ریاضیات علوم کی ملکہ اور حساب نیز ریاضیات کی ملکہ ہے۔ - گاوس

4.1 تعارف

پچھلے کلاسوں میں ہم نے ایک اور دو متغیرات والی لائنر مساوات اور ایک متغیر والی تربیتی مساوات کو سیکھا ہے۔ ہم نے دیکھا کہ مساوات $x^{2}+1=0$ کا کوئی حقیقی حل نہیں ہے کیونکہ $x^{2}+1=0$ $x^{2}=-1$ دیتا ہے اور ہر حقیقی عدد کا مربع منفی نہیں ہوتا۔ لہٰذا ہمیں حقیقی عدد کے نظام کو بڑے نظام میں توسیع دینی پڑتی ہے تاکہ ہم مساوات $x^{2}=-1$ کا حل حاصل کر سکیں۔ درحقیقت، اصل مقصد مساوات $a x^{2}+b x+c=0$ کا حل دینا ہے، جہاں $D=b^{2}-4 a c<0$، جو حقیقی اعداد کے نظام میں ممکن نہیں ہے۔

وے۔ آر۔ ہیملٹن (1805-1865 م)

4.2 مرکب اعداد

ہم $\sqrt{-1}$ کو رمز $i$ سے ظاہر کریں گے۔ تو، ہم $i^{2}=-1$ حاصل کرتے ہیں۔ اس کا مطلب یہ ہے کہ $i$ مساوات $x^{2}+1=0$ کا حل ہے۔

ایسے عدد کو $a+i b$ کی شکل میں، جہاں $a$ اور $b$ حقیقی اعداد ہیں، مرکب عدد کہلاتے ہیں۔ مثال کے طور پر، $2+i 3,(-1)+i \sqrt{3}, 4+i(\frac{-1}{11})$ مرکب اعداد ہیں۔

مرکب عدد $z=a+i b, a$ کو حقیقی حصہ کہلاتے ہیں، جسے $Re z$ کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے اور $b$ کو خیالی حصہ کہلاتے ہیں جسے $Im z$ کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر $z=2+i 5$، تو $Re z=2$ اور $Im z=5$۔

دو مرکب اعداد $z_1=a+i b$ اور $z_2=c+i d$ ایک دوسرے کے برابر ہوں گے اگر $a=c$ اور $b=d$۔

مثال 1 اگر $4 x+i(3 x-y)=3+i(-6)$، جہاں $x$ اور $y$ حقیقی اعداد ہیں، تو $x$ اور $y$ کے قیمتیں دریافت کریں۔

حل ہم $$ 4 x+i(3 x-y)=3+i(-6) \tag{i} $$ حاصل کرتے ہیں۔

(1) کے حقیقی اور خیالی حصوں کو برابر کرتے ہوئے، ہم $$ 4 x=3,3 x-y=-6, $$ حاصل کرتے ہیں، جسے متبادل حل کر کے $x=\frac{3}{4}$ اور $y=\frac{33}{4}$ حاصل ہوتے ہیں۔

4.3 مرکب اعداد کا حساب

اس سیکشن میں ہم مرکب اعداد کا حساب طریقہ کار پیش کریں گے۔

4.3.1 دو مرکب اعداد کا اجمالی

لیں کہ $z_1=a+i b$ اور $z_2=c+i d$ کوئی دو مرکب اعداد ہوں۔ تو، اجمالی $z_1+z_2$ یہاں تک کے معین ہے:

$z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$، جو ایک مرکب عدد کے بارے میں واپس آتا ہے۔

مثال کے طور پر، $(2+i 3)+(-6+i 5)=(2-6)+i(3+5)=-4+i 8$

مرکب اعداد کا اجمالی مندرجہ ذیل خصوصیات کو پورا کرتا ہے:

(آئی) بنیادی قانون اجمالی دو مرکب اعداد کا مرکب عدد ہوتا ہے، یعنی $z_1+z_2$ ہر مرکب اعداد $z_1$ اور $z_2$ کے لیے مرکب عدد ہوتا ہے۔

(آئی آئی) تبادلی قانون ہر دو مرکب اعداد $z_1$ اور $z_2$ کے لیے $z_1+z_2=z_2+z_1$

(آئی آئی آئی) تعاونی قانون ہر تین مرکب اعداد $z_1, z_2, z_3$، $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$۔

(د) جمع کرنے کی حیثیت کا امکان مرکب عدد $0+i 0$ (جسے 0 کہا جاتا ہے) کا امکان ہے، جسے جمع کرنے کی حیثیت یا صفر مرکب عدد کہلاتے ہیں، جس کے ساتھ، ہر مرکب عدد $z, z+0=z$۔

(و) جمع کرنے کے مخالف کا امکان ہر مرکب عدد $z=a+i b$ کے لیے ہم مرکب عدد $-a+i(-b)$ (جسے $-z$ کہا جاتا ہے) حاصل کرتے ہیں، جسے $z$ کے جمع کرنے کے مخالف یا $z$ کے منفی کہلاتے ہیں۔ ہم $z+(-z)=0$ (جمع کرنے کی حیثیت) کو دیکھتے ہیں۔

4.3.2 دو مرکب اعداد کا فرق

کوئی بھی دو مرکب اعداد $z_1$ اور $z_2$ دیے گئے ہیں، تو فرق $z_1-z_2$ یہاں تک کے معین ہے:

مثال کے طور پر،

$ z_1-z_2=z_1+(-z_2) . $

اور

$ \begin{aligned} & (6+3 i)-(2-i)=(6+3 i)+(-2+i)=4+4 i \\ & \quad(2-i)-(6+3 i)=(2-i)+(-6-3 i)=-4-4 i \end{aligned} $

4.3.3 دو مرکب اعداد کا ضرب

لیں کہ $z_1=a+i b$ اور $z_2=c+i d$ کوئی دو مرکب اعداد ہوں۔ تو، ضرب $z_1 z_2$ یہاں تک کے معین ہے:

$$ z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c) $$

مثال کے طور پر، $(3+i 5)(2+i 6)=(3 \times 2-5 \times 6)+i(3 \times 6+5 \times 2)=-24+i 28$

مرکب اعداد کا ضرب مندرجہ ذیل خصوصیات رکھتا ہے، جسے ہم براہ راست براہ راست ثابت نہ کرتے ہوئے ظاہر کرتے ہیں۔

(آئی) بنیادی قانون دو مرکب اعداد کا ضرب مرکب عدد ہوتا ہے، ضرب $z_1 z_2$ ہر مرکب اعداد $z_1$ اور $z_2$ کے لیے مرکب عدد ہوتا ہے۔

(آئی آئی) تبادلی قانون ہر دو مرکب اعداد $z_1$ اور $z_2$ کے لیے

$$ z_1 z_2=z_2 z_1 $$

(آئی آئی آئی) تعاونی قانون ہر تین مرکب اعداد $z_1, z_2, z_3$

$$ (z_1 z_2) z_3=z_1(z_2 z_3) \text{. } $$

(د) گھربل کرنے کی حیثیت کا امکان مرکب عدد $1+i 0$ (جسے 1 کہا جاتا ہے) کا امکان ہے، جسے گھربل کرنے کی حیثیت کہلاتے ہیں، جس کے ساتھ $z .1=z$، ہر مرکب عدد $z$۔

(و) گھربل کرنے کے مخالف کا امکان ہر غیر صفر مرکب عدد $z=a+i b$ یا $a+b i(a \neq 0, b \neq 0)$ کے لیے ہم مرکب عدد $\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}(.$ جسے $\frac{1}{z}$ یا $.z^{-1})$ کہا جاتا ہے، حاصل کرتے ہیں، جسے $z$ کے گھربل کرنے کے مخالف کہلاتے ہیں، جس کے ساتھ

$z \cdot \frac{1}{z}=1$ (گھربل کرنے کی حیثیت)۔

(و آئی) تقسیمی قانون ہر تین مرکب اعداد $z_1, z_2, z_3$ کے لیے

(ا) $z_1(z_2+z_3)=z_1 z_2+z_1 z_3$

(ب) $(z_1+z_2) z_3=z_1 z_3+z_2 z_3$

4.3.4 دو مرکب اعداد کا تقسیم

کوئی بھی دو مرکب اعداد $z_1$ اور $z_2$، جہاں $z_2 \neq 0$، تقسیم $\frac{z_1}{z_2}$ یہاں تک کے معین ہے

$ \frac{z_1}{z_2}=z_1 \frac{1}{z_2} $

مثال کے طور پر، لیں کہ $\quad z_1=6+3 i$ اور $z_2=2-i$

تو

$ \frac{z_1}{z_2}=((6+3 i) \times \frac{1}{2-i})=(6+3 i)(\frac{2}{2^{2}+(-1)^{2}}+i \frac{-(-1)}{2^{2}+(-1)^{2}}) $

$ =(6+3 i)(\frac{2+i}{5})=\frac{1}{5}[12-3+i(6+6)]=\frac{1}{5}(9+12 i) $

4.3.5 $i$ کی طاقت

ہم جانتے ہیں کہ

$ \begin{bmatrix} i^{3}=i^{2} i=(-1) i=-i, & i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1 \\ i^{5}=(i^{2})^{2} i=(-1)^{2} i=i, & i^{6}=(i^{2})^{3}=(-1)^{3}=-1, \text{ etc. } \end{bmatrix} $

اسی طرح، ہم $\quad i^{-1}=\frac{1}{i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-1}=-i, \quad i^{-2}=\frac{1}{i^{2}}=\frac{1}{-1}=-1$،

$$ i^{-3}=\frac{1}{i^{3}}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{1}=i, \quad i^{-4}=\frac{1}{i^{4}}=\frac{1}{1}=1 $$

عام طور پر، ہر عدد صحیح $k, i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$ کے لیے

4.3.6 منفی حقیقی عدد کے مربع جذر

نوٹ کریں کہ $i^{2}=-1$ اور $(-i)^{2}=i^{2}=-1$

لہٰذا، -1 کے مربع جذر $i,-i$ ہیں۔ لیکن رمز $\sqrt{-1}$ کو صرف $i$ کے مطابقت دیا جاتا ہے۔

اب، ہم دیکھ سکتے ہیں کہ $i$ اور $-i$ دونوں مساوات $x^{2}+1=0$ یا $x^{2}=-1$ کے حل ہیں۔

اسی طرح $\quad(\sqrt{3} i)^{2}=(\sqrt{3})^{2} i^{2}=3(-1)=-3$

$$ (-\sqrt{3} i)^{2}=(-\sqrt{3})^{2} i^{2}=-3 $$

لہٰذا، -3 کے مربع جذر $\sqrt{3} i$ اور $-\sqrt{3} i$ ہیں۔

اسی دوران، رمز $\sqrt{-3}$ کو صرف $\sqrt{3} i$ کے مطابقت دیا جاتا ہے، یعنی $\sqrt{-3}=\sqrt{3} i$۔

عام طور پر، اگر $a$ ایک موجب حقیقی عدد ہے، $\sqrt{-a}=\sqrt{a} \sqrt{-1}=\sqrt{a} i$،

ہم پہلے ہی جانتے ہیں کہ $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}$ ہر موجب حقیقی عدد $a$ اور $b$ کے لیے۔ اس نتیجہ کا یہی اصل صحیح ہے جب $a>0, b<0$ یا $a<0, b>0$ ہو۔ $a<0, b<0$ کیسے ہوگا؟ ہم دیکھیں گے۔

نوٹ کریں کہ

$ \begin{aligned} i^{2} & =\sqrt{-1} \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)(-1)} \text{ (برائے اِس کے طور پر } \sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b} \text{ ہر حقیقی عدد کے لیے) } \\ & =\sqrt{1}=1 \text{، جو } i^{2}=-1 \text{ کے حقیقت کے مخالفت میں ہے } \end{aligned} $

لہٰذا، $\sqrt{a} \times \sqrt{b} \neq \sqrt{a b}$ اگر دونوں $a$ اور $b$ منفی حقیقی اعداد ہوں۔

اسی طرح، اگر $a$ اور $b$ میں سے کوئی بھی صفر ہو تو، صرف، $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}=0$۔

4.3.7 حقائق

ہم مندرجہ ذیل حقیقت کی ثبوت دیتے ہیں

$ (z_1+z_2)^{2}=z_1^{2}+z_2^{2}+2 z_1 z_2 \text{، ہر مرکب اعداد } z_1 \text{ اور } z_2 \text{ کے لیے۔ } $

ثبوت ہم $(z_1+z_2)^{2}=(z_1+z_2)(z_1+z_2)$،

$$ \begin{aligned} =(z_1+z_2) z_1+(z_1+z_2) z_2 & \text{ (Distributive law) } \\ =z_1^{2}+z_2 z_1+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (Distributive law) } \\ =z_1^{2}+z_1 z_2+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (Commutative law of multiplication) } \\ =z_1^{2}+2 z_1 z_2+z_2^{2} & \end{aligned} $$

اسی طرح، ہم مندرجہ ذیل حقائق کو بھی ثبوت دے سکتے ہیں:

(آئی) $(z_1-z_2)^{2}=z_1^{2}-2 z_1 z_2+z_2^{2}$

(آئی آئی) $(z_1+z_2)^{3}=z_1^{3}+3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}+z_2^{3}$

(آئی آئی آئی) $(z_1-z_2)^{3}=z_1^{3}-3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}-z_2^{3}$

(د) $z_1^{2}-z_2^{2}=(z_1+z_2)(z_1-z_2)$

درحقیقت، ہر حقیقی عدد کے لیے ثابت ہونے والے بہت سے دوسرے حقائق بھی ہر مرکب عدد کے لیے ثابت ہونے کا ثبوت دے سکتے ہیں۔

مثال 2 مندرجہ ذیل کو $a+b i$ کی شکل میں ظاہر کریں:

(آئی) $(-5 i)(\frac{1}{8} i)$

(آئی آئی) $(-i)(2 i)(-\frac{1}{8} i)^{3}$

حل (آئی) $(-5 i)(\frac{1}{8} i)=\frac{-5}{8} i^{2}=\frac{-5}{8}(-1)=\frac{5}{8}=\frac{5}{8}+i 0$

(آئی آئی) $(-i)(2 i)(-\frac{1}{8} i)^{3}=2 \times \frac{1}{8 \times 8 \times 8} \times i^{5}=\frac{1}{256}(i^{2})^{2} i=\frac{1}{256} i$۔

مثال 3 $(5-3 i)^{3}$ کو $a+i b$ کی شکل میں ظاہر کریں۔

حل ہم $(5-3 i)^{3}=5^{3}-3 \times 5^{2} \times(3 i)+3 \times 5(3 i)^{2}-(3 i)^{3}$،

$$ =125-225 i-135+27 i=-10-198 i . $$

مثال 4 $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)$ کو $a+i b$ کی شکل میں ظاہر کریں۔

حل ہم $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)=(-\sqrt{3}+\sqrt{2} i)(2 \sqrt{3}-i)$،

$ =-6+\sqrt{3} i+2 \sqrt{6} i-\sqrt{2} i^{2}=(-6+\sqrt{2})+\sqrt{3}(1+2 \sqrt{2}) i $

4.4 مرکب عدد کا ماڈولس اور مرکب مخالف

لیں کہ $z=a+i b$ ایک مرکب عدد ہے۔ تو، $z$ کا ماڈولس، جسے $|z|$ کہا جاتا ہے، غیر منفی حقیقی عدد $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ کے طور پر معین کیا جاتا ہے، یعنی $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ اور $z$ کا مرکب مخالف، جسے $\bar{z}$ کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے، ایک مرکب عدد $a-i b$ ہے، یعنی $\bar{z}=a-i b$۔

مثال کے طور پر، $\quad|3+i|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10},|2-5 i|=\sqrt{2^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{29}$،

اور

$ \overline{3+i}=3-i, \overline{2-5 i}=2+5 i, \overline{-3 i-5}=3 i-5 $

غیر صفر مرکب عدد $z$ کے گھربل کرنے کے مخالف کو دیکھیں کہ

$ \begin{aligned} & \quad z^{-1}=\frac{1}{a+i b}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a-i b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}} \\ & \text{ یا } z \bar{z}=|z|^{2} \end{aligned} $

اسی طرح، مندرجہ ذیل نتائج آسانی سے استخراج کی جا سکتی ہیں۔

ہر دو مرکب اعداد $z_1$ اور $z_2$ کے لیے، ہم $|z_1 z_2|=|z_1||z_2|$ حاصل کرتے ہیں، $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ دیتے ہیں، $|z_2| \neq 0$ کی ضرورت ہے، $\overline{z_1 z_2}=\overline{z_1} \overline{z_2}$، $\overline{z_1 \pm z_2}=\overline{z_1} \pm \overline{z_2} $، اور $\overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}provied z_2\neq0 $۔

مثال 5 $2-3 i$ کے گھربل کرنے کے مخالف کو حاصل کریں۔

حل لیں کہ $z=2-3 i$

تو $\quad \bar{z}=2+3 i$ اور $\quad|z|^{2}=2^{2}+(-3)^{2}=13$

لہٰذا، $2-3 i$ کے گھربل کرنے کے مخالف یہاں تک کے معین ہے

$ z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i $

مندرجہ بالا کام بھی مندرجہ بالا طریقے سے براہ راست کیا جا سکتا ہے،

$ \begin{aligned} z^{-1} & =\frac{1}{2-3 i}=\frac{2+3 i}{(2-3 i)(2+3 i)} \\ & =\frac{2+3 i}{2^{2}-(3 i)^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i \end{aligned} $

مثال 6 مندرجہ ذیل کو $a+i b$ کی شکل میں ظاہر کریں۔

(آئی) $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}$

(آئی آئی) $i^{-35}$

حل (آئی) ہم $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}=\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i} \times \frac{1+\sqrt{2} i}{1+\sqrt{2} i}=\frac{5+5 \sqrt{2} i+\sqrt{2} i-2}{1-(\sqrt{2} i)^{2}}$،

$$ =\frac{3+6 \sqrt{2} i}{1+2}=\frac{3(1+2 \sqrt{2} i)}{3}=1+2 \sqrt{2} i $$

(آئی آئی) $i^{-35}=\frac{1}{i^{35}}=\frac{1}{(i^{2})^{17} i}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-i^{2}}=i$

4.5 ارگنڈ کے پلین اور قطبی ترکیب

ہم پہلے ہی جانتے ہیں کہ ہر مرتب زوج حقیقی اعداد $(x, y)$ کے مطابق، ہم XY پلین میں ایک منفرد نقطہ حاصل کرتے ہیں اور برعکس، ایک متبادل موصولہ خطوط کے منسلکہ، جنہیں $x$-محور اور $y$-محور کہا جاتا ہے۔ مرکب عدد $x+i y$ جو مرتب زوج $(x, y)$ کے مطابق ہے، گرافیکی طور پر XY پلین میں منفرد نقطہ $P(x, y)$ کے طور پر اور برعکس معین ہے۔

کچھ مرکب اعداد جیسے $2+4 i,-2+3 i, 0+1 i, 2+0 i,-5-2 i$ اور $1-2 i$ جو مرتب زوج $(2,4),(-2,3),(0,1),(2,0),(-5,-2)$، اور $(1,-2)$ کے مطابق ہیں، گرافیکی طور پر نقطوں $A, B, C, D, E$، اور $F$ کے ذریعے نمایاں کیے گئے ہیں فیگ 4.1 میں۔

فیگ 4.1

ہر نقطہ پر ایک مرکب عدد منسلک کرنے والا پلین کو مرکب پلین یا ارگنڈ کے پلین کہلاتا ہے۔

صرف، ارگنڈ کے پلین میں، مرکب عدد $x+i y=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ کا ماڈولس نقطہ $P(x, y)$ اور صفر $O(0,0)$ (فیگ 4.2) کے درمیان فاصلہ ہے۔ $x$-محور پر کچھ نقاط مرکب اعداد کی شکل $a+i 0$ کے مطابق ہوتے ہیں اور $y$-محور پر کچھ نقاط مرکب اعداد کی شکل $0+i b$ کے مطابق ہوتے ہیں۔ ارگنڈ کے پلین میں $x$-محور اور $y$-محور کو علیحدہ علیحدہ حقیقی محور اور خیالی محور کہا جاتا ہے۔

فیگ 4.2

ارگنڈ کے پلین میں مرکب عدد $z=x+i y$ اور اس کا مرکب مخالف $z=x-i y$ کی ترکیب، علیحدہ علیحدہ نقطوں $P(x, y)$ اور $Q(x,-y)$ ہے۔ گرافیکی طور پر، نقطہ $(x,-y)$ نقطہ $(x, y)$ کا ریاضی محور پر مرآتی تصویر ہے (فیگ 4.3)۔

فیگ 4.2

مشترکہ مثالیں

مثال 7 $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$ کا مرکب مخالف حاصل کریں۔

حل ہم $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$،

$ \begin{aligned} & =\frac{6+9 i-4 i+6}{2-i+4 i+2}=\frac{12+5 i}{4+3 i} \times \frac{4-3 i}{4-3 i} \\ & =\frac{48-36 i+20 i+15}{16+9}=\frac{63-16 i}{25}=\frac{63}{25}-\frac{16}{25} i \end{aligned} $

لہٰذا، $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$ کا مرکب مخالف $\frac{63}{25}+\frac{16}{25} i$ ہے۔

مثال 8 اگر $x+i y=\frac{a+i b}{a-i b}$، ثبوت دیں کہ $x^{2}+y^{2}=1$۔

حل ہم $x-i y=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i$،

$ x+i y=\frac{(a+i b)(a+i b)}{(a-i b)(a+i b)}=\frac{a^{2}-b^{2}+2 a b i}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i $

لہٰذا،

$ \begin{aligned} x^{2}+y^{2}=(x+i y)(x-i y) & =\frac{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}+\frac{4 a^{2} b^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}\\ & =\frac{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}=1 \end{aligned} $

خلاصہ

ایسے عدد کو مرکب عدد کہلاتے ہیں جس کی شکل $a+i b$ ہے، جہاں $a$ اور $b$ حقیقی اعداد ہیں، $a$ حقیقی حصہ کہلاتا ہے اور $b$ خیالی حصہ کہلاتا ہے۔

لیں کہ $z_1=a+i b$ اور $z_2=c+i d$۔ تو

(آئی) $z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$

(آئی آئی) $z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c)$

ہر غیر صفر مرکب عدد $z=a+i b(a \neq 0, b \neq 0)$ کے لیے، ہم مرکب عدد $\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}$ حاصل کرتے ہیں، جسے $\frac{1}{z}$ یا $z^{-1}$ کہا جاتا ہے، جسے $z$ کے گھربل کرنے کے مخالف کہلاتے ہے، جس کے ساتھ $(a+i b) \frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}=1+i 0$ $=1$

ہر عدد صحیح $k, i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$ کے لیے

مرکب عدد $z=a+i b$ کا مرکب مخالف، جسے $\bar{z}$ کہا جاتا ہے، $\bar{z}=a-i b$ دیا جاتا ہے۔

تاریخی نوٹ

منفی عدد کے مربع جذر کے حقیقی اعداد نظام میں موجود نہیں ہونے کا حقیقت یونانیوں نے ریکوگنائز کیا تھا۔ لیکن اعجاز کا ذمہ دار انڈین متکلم مہاویرا (850) تھے جو پہلی بار اس مشکل کو واضح طور پر ظاہر کیا۔ “اس کا عمل ‘گنیتاسارا سانگراہا’ میں ذکر ہے جیسے شاید کہ طبیعت کے مطابق منفی (مقدار) ایک مربع (مقدار) نہیں ہوتا، اس لیے اس کا کوئی مربع جذر نہیں ہے۔” بھاسکرا، دوسرا انڈین متکلم، اپنے عمل بیج اگنیتا میں، جو 1150 میں لکھا گیا، “منفی مقدار کا کوئی مربع جذر نہیں، کیونکہ یہ ایک مربع نہیں ہے۔” کارڈن (1545) نے مسئلہ حل کرنا $x=5+\sqrt{-15}$ اور $y=5-\sqrt{-15}$ کو حل کرنا جو اس نے ‘غیر مفید’ کے بیان سے رد کر دیا تھا۔ البرٹ گیرارڈ (تقریباً 1625) نے منفی اعداد کے مربع جذر کو قبول کیا اور کہا کہ یہ ہمیں ایسے اعداد کے قدر کے قدر جذور حاصل کرنے کی اجازت دےگا۔ یونان کا پہلا رمز $i$ کو $\sqrt{-1}$ کے لیے $a+i b$ کے لیے $(a, b)$ کو علیحدہ علیحدہ حقیقی اعداد کے زوج کے طور پر دینے کے ساتھ اور ‘خیالی اعداد’ کے نام واپسی کے بدلے میں ایک صرف ریاضیاتی تعریف دینے کے ساتھ اور وے۔ آر۔ ہیملٹن (تقریباً 1830) کے ہاتھوں ہے۔