۔

مثال کے طور پر دو سکے اچھالنے کے تجربے میں، ایک نمونہ فضا ہے

$$ S=\{HH, HT, TH, TT\} $$

اس نمونہ فضا سے مطابقت رکھنے والے چار سادہ واقعات ہیں۔ یہ ہیں

$$ E_1=\{HH\}, E_2=\{HT\}, E_3=\{TH\} \text{ and } E_4=\{TT\} $$

3. مرکب واقعہ اگر کسی واقعہ میں ایک سے زیادہ نمونہ نقاط ہوں، تو اسے مرکب واقعہ کہا جاتا ہے۔

مثال کے طور پر، “سکے کو تین بار اچھالنے” کے تجربے میں واقعات

E: ‘بالکل ایک سر ظاہر ہوا’

F: ‘کم از کم ایک سر ظاہر ہوا’

G: ‘زیادہ سے زیادہ ایک سر ظاہر ہوا’ وغیرہ۔

سب مرکب واقعات ہیں۔ ان واقعات سے وابستہ $S$ کے ذیلی سیٹ ہیں

$ \begin{aligned} & E=\{HTT, THT, TTH\} \\ & F=\{HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH, HHH\} \\ & G=\{TTT, \text{ THT, HTT, TTH }\} \end{aligned} $

مندرجہ بالا میں سے ہر ذیلی سیٹ میں ایک سے زیادہ نمونہ نقاط ہیں، لہذا یہ سب مرکب واقعات ہیں۔

14.1.3 واقعات کا الجبرا

سیٹس کے باب میں، ہم نے دو یا دو سے زیادہ سیٹوں کو ملا کر بنانے کے مختلف طریقوں کا مطالعہ کیا ہے، یعنی، اجتماع، تقاطع، فرق، سیٹ کا تکملہ وغیرہ۔ اسی طرح ہم دو یا زیادہ واقعات کو متعلقہ سیٹ علامات کا استعمال کرتے ہوئے ملا سکتے ہیں۔

فرض کریں A, B, C ایسے واقعات ہیں جو ایک تجربے سے وابستہ ہیں جس کی نمونہ فضا S ہے۔

1. تکمیلی واقعہ ہر واقعہ A کے لیے، ایک دوسرا واقعہ $A^{\prime}$ ہوتا ہے جسے $A$ کا تکمیلی واقعہ کہا جاتا ہے۔ اسے ‘نہیں $A$’ واقعہ بھی کہا جاتا ہے۔

مثال کے طور پر، ‘تین سکے اچھالنے’ کے تجربے کو لیں۔ اس سے وابستہ نمونہ فضا ہے $ S=\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\} $

فرض کریں $A=\{HTH, HHT, THH\}$ وہ واقعہ ہے کہ ‘صرف ایک پچھلا ظاہر ہوتا ہے’۔ واضح طور پر نتیجہ HTT کے لیے، واقعہ A وقوع پذیر نہیں ہوا ہے۔ لیکن ہم کہہ سکتے ہیں کہ واقعہ ‘نہیں A’ وقوع پذیر ہوا ہے۔ اس طرح، ہر اس نتیجے کے لیے جو A میں نہیں ہے، ہم کہتے ہیں کہ ‘نہیں A’ وقوع پذیر ہوتا ہے۔

اس طرح واقعہ A کا تکمیلی واقعہ ‘نہیں A’ ہے

$ A^{\prime}=\{HHH, HTT, THT, TTH, TTT\} $

یا $ \quad \quad \quad \quad A^{\prime}=\{\omega: \omega \in S \text{ اور } \omega \notin A\}=S-A . $

2. واقعہ ‘A یا B’ یاد رکھیں کہ دو سیٹوں A اور B کا اجتماع، جو A $\cup$ B سے ظاہر کیا جاتا ہے، ان تمام عناصر پر مشتمل ہوتا ہے جو یا تو A میں ہوں یا B میں ہوں یا دونوں میں۔

جب سیٹ $A$ اور $B$ کسی نمونہ فضا سے وابستہ دو واقعات ہوں، تو ‘A $\cup B$ B’ وہ واقعہ ہے ‘یا تو $A$ یا $B$ یا دونوں’۔ یہ واقعہ ‘A $\cup B$ B’ کو ‘A یا B’ بھی کہا جاتا ہے۔ لہذا

$ \begin{aligned} \text{ واقعہ }^{\prime} A \text{ یا } B^{\prime} & =A \cup B \\ & =\{\omega: \omega \in A \text{ یا } \omega \in B\} \end{aligned} $

3. واقعہ ‘A اور B’ ہم جانتے ہیں کہ دو سیٹوں $A \cap B$ کا تقاطع ان عناصر کا سیٹ ہے جو A اور B دونوں کے لیے مشترک ہیں۔ یعنی، جو ‘A اور B’ دونوں سے تعلق رکھتے ہیں۔

اگر $A$ اور $B$ دو واقعات ہوں، تو سیٹ $A \cap B$ واقعہ ‘$A$ اور $B$’ کو ظاہر کرتا ہے۔

اس طرح، $ \quad A \cap B=\{\omega: \omega \in A and \omega \in B\} $

مثال کے طور پر، ‘پانسے کو دو بار پھینکنے’ کے تجربے میں فرض کریں $A$ وہ واقعہ ہے کہ ‘پہلے پھینک پر اسکور چھ ہے’ اور B وہ واقعہ ہے کہ ‘دو اسکوروں کا مجموعہ کم از کم 11 ہے’ تو

$ A=\{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}, \text{ اور } B=\{(5,6),(6,5),(6,6)\} $

تو $\quad A \cap B=\{(6,5),(6,6)\}$

نوٹ کریں کہ سیٹ $A \cap B=\{(6,5),(6,6)\}$ اس واقعہ کو ظاہر کر سکتا ہے کہ ‘پہلے پھینک پر اسکور چھ ہے اور اسکوروں کا مجموعہ کم از کم 11 ہے’۔

4. واقعہ ‘A لیکن نہیں B’ ہم جانتے ہیں کہ A-B ان تمام عناصر کا سیٹ ہے جو A میں ہیں لیکن B میں نہیں ہیں۔ لہذا، سیٹ A-B واقعہ ‘A لیکن نہیں B’ کو ظاہر کر سکتا ہے۔ ہم جانتے ہیں کہ $ A-B=A \cap B^{\prime} $

مثال 1 پانسہ پھینکنے کے تجربے پر غور کریں۔ فرض کریں A وہ واقعہ ہے ‘مفرد عدد حاصل ہونا’، B وہ واقعہ ہے ‘طاق عدد حاصل ہونا’۔ ان سیٹوں کو لکھیں جو واقعات کو ظاہر کرتے ہیں (i) A یا B (ii) A اور B (iii) A لیکن نہیں B (iv) ‘نہیں A’۔

حل یہاں $\quad S=\{1,2,3,4,5,6\}, A=\{2,3,5\}$ اور $B=\{1,3,5\}$

ظاہر ہے

(i) ‘A یا B’ = A ∪ B = $B ‘=A \cup B=\{1,2,3,5\}$

(ii) ‘A اور B’ = A ∩ B = $A$

(iii) ‘A لیکن نہیں B’ = A – B = A ∩ B’ = $B$

(iv) ‘نہیں A’ = A’ = S – A = $A^{\prime}=A^{\prime}=\{1,4,6\}$

14.1.4 باہمی طور پر مخصوص واقعات

پانسہ پھینکنے کے تجربے میں، ایک نمونہ فضا $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ ہے۔ واقعات پر غور کریں، $A$ ‘طاق عدد ظاہر ہوتا ہے’ اور $B$ ‘جفت عدد ظاہر ہوتا ہے’

واضح طور پر واقعہ A واقعہ B کو خارج کرتا ہے اور اس کے برعکس۔ دوسرے الفاظ میں، کوئی ایسا نتیجہ نہیں ہے جو واقعات A اور B کے بیک وقت وقوع کو یقینی بناتا ہو۔ یہاں

$A=\{1,3,5\}$ اور $B=\{2,4,6\}$

واضح طور پر $A \cap B=\phi$، یعنی $A$ اور $B$ جدا سیٹ ہیں۔

عام طور پر، دو واقعات $A$ اور $B$ کو باہمی طور پر مخصوص واقعات کہا جاتا ہے اگر ان میں سے کسی ایک کا وقوع دوسرے واقعہ کے وقوع کو خارج کر دے، یعنی اگر وہ بیک وقت وقوع پذیر نہ ہو سکیں۔ اس صورت میں سیٹ A اور B جدا ہوتے ہیں۔

پھر پانسہ پھینکنے کے تجربے میں، واقعہ A ‘طاق عدد ظاہر ہوتا ہے’ اور واقعہ $B$ ‘4 سے چھوٹی عدد ظاہر ہوتی ہے’ پر غور کریں۔

ظاہر ہے $A=\{1,3,5\}$ اور $B=\{1,2,3\}$

اب $3 \in A$ اور ساتھ ہی $3 \in B$

لہذا، A اور B باہمی طور پر مخصوص واقعات نہیں ہیں۔

تبصرہ نمونہ فضا کے سادہ واقعات ہمیشہ باہمی طور پر مخصوص ہوتے ہیں۔

14.1.5 جامع واقعات

پانسہ پھینکنے کے تجربے پر غور کریں۔ ہمارے پاس $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ ہے۔ آئیے مندرجہ ذیل واقعات کی تعریف کریں

A: ‘4 سے چھوٹی عدد ظاہر ہوتی ہے’،

B: ‘2 سے بڑی لیکن 5 سے چھوٹی عدد ظاہر ہوتی ہے’

اور C: ‘4 سے بڑی عدد ظاہر ہوتی ہے’۔

پھر $A=\{1,2,3\}, B=\{3,4\}$ اور $C=\{5,6\}$۔ ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ

$$ A \cup B \cup C=\{1,2,3\} \cup\{3,4\} \cup\{5,6\}=S . $$

ایسے واقعات $A, B$ اور $C$ کو جامع واقعات کہا جاتا ہے۔ عام طور پر، اگر $E_1, E_2, \ldots, E_n$ نمونہ فضا $S$ کے $n$ واقعات ہوں اور اگر

$$ E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup \ldots \cup E_n=\bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i=S $$

تو $E_1, E_2, \ldots, E_n$ کو جامع واقعات کہا جاتا ہے۔ دوسرے الفاظ میں، واقعات $E_1, E_2, \ldots, E_n$ کو جامع کہا جاتا ہے اگر ان میں سے کم از کم ایک ضرور وقوع پذیر ہو جب بھی تجربہ کیا جائے۔

مزید، اگر $E_i \cap E_j=\phi$ ہو $i \neq j$ کے لیے یعنی واقعات $E_i$ اور $E_j$ جوڑے کے لحاظ سے جدا ہوں اور $\bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i=S$، تو واقعات $E_1, E_2, \ldots, E_n$ کو باہمی طور پر مخصوص اور جامع واقعات کہا جاتا ہے۔

اب ہم کچھ مثالیں دیکھتے ہیں۔

مثال 2 دو پانسے پھینکے جاتے ہیں اور پانسوں پر آنے والے اعداد کا مجموعہ نوٹ کیا جاتا ہے۔ آئیے اس تجربے سے وابستہ مندرجہ ذیل واقعات پر غور کریں

A: ‘مجموعہ جفت ہے’۔

B: ‘مجموعہ 3 کا ضربی ہے’۔

C: ‘مجموعہ 4 سے چھوٹا ہے’۔

$D$: ‘مجموعہ 11 سے بڑا ہے’۔

ان واقعات میں سے کون سے جوڑے باہمی طور پر مخصوص ہیں؟

حل نمونہ فضا $S=\{(x, y): x, y=1,2,3,4,5,6\}$ میں 36 عناصر ہیں۔

پھر $ A= \{(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4), (4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)\} $

$ B= \{(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(3,3),(2,4),(4,2),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4), (6,6)\} $

$ C= \{(1,1),(2,1),(1,2)\} \text{ and } D=\{(6,6)\} $

ہم پاتے ہیں کہ

$ A \cap B=\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,6)\} \neq \phi $

لہذا، $A$ اور $B$ باہمی طور پر مخصوص واقعات نہیں ہیں۔

اسی طرح $A \cap C \neq \phi, A \cap D \neq \phi, B \cap C \neq \phi$ اور $B \cap D \neq \phi$۔

اس طرح، واقعات کے جوڑے، $(A, C),(A, D),(B, C),(B, D)$ باہمی طور پر مخصوص واقعات نہیں ہیں۔

نیز $C \cap D=\phi$ اور اس طرح $C$ اور $D$ باہمی طور پر مخصوص واقعات ہیں۔

مثال 3 $A$ سکے کو تین بار اچھالا جاتا ہے، مندرجہ ذیل واقعات پر غور کریں۔

$\mathrm{A}$: ‘کوئی سر ظاہر نہیں ہوتا’، $\mathrm{B}$: ‘بالکل ایک سر ظاہر ہوتا ہے’ اور $\mathrm{C}$: ‘کم از کم دو سر ظاہر ہوتے ہیں’۔

کیا وہ باہمی طور پر مخصوص اور جامع واقعات کا سیٹ بناتے ہیں؟

حل تجربے کی نمونہ فضا ہے

$S=\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT \}$

اور $A=\{TTT\}, B=\{HTT, THT, TTH\}, C=\{HHT, HTH, THH, HHH\}$

اب $\mathrm{A} \cup \mathrm{B} \cup \mathrm{C}=\{\mathrm{TTT}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}, \mathrm{HHH}\}=\mathrm{S}$

لہذا، $A, B$ اور $C$ جامع واقعات ہیں۔

نیز، $\quad A \cap B=\phi, A \cap C=\phi$ اور $B \cap C=\phi$

لہذا، واقعات جوڑے کے لحاظ سے جدا ہیں، یعنی وہ باہمی طور پر مخصوص ہیں۔

لہذا، A, B اور C باہمی طور پر مخصوص اور جامع واقعات کا سیٹ بناتے ہیں۔

14.2 احتمال کا اصولیاتی نقطہ نظر

پچھلے حصوں میں، ہم نے تصادفی تجربات، نمونہ فضا اور ان تجربات سے وابستہ واقعات پر غور کیا ہے۔ ہم اپنی روزمرہ زندگی میں واقعات کے وقوع کے امکانات کے بارے میں بہت سے الفاظ استعمال کرتے ہیں۔ احتمال کا نظریہ ان واقعات کے وقوع یا عدم وقوع کے امکانات کو مقداری شکل دینے کی کوشش کرتا ہے۔

پچھلی کلاسوں میں، ہم نے کسی واقعہ کو احتمال تفویض کرنے کے کچھ طریقے پڑھے ہیں جب کل نتائج کی تعداد معلوم ہو۔

اصولیاتی نقطہ نظر احتمال تفویض کرنے کا ایک اور طریقہ ہے۔ اس نقطہ نظر میں کچھ اصول یا قواعد بیان کیے جاتے ہیں۔

فرض کریں $S$ کسی تصادفی تجربے کی نمونہ فضا ہے۔ احتمال $P$ ایک حقیقی قدر والا فنکشن ہے جس کا ڈومین $S$ کی طاقت سیٹ ہے اور رینج وقفہ $[0,1]$ ہے جو مندرجہ ذیل اصولوں کو پورا کرتا ہے

$\begin{matrix} \text{ (i) For any event } E, P(E) \geq 0 & \text{ (ii) } P(S)=1\end{matrix} $

(iii) اگر $E$ اور $F$ باہمی طور پر مخصوص واقعات ہوں، تو $P(E \cup F)=P(E)+P(F)$۔

یہ (iii) سے اخذ ہوتا ہے کہ $P(\phi)=0$۔ اسے ثابت کرنے کے لیے، ہم $F=\phi$ لیتے ہیں اور نوٹ کرتے ہیں کہ $E$ اور $\phi$ جدا واقعات ہیں۔ لہذا، اصول (iii) سے، ہم پاتے ہیں

$ P(E \cup \phi)=P(E)+P(\phi) \text{ یا } \quad P(E)=P(E)+P(\phi) \text{ یعنی } P(\phi)=0 \text{. } $

فرض کریں $S$ ایک نمونہ فضا ہے جو نتائج $\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n$ پر مشتمل ہے، یعنی

$$ S=\{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n\} $$

احتمال کی اصولیاتی تعریف سے یہ اخذ ہوتا ہے کہ

(i) $0 \leq P(\omega_i) \leq 1$ ہر $\omega_i \in S$ کے لیے

(ii) $P(\omega_1)+P(\omega_2)+\ldots+P(\omega_n)=1$

(iii) کسی بھی واقعہ $A, P(A)=\sum P(\omega_i), \omega_i \in A$ کے لیے۔

نوٹ - یہ نوٹ کیا جا سکتا ہے کہ یک رکنی سیٹ $\{\omega_i\}$ کو ابتدائی واقعہ کہا جاتا ہے اور علامتی سہولت کے لیے، ہم $P(\omega_i)$ کو $P(\{\omega_i\})$ کے لیے لکھتے ہیں۔

مثال کے طور پر، ‘سکہ اچھالنے’ کے تجربے میں ہم ہر نتیجے $H$ اور $T$ کو عدد $\frac{1}{2}$ تفویض کر سکتے ہیں۔

یعنی $ \quad \quad \quad \quad P(H)=\frac{1}{2} \text{ اور } P(T)=\frac{1}{2} $

واضح طور پر یہ تفویض دونوں شرطوں کو پورا کرتی ہے یعنی ہر عدد نہ تو صفر سے کم ہے اور نہ ہی 1 سے زیادہ

اور $ P(H)+P(T)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 $

لہذا، اس صورت میں ہم کہہ سکتے ہیں کہ $H=\frac{1}{2}$ کا احتمال، اور $T=\frac{1}{2}$ کا احتمال

اگر ہم $P(H)=\frac{1}{4}$ اور $P(T)=\frac{3}{4}\quad \quad \quad \quad \ldots (2)$ لیں

کیا یہ تفویض اصولیاتی نقطہ نظر کی شرطوں کو پورا کرتی ہے؟

ہاں، اس صورت میں، $H=\frac{1}{4}$ کا احتمال اور $T=\frac{3}{4}$ کا احتمال۔

ہم پاتے ہیں کہ دونوں تفویضات (1) اور (2) $H$ اور $T$ کے احتمال کے لیے درست ہیں۔

درحقیقت، ہم دونوں نتائج کو اعداد $p$ اور $(1-p)$ تفویض کر سکتے ہیں اس طرح کہ $0 \leq p \leq 1$ اور $P(H)+P(T)=p+(1-p)=1$

یہ تفویض بھی احتمال کے اصولیاتی نقطہ نظر کی دونوں شرطوں کو پورا کرتی ہے۔ لہذا، ہم کہہ سکتے ہیں کہ کسی تجربے کے نتائج کو احتمال تفویض کرنے کے بہت سے (بلکہ لامتناہی) طریقے ہیں۔ اب ہم کچھ مثالیں دیکھتے ہیں۔

مثال 4 فرض کریں ایک نمونہ فضا $S=\{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_6\}$ ہے۔ مندرجہ ذیل میں سے کون سی ہر نتیجے کو احتمال تفویض کرنے کی صورتیں درست ہیں؟

حل (a) شرط (i): ہر عدد $p(\omega_i)$ مثبت اور ایک سے کم ہے۔ شرط (ii): احتمالات کا مجموعہ

$$ =\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=1 $$

لہذا، تفویض درست ہے۔

(b) شرط (i): ہر عدد $p(\omega_i)$ یا تو 0 ہے یا 1۔

شرط (ii) احتمالات کا مجموعہ $=1+0+0+0+0+0=1$

لہذا، تفویض درست ہے۔

(c) شرط (i) دو احتمالات $p(\omega_5)$ اور $p(\omega_6)$ منفی ہیں، تفویض درست نہیں ہے۔

(d) چونکہ $p(\omega_6)=\frac{3}{2}>1$، تفویض درست نہیں ہے۔

(e) چونکہ، احتمالات کا مجموعہ $=0.1+0.2+0.3+0.4+0.5+0.6=2.1$، تفویض درست نہیں ہے۔

14.2.1 کسی واقعہ کا احتمال

فرض کریں $S$ اس تجربے سے وابستہ نمونہ فضا ہے جس میں ‘کسی مشین سے تیار کردہ تین لگاتار قلموں کا معائنہ کرنا اور انہیں اچھا (غیر ناقص) اور برا (ناقص) کے طور پر درجہ بندی کرنا’ شامل ہے۔ ہمیں اس معائنے کے نتیجے میں $0,1,2$ یا 3 ناقص قلم مل سکتے ہیں۔

اس تجربے سے وابستہ ایک نمونہ فضا ہے

$ S=\{BBB, BBG, BGB, GBB, BGG, GBG, GGB, GGG\} $

جہاں $B$ ناقص یا برے قلم کے لیے ہے اور $G$ غیر ناقص یا اچھے قلم کے لیے ہے۔

فرض کریں نتائج کو تفویض کردہ احتمالات مندرجہ ذیل ہیں

$\begin{array}{lllllllll} \text{نمونہ نقطہ:} & BBB & BBG & BGB & GBB & BGG & GBG & GGB & GGG \\ \\ \text{احتمال: } & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \end{array} $

فرض کریں واقعہ A: بالکل ایک ناقص قلم ہے اور واقعہ B: کم از کم دو ناقص قلم ہیں۔

لہذا $A=\{BGG, GBG, GGB\}$ اور $B=\{BBG, BGB, GBB, BBB\}$

اب $\quad P(A)=\sum P(\omega_i), \forall \omega_i \in A$

$ =P(BGG)+P(GBG)+P(GGB)=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8} $

اور

$\mathrm{P}(\mathrm{B})=\sum \mathrm{P}\left(\omega _{i}\right), \forall \omega _{i} \in \mathrm{B}$ $$ =\mathrm{P}(\mathrm{BBG})+\mathrm{P}(\mathrm{BGB})+\mathrm{P}(\mathrm{GBB})+\mathrm{P}(\mathrm{BBB})=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} $$

آئیے “سکے کو دو بار اچھالنے” کے ایک اور تجربے پر غور کریں۔

اس تجربے کی نمونہ فضا $S=\{HH, HT, TH, TT\}$ ہے۔

فرض کریں نتائج کو مندرجہ ذیل احتمالات تفویض کیے جاتے ہیں

$ P(HH)=\frac{1}{4}, P(HT)=\frac{1}{7}, P(TH)=\frac{2}{7}, P(TT)=\frac{9}{28} $

واضح طور پر یہ تفویض اصولیاتی نقطہ نظر کی شرطوں کو پورا کرتی ہے۔ اب، آئیے واقعہ $E$: ‘دونوں اچھال ایک ہی نتیجہ دیتے ہیں’ کا احتمال نکالیں۔

یہاں $\quad \quad \quad \quad E=\{HH, TT\}$

اب $\quad \quad \quad \quad P(E)=\Sigma P(w_i)$، تمام $w_i \in E$ کے لیے

$ =P(HH)+P(TT)=\frac{1}{4}+\frac{9}{28}=\frac{4}{7} $

واقعہ $F$: ‘بالکل دو سر’ کے لیے، ہمارے پاس $F=\{HH\}$ ہے

اور $ \quad \quad \quad \quad P(F)=P(HH)=\frac{1}{4} $

14.2.2 یکساں ممکن نتائج کے احتمالات

فرض کریں کسی تجربے کی نمونہ فضا ہے

$$S=\{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n\} .$$

فرض کریں تمام نتائج کے وقوع پذیر ہونے کے یکساں امکانات ہیں، یعنی ہر سادہ واقعہ کے وقوع کا موقع یکساں ہونا چاہیے۔

یعنی $ \quad \quad \quad \quad P(\omega_i)=p, \text{ تمام } \omega_i \in S \text{ کے لیے جہاں } 0 \leq p \leq 1 $

$ \begin{aligned} \text{چونکہ } \quad \quad \quad \quad& \sum _{i=1}^{n} P(\omega_i)=1 \text{ یعنی، } p+p+\ldots+p(n \text{ بار })=1 \\ \text{یا}\quad \quad \quad \quad & n p=1 \text{ یعنی، } p=\frac{1}{n} \end{aligned} $

فرض کریں $S$ ایک نمونہ فضا ہے اور $E$ ایک واقعہ ہے، اس طرح کہ $n(S)=n$ اور $n(E)=m$۔ اگر ہر نتیجہ یکساں ممکن ہو، تو یہ اخذ ہوتا ہے کہ

$ P(E)=\frac{m}{n} \quad=\frac{\text{ E کے لیے موافق نتائج کی تعداد}}{\text{ کل ممکن نتائج }} $

14.2.3 واقعہ ‘$A$ یا $B$’ کا احتمال

آئیے اب واقعہ ‘A یا B’ کا احتمال نکالیں، یعنی $P(A \cup B)$

فرض کریں $A=\{HHT, HTH, THH\}$ اور $B=\{HTH, THH, HHH\}$ ‘سکے کو تین بار اچھالنے’ سے وابستہ دو واقعات ہیں۔

واضح طور پر $A \cup B=\{HHT, HTH, THH, HHH\}$

اب $ \quad \quad \quad \quad P(A \cup B)=P(HHT)+P(HTH)+P(THH)+P(HHH) $

اگر تمام نتائج یکساں ممکن ہوں، تو

$$ P(A \cup B)=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} $$

نیز $ \quad \quad \quad \quad P(A)=P(HHT)+P(HTH)+P(THH)=\frac{3}{8} $

اور $ \quad \quad \quad \quad P(B)=P(HTH)+P(THH)+P(HHH)=\frac{3}{8} $

لہذا $ \quad \quad \quad \quad P(A)+P(B)=\frac{3}{8}+\frac{3}{8}=\frac{6}{8} $

واضح ہے