ریاضی ایسی فن کا مطلب ہے جو بہت سے طریقے سے بہت سی باتیں بیان کرتا ہے۔ - میکسویل

5.1 تعارف

پچھلے کلاسوں میں ہم نے ایک متغیر اور دو متغیرات کے مساوات کا مطالعہ کیا ہے اور تصریح کے کچھ مسائل کو مساوات کی شکل میں ترجمہ کر کے حل کیے ہیں۔ اب ایک طبیعی سوال پیش آتا ہے: ‘کیا ہمیں ہمیشہ تصریح کے مسائل کو مساوات کی شکل میں ترجمہ کرنا ہوتا ہے؟ مثال کے طور پر، آپ کی کلاس میں تمام طلاب کی چھت کم ہے $160 cm$۔ آپ کا کلاس روم صرف 60 میز یا چھت یا دونوں کو جائز رکھ سکتا ہے۔ یہاں ہم کچھ تصریحات کو حاصل کرتے ہیں جن میں ’ $<$ ’ (کم ہونا)، ‘>’ (بڑھنا)، ’ $\leq$ ’ (کم یا برابر ہونا) اور $\geq$ (بڑھنا یا برابر ہونا) کے علامتوں کا استعمال ہوتا ہے جن کو نامساوی کہا جاتا ہے۔

اس فصل میں ہم ایک اور دو متغیرات کے خطی نامساوی کا مطالعہ کریں گے۔ نامساوی کا مطالعہ علم، ریاضی، شمارشیات، معاشیات، روانیات، اور دیگر شعبوں میں مسائل حل کرنے میں بہترین کمک کرتا ہے۔

5.2 نامساوی

آئیے اس صورتحال کو دیکھیں:

(آئی) رووی 200 روپے کے ساتھ بازار جاتے ہیں جنھیں کھانا $1 kg$ کے پیکیٹس میں دستیاب ہے۔ ایک پیکٹ کی کھانے کی قیمت ₹ 30 ہے۔ $x$ کھانے کے پیکٹس کی تعداد کو ظاہر کرتا ہے، تو اس کا کل خرچ ₹ $30 x$ ہوگا۔ کیونکہ اس کے پاس ہر طرح کی روپے کی کمی ہے، اس لیے اسے کل روپیوں کا استعمال کرنا ہوگا۔ (کیونکہ؟) یوں

$$ 30 x<200 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

واضح طور پر تصریح (آئی) مساوات نہیں ہے کیونکہ اس میں برابرت کی علامت کا استعمال نہیں ہوتا۔ (آئی) ریشما 120 روپے کے ساتھ کچھ ریجسٹر اور پینز خریدنا چاہتی ہے۔ ایک ریجسٹر کی قیمت ₹ 40 اور ایک پین کی قیمت ₹ 20 ہے۔ اس صورتحال میں، $x$ کو ریجسٹر کی تعداد اور $y$ کو پینز کی تعداد ظاہر کرتا ہے، جو ریشما خریدتی ہے، تو اس کا کل خرچ ₹ $(40 x+20 y)$ ہوگا اور ہمیں

$$ 40 x+20 y \leq 120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $$

ملتا ہے۔ اس صورتحال میں کل خرچ ₹ 120 تک ہو سکتا ہے۔ تصریح (2) کے دونوں تصریحات ہیں

$ \text{ اور } \quad \begin{aligned} & 40 x+20 y<120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) \\ & 40 x+20 y=120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (4) \end{aligned} $

تصریح (3) مساوات نہیں ہے، یعنی یہ ایک نامساوی ہے، درحال کہ تصریح (4) مساوات ہے۔

تعریف 1 دو حقیقی اعداد یا دو جبرائی متغیرات جو ’ $<$,’, ‘>’, ’ $\leq$ ’ یا ’ $\geq$ ’ کی علامت کے تحت مربوط ہوتے ہیں، نامساوی کو ہوتا ہے۔

مثال کے طور پر (1)، (2) اور (3) جیسی تصریحات نامساوی ہیں۔

$3<5 ; 7>5$ عددی نامساوی کی مثالیں ہیں، درحال کہ

$x<5 ; y>2 ; x \geq 3, y \leq 4$ کچھ حرفی نامساوی کی مثالیں ہیں۔ $3<5<7($ کو 5 3 سے بڑھی ہے اور 7 سے کم کہا جاتا ہے)، $3 \leq x<5($ کو $x$ 3 سے بڑھی ہے یا برابر ہے اور 5 سے کم کہا جاتا ہے) اور $2<y \leq 4$ عددی نامساوی کی مثالیں ہیں۔ مزید نامساوی کی مثالیں ہیں:

$$ \begin{align*} & a x+b<0 \tag{5}\\ & a x+b>0 \tag{6}\\ & a x+b \leq 0 \tag{7}\\ & a x+b \geq 0 \tag{8}\\ & a x+b y<c \tag{9}\\ & a x+b y>c \tag{10}\\ & a x+b y \leq c \tag{11}\\ & a x+b y \geq c \tag{12}\\ & a x^{2}+b x+c \leq 0 \tag{13}\\ & a x^{2}+b x+c>0 \tag{14} \end{align*} $$

نامساوی (5)، (6)، (9)، (10) اور (14) صارف نامساوی ہیں، درحال کہ نامساوی (7)، (8)، (11)، (12)، اور (13) لین نامساوی ہیں۔ نامساوی (5) سے (8) تک ایک متغیر $x$ کی خطی نامساوی ہیں جبکہ $a \neq 0$، نامساوی (9) سے (12) تک دو متغیرات $x$ اور $y$ کی خطی نامساوی ہیں جبکہ $a \neq 0, b \neq 0$۔ نامساوی (13) اور (14) خطی نامساوی نہیں ہیں (فی الحال، یہ ایک متغیر $x$ کی تربیعی نامساوی ہیں جبکہ $a \neq 0)$۔

اس فصل میں ہم صرف ایک اور دو متغیرات کے خطی نامساوی کا مطالعہ کریں گے۔

5.3 ایک متغیر کی خطی نامساویوں کے جبرائی حلوں اور ان کی نقطہ خط پر تجسم تمثیل

آئیے سیکشن 6.2 کی نامساوی (1) کو دیکھیں، جیسے $30 x<200$ میں $x$ کھانے کے پیکٹس کی تعداد کو ظاہر کرتا ہے۔ واضح طور پر $x$ منفی ایکس کے عدد یا تخمینہ نہیں ہو سکتا۔ اس نامساوی کا بائیں ہاتھ جانب (L.H.S.) $30 x$ اور دائیں ہاتھ جانب (RHS) 200 ہے۔ یوں ہمیں

$ \begin{aligned} & \text{ برایہ } x=0 \text{ کے لیے L.H.S. }=30(0)=0<200(\text{ R.H.S. }) \text{، جو درست ہے۔ } \\ & \text{ برایہ } x=1 \text{ کے لیے L.H.S. }=30(1)=30<200 \text{ (R.H.S.)، جو درست ہے۔ } \\ & \text{ برایہ } x=2 \text{ کے لیے L.H.S. }=30(2)=60<200 \text{، جو درست ہے۔ } \\ & \text{ برایہ } x=3 \text{ کے لیے L.H.S. }=30(3)=90<200 \text{، جو درست ہے۔ } \\ & \text{ برایہ } x=4 \text{ کے لیے L.H.S. }=30(4)=120<200 \text{، جو درست ہے۔ } \\ & \text{ برایہ } x=5 \text{ کے لیے L.H.S. }=30(5)=150<200 \text{، جو درست ہے۔ } \\ & \text{ برایہ } x=6 \text{ کے لیے L.H.S. }=30(6)=180<200 \text{، جو درست ہے۔ } \\ & \text{ برایہ } x=7 \text{ کے لیے L.H.S. }=30(7)=210<200 \text{، جو غلط ہے۔ } \end{aligned} $

مذکور صورتحال میں، ہم دیکھتے ہیں کہ $x$ کی یہ قیمتیں جو مذکور نامساوی کو درست تصریح بناتی ہیں، $0,1,2,3,4,5,6$ ہیں۔ $x$ کی یہ قیمتیں جو مذکور نامساوی کو درست تصریح بناتی ہیں، نامساوی کے حل کہلاتی ہیں اور مجموعہ ${0,1,2,3,4,5,6}$ اس کے حل کے مجموعہ کہلاتا ہے۔

یوں، ایک نامساوی کا ایک متغیر کا کوئی حل وہ متغیر کی قیمت ہے جو اسے درست تصریح بناتی ہے۔

ہم نے مذکور نامساوی کے حلوں کو تجربہ کار طریقے سے حاصل کیے ہیں جو بہت ناکارہ نہیں ہے۔ واضح طور پر یہ طریقہ وقت گزار کرتا ہے اور کبھی کبھار ناقابل فرض نہیں ہے۔ ہمیں نامساویوں کو حل کرنے کے لیے کچھ بہتر یا نظامی تکنیکیں ہونی چاہیں گی۔ ان سے پہلے ہمیں نامساویوں کے کچھ مزید خصوصیات پر غور کرنا چاہیے اور ان کو نامساویوں کو حل کرتے وقت انہیں قواعد کے طور پر استعمال کریں۔

ہمیں یاد ہے کہ خطی مساواتوں کو حل کرتے وقت ہم نے درج ذیل قواعد پیر کیے تھے:

قاعدہ 1 مساوات کے دونوں ہاتھ جانب ایکس سے ایکس کے عدد شامل یا چھوڑ دیے جا سکتے ہیں۔

قاعدہ 2 مساوات کے دونوں ہاتھ جانب ایکس سے ایکس کے عدد کے ساتھ ایکس کو ضرب یا تقسیم کیا جا سکتا ہے۔

نامساویوں کے حل کے صورتحال میں، ہم دوبارہ یہی قواعد پیر کرتے ہیں، صرف ایک فرق کے ساتھ کہ قاعدہ 2 میں، جب ہم نامساوی کے دونوں ہاتھ جانب منفی عدد کے ساتھ ضرب یا تقسیم کرتے ہیں تو نامساوی کی علامت معکوس ہو جاتی ہے (یعنی ‘<’ بن جاتی ہے ‘>’، $\leq$ ’ بن جاتی ہے ’ $\geq$ ’ اور اس طرح آگے)۔ اس کی حیثیت سے واضح ہے کہ

$ \begin{aligned} & 3>2 \text{ برائےہ }-3<-2 \\ & -8<-7 \text{ برائےہ }(-8)(-2)>(-7)(-2)، یعنی } 16>14۔ \end{aligned} $

یوں، ہم نامساوی کو حل کرنے کے لیے درج ذیل قواعد کو استعمال کریں گے:

قاعدہ 1 نامساوی کے دونوں ہاتھ جانب ایکس سے ایکس کے عدد شامل یا چھوڑ دیے جا سکتے ہیں۔ نامساوی کی علامت کو اثرانداز نہیں کرتا۔

قاعدہ 2 نامساوی کے دونوں ہاتھ جانب ایکس سے ایکس کے عدد کے ساتھ ضرب یا تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ لیکن جب دونوں ہاتھ جانب منفی عدد کے ساتھ ضرب یا تقسیم کیا جاتا ہے تو نامساوی کی علامت معکوس ہو جاتی ہے۔

اب، ہم کچھ مثالیں دیکھیں گے۔

مثال 1 حل کریں $30 x<200$ جب (آئی) $x$ ایک طبیعی عدد ہو، (آئی) $x$ ایک عدد ہو۔

حل ہمیں $30 x<200$ دیا گیا ہے

یا $\quad \frac{30 x}{30}<\frac{200}{30}$ (قاعدہ 2)، یعنی $x<20 / 3$۔

(آئی) جب $x$ ایک طبیعی عدد ہو، اس صورتحال میں $x$ کی درج ذیل قیمتیں تصریح کو درست بناتی ہیں۔

$$ x=1,2,3,4,5,6 $$

نامساوی کا حل مجموعہ $\{1,2,3,4,5,6\}$ ہے۔

(آئی) جب $x$ ایک عدد ہو، دیے گئے نامساوی کے حل یہ ہیں

$$ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 $$

نامساوی کا حل مجموعہ $ \{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 \} $ ہے

مثال 2 حل کریں $5 x-3<3 x+1$ جب (آئی) $x$ ایک عدد ہو، (آئی) $x$ ایک حقیقی عدد ہو۔

حل ہمیں، $5 x-3<3 x+1$ ہے

یا $\quad \quad$ $5 x-3+3<3 x+1+3$ $\quad \quad \quad$ (قاعدہ 1)

یا $\quad \quad$ $5 x<3 x+4$

یا $\quad \quad$ $5 x-3 x<3 x+4-3 x$ $\quad \quad \quad \quad$ (قاعدہ 2)

یا $\quad \quad$ $2 x<4$

یا $\quad \quad$ $x<2$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad$ (قاعدہ 3)

(آئی) جب $x$ ایک عدد ہو، دیے گئے نامساوی کے حل یہ ہیں

$ \ldots,-4,-3,-2,-1,0,1 $

(آئی) جب $x$ ایک حقیقی عدد ہو، نامساوی کے حل $x<2$ کے تحت دیے گئے ہیں، یعنی 2 سے کم تمام حقیقی عدد $x$۔ یوں، نامساوی کا حل مجموعہ $x \in(-\infty, 2)$ ہے۔

ہم نے نامساویوں کے حلوں کو طبیعی عددوں کے مجموعے، عددوں کے مجموعے اور حقیقی عددوں کے مجموعے میں دیکھے ہیں۔ اب تک ہم اس فصل میں نامساویوں کو حقیقی عددوں کے مجموعے میں حل کریں گے۔

مثال 3 حل کریں $4 x+3<6 x+7$۔

حل ہمیں، $\quad 4 x+3<6 x+7$ ہے

یا $\quad 4 x-6 x<6 x+4-6 x$

یا $\quad-2 x<4 \quad$ یا $x>-2$

یعنی، -2 سے بڑھی تمام حقیقی عددیں دیے گئے نامساوی کے حل ہیں۔ یوں، حل مجموعہ $(-2, \infty)$ ہے۔

مثال 4 حل کریں $\frac{5-2 x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$۔

حل ہمیں $\quad \quad \quad \quad$ $\frac{5-2 x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$

یا $\quad \quad \quad \quad$ $2(5-2 x) \leq x-30 \text {. }$

یا $\quad \quad \quad \quad$ $10-4 x \leq x-30$

یا $\quad \quad \quad \quad$ $-5 x \leq-40 \text {, i.e., } x \geq 8$

یوں، 8 سے بڑھی تمام حقیقی عددیں دیے گئے نامساوی کے حل ہیں، یعنی $x$۔

مثال 5 حل کریں $7 x+3<5 x+9$۔ نقطہ خط پر حل کا تجسم دکھائیں۔

حل ہمیں $7 x+3<5 x+9$ یا $2 x<6$ یا $x<3$ ہے

حل کا تجسم تصویر 5.1 میں دیا گیا ہے۔

تصویر 5.1

مثال 6 حل کریں $\frac{3 x-4}{2} \geq \frac{x+1}{4}-1$۔ نقطہ خط پر حل کا تجسم دکھائیں۔

حل ہمیں $ \frac{3 x-4}{2}\geq\frac{x+1}{4}-1$

$ \text{or} \quad \frac{3 x-4}{2} \geq \frac{x-3}{4} $

$ \text{or} \quad 2(3 x-4) \geq(x-3) $

یا $\quad \quad \quad \quad$ $6 x-8 \geq x-3$

یا $\quad \quad \quad \quad$ $5 x \geq 5$

یا $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 1$

حل کا تجسم تصویر 5.2 میں دیا گیا ہے۔

تصویر 5.2

مثال 7 ایک کلاس XI کے ایک طالب علم کے پہلے اور دوسرے ٹرملین امتحان میں حاصل کردہ مارکس 62 اور 48 ہیں، علاوہ ان کے امتحان میں حاصل کردہ مارکس 60 کے لیے ان کا اندراج شامل ہونے کے لیے ان کے انواری امتحان میں حاصل کرنے والے مارکس کی کم از کم قیمت کیا ہے۔

حل $x$ کو طالب علم کے انواری امتحان میں حاصل کردہ مارکس کا ظاہر کرتا ہے۔ تو

$ \frac{62+48+x}{3} \geq 60 $

یا $\quad \quad \quad \quad 110+x \geq 180$

یا $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 70$

یوں، طالب علم کو اندراج شامل ہونے کے لیے کم از کم 70 مارکس حاصل کرنے ہوں گے۔

مثال 8 40 سے کم مجموعہ کے لیے دو بالکل ایک دوسرے سے پیچھے آنے والے 10 سے بڑھی تمام طبیعی فردی عددوں کے جوڑے کی تمام قیمتیں حاصل کریں۔

حل $x$ کو دونوں بالکل ایک دوسرے سے پیچھے آنے والے طبیعی فردی عددوں میں چھوٹا کا ظاہر کرتا ہے، تو دوسرا $x+2$ ہوگا۔ تو ہمیں

$$ \begin{equation*} x>10 \tag{1} \end{equation*} $$

ملتا ہے۔

(2) کو حل کرتے ہوئے، ہمیں

$$ \begin{equation*} 2 x+2<40 \tag{3} \end{equation*} $$

ملتا ہے، یعنی $$x<19 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) $$

(1) اور (3) سے، ہمیں

$$ 10<x<19 $$

ملتا ہے۔ کیونکہ $x$ ایک فردی عدد ہے، $x$ کی قیمتیں 11، 13، 15، اور 17 ہو سکتی ہیں۔ یوں، درکار ممکنہ جوڑے $(11,13),(13,15),(15,17),(17,19)$ ہوں گے۔

مشکل مثالیں

مثال 9 حل کریں $-8 \leq 5 x-3<7$۔

حل اس صورتحال میں، ہمیں دو نامساوی ہیں، $-8 \leq 5 x-3$ اور $5 x-3<7$، جنہیں ہم ایک ساتھ حل کریں گے۔ ہمیں $-8 \leq 5 x-3<7$ ہے

یا $\quad-5 \leq 5 x<10$

$ \text{ یا } \quad-1 \leq x<2 $

مثال 10 حل کریں $-5 \leq \frac{5-3 x}{2} \leq 8$۔

حل ہمیں $\quad-5 \leq \frac{5-3 x}{2} \leq 8$ ہے

یا $\quad-10 \leq 5-3 x \leq 16 \quad$ یا $\quad-15 \leq-3 x \leq 11$

یا $\quad 5 \geq x \geq-\frac{11}{3}$

جو $\frac{-11}{3} \leq x \leq 5$ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔

مثال 11 نامساوی کے نظام کو حل کریں:

$$ \begin{aligned} & 3 x-7<5+x \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1) \\ & 11-5 x \leq 1 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(2) \end{aligned} $$

اور نقطہ خط پر تجسم دکھائیں۔

حل نامساوی (1) سے، ہمیں

$$ 3 x - 7 < 5 + x $$

یا $ \quad x < 6 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(3)$

ملتا ہے۔ اسی طرح، نامساوی (2) سے، ہمیں

$$ 11-5 x \leq 1 $$

یا $ \quad - 5 x \leq-10 \quad \text{ i.e., } x \geq 2 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(4)$

ملتا ہے۔ اگر ہم نامساوی (3) اور (4) کا نقطہ خط پر تجسم دکھائیں، تو ہم دیکھتے ہیں کہ $x$ کی یہ قیمتیں جو دونوں میں مشترکہ ہیں، تصویر 5.3 میں دھندلی سیاہ تیاری سے دکھائی گئی ہے۔

یوں، نظام کے حل حقیقی عدد $x$ ہیں جو 2 اور 6 کے درمیان 2 شامل ہو کر $2 \leq x<6$ پر مشتمل ہیں۔

مثال 12 ایک تجربے میں، ایک ہائیڈروکلورک آکسائیڈ کا ایک حل $30^{\circ}$ اور $35^{\circ}$ سیلسیئس کے درمیان رکھا جانا چاہیے۔ اگر تبدیلی کی صورت جدول $C=\frac{5}{9} \quad(F-32)$ دیا گیا ہے، جہاں $C$ اور $F$ سیلسیئس اور فارنہائٹ کے درجے کو ظاہر کرتا ہے، تو فارنہائٹ کے درجے میں درجہ بندی کی حد کیا ہے۔

حل $30<C<35$ دیا گیا ہے۔

$ C=\frac{5}{9}(F-32) $

کو ڈالتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$ 30<\frac{5}{9}(F-32)<35 $

یا $\quad\quad\quad$

$ \frac{9}{5} \times(30)<(F-32)<\frac{9}{5} \times(35) $

$ \begin{matrix} \text{ یا } & 54<(F-32)<63 \\ \text{ یا } & 86<F<95۔ \end{matrix} $

یوں، درکار درجہ بندی کی حد $86^{\circ} F$ اور $95^{\circ} F$ کے درمیان ہے۔

مثال 13 ایک مینوفیکچرر کے پاس ایک $12\%$ آکسائیڈ کا 600 لیٹر کا حل ہے۔ اس میں ایک $30 \%$ آکسائیڈ کا حل شامل کرنے کے لیے، نتیجہ حاصل ہونے والے ملاک کے آکسائیڈ کے مواد کی مقدار کم از کم $15 \%$ ہونی چاہیے اور کم از کم $18 \%$ ہونی چاہیے۔

حل $x$ لیٹر کی $30 \%$ آکسائیڈ کا حل شامل کرنے کی ضرورت ہے۔ تو کل ملاک $=(x+600)$ لیٹر ہوگا۔

یوں $30 \% x+12 \%$ کا $600>15 \%$ کا $(x+600)$

اور $\quad \quad \quad 30 \% x+12 \%$ کا $600<18 \%$ کا $(x+600)$

$ \begin{array}{ll} \text{یا} & \frac{30 x}{100}+\frac{12}{100}(600)>\frac{15}{100}(x+600) \\ \\ \text{اور} & \frac{30 x}{100}+\frac{12}{100}(600)<\frac{18}{100}(x+600) \\ \\ \text{یا}& 30 x+7200>15 x+9000 \\ \text{اور} & 30 x+7200<18 x+10800 \\ \text{یا} & 15 x>1800 \text{ اور } 12 x<3600 \\ \text{یا} & x>120 \text{ اور } x<300، \\ \text{یعنی} & 120<x<300 \end{array} $

یوں، $30 %$ آکسائیڈ کے حل کی لائٹر کی تعداد کم از کم 120 لیٹر ہونی چاہی ہے اور کم از کم 300 لیٹر ہونی چاہی ہے۔

جمع

دو حقیقی اعداد یا دو جبرائی متغیرات جو علامتوں $<,>, \leq$ یا $\geq$ کے تحت مربوط ہوتے ہیں، نامساوی کو ہوتا ہے۔

نامساوی کے دونوں ہاتھ جانب ایکس سے ایکس کے عدد شامل یا چھوڑ دیے جا سکتے ہیں۔

نامساوی کے دونوں ہاتھ جانب ایکس سے ایکس کے عدد کے ساتھ ضرب یا تقسیم کیا جا سکتا ہے۔ لیکن جب دونوں ہاتھ جانب منفی عدد کے ساتھ ضرب یا تقسیم کیا جاتا ہے تو نامساوی معکوس ہو جاتی ہے۔

$x$ کی قیمتیں جو نامساوی کو درست تصریح بناتی ہیں، نامساوی کے حل کہلاتی ہیں۔

$x<a$ (یا $x>a$ ) کو نقطہ خط پر تجسم دکھانے کے لیے، $a$ کے عدد پر ایک گیلری ڈالیں اور $a$ کے بائیں (یا دائیں) جانب سیاہ تیاری ڈالیں۔

$x \leq a$ (یا $x \geq a$ ) کو نقطہ خط پر تجسم دکھانے کے لیے، $a$ کے عدد پر ایک سیاہ گیلری ڈالیں اور $x$ کے بائیں (یا دائیں) جانب سیاہ تیاری ڈالیں۔