ریاضی تمام طبیعی تحقیق کا ناگزیر آلہ ہے۔ - برتھیلوٹ

2.1 تعارف

ریاضی کا بڑا حصہ ایک نمونہ تلاش کرنے کے بارے میں ہے - مقداریں جو بدلتی ہیں ان کے درمیان ایک پہچانے جانے والا تعلق۔ ہماری روزمرہ کی زندگی میں، ہم بہت سے ایسے نمونوں کے بارے میں جانتے ہیں جو رشتوں کی خصوصیت رکھتے ہیں جیسے بھائی اور بہن، باپ اور بیٹا، استاد اور شاگرد۔ ریاضی میں بھی، ہم بہت سے تعلقات کے بارے میں جانتے ہیں جیسے کہ عدد $m$ عدد $n$ سے چھوٹا ہے، خط $l$ خط $m$ کے متوازی ہے، مجموعہ $A$ مجموعہ $B$ کا ذیلی مجموعہ ہے۔ ان سب میں، ہم دیکھتے ہیں کہ ایک تعلق مخصوص ترتیب میں اشیاء کے جوڑوں کو شامل کرتا ہے۔ اس باب میں، ہم سیکھیں گے کہ کیسے دو مجموعوں سے اشیاء کے جوڑوں کو جوڑا جائے اور پھر جوڑے میں موجود دو اشیاء کے درمیان تعلقات متعارف کرائے جائیں۔ آخر میں، ہم خاص تعلقات کے بارے میں سیکھیں گے جو افعال کی اہلیت رکھتے ہوں۔

جی ڈبلیو لائبنیز (1646-1716 عیسوی)

فنکشن کا تصور ریاضی میں بہت اہم ہے کیونکہ یہ ایک مقدار کے ساتھ دوسری مقدار کے درمیان ریاضیاتی طور پر درست مطابقت کے خیال کو قید کرتا ہے۔

2.2 مجموعوں کی کارٹیشین حاصل ضرب

فرض کریں A 2 رنگوں کا مجموعہ ہے اور B 3 اشیاء کا مجموعہ ہے، یعنی،

$$ A=\{\text { red, blue }\} \text { and } B=\{b, c, s\} \text {, } $$

جہاں $b, c$ اور $s$ بالترتیب ایک مخصوص بیگ، کوٹ اور قمیض کی نمائندگی کرتے ہیں۔

ان دو مجموعوں سے رنگین اشیاء کے کتنے جوڑے بنائے جا سکتے ہیں؟

بہت منظم طریقے سے آگے بڑھتے ہوئے، ہم دیکھ سکتے ہیں کہ 6 مخصوص جوڑے ہوں گے جیسا کہ نیچے دیے گئے ہیں:

(سرخ، $b$)، (سرخ، $c$)، (سرخ، $s$)، (نیلا، $b$)، (نیلا، $c$)، (نیلا، $s$)۔

اس طرح، ہمیں 6 مخصوص اشیاء ملتی ہیں (شکل 2.1)۔

شکل 2.1

ہم اپنی پچھلی کلاسوں سے یاد کرتے ہیں کہ کسی بھی دو مجموعوں $P$ اور $Q$ سے لیے گئے عناصر کا ایک مرتب جوڑ عناصر کا ایک جوڑ ہے جو چھوٹے قوسین میں لکھا جاتا ہے اور ایک مخصوص ترتیب میں اکٹھا کیا جاتا ہے، یعنی، $(p, q), p \in P$ اور $q \in Q$۔ یہ مندرجہ ذیل تعریف کی طرف لے جاتا ہے:

تعریف 1 دو غیر خالی مجموعے $P$ اور $Q$ دیے گئے ہوں۔ کارٹیشین حاصل ضرب $P \times Q$ تمام مرتب جوڑوں کا مجموعہ ہے جو $P$ اور $Q$ سے عناصر کے ہیں، یعنی،

$$ P \times Q=\{(p, q): p \in P, q \in Q\} $$

اگر یا تو $P$ یا $Q$ خالی مجموعہ ہے، تو $P \times Q$ بھی خالی مجموعہ ہوگا، یعنی، $P \times Q=\phi$

اوپر دی گئی مثال سے ہم نوٹ کرتے ہیں کہ

$A \times B=\{(red, b),($ سرخ،$c),($ سرخ،$s),($ نیلا،$b),($ نیلا،$c),($ نیلا،$s)\}$۔

پھر، دو مجموعے غور کریں:

$A=\{DL, MP, KA\}$، جہاں DL، MP، KA بالترتیب دہلی، مدھیہ پردیش اور کرناٹک کی نمائندگی کرتے ہیں اور B $=\{01,02, 03 \}$ DL، MP اور KA کے ذریعے جاری کردہ گاڑیوں کے لائسنس پلیٹوں کے کوڈز کی نمائندگی کرتا ہے۔

اگر تین ریاستیں، دہلی، مدھیہ پردیش اور کرناٹک گاڑیوں کے لائسنس پلیٹوں کے لیے کوڈ بنا رہی ہوں، اس پابندی کے ساتھ کہ کوڈ مجموعہ $A$ سے ایک عنصر سے شروع ہوتا ہے، تو ان مجموعوں سے کون سے جوڑے دستیاب ہیں اور ایسے کتنے جوڑے ہوں گے (شکل 2.2)؟

شکل 2.2

دستیاب جوڑے ہیں: $(\mathrm{DL}, 01),(\mathrm{DL}, 02),(\mathrm{DL}, 03),(\mathrm{MP}, 01),(\mathrm{MP}, 02)$، $(\mathrm{MP}, 03),(\mathrm{KA}, 01),(\mathrm{KA}, 02),(\mathrm{KA}, 03)$ اور مجموعہ $A$ اور مجموعہ $B$ کی حاصل ضرب $\mathrm{A} \times \mathrm{B}=\{(\mathrm{DL}, 01),(\mathrm{DL}, 02),(\mathrm{DL}, 03),(\mathrm{MP}, 01),(\mathrm{MP}, 02),(\mathrm{MP}, 03),(\mathrm{KA}, 01),(\mathrm{KA}, 02)$، $(\mathrm{KA}, 03)\} \text {. }$ کے ذریعے دی جاتی ہے۔

آسانی سے دیکھا جا سکتا ہے کہ کارٹیشین حاصل ضرب میں ایسے 9 جوڑے ہوں گے، کیونکہ مجموعہ A اور B میں سے ہر ایک میں 3 عناصر ہیں۔ یہ ہمیں 9 ممکنہ کوڈ دیتا ہے۔ یہ بھی نوٹ کریں کہ جن ترتیب میں یہ عناصر جوڑے جاتے ہیں وہ اہم ہے۔ مثال کے طور پر، کوڈ (DL، 01) کوڈ $(01, DL)$ جیسا نہیں ہوگا۔

آخری مثال کے طور پر، دو مجموعے $A=\{a_1, a_2\}$ اور $B=\{b_1, b_2, b_3, b_4\}$ غور کریں (شکل 2.3)۔

$A \times B=\{(a_1, b_1),(a_1, b_2),(a_1, b_3),(a_1, b_4),(a_2, b_1),(a_2, b_2),(a_2, b_3),(a_2, b_4)\} .$

اس طرح بنائے گئے 8 مرتب جوڑ سطح پر نقاط کی پوزیشن کی نمائندگی کر سکتے ہیں اگر A اور B حقیقی اعداد کے مجموعہ کے ذیلی مجموعے ہوں اور یہ واضح ہے کہ پوزیشن $(a_1, b_2)$ میں نقطہ پوزیشن $(b_2, a_1)$ میں نقطہ سے مختلف ہوگا۔

شکل 2.3

تبصرے

(i) دو مرتب جوڑ برابر ہوتے ہیں، اگر اور صرف اگر متعلقہ پہلے عناصر برابر ہوں اور دوسرے عناصر بھی برابر ہوں۔

(ii) اگر $p$ عناصر $A$ میں ہوں اور $q$ عناصر $B$ میں ہوں، تو $p q$ عناصر $A \times B$ میں ہوں گے، یعنی، اگر $n(A)=p$ اور $n(B)=q$، تو $n(A \times B)=p q$۔

(iii) اگر $A$ اور $B$ غیر خالی مجموعے ہیں اور یا تو $A$ یا $B$ ایک لامتناہی مجموعہ ہے، تو $A \times B$ بھی ایسا ہی ہے۔

(iv) $A \times A \times A=\{(a, b, c): a, b, c \in A\}$۔ یہاں $(a, b, c)$ کو مرتب ثلاثہ کہا جاتا ہے۔

مثال 1 اگر $(x+1, y-2)=(3,1)$، تو $x$ اور $y$ کی قیمتیں معلوم کریں۔

حل چونکہ مرتب جوڑ برابر ہیں، متعلقہ عناصر برابر ہیں۔

لہذا

$ x+1=3 \text { اور } y-2=1 \text {۔ } $

حل کرنے پر ہمیں $\quad x=2$ اور $y=3$ ملتا ہے۔

مثال 2 اگر $P=\{a, b, c\}$ اور $Q=\{r\}$، تو مجموعے $P \times Q$ اور $Q \times P$ بنائیں۔

کیا یہ دو حاصل ضرب برابر ہیں؟

حل کارٹیشین حاصل ضرب کی تعریف کے مطابق،

$$ P \times Q=\{(a, r),(b, r),(c, r)\} \text { and } Q \times P=\{(r, a),(r, b),(r, c)\} $$

چونکہ، مرتب جوڑوں کی برابری کی تعریف کے مطابق، جوڑا $(a, r)$ جوڑے $(r, a)$ کے برابر نہیں ہے، ہم نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ $P \times Q \neq Q \times P$۔

تاہم، ہر مجموعہ میں عناصر کی تعداد ایک جیسی ہوگی۔

مثال 3 فرض کریں $A=\{1,2,3\}, B=\{3,4\}$ اور $C=\{4,5,6\}$۔ معلوم کریں

(i) $A \times(B \cap C)$

(ii) $(A \times B) \cap(A \times C)$

(iii) $A \times(B \cup C)$

(iv) $(A \times B) \cup(A \times C)$

حل (i) دو مجموعوں کے تقاطع کی تعریف کے مطابق، $(B \cap C)=\{4\}$۔

لہذا، $A \times(B \cap C)=\{(1,4),(2,4),(3,4)\}$۔

(ii) اب $(A \times B)=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)\}$ اور $(A \times C)=\{(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)\}$

لہذا، $(A \times B) \cap(A \times C)=\{(1,4),(2,4),(3,4)\}$۔

(iii) چونکہ، $\quad(B \cup C)=\{3,4,5,6\}$،

ہمارے پاس $\quad \mathrm{A} \times(\mathrm{B} \cup \mathrm{C})=\{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3)$، $(3,4),(3,5),(3,6)\}$ ہے۔

(iv) حصہ (ii) سے مجموعے $A \times B$ اور $A \times C$ استعمال کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں $(A \times B) \cup(A \times C)=\{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)$، $(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)\}$۔

مثال 4 اگر $P=\{1,2\}$، تو مجموعہ $P \times P \times P$ بنائیں۔

حل ہمارے پاس، $ P \times P \times P=\{(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1)$، $(2,2,2)\} $ ہے۔

مثال 5 اگر $\mathbf{R}$ تمام حقیقی اعداد کا مجموعہ ہے، تو کارٹیشین حاصل ضرب $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ اور $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}$ کیا ظاہر کرتے ہیں؟

حل کارٹیشین حاصل ضرب $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ مجموعہ $\mathbf{R} \times \mathbf{R}=\{(x, y): x, y \in \mathbf{R}\}$ کی نمائندگی کرتا ہے جو دو جہتی فضا میں تمام نقاط کے نقاطِ امتیاز کی نمائندگی کرتا ہے اور کارٹیشین حاصل ضرب $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}$ مجموعہ $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}=\{(x, y, z): x, y, z \in \mathbf{R}\}$ کی نمائندگی کرتا ہے جو تین جہتی فضا میں تمام نقاط کے نقاطِ امتیاز کی نمائندگی کرتا ہے۔

مثال 6 اگر $A \times B=\{(p, q),(p, r),(m, q),(m, r)\}$، تو $A$ اور $B$ معلوم کریں۔

حل

$$ \begin{aligned} & A=\text { set of first elements }=\{p, m\} \\ & B=\text { set of second elements }=\{q, r\} . \end{aligned} $$

2.3 تعلقات

دو مجموعے غور کریں $P=\{a, b, c\}$ اور $Q=\{$ علی، بھانو، بینائے، چندرا، دیویا $\}$۔

$P$ اور $Q$ کی کارٹیشین حاصل ضرب میں 15 مرتب جوڑے ہیں جن کی فہرست $P \times Q=\{(a, \text{Ali})$، (a، بھانو)، (a، بینائے)، …، (c، دیویا) $\}$ کے طور پر بنائی جا سکتی ہے۔

شکل 2.4

ہم اب $P \times Q$ کا ایک ذیلی مجموعہ حاصل کر سکتے ہیں ہر مرتب جوڑ $(x, y)$ کے پہلے عنصر $x$ اور دوسرے عنصر $y$ کے درمیان ایک تعلق $R$ متعارف کراکر جیسا کہ

$R=\{(x, y): x$ نام $y, x \in P, y \in Q\}$ کا پہلا حرف ہے۔

پھر $R=\{(a, Ali),(b, Bhanu),(b, Binoy),(c$، چندرا $)\}$

اس تعلق $R$ کی ایک بصری نمائندگی (جسے تیر نقشہ کہا جاتا ہے) شکل 2.4 میں دکھائی گئی ہے۔

تعریف 2 ایک غیر خالی مجموعہ $A$ سے ایک غیر خالی مجموعہ $B$ تک ایک تعلق $R$ کارٹیشین حاصل ضرب $A \times B$ کا ایک ذیلی مجموعہ ہے۔ ذیلی مجموعہ مرتب جوڑوں $A \times B$ میں پہلے عنصر اور دوسرے عنصر کے درمیان ایک رشتہ بیان کرکے حاصل کیا جاتا ہے۔ دوسرے عنصر کو پہلے عنصر کا تصور کہا جاتا ہے۔

تعریف 3 ایک مجموعہ A سے مجموعہ $B$ تک ایک تعلق $R$ میں مرتب جوڑوں کے تمام پہلے عناصر کے مجموعہ کو تعلق $R$ کا دائرہ اختیار کہا جاتا ہے۔

تعریف 4 ایک مجموعہ $A$ سے مجموعہ $B$ تک ایک تعلق $R$ میں تمام دوسرے عناصر کے مجموعہ کو تعلق $R$ کی حد کہا جاتا ہے۔ پورے مجموعہ $B$ کو تعلق $R$ کی ضابطہ حرفی کہا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ حد $\subset$ ضابطہ حرفی۔

تبصرے (i) ایک تعلق کو الجبرائی طور پر یا تو فہرست طریقے سے یا مجموعہ ساز طریقے سے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔

(ii) تیر نقشہ تعلق کی ایک بصری نمائندگی ہے۔

مثال 7 فرض کریں $A=\{1,2,3,4,5,6\}$۔ ایک تعلق $R$ کو $A$ سے $A$ تک اس طرح بیان کریں $R=\{(x, y): y=x+1\}$

(i) اس تعلق کو تیر نقشہ استعمال کرتے ہوئے ظاہر کریں۔

(ii) $R$ کا دائرہ اختیار، ضابطہ حرفی اور حد لکھیں۔

حل (i) تعلق کی تعریف کے مطابق،

$R=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)\}$۔

متعلقہ تیر نقشہ شکل 2.5 میں دکھایا گیا ہے۔

شکل 2.5

(ii) ہم دیکھ سکتے ہیں کہ دائرہ اختیار $=\{1,2,3,4,5\}$

اسی طرح، حد $=\{2,3,4,5,6\}$ اور ضابطہ حرفی $=\{1,2,3,4,5,6\}$۔

مثال 8 شکل 2.6 مجموعہ $P$ اور مجموعہ $Q$ کے درمیان ایک تعلق دکھاتی ہے۔ اس تعلق کو لکھیں (i) مجموعہ ساز شکل میں، (ii) فہرست شکل میں۔ اس کا دائرہ اختیار اور حد کیا ہے؟

شکل 2.6

حل یہ واضح ہے کہ تعلق $R$ ہے “$x$ $y$ کا مربع ہے”۔

(i) مجموعہ ساز شکل میں، $R=\{(x, y): x$ $y, x \in P, y \in \mathbf{Q}\}$ کا مربع ہے

(ii) فہرست شکل میں، $R=\{(9,3)$، $(9,-3),(4,2),(4,-2),(25,5),(25,-5)\}$

اس تعلق کا دائرہ اختیار $\{4,9,25\}$ ہے۔

اس تعلق کی حد $\{-2,2,-3,3,-5,5\}$ ہے۔

نوٹ کریں کہ عنصر 1 مجموعہ $P$ میں کسی عنصر سے متعلق نہیں ہے۔ مجموعہ $Q$ اس تعلق کی ضابطہ حرفی ہے۔

نوٹ - ایک مجموعہ $A$ سے مجموعہ $B$ تک بیان کیے جا سکنے والے تعلقات کی کل تعداد $A \times B$ کے ممکنہ ذیلی مجموعوں کی تعداد ہے۔ اگر $n(A)=p$ اور $n(B)=q$، تو $n(A \times B)=p q$ اور تعلقات کی کل تعداد $2^{p q}$ ہے۔

مثال 9 فرض کریں $A=\{1,2\}$ اور $B=\{3,4\}$۔ A سے B تک تعلقات کی تعداد معلوم کریں۔

حل ہمارے پاس،

$ A \times B=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\} $

چونکہ $n(A \times B)=4$، $A \times B$ کے ذیلی مجموعوں کی تعداد $2^{4}$ ہے۔ لہذا، $A$ سے $B$ میں تعلقات کی تعداد $2^{4}$ ہوگی۔

تبصرہ ایک تعلق $R$ $A$ سے $A$ تک $A$ پر ایک تعلق کے طور پر بھی بیان کیا جاتا ہے۔

2.4 افعال

اس حصے میں، ہم تعلق کی ایک خاص قسم فنکشن کا مطالعہ کرتے ہیں۔ یہ ریاضی میں سب سے اہم تصورات میں سے ایک ہے۔ ہم ایک فنکشن کو ایک قاعدے کے طور پر تصور کر سکتے ہیں، جو کچھ دی گئی اشیاء سے نئی اشیاء پیدا کرتا ہے۔ فنکشن کو ظاہر کرنے کے لیے بہت سے الفاظ استعمال ہوتے ہیں جیسے ‘نقشہ’ یا ‘تعین’۔

تعریف 5 ایک مجموعہ $A$ سے مجموعہ $B$ تک ایک تعلق $f$ فنکشن کہلاتا ہے اگر مجموعہ $A$ کے ہر عنصر کا مجموعہ $B$ میں ایک اور صرف ایک تصور ہو۔

دوسرے الفاظ میں، ایک فنکشن $f$ ایک غیر خالی مجموعہ $A$ سے ایک غیر خالی مجموعہ $B$ تک ایک تعلق ہے اس طرح کہ $f$ کا دائرہ اختیار $A$ ہے اور $f$ میں دو مختلف مرتب جوڑوں کا پہلا عنصر ایک جیسا نہیں ہوتا۔

اگر $f$ A سے B تک ایک فنکشن ہے اور $(a, b) \in f$، تو $f(a)=b$، جہاں $b$ کو $a$ کا $f$ کے تحت تصور کہا جاتا ہے اور $a$ کو $b$ کا $f$ کے تحت پیش تصور کہا جاتا ہے۔

$A$ سے $B$ تک فنکشن $f$ کو $f: A \rightarrow B$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

پچھلی مثالوں کو دیکھتے ہوئے، ہم آسانی سے دیکھ سکتے ہیں کہ

مثال 7 میں تعلق فنکشن نہیں ہے کیونکہ عنصر 6 کا کوئی تصور نہیں ہے۔

پھر،

مثال 8 میں تعلق فنکشن نہیں ہے کیونکہ دائرہ اختیار میں موجود عناصر ایک سے زیادہ تصاویر سے جڑے ہوئے ہیں۔ اسی طرح،

مثال 9 میں تعلق بھی فنکشن نہیں ہے۔ (کیوں؟) نیچے دی گئی مثالوں میں، ہم بہت سے مزید تعلقات دیکھیں گے جن میں سے کچھ افعال ہیں اور دوسرے نہیں ہیں۔

مثال 10 فرض کریں $\mathbf{N}$ قدرتی اعداد کا مجموعہ ہے اور تعلق $R$ کو $N$ پر اس طرح بیان کیا گیا ہے کہ $R=\{(x, y): y=2 x, x, y \in \mathbf{N}\}$۔

$R$ کا دائرہ اختیار، ضابطہ حرفی اور حد کیا ہے؟ کیا یہ تعلق ایک فنکشن ہے؟

حل $R$ کا دائرہ اختیار قدرتی اعداد کا مجموعہ $\mathbf{N}$ ہے۔ ضابطہ حرفی بھی $\mathbf{N}$ ہے۔ حد جفت قدرتی اعداد کا مجموعہ ہے۔

چونکہ ہر قدرتی عدد $n$ کا ایک اور صرف ایک تصور ہے، یہ تعلق ایک فنکشن ہے۔

مثال 11 نیچے دیے گئے ہر تعلق کا جائزہ لیں اور ہر صورت میں، وجوہات بتاتے ہوئے بیان کریں کہ آیا یہ فنکشن ہے یا نہیں؟

(i) $R=\{(2,1),(3,1),(4,2)\}$،

(ii) $R=\{(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)\}$

(iii) $R=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7)\}$

حل (i) چونکہ 2، 3، 4 R کے دائرہ اختیار کے عناصر ہیں جن کے اپنے منفرد تصاویر ہیں، یہ تعلق $R$ ایک فنکشن ہے۔

(ii) چونکہ ایک ہی پہلا عنصر 2 دو مختلف تصاویر 2 اور 4 سے مطابقت رکھتا ہے، یہ تعلق فنکشن نہیں ہے۔

(iii) چونکہ ہر عنصر کا ایک اور صرف ایک تصور ہے، یہ تعلق فنکشن ہے۔

تعریف 6 ایک فنکشن جس کی حد یا تو $R$ ہو یا اس کا کوئی ذیلی مجموعہ ہو، حقیقی قدر والا فنکشن کہلاتا ہے۔ مزید، اگر اس کا دائرہ اختیار بھی یا تو $R$ ہو یا $R$ کا ذیلی مجموعہ ہو، تو اسے حقیقی فنکشن کہا جاتا ہے۔

مثال 12 فرض کریں $\mathbf{N}$ قدرتی اعداد کا مجموعہ ہے۔ ایک حقیقی قدر والا فنکشن

$f: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$ کو $f(x)=2 x+1$ کے ذریعے بیان کریں۔ اس تعریف کا استعمال کرتے ہوئے، نیچے دی گئی جدول کو مکمل کریں۔

حل مکمل شدہ جدول یہ ہے:

2.4.1 کچھ افعال اور ان کے گراف

(i) شناختی فنکشن فرض کریں $\mathbf{R}$ حقیقی اعداد کا مجموعہ ہے۔ حقیقی قدر والا فنکشن $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ کو $y=f(x)=x$ کے ذریعے ہر $x \in \mathbf{R}$ کے لیے بیان کریں۔ ایسے فنکشن کو شناختی فنکشن کہا جاتا ہے۔ یہاں $f$ کا دائرہ اختیار اور حد $\mathbf{R}$ ہے۔ گراف ایک سیدھی لکیر ہے جیسا کہ شکل 2.8 میں دکھایا گیا ہے۔ یہ مبدا سے گزرتی ہے۔

شکل 2.8

(ii) مستقل فنکشن فنکشن $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ کو $y=f(x)=c, x \in \mathbf{R}$ کے ذریعے بیان کریں جہاں $c$ ایک مستقل ہے اور ہر $x \in \mathbf{R}$۔ یہاں $f$ کا دائرہ اختیار $\mathbf{R}$ ہے اور اس کی حد $\{c\}$ ہے۔

شکل 2.9

گراف $x$-محور کے متوازی ایک لکیر ہے۔ مثال کے طور پر، اگر $f(x)=3$ ہر $x \in \mathbf{R}$ کے لیے، تو اس کا گراف ایک لکیر ہوگا جیسا کہ شکل 2.9 میں دکھایا گیا ہے۔

(iii) کثیر رقمی فنکشن ایک فنکشن $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ کثیر رقمی فنکشن کہلاتا ہے اگر ہر $x$ کے لیے $\mathbf{R}, y=f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^{2}+\ldots+a_{n} x^{n}$ میں، جہاں $n$ ایک غیر منفی عدد ہے اور $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_{n} \in \mathbf{R}$۔

$f(x)=x^{3}-x^{2}+2$، اور $g(x)=x^{4}+\sqrt{2} x$ کے ذریعے بیان کردہ افعال کچھ مثالیں ہیں کثیر رقمی افعال کی، جبکہ فنکشن $h$ جو $h(x)=x^{\frac{2}{3}}+2 x$ کے ذریعے بیان کیا گیا ہے وہ کثیر رقمی فنکشن نہیں ہے۔(کیوں؟)

مثال 13 فنکشن $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ کو $y=f(x)=x^{2}, x \in \mathbf{R}$ کے ذریعے بیان کریں۔ اس تعریف کا استعمال کرتے ہوئے نیچے دی گئی جدول کو مکمل کریں۔ اس فنکشن کا دائرہ اختیار اور حد کیا ہے؟ $f$ کا گراف بنائیں۔

حل مکمل شدہ جدول یہ ہے:

$f=\{x: x \in \mathbf{R}\}$ کا دائرہ اختیار۔ $f=\{x^{2}: x \in \mathbf{R}\}$ کی حد۔ $f$ کا گراف شکل 2.10 کے ذریعے دیا گیا ہے۔

شکل 2.10

مثال 14 فنکشن $\boldsymbol{f}: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ کا گراف بنائیں جو $f(x)=x^{3}, x \in \mathbf{R}$ کے ذریعے بیان کیا گیا ہے۔

حل ہمارے پاس

$f(0)=0, f(1)=1, f(-1)=-1, f(2)=8, f(-2)=-8, f(3)=27 ; f(-3)=-27$، وغیرہ۔

لہذا، $f=\{(x, x^{3}): x \in \mathbf{R}\}$۔

$f$ کا گراف شکل 2.11 میں دیا گیا ہے۔

شکل 2.11

(iv) ناطق افعال $\frac{f(x)}{g(x)}$ قسم کے افعال ہیں، جہاں $f(x)$ اور $g(x)$ $x$ کے کثیر رقمی افعال ہیں جو ایک دائرہ اختیار میں بیان کیے گئے ہیں، جہاں $g(x) \neq 0$۔

مثال 15 حقیقی قدر والا فنکشن $f: \mathbf{R}-\{0\} \rightarrow \mathbf{R}$ کو $f(x)=\frac{1}{x}$، $x \in \mathbf{R}-\{0\}$ کے ذریعے بیان کریں۔ اس تعریف کا استعمال کرتے ہوئے نیچے دی گئی جدول کو مکمل کریں۔ اس فنکشن کا دائرہ اختیار اور حد کیا ہے؟

حل مکمل شدہ جدول یہ ہے:

دائرہ اختیار 0 کے علاوہ تمام حقیقی اعداد ہیں اور اس کی حد بھی 0 کے علاوہ تمام حقیقی اعداد ہیں۔ $f$ کا گراف شکل 2.12 میں دیا گیا ہے۔

شکل 2.12

(v) معیاری فنکشن فنکشن $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ جو $f(x)=|x|$ کے ذریعے ہر $x \in \mathbf{R}$ کے لیے بیان کیا گیا ہے معیاری فنکشن کہلاتا ہے۔ $x, f(x)$ کے ہر غیر منفی قدر کے لیے $x$ کے برابر ہے۔ لیکن $x$ کی منفی اقدار کے لیے، $f(x)$ کی قدر $x$ کی قدر کے منفی کے برابر ہے، یعنی، $f(x)=\begin{cases}x,x \geq 0 \\ -x, x <0 \end{cases}$

شکل 2.13

(vi) علامتی فنکشن فنکشن $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ جو اس طرح بیان کیا گیا ہے

$$ f(x)=\begin{cases} 1, \text { if } x>0 \\ 0, \text { if } x=0 \\ -1, \text { if } x<0 \end{cases} $$

$$ f(x)=|x| $$

شکل 2.13 علامتی فنکشن کہلاتا ہے۔ علامتی فنکشن کا دائرہ اختیار $\mathbf{R}$ ہے اور حد مجموعہ $\{-1,0,1\}$ ہے۔ علامتی فنکشن کا گراف شکل 2.14 کے ذریعے دیا گیا ہے۔

شکل 2.14

$$ f(x)=\frac{|x|}{x}, x^{\prime} \quad 0 \text { and } 0 \text { for } x=0 $$

(vii) سب سے بڑا عددی فنکشن فنکشن $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ جو $f(x)=[x], x \in \mathbf{R}$ کے ذریعے بیان کیا گیا ہے $x$ سے کم یا برابر سب سے بڑے عدد کی قدر فرض کرتا ہے۔ ایسے فنکشن کو سب سے بڑا عددی فنکشن کہا جاتا ہے۔

$[x]$ کی تعریف سے، ہم دیکھ سکتے ہیں کہ

$$ \begin{aligned} & {[x]=-1 \text { for }-1 \leq x<0} \\ & {[x]=0 \text { for } 0 \leq x<1} \\ & {[x]=1 \text { for } 1 \leq x<2} \\ & {[x]=2 \text { for } 2 \leq x<3 \text { and }} \end{aligned} $$ وغیرہ۔

فنکشن کا گراف شکل 2.15 میں دکھایا گیا ہے۔

شکل 2.15

2.4.2 حقیقی افعال کا الجبرا

اس حصے میں، ہم سیکھیں گے کہ کیسے دو حقیقی افعال کو جمع کیا جائے، ایک حقیقی فنکشن کو دوسرے سے منفی کیا جائے، ایک حقیقی فنکشن کو ایک اسکیلر سے ضرب دی جائے (یہاں اسکیلر سے مراد ایک حقیقی عدد ہے)، دو حقیقی افعال کو ضرب دی جائے اور ایک حقیقی فنکشن کو دوسرے سے تقسیم کیا جائے۔

(i) دو حقیقی افعال کی جمع فرض کریں $f: X \rightarrow \mathbf{R}$ اور $g: X \rightarrow \mathbf{R}$ کوئی دو حقیقی افعال ہیں، جہاں $X \subset \mathbf{R}$۔ پھر، ہم $(f+g): X \rightarrow \mathbf{R}$ کو اس طرح بیان کرتے ہیں

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$، تمام $x \in \mathbf{X}$ کے لیے۔

(ii) ایک حقیقی فنکشن کو دوسرے سے تفریق فرض کریں $Let f: X \rightarrow \mathbf{R}$ اور $g: X \rightarrow \mathbf{R}$ کوئی دو حقیقی افعال ہیں، جہاں $\mathbf{X} \subset \mathbf{R}$۔ پھر، ہم $(f-g): X \rightarrow \mathbf{R}$ کو $(f-g)(x)=f(x)-g(x)$ کے ذریعے بیان کرتے ہیں، تمام $x \in X$ کے لیے۔

(iii) اسکیلر سے ضرب فرض کریں $f: X \rightarrow \mathbf{R}$ ایک حقیقی قدر والا فنکشن ہے