ہر دریافت کا جسم ریاضی کی شکل میں ہوتا ہے کیونکہ ہمارے پاس اور کوئی رہنمائی نہیں ہو سکتی - ڈارون

6.1 مقدمہ

فرض کیجیے کہ آپ کے پاس ایک سُٹ کیس ہے جس میں نمبر لاک ہے۔ نمبر لاک میں 4 پہیے ہیں جن پر 0 سے 9 تک 10 ہندسے درج ہیں۔ لاک تب کھلتا ہے جب 4 مخصوص ہندسے ایک مخصوص ترتیب میں بغیر تکرار کے لگائے جائیں۔ کسی طرح، آپ یہ مخصوص ہندسوں کی ترتیب بھول گئے ہیں۔ آپ صرف پہلا ہندسہ یاد رکھتے ہیں جو 7 ہے۔ لاک کھولنے کے لیے، آپ کو 3 ہندسوں کی کتنی ترتیبوں کو چیک کرنا پڑے گا؟ اس سوال کا جواب دینے کے لیے، آپ فوراً 9 باقی ہندسوں میں سے 3 ایک وقت میں لے کر ممکنہ تمام ترتیبوں کی فہرست بنانا شروع کر سکتے ہیں۔ لیکن یہ طریقہ بہت طویل ہو گا، کیونکہ ممکنہ ترتیبوں کی تعداد بہت زیادہ ہو سکتی ہے۔ یہاں، اس باب میں، ہم کچھ بنیادی شمار تکنیک سیکھیں گے جو

ہمیں اس سوال کا جواب بغیر 3 ہندسوں کی ترتیبوں کی فہرست بنائے دینے کے قابل بنائیں گی۔ درحقیقیت، یہ تکنیک اشیاء کو مختلف طریقوں سے ترتیب دینے اور منتخب کرنے کی تعداد کا تعین کرنے میں مفید ہوں گی بغیر ان کی فہرست بنائے۔ پہلے قدم کے طور پر، ہم ایک اصول کا جائزہ لیں گے جو ان تکنیکوں کے سیکھنے کے لیے سب سے بنیادی ہے۔

6.2 شمار کا بنیادی اصول

آئیے ہم درج ذیل مسئلہ پر غور کریں۔ موہن کے پاس 3 پینٹ اور 2 شرٹس ہیں۔ وہ کتنے مختلف جوڑے (ایک پینٹ اور ایک شرٹ) پہن سکتا ہے؟ پینٹ کو 3 طریقوں سے چنا جا سکتا ہے، کیونکہ 3 پینٹ دستیاب ہیں۔ اسی طرح، شرٹ کو 2 طریقوں سے چنا جا سکتا ہے۔ ہر پینٹ کے انتخاب کے لیے، شرٹ کے 2 انتخاب ہیں۔ اس لیے، پینٹ اور شرٹ کے جوڑے $3 \times 2=6$ ہیں۔

ہم تینوں پینٹس کو $P_1, P_2, P_3$ اور دو شرٹس کو $S_1, S_2$ نام دیتے ہیں۔ پھر، یہ چھ ممکنہ حالتیں شکل 6.1 میں دکھائی جا سکتی ہیں۔

شکل 6.1

آئیے ہم اسی قسم کے ایک اور مسئلے پر غور کریں۔

سبنم کے پاس 2 سکول بیگ، 3 ٹفن بکس اور 2 واٹر بوتلیں ہیں۔ وہ ان اشیاء (ایک ایک) کو کتنے طریقوں سے ساتھ لے جا سکتی ہے؟

ایک سکول بیگ 2 مختلف طریقوں سے چنی جا سکتی ہے۔ ایک سکول بیگ کے انتخاب کے بعد، ایک ٹفن بکس 3 مختلف طریقوں سے چنی جا سکتی ہے۔ اس لیے، سکول بیگ اور ٹفن بکس کے جوڑے $2 \times 3=6$ ہیں۔ ان میں سے ہر جوڑے کے لیے، واٹر بوتل 2 مختلف طریقوں سے چنی جا سکتی ہے۔

اس لیے، سبنم ان اشیاء کو کتنے مختلف طریقوں سے ساتھ لے جا سکتی ہے $6 \times 2=12$۔ اگر ہم 2 سکول بیگس کو $B_1, B_2$، 3 ٹفن بکسس کو $T_1, T_2, T_3$ اور 2 واٹر بوتلس کو $W_1, W_2$ نام دیتے ہیں، تو یہ ممکنہ حالتیں شکل 6.2 میں دکھائی جا سکتی ہیں۔

شکل 6.2

درحقیقت، اوپر بیان کردہ قسم کے مسائل درج ذیل اصول کو اپلا کر کے حل کیے جاتے ہیں جسے شمار کا بنیادی اصول یا صرف ضرب کا اصول کہا جاتا ہے، جو یہ بیان کرتا ہے:

“اگر ایک واقعہ $m$ مختلف طریقوں سے رونما ہو سکتا ہے، جس کے بعد دوسرا واقعہ $n$ مختلف طریقوں سے رونما ہو سکتا ہے، تو ان واقعات کے مخصوص ترتیب میں رونما ہونے کی کل تعداد $m \times n$ ہے۔”

اوپر کا اصول کسی بھی محدود تعداد کے واقعات کے لیے عام کیا جا سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، 3 واقعات کے لیے، اصول درج ذیل ہے:

‘اگر ایک واقعہ $m$ مختلف طریقوں سے رونما ہو سکتا ہے، جس کے بعد دوسرا واقعہ $n$ مختلف طریقوں سے رونما ہو سکتا ہے، جس کے بعد تیسرا واقعہ $p$ مختلف طریقوں سے رونما ہو سکتا ہے، تو ان واقعات کے مخصوص ترتیب میں رونما ہونے کی کل تعداد $m \times n \times p$ ہے۔’

پہلے مسئلے میں، پینٹ اور شرٹ پہننے کے مختلف طریقوں کی ضرورت تھی جو درج ذیل واقعات کے مخصوص ترتیب میں رونما ہونے کی مختلف طریقوں کی تعداد تھی:

(i) پینٹ چننے کا واقعہ

(ii) شرٹ چننے کا واقعہ

دوسرے مسئلے میں، ضرورت تھی جو درج ذیل واقعات کے مخصوص ترتیب میں رونما ہونے کی مختلف طریقوں کی تعداد تھی:

(i) سکول بیگ چننے کا واقعہ

(ii) ٹفن بکس چننے کا واقعہ

(iii) واٹر بوتل چننے کا واقعہ

یہاں، ہر مسئلے میں واقعات مختلف ممکنہ ترتیبوں میں رونما ہو سکتے تھے۔ لیکن، ہمیں کسی ایک ممکنہ ترتیب کو چننا ہے اور اس ترتیب میں واقعات کے رونما ہونے کی مختلف طریقوں کی تعداد شمار کرنی ہے۔

مثال 1 ROSE کے حروف سے 4 حرفی الفاظ (معنی دار یا بے معنی) تلاش کریں، جہاں حروف کی تکرار کی اجازت نہیں ہے۔

حل اتنے ہی الفاظ ہوں گے جتنے 4 خالی جگہوں $\square \square \square \square$ کو 4 حروف سے بھرنے کے طریقے ہیں، یہ ذہن میں رکھتے ہوئے کہ تکرار کی اجازت نہیں ہے۔ پہلی جگہ 4 مختلف حروف R،O،S،E میں سے کسی ایک سے بھر سکتی ہے۔ جس کے بعد، دوسری جگہ باقی 3 حروف میں سے کسی ایک سے 3 مختلف طریقوں سے بھر سکتی ہے، جس کے بعد تیسری جگہ باقی 2 حروف میں سے کسی ایک سے 2 مختلف طریقوں سے بھر سکتی ہے، جس کے بعد چوتھی جگہ 1 طریقے سے بھر سکتی ہے۔ اس لیے، ضرب کے اصول سے، 4 جگہوں کو بھرنے کے طریقے $4 \times 3 \times 2 \times 1=24$ ہیں۔ اس لیے، مطلوبہ الفاظ کی تعداد 24 ہے۔

نوٹ - اگر حروف کی تکرار کی اجازت ہوتی، تو کتنے الفاظ بن سکتے تھے؟ کوئی بھی آسانی سے سمجھ سکتا ہے کہ 4 خالی جگہوں میں سے ہر ایک کو 4 مختلف طریقوں سے بھر سکتا ہے۔ اس لیے، مطلوبہ الفاظ کی تعداد $=4 \times 4 \times 4 \times 4=256$۔

مثال 2 4 مختلف رنگوں کے جھنڈے دیے گئے ہیں، اگر ایک سگنل کے لیے 2 جھنڈوں کی ضرورت ہے جو ایک دوسرے کے نیچے لگائے جائیں؟

حل اتنے ہی سگنل ہوں گے جتنے 2 خالی جگہوں $\begin{array}{|l|} \hline \quad \\ \hline \\ \hline \end{array}$ کو 4 مختلف رنگوں کے جھنڈوں سے بھرنے کے طریقے ہیں۔ اوپر کی خالی جگہ 4 مختلف جھنڈوں میں سے کسی ایک سے 4 مختلف طریقوں سے بھر سکتی ہے، جس کے بعد نیچے کی خالی جگہ باقی 3 مختلف جھنڈوں میں سے کسی ایک سے 3 مختلف طریقوں سے بھر سکتی ہے۔ اس لیے، ضرب کے اصول سے، مطلوبہ سگنلوں کی تعداد $=4 \times 3=12$۔

مثال 3 $1,2,3,4,5$ ہندسوں سے کتنے 2 ہندسہ ایوین نمبر بنائے جا سکتے ہیں اگر ہندسوں کی تکرار کی اجازت ہے؟

حل اتنے طریقے ہوں گے جتنے 2 خالی جگہوں $\square \square$ کو 5 دیے گئے ہندسوں سے بھرنے کے طریقے ہیں۔ یہاں، ہم یونٹس کی جگہ سے شروع کرتے ہیں، کیونکہ اس جگہ کے لیے اختیارات صرف 2 اور 4 ہیں اور یہ 2 طریقوں سے کیا جا سکتا ہے، جس کے بعد ٹنز کی جگہ 5 ہندسوں میں سے کسی ایک سے 5 مختلف طریقوں سے بھر سکتی ہے کیونکہ ہندسوں کی تکرار کی اجازت ہے۔ اس لیے، ضرب کے اصول سے، 2 ہندسہ ایوین نمبروں کی مطلوبہ تعداد $2 \times 5$، یعنی 10۔

مثال 4 5 مختلف رنگوں کے جھنڈے دستیاب ہیں، اگر ایک عمودی عصا پر کم از کم 2 جھنڈے ترتیب سے (ایک دوسرے کے نیچے) لگائے جائیں تو کتنے مختلف سگنل پیدا کیے جا سکتے ہیں؟

حل ایک سگنل میں 2 جھنڈے، 3 جھنڈے، 4 جھنڈے یا 5 جھنڈے ہو سکتے ہیں۔ اب، ہم 2 جھنڈوں والے، 3 جھنڈوں والے، 4 جھنڈوں والے اور 5 جھنڈوں والے ممکنہ سگنلوں کی علیحدہ علیحدہ شمار کرتے ہیں اور پھر ان اعداد کو جمع کرتے ہیں۔

2 جھنڈوں والے سگنل اتنے ہوں گے جتنے 2 خالی جگہوں $\begin{array}{|l|} \hline \quad \\ \hline \\ \hline \end{array}$ کو 5 دستیاب جھنڈوں سے بھرنے کے طریقے ہیں۔ ضرب کے اصول سے، طریقوں کی تعداد $5 \times 4=20$ ہے۔

اسی طرح، 3 جھنڈوں والے سگنل اتنے ہوں گے جتنے 3 خالی جگہوں $\begin{array}{|l|} \hline \quad \\ \hline \\ \hline \\ \hline \end{array}$ کو 5 دستیاب جھنڈوں سے بھرنے کے طریقے ہیں۔

طریقوں کی تعداد $5 \times 4 \times 3=60$ ہے۔

اسی طریقے سے، ہم پاتے ہیں کہ

4 جھنڈوں والے سگنلوں کی تعداد $=5 \times 4 \times 3 \times 2=120$

اور 5 جھنڈوں والے سگنلوں کی تعداد $=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120$

اس لیے، مطلوبہ سگنلوں کی تعداد $=20+60+120+120=320$ ہے۔