ایک ریاضی دان جانتا ہے کہ مسئلہ کیسے حل کرنا ہے، وہ اسے حل نہیں کر سکتا۔ - MILNE

3.1 تعارف

لفظ ‘ٹرگونومیٹری’ یونانی الفاظ ‘ٹرگون’ اور ‘میٹرون’ سے ماخوذ ہے اور اس کا مطلب ہے ‘مثلث کے اضلاع کی پیمائش کرنا’۔ یہ مضمون اصل میں مثلثوں سے متعلق ہندسی مسائل کو حل کرنے کے لیے تیار کیا گیا تھا۔ اس کا مطالعہ سمندری کپتانوں نے جہاز رانی کے لیے، سرویئروں نے نئی زمینوں کے نقشے بنانے کے لیے، انجینئروں اور دوسروں نے کیا۔ فی الحال، مثلثیات کا استعمال بہت سے شعبوں میں کیا جاتا ہے جیسے کہ زلزلہ پیمائی کی سائنس، برقی سرکٹس کی ڈیزائننگ، ایٹم کی حالت کی وضاحت، سمندر میں جوار کی بلندیوں کی پیش گوئی، موسیقی کے سر کا تجزیہ اور بہت سے دوسرے شعبوں میں۔

آریہ بھٹ (476-550 ق م)

پچھلی کلاسوں میں، ہم نے حادہ زاویوں کے مثلثیاتی تناسب کا مطالعہ قائمہ الزاویہ مثلث کے اضلاع کے تناسب کے طور پر کیا ہے۔ ہم نے مثلثیاتی شناختوں اور مثلثیاتی تناسب کا استعمال کرتے ہوئے بلندیوں اور فاصلوں سے متعلق مسائل کو حل کرنے کا بھی مطالعہ کیا ہے۔ اس باب میں، ہم مثلثیاتی تناسب کے تصور کو مثلثیاتی دالاؤں تک عام کریں گے اور ان کی خصوصیات کا مطالعہ کریں گے۔

3.2 زاویے

شکل 3.1

زاویہ کسی دی گئی شعاع کے اس کے ابتدائی نقطہ کے گرد گردش کی پیمائش ہے۔ اصل شعاع کو ابتدائی ضلع کہا جاتا ہے اور گردش کے بعد شعاع کی حتمی پوزیشن کو زاویے کا اختتامی ضلع کہا جاتا ہے۔ گردش کے نقطہ کو راس کہتے ہیں۔ اگر گردش کی سمت گھڑی کی مخالف سمت میں ہے، تو زاویہ مثبت کہلاتا ہے اور اگر گردش کی سمت گھڑی کی سمت میں ہے، تو زاویہ منفی ہوتا ہے (شکل 3.1)۔

زاویے کی پیمائش ابتدائی ضلع سے اختتامی ضلع حاصل کرنے کے لیے انجام دی گئی گردش کی مقدار ہے۔ زاویوں کی پیمائش کے لیے کئی اکائیاں ہیں۔ زاویے کی تعریف

شکل 3.2

شکل 3.2 ایک اکائی تجویز کرتی ہے، یعنی ابتدائی ضلع کی پوزیشن سے ایک مکمل چکر جیسا کہ شکل 3.2 میں دکھایا گیا ہے۔

یہ اکثر بڑے زاویوں کے لیے آسان ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، ہم کہہ سکتے ہیں کہ تیزی سے گھومتا ہوا پہیہ فی سیکنڈ 15 چکر کا زاویہ بنا رہا ہے۔ ہم زاویے کی پیمائش کی دو دیگر اکائیوں کا ذکر کریں گے جو سب سے زیادہ عام طور پر استعمال ہوتی ہیں، یعنی ڈگری پیمائش اور ریڈین پیمائش۔

3.2.1 ڈگری پیمائش

اگر ابتدائی ضلع سے اختتامی ضلع تک گردش ایک چکر کا $(\frac{1}{360})^{\text{th }}$ ہے، تو کہا جاتا ہے کہ زاویے کی پیمائش ایک ڈگری ہے، جسے $1^{\circ}$ لکھا جاتا ہے۔ ایک ڈگری کو 60 منٹ میں تقسیم کیا جاتا ہے، اور ایک منٹ کو 60 سیکنڈ میں تقسیم کیا جاتا ہے۔ ایک ڈگری کا ساٹھواں حصہ منٹ کہلاتا ہے، جسے $1^{\prime}$ لکھا جاتا ہے، اور ایک منٹ کا ساٹھواں حصہ سیکنڈ کہلاتا ہے، جسے $1^{\prime \prime}$ لکھا جاتا ہے۔ اس طرح، $\quad 1^{\circ}=60^{\prime}, \quad 1^{\prime}=60^{\prime \prime}$

کچھ زاویے جن کی پیمائشیں $360^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}, 420^{\circ},-30^{\circ},-420^{\circ}$ ہیں، انہیں شکل 3.3 میں دکھایا گیا ہے۔

شکل 3.3

3.2.2 ریڈین پیمائش

زاویے کی پیمائش کے لیے ایک اور اکائی ہے، جسے ریڈین پیمائش کہتے ہیں۔ اکائی دائرہ (رداس 1 اکائی کا دائرہ) میں لمبائی 1 اکائی کے قوس کے ذریعے مرکز پر بننے والے زاویے کی پیمائش 1 ریڈین کہلاتی ہے۔ شکل 3.4(i) سے (iv) میں، $OA$ ابتدائی ضلع ہے اور $OB$ اختتامی ضلع ہے۔ شکلیں ان زاویوں کو دکھاتی ہیں جن کی پیمائشیں 1 ریڈین، -1 ریڈین، $1 \frac{1}{2}$ ریڈین اور $-1 \frac{1}{2}$ ریڈین ہیں۔

شکل 3.4 (i) - (iv)

ہم جانتے ہیں کہ رداس 1 اکائی کے دائرے کا محیط $2 \pi$ ہے۔ اس طرح، ابتدائی ضلع کا ایک مکمل چکر $2 \pi$ ریڈین کا زاویہ بناتا ہے۔

عمومی طور پر، رداس $r$ کے دائرے میں، لمبائی $r$ کا قوس 1 ریڈین کا زاویہ بنائے گا۔ یہ معلوم ہے کہ دائرے کے برابر قوس مرکز پر برابر زاویہ بناتے ہیں۔ چونکہ رداس $r$ کے دائرے میں، لمبائی $r$ کا قوس اس زاویہ کو بناتا ہے جس کی پیمائش 1 ریڈین ہے، لمبائی $l$ کا قوس اس زاویہ کو بنائے گا جس کی پیمائش $\frac{l}{r}$ ریڈین ہے۔ اس طرح، اگر رداس $r$ کے دائرے میں، لمبائی $l$ کا قوس مرکز پر زاویہ $\theta$ ریڈین بناتا ہے، تو ہمارے پاس $\theta=\frac{l}{r}$ یا $l=r \theta$ ہے۔

3.2.3 ریڈین اور حقیقی اعداد کے درمیان تعلق

مرکز $O$ والے اکائی دائرے پر غور کریں۔ فرض کریں $A$ دائرے پر کوئی نقطہ ہے۔ زاویے کے ابتدائی ضلع کے طور پر OA پر غور کریں۔ پھر دائرے کے قوس کی لمبائی اس زاویے کی ریڈین پیمائش دے گی جو قوس دائرے کے مرکز پر بنائے گا۔ خط PAQ پر غور کریں جو A پر دائرے کی مماس ہے۔ فرض کریں نقطہ A حقیقی عدد صفر کو ظاہر کرتا ہے، AP مثبت حقیقی اعداد کو ظاہر کرتا ہے اور AQ منفی حقیقی اعداد کو ظاہر کرتا ہے (شکل 3.5)۔ اگر ہم خط $AP$ کو دائرے کے ساتھ گھڑی کی مخالف سمت میں لپیٹیں، اور $AQ$ کو گھڑی کی سمت میں، تو ہر حقیقی عدد ایک ریڈین پیمائش سے مطابقت رکھے گا اور اس کے برعکس۔ اس طرح، ریڈین پیمائش اور حقیقی اعداد کو ایک ہی سمجھا جا سکتا ہے۔

شکل 3.5

3.2.4 ڈگری اور ریڈین کے درمیان تعلق چونکہ دائرہ مرکز پر

ایک زاویہ بناتا ہے جس کی ریڈین پیمائش $2 \pi$ ہے اور اس کی ڈگری پیمائش $360^{\circ}$ ہے، اس سے یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ$ 2 \pi \text{ radian }=360^{\circ} \quad \text{ or } \quad \pi \text{ radian }=180^{\circ} $

مندرجہ بالا تعلق ہمیں ریڈین پیمائش کو ڈگری پیمائش کے لحاظ سے اور ڈگری پیمائش کو ریڈین پیمائش کے لحاظ سے ظاہر کرنے کے قابل بناتا ہے۔ $\pi$ کی تقریبی قیمت $\frac{22}{7}$ کے طور پر استعمال کرتے ہوئے، ہمارے پاس ہے

$ 1 \text{ radian }=\frac{180^{\circ}}{\pi}=57^{\circ} 16^{\prime} \text{ approximately. } $

نیز $\quad 1^{\circ}=\frac{\pi}{180}$ ریڈین $=0.01746$ ریڈین تقریباً۔

کچھ عام زاویوں کی ڈگری پیمائش اور ریڈین پیمائش کے درمیان تعلق مندرجہ ذیل جدول میں دیا گیا ہے:

علامتی روایت

چونکہ زاویوں کی پیمائش ڈگریوں یا ریڈین میں کی جاتی ہے، اس لیے ہم اس روایت کو اپناتے ہیں کہ جب بھی ہم زاویہ $\theta^{\circ}$ لکھتے ہیں، ہمارا مطلب اس زاویہ سے ہے جس کی ڈگری پیمائش $\theta$ ہے اور جب بھی ہم زاویہ $\beta$ لکھتے ہیں، ہمارا مطلب اس زاویہ سے ہے جس کی ریڈین پیمائش $\beta$ ہے۔

نوٹ کریں کہ جب کسی زاویہ کو ریڈین میں ظاہر کیا جاتا ہے، تو لفظ ‘ریڈین’ اکثر چھوڑ دیا جاتا ہے۔ اس طرح، $\pi=180^{\circ}$ اور $\frac{\pi}{4}=45^{\circ}$ اس تفہیم کے ساتھ لکھے جاتے ہیں کہ $\pi$ اور $\frac{\pi}{4}$ ریڈین پیمائشیں ہیں۔ اس طرح، ہم کہہ سکتے ہیں کہ

$ \begin{aligned} & \text{ Radian measure }=\frac{\pi}{180} \times \text{ Degree measure } \\ & \text{ Degree measure }=\frac{180}{\pi} \times \text{ Radian measure } \end{aligned} $

مثال 1 $40^{\circ} 20^{\prime}$ کو ریڈین پیمائش میں تبدیل کریں۔

حل ہم جانتے ہیں کہ $180^{\circ}=\pi$ ریڈین۔

لہذا $\quad 40^{\circ} 20^{\prime}=40 \frac{1}{3}$ ڈگری $=\frac{\pi}{180} \times \frac{121}{3}$ ریڈین $=\frac{121 \pi}{540}$ ریڈین۔

اس لیے

$ 40^{\circ} 20^{\prime}=\frac{121 \pi}{540} \text{ radian. } $

مثال 2 6 ریڈین کو ڈگری پیمائش میں تبدیل کریں۔

حل ہم جانتے ہیں کہ $\pi$ ریڈین $=180^{\circ}$۔

لہذا

$ \begin{aligned} 6 \text{ radians } & =\frac{180}{\pi} \times 6 \text{ degree }=\frac{1080 \times 7}{22} \text{ degree } \\ & =343 \frac{7}{11} \text{ degree }=343^{\circ}+\frac{7 \times 60}{11} \text{ minute } \quad[\text{ as } 1^{\circ}=60^{\prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+\frac{2}{11} \text{ minute } \quad[\text{ as } 1^{\prime}=60^{\prime \prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+10.9^{\prime \prime} \quad=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime} \text{ approximately. } \end{aligned} $

لہذا $\quad 6$ ریڈین $=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime}$ تقریباً۔

مثال 3 اس دائرے کا رداس معلوم کریں جس میں مرکزی زاویہ $60^{\circ}$ لمبائی $37.4 cm$ کے قوس کو کاٹتا ہے ($\pi=\frac{22}{7}$ استعمال کریں)۔

حل یہاں $l=37.4 cm$ اور $\theta=60^{\circ}=\frac{60 \pi}{180}$ ریڈین $=\frac{\pi}{3}$

لہذا، $\quad$ کے ذریعے، ہمارے پاس ہے

$ r=\frac{37.4 \times 3}{\pi}=\frac{37.4 \times 3 \times 7}{22}=35.7 cm $

مثال 4 گھڑی کی منٹ والی سوئی $1.5 cm$ لمبی ہے۔ 40 منٹ میں اس کی نوک کتنا فاصلہ طے کرتی ہے؟ ($\pi=3.14$ استعمال کریں)۔

حل 60 منٹ میں، گھڑی کی منٹ والی سوئی ایک چکر مکمل کرتی ہے۔ اس لیے، 40 منٹ میں، منٹ والی سوئی ایک چکر کے $\frac{2}{3}$ سے گزرتی ہے۔ اس لیے، $\theta=\frac{2}{3} \times 360^{\circ}$ یا $\frac{4 \pi}{3}$ ریڈین۔ لہذا، طے شدہ مطلوبہ فاصلہ اس کے ذریعے دیا جاتا ہے

$ l=r \theta=1.5 \times \frac{4 \pi}{3} cm=2 \pi cm=2 \times 3.14 cm=6.28 cm . $

مثال 5 اگر دو دائروں میں ایک ہی لمبائی کے قوس مرکز پر زاویے $65^{\circ}$ اور $110^{\circ}$ بناتے ہیں، تو ان کے رداسوں کا تناسب معلوم کریں۔

حل فرض کریں $r_1$ اور $r_2$ دو دائروں کے رداس ہیں۔ دیا گیا ہے کہ

$ \theta_1=65^{\circ}=\frac{\pi}{180} \times 65=\frac{13 \pi}{36} \text{ radian } $

اور

$ \theta_2=110^{\circ}=\frac{\pi}{180} \times 110=\frac{22 \pi}{36} \text{ radian } $

فرض کریں $l$ ہر قوس کی لمبائی ہے۔ پھر $l=r_1 \theta_1=r_2 \theta_2$، جو دیتا ہے

$ \frac{13 \pi}{36} \times r_1=\frac{22 \pi}{36} \times r_2 \text{, i.e., } \frac{r_1}{r_2}=\frac{22}{13} $

لہذا $\quad r_1: r_2=22: 13$۔

3.3 مثلثاتی دالائیں

پچھلی کلاسوں میں، ہم نے حادہ زاویوں کے مثلثیاتی تناسب کا مطالعہ قائمہ الزاویہ مثلث کے اضلاع کے تناسب کے طور پر کیا ہے۔ اب ہم مثلثیاتی تناسب کی تعریف کو ریڈین پیمائش میں کسی بھی زاویے تک بڑھائیں گے اور ان کا مثلثاتی دالاؤں کے طور پر مطالعہ کریں گے۔

مختصاتی محوروں کے مبدا پر مرکز والے اکائی دائرے پر غور کریں۔ فرض کریں $P(a, b)$ زاویہ $AOP=x$ ریڈین والے دائرے پر کوئی نقطہ ہے، یعنی قوس $AP=x$ کی لمبائی (شکل 3.6)۔

شکل 3.6

ہم $\cos x=a$ اور $\sin x=b$ کی تعریف کرتے ہیں۔ چونکہ $\triangle OMP$ ایک قائمہ الزاویہ مثلث ہے، ہمارے پاس $OM^{2}+MP^{2}=OP^{2}$ یا $a^{2}+b^{2}=1$ ہے۔ اس طرح، اکائی دائرے کے ہر نقطہ کے لیے، ہمارے پاس ہے

$ a^{2}+b^{2}=1 \text{ or } \cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1 $

چونکہ ایک مکمل چکر دائرے کے مرکز پر $2 \pi$ ریڈین کا زاویہ بناتا ہے،

$\angle AOB=\frac{\pi}{2}$, $\angle AOC=\pi$ اور $\angle AOD=\frac{3 \pi}{2}$۔ وہ تمام زاویے جو $\frac{\pi}{2}$ کے صحیح عددی ضربی ہیں، ربعی زاویے کہلاتے ہیں۔ نقاط A, B, C اور D کے مختصات، بالترتیب، $(1,0),(0,1),(-1,0)$ اور $(0,-1)$ ہیں۔ اس لیے، ربعی زاویوں کے لیے، ہمارے پاس ہے

$ \begin{aligned} & \cos 0^{\circ}=1 \quad \sin 0^{\circ}=0, \\ & \cos \frac{\pi}{2}=0 \quad \sin \frac{\pi}{2}=1 \\ & \cos \pi=-1 \quad \sin \pi=0 \\ & \cos \frac{3 \pi}{2}=0 \quad \sin \frac{3 \pi}{2}=-1 \\ & \cos 2 \pi=1 \quad \sin 2 \pi=0 \end{aligned} $

اب، اگر ہم نقطہ $P$ سے ایک مکمل چکر لیں، تو ہم دوبارہ اسی نقطہ $P$ پر واپس آتے ہیں۔ اس طرح، ہم یہ بھی مشاہدہ کرتے ہیں کہ اگر $x$ کسی بھی صحیح عددی ضرب $2 \pi$ سے بڑھتا (یا گھٹتا) ہے، تو جیب اور جیب التمام دالاؤں کی قدریں نہیں بدلتیں۔ اس طرح،

$ \sin (2 n \pi+x)=\sin x, n \in \mathbf{Z}, \cos (2 n \pi+x)=\cos x, n \in \mathbf{Z} $

مزید، $\sin x=0$، اگر $x=0, \pm \pi, \pm 2 \pi, \pm 3 \pi$، …، یعنی جب $x$، $\pi$ کا صحیح عددی ضرب ہے اور $\cos x=0$، اگر $x= \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3 \pi}{2}, \pm \frac{5 \pi}{2}, \ldots$ یعنی، $\cos x$ غائب ہو جاتا ہے جب $x$، $\frac{\pi}{2}$ کا طاق ضرب ہے۔ اس طرح

$ \begin{aligned} & \sin x=0 \text{ implies } x=n \pi, \text{ where } n \text{ is any integer } \\ & \cos x=0 \text{ implies } x=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \text{, where } n \text{ is any integer. } \end{aligned} $

اب ہم دیگر مثلثاتی دالاؤں کی تعریف جیب اور جیب التمام دالاؤں کے لحاظ سے کرتے ہیں:

$\text{cosec} x=\frac{1}{\sin x}, x \neq n \pi$، جہاں $n$ کوئی صحیح عدد ہے۔

$\sec x=\frac{1}{\cos x}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$، جہاں $n$ کوئی صحیح عدد ہے۔

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$، جہاں $n$ کوئی صحیح عدد ہے۔

$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}, x \neq n \pi$، جہاں $n$ کوئی صحیح عدد ہے۔

ہم نے دکھایا ہے کہ تمام حقیقی $x, \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$ کے لیے

اس سے یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ

$$ \begin{aligned} & 1+\tan ^{2} x=\sec ^{2} x \\ & 1+\cot ^{2} x=cosec^{2} x \end{aligned} $$

پچھلی کلاسوں میں، ہم نے $0^{\circ}$, $30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}$ اور $90^{\circ}$ کے لیے مثلثیاتی تناسب کی اقدار پر بحث کی ہے۔ ان زاویوں کے لیے مثلثاتی دالاؤں کی اقدار وہی ہیں جو پچھلی کلاسوں میں پڑھے گئے مثلثیاتی تناسب کی ہیں۔ اس طرح، ہمارے پاس مندرجہ ذیل جدول ہے:

$cosec x, \sec x$ اور $\cot x$ کی اقدار بالترتیب $\sin x$, $\cos x$ اور $\tan x$ کی اقدار کے معکوس ہیں۔

3.3.1 مثلثاتی دالاؤں کی علامت

فرض کریں $P(a, b)$ مبدا پر مرکز والے اکائی دائرے پر ایک نقطہ ہے جیسا کہ $\angle AOP=x$۔ اگر $\angle AOQ=-x$، تو نقطہ $Q$ کے مختصات $(a,-b)$ ہوں گے (شکل 3.7)۔

شکل 3.7

اس لیے

$ \cos (-x)=\cos x $

اور $\quad$ $ \sin (-x)=-\sin x $

چونکہ اکائی دائرے کے ہر نقطہ $P(a, b)$ کے لیے، $-1 \leq a \leq 1$ اور

$-1 \leq b \leq 1$، ہمارے پاس $-1 \leq \cos x \leq 1$ اور $-1 \leq \sin x \leq 1$ تمام $x$ کے لیے ہے۔ ہم نے پچھلی کلاسوں میں سیکھا ہے کہ پہلے ربع میں $(0<x<\frac{\pi}{2}) a$ اور $b$ دونوں مثبت ہیں، دوسرے ربع میں $(\frac{\pi}{2}<x<\pi) a$ منفی ہے اور $b$ مثبت ہے، تیسرے ربع میں $(\pi<x<\frac{3 \pi}{2}) a$ اور $b$ دونوں منفی ہیں اور چوتھے ربع میں $(\frac{3 \pi}{2}<x<2 \pi) a$ مثبت ہے اور $b$ منفی ہے۔ اس لیے، $\sin x$ مثبت ہے $0<x<\pi$ کے لیے، اور منفی ہے $\pi<x<2 \pi$ کے لیے۔ اسی طرح، $\cos x$ مثبت ہے $0<x<\frac{\pi}{2}$ کے لیے، منفی ہے $\frac{\pi}{2}<x<\frac{3 \pi}{2}$ کے لیے اور مثبت ہے $\frac{3 \pi}{2}<x<2 \pi$ کے لیے بھی۔ اسی طرح، ہم مختلف ربعوں میں دیگر مثلثاتی دالاؤں کی علامتیں معلوم کر سکتے ہیں۔ درحقیقت، ہمارے پاس مندرجہ ذیل جدول ہے۔

3.3.2 مثلثاتی دالاؤں کا دائرہ کار اور حیطہ

جیب اور جیب التمام دالاؤں کی تعریف سے، ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ وہ تمام حقیقی اعداد کے لیے تعریف شدہ ہیں۔ مزید، ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ ہر حقیقی عدد $x$ کے لیے،

$$ -1 \leq \sin x \leq 1 \text{ and }-1 \leq \cos x \leq 1 $$

اس طرح، $y=\sin x$ اور $y=\cos x$ کا دائرہ کار تمام حقیقی اعداد کا مجموعہ ہے اور حیطہ وقفہ $[-1,1]$ ہے، یعنی، $-1 \leq y \leq 1$۔

چونکہ $ \text{cosec} x=\frac{1}{\sin x}$، $y=cosec x$ کا دائرہ کار مجموعہ $\{x: x \in \mathbf{R}$ اور $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ ہے اور حیطہ مجموعہ $\{y: y \in \mathbf{R}, y \geq 1$ یا $y \leq-1\}$ ہے۔ اسی طرح، $y=\sec x$ کا دائرہ کار مجموعہ $\{x: x \in \mathbf{R}.$ اور $.x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\}$ ہے اور حیطہ مجموعہ $\{y: y \in \mathbf{R}, y \leq-1$ یا $y \geq 1\}$ ہے۔ $y=\tan x$ کا دائرہ کار مجموعہ $\{x: x \in \mathbf{R}$ اور $.x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\}$ ہے اور حیطہ تمام حقیقی اعداد کا مجموعہ ہے۔ $y=\cot x$ کا دائرہ کار مجموعہ $\{x: x \in \mathbf{R}$ اور $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ ہے اور حیطہ تمام حقیقی اعداد کا مجموعہ ہے۔

ہم مزید مشاہدہ کرتے ہیں کہ پہلے ربع میں، جیسے $x$ 0 سے $\frac{\pi}{2}, \sin x$ تک بڑھتا ہے، 0 سے 1 تک بڑھتا ہے، جیسے $x$ $\frac{\pi}{2}$ سے $\pi, \sin x$ تک بڑھتا ہے، 1 سے 0 تک گھٹتا ہے۔ تیسرے ربع میں، جیسے $x$ $\pi$ سے $\frac{3 \pi}{2}, \sin x$ تک بڑھتا ہے، 0 سے -1 تک گھٹتا ہے اور آخر میں، چوتھے ربع میں، $\sin x$ -1 سے 0 تک بڑھتا ہے جیسے $x$ $\frac{3 \pi}{2}$ سے $2 \pi$ تک بڑھتا ہے۔ اسی طرح، ہم دیگر مثلثاتی دالاؤں کے رویے پر بحث کر سکتے ہیں۔ درحقیقت، ہمارے پاس مندرجہ ذیل جدول ہے:

تبصرہ مندرجہ بالا جدول میں، بیان $\tan x$ 0 سے $\infty$ (لامتناہی) تک بڑھتا ہے $0<x<\frac{\pi}{2}$ کے لیے صرف یہ کہتا ہے کہ $\tan x$ بڑھتا ہے جیسے $x$ بڑھتا ہے $0<x<\frac{\pi}{2}$ کے لیے اور من مانی طور پر بڑی مثبت اقدار اختیار کرتا ہے جیسے $x$ $\frac{\pi}{2}$ کے قریب آتا ہے۔ اسی طرح، یہ کہنا کہ $cosec x$ چوتھے ربع میں -1 سے $-\infty$ (منفی لامتناہی) تک گھٹتا ہے، اس کا مطلب ہے کہ $cosec x$ گھٹتا ہے $x \in(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi)$ کے لیے اور من مانی طور پر بڑی منفی اقدار اختیار کرتا ہے جیسے $x$ $2 \pi$ کے قریب آتا ہے۔ علامتیں $\infty$ اور $-\infty$ صرف دالاؤں اور متغیرات کے مخصوص رویوں کی وضاحت کرتی ہیں۔

ہم پہلے ہی دیکھ چکے ہیں کہ $\sin x$ اور $\cos x$ کی اقدار $2 \pi$ کے وقفے کے بعد دہرائی جاتی ہیں۔ لہذا، $cosec x$ اور $\sec x$ کی اقدار بھی $2 \pi$ کے وقفے کے بعد دہرائی جائیں گی۔

ہم اگلے حصے میں دیکھیں گے کہ $\tan (\pi+x)=\tan x$۔ لہذا، $\tan x$ کی اقدار $\pi$ کے وقفے کے بعد دہرائی جائیں گی۔ چونکہ $\cot x$، $\tan x$ کا معکوس ہے، اس کی اقدار بھی $\pi$ کے وقفے کے بعد دہرائی جائیں گی۔ اس علم اور مثلثاتی دالاؤں کے رویے کا استعمال کرتے ہوئے، ہم ان دالاؤں کے گراف بنا سکتے ہیں۔ ان دالاؤں کے گراف نیچے دیے گئے ہیں:

مثال 6 اگر $\cos x=-\frac{3}{5}, x$ تیسرے ربع میں واقع ہے، تو دیگر پانچ مثلثاتی دالاؤں کی اقدار معلوم کریں۔

حل چونکہ $\cos x=-\frac{3}{5}$، ہمارے پاس $\sec x=-\frac{5}{3}$ ہے

اب $\quad \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1$، یعنی، $\sin ^{2} x=1-\cos ^{2} x$

یا

$ \sin ^{2} x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25} $

لہذا $\quad \sin x= \pm \frac{4}{5}$

چونکہ $x$ تیسرے ربع میں واقع ہے، $\sin x$ منفی ہے۔ اس لیے

$ \sin x=-\frac{4}{5} $

جو یہ بھی دیتی ہے

$ cosec x=-\frac{5}{4} $

مزید، ہمارے پاس ہے

$ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{4}{3} \text{ and } \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{3}{4} $

مثال 7 اگر $\cot x=-\frac{5}{12}, x$ دوسرے ربع میں واقع ہے، تو دیگر پانچ مثلثاتی دالاؤں کی اقدار معلوم کریں۔

حل چونکہ cot $x=-\frac{5}{12}$، ہمارے پاس $\tan x=-\frac{12}{5}$ ہے

اب $\quad \sec ^{2} x=1+\tan ^{2} x=1+\frac{144}{25}=\frac{169}{25}$

لہذا

$ \sec x= \pm \frac{13}{5} $

چونکہ $x$ دوسرے ربع میں واقع ہے، sec $x$ منفی ہوگا۔ اس لیے

$ \sec x=-\frac{13}{5} $

جو یہ بھی دیتی ہے

$ \cos x=-\frac{5}{13} $

مزید، ہمارے پاس ہے

$ \sin x=\tan x \cos x=(-\frac{12}{5}) \times(-\frac{5}{13})=\frac{12}{13} $

اور $\quad \text{cosec} x=\frac{1}{\sin x}=\frac{13}{12}$۔

مثال 8 $\sin \frac{31 \pi}{3}$ کی قدر معلوم کریں۔

حل ہم جانتے ہیں کہ $\sin x$ کی اقدار $2 \pi$ کے وقفے کے بعد دہرائی جاتی ہیں۔ اس لیے

$ \sin \frac{31 \pi}{3}=\sin (10 \pi+\frac{\pi}{3})=\sin \frac{\