8.1 تعارف

ریاضی میں، “سیکنڈز” کا تعبیر عام زبان میں اسی طرح ہوتا ہے جیسے وہ عام زبان میں استعمال ہوتا ہے۔ جب ہم کہتے ہیں کہ چیزوں کا ایک مجموعہ سیکنڈز میں درج کیا جاتا ہے، تو عام طور پر یہ معنی ہوتا ہے کہ مجموعہ کو اس طرح ترتیب دیا گیا ہے کہ اس میں ایک شناخت شدہ پہلا عضو، دوسرا عضو، تیسرا عضو اور بعد میں اس طرح جاری ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، مختلف وقتوں میں انسان یا بیکٹیریا کی آبادی سیکنڈز کی شکل اخذ کرتی ہے۔ ایک بینک میں سالوں کے درمیان رقم جمع کرنا سیکنڈز کی شکل اخذ کرتا ہے۔ کچھ مصنوعات کی ترقی یا گرمی کی قیمتیں سیکنڈز میں آتی ہیں۔ سیکنڈز انسانی سرگرمیوں کے مختلف شعبوں میں اہم کارکشی کا باعث بنتی ہیں۔

ایسی سیکنڈز جو مخصوص نمٹ کے مطابق ہوں وہ ترتیب (Progression) کہلاتی ہیں۔ پچھلے کلاس میں ہم نے عددی ترتیب (A.P.) کے بارے میں سیکھا ہے۔ اس فصل میں ہم A.P. کے بارے میں مزید بات کریں گے؛ عددی وسطی (A.M.)، جبری وسطی (G.M.)، A.M. اور G.M. کے درمیان تعلق، پیدا ہونے والے قومی تعدادوں کے $n$ تک متوالیہ تعدادوں کی مجموعہ، قومی تعدادوں کے مربعات کے $n$ تک مجموعہ اور قومی تعدادوں کے تکونوں کے $n$ تک مجموعہ بھی سیکھیں گے۔

8.2 سیکنڈز

آگے دیکھیں:

اگر ایک نسل کے درمیان 30 سال کا فاصلہ ہے، تو ایک شخص کے 300 سال کے درمیان چھوٹے بڑے باپ دادا اور بعد میں اس طرح کے کتنے پاشنے پاس ہو سکتے ہیں؟

یہاں کل نسلوں کا تعداد $=\frac{300}{30}=10$

شخص کے پاشنوں کا تعداد پہلی، دوسری، تیسری، … اٹھم نسلوں کے لیے $2,4,8,16,32, \ldots, 1024$۔ یہ تعداد ہمیں ایک سیکنڈز کہلاتی ہے۔

10 کو 3 میں مختلف مراحل میں تقسیم کرتے ہوئے محصولات کو حاصل کرنا دریافت کریں۔ اس عمل میں ہم $3,3.3,3.33,3.333, \ldots$ حاصل کرتے ہیں اور اس طرح جاری ہوتا ہے۔ یہ محصولات بھی ایک سیکنڈز بنتے ہیں۔ ایک سیکنڈز میں آنے والے مختلف تعدادوں کو اس کے حصول کہلاتے ہیں۔ ہم سیکنڈز کے حصول کو $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$، اور اس طرح جاری ہوتے ہیں، جہاں ذیلی شناختی نمبر حصہ کی حیثیت کو ظاہر کرتا ہے۔ $n^{\text{th }}$ حصہ یہ تعداد ہے جو سیکنڈز کے $n^{\text{th }}$ حیثیت پر ہے اور اسے $a_n$ کہتے ہیں۔ $n^{\text{th }}$ حصہ بھی سیکنڈز کا عام حصہ کہلاتا ہے۔

وجود پر، اُنچی ذکر شدہ شخص کے پاشنوں کی سیکنڈز کے حصول یہ ہیں:

$$ a_1=2, a_2=4, a_3=8, \ldots, a _{10}=1024 $$

اسی طرح، محصولات کے مثال میں

$$ a_1=3, a_2=3.3, a_3=3.33, \ldots, a_6=3.33333 \text{, etc. } $$

ایک سیکنڈز جس میں منتخب تعداد حصول ہوتے ہوں وہ محدود سیکنڈز کہلاتی ہے۔ مثال کے طور پر، پاشنوں کی سیکنڈز ایک محدود سیکنڈز ہے کیونکہ اس میں 10 حصول ہوتے ہیں (ایک مقررہ تعداد)۔

ایک سیکنڈز تکمیلی کہلاتی ہے، اگر وہ محدود سیکنڈز نہ ہو۔ مثال کے طور پر، اُنچی ذکر شدہ محصولات کی سیکنڈز ایک تکمیلی سیکنڈز ہے، جس کا مطلب یہ ہے کہ وہ جاری رہتی ہے اور کبھی ختم نہیں ہوتی۔

اکثر، ایک سیکنڈز کے حصول کو جو نمٹ ان حصولوں کو جتنے ہوں اسے جبری صورت میں عبارت دینا ممکن ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، زوج قومی تعدادوں کی سیکنڈز $2,4,6, \ldots$

$ \begin{aligned} & \text{ یہاں } \quad a_1=2=2 \times 1 \quad a_2=4=2 \times 2 \\ & a_3=6=2 \times 3 \quad a_4=8=2 \times 4 \\ &\ldots & \ldots . & \ldots . & \ldots . & \ldots . & \ldots\\ & a _{23}=46=2 \times 23, a _{24}=48=2 \times 24 \text{, اور اس طرح جاری ہے۔ } \end{aligned} $

یقیناً، ہم دیکھتے ہیں کہ یہ سیکنڈز کا $n^{\text{th }}$ حصہ $a_n=2 n$ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے، جہاں $n$ ایک قومی تعداد ہے۔ اسی طرح، فرد قومی تعدادوں کی سیکنڈز $1,3,5, \ldots$ میں، $n^{\text{th }}$ حصہ کی صورت میں دیا گیا ہے، $a_n=2 n-1$، جہاں $n$ ایک قومی تعداد ہے۔ کچھ صورتوں میں، ایسی تعدادوں کی ترتیب جیسے $1,1,2,3,5,8, .$۔ مشاہدہ کیا جا سکتا ہے کہ وہ مشاہدہ کرنے کے بغیر کوئی واضح نمٹ نہیں ہے، لیکن سیکنڈز کو دریافت کرنے کے لیے دریافت نظام دیا گیا ہے

$$ \begin{aligned} & a_1=a_2=1 \\ & a_3=a_1+a_2 \\ & a_n=a _{n-2}+a _{n-1}, n>2 \end{aligned} $$

یہ سیکنڈز فبوناچی سیکنڈز کہلاتی ہے۔

پرائم سیکنڈز $2,3,5,7, \ldots$ میں، ہم دیکھتے ہیں کہ $n^{\text{th }}$ پرائم کی صورت نہیں ہے۔ ایسی سیکنڈز کی وضاحت صرف زبانی طور پر کی جا سکتی ہے۔

ہر سیکنڈز میں، ہم توقع نہیں کریں گے کہ اس کے حصول کو مخصوص صورت میں دیا جائے گا۔ تاہم، ہم دریافت کرنے کے لیے ایک نظریہ یا نمٹ کی توقع کرتے ہیں $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ کے حصول کو جاری رکھنے کے لیے۔

اُنچی ذکر شدہ حالت کی حیثیت سے، ایک سیکنڈز کو اس کے حصول کو جاری رکھنے کے لیے ایک فنکشن کے طور پر تصور کیا جا سکتا ہے جس کا مضمون قومی تعدادوں کا مجموعہ یا اس کے کچھ ذیلی مجموعہ ہو سکتا ہے۔ کبھی کبھی، ہم $a_n$ کے لیے فنکشنل نوٹیشن a(n) استعمال کرتے ہیں۔

8.3 سیریز

اگر $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$، ایک دی گئی سیکنڈز ہو، تو عبارت $ a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n+\ldots $ دی گئی سیکنڈز کے ساتھ منسلک سیریز کہلاتی ہے۔ سیریز محدود یا تکمیلی ہوتی ہے اس طرح کہ دی گئی سیکنڈز محدود یا تکمیلی ہوتی ہے۔ سیریز کو غالیہ طور پر مختصر شکل میں ظاہر کیا جاتا ہے، جسے سگما نوٹیشن کہلاتا ہے، جہاں جمع کرنے کے مطابق غلظ حرف $\sum$ (سگما) استعمال کیا جاتا ہے۔ اس طرح، سیریز $a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n$ کو مختصر طور پر $\sum_{k=1}^{n} a_k$ کہا جاتا ہے۔

تبصرہ جب سیریز استعمال کی جاتی ہے، تو اسے مشیرہ کرنے کے لیے کہتے ہیں نہ کہ اس کے جمع کے لیے۔ مثال کے طور پر، $1+3+5+7$ ایک محدود سیریز ہے جس میں چار حصول ہوتے ہیں۔ جب ہم عبارت “سیریز کا مجموعہ” استعمال کرتے ہیں، تو ہم کہتے ہیں کہ حصول کو جمع کرنے کے بعد حاصل ہونے والا نمبر، سیریز کا مجموعہ 16 ہے۔

اب ہم کچھ مثالیں دیکھیں۔

مثال 1 درج ذیل میں ہر ایک کے پہلے تین حصول لکھیں:

(i) $a_n=2 n+5$،

(ii) $a_n=\frac{n-3}{4}$۔

حل (i) یہاں $a_n=2 n+5$

$n=1,2,3$ کو جایہ، ہم حاصل کرتے ہیں $ a_1=2(1)+5=7, a_2=9, a_3=11 $

وجود پر، درکار حصول 7، 9 اور 11 ہیں۔

(ii) یہاں $a_n=\frac{n-3}{4}$۔ اس لیے $a_1=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}, a_2=-\frac{1}{4}, a_3=0$

وجود پر، پہلے تین حصول $-\frac{1}{2},-\frac{1}{4}$ اور 0 ہیں۔

مثال 2 سیکنڈز کے $20^{\text{th }}$ حصہ کو جو درج ذیل کے تحت تعریف کیا گیا ہے $ a_n=(n-1)(2-n)(3+n) ? $ حل $n=20$ کو جایہ، ہم حاصل کرتے ہیں

$$ \begin{aligned} a _{20} & =(20-1)(2-20)(3+20) \\ & =19 \times(-18) \times(23) \\ &
=-7866 . \end{aligned} $$

مثال 3 اگر سیکنڈز $a_n$ درج ذیل کے تحت تعریف کیا گیا ہے:

$$ a_1=1, a_n=a _{n-1}+2 \text{ for } n \geq 2 \text{. } $$

پہلے پانچ حصول حاصل کریں اور مطابقت پذیر سیریز لکھیں۔

حل ہم داشتہ ہیں

$ \begin{aligned} & a_1=1, a_2=a_1+2=1+2=3, a_3=a_2+2=3+2=5, \\ & a_4=a_3+2=5+2=7, a_5=a_4+2=7+2=9 . \end{aligned} $

وجود پر، سیکنڈز کے پہلے پانچ حصول $1,3,5,7$ اور 9 ہیں۔ مطابقت پذیر سیریز $1+3+5+7+9+\ldots$ ہے۔

8.4 جبری ترتیب (G. P.)

آگے دیکھیں:

(i) $2,4,8,16, \ldots$،

(ii) $\frac{1}{9}, \frac{-1}{27}, \frac{1}{81}, \frac{-1}{243}$

(iii) $.01, .0001, .000001, \ldots$

ان سیکنڈز کے حصول کو ان کی ترقی کیسے ہوتی ہے؟ ہم دیکھتے ہیں کہ ان کے حصول کو ایک مقررہ ترتیب میں ترتیب دینے کے بعد پہلے سے ہی ہوتے ہیں۔

(i) میں ہم داشتہ ہیں $a_1=2, \frac{a_2}{a_1}=2, \frac{a_3}{a_2}=2, \frac{a_4}{a_3}=2$ اور اس طرح جاری ہے۔

(ii) میں ہم مشاہدہ کرتے ہیں، $a_1=\frac{1}{9}, \frac{a_2}{a_1}=\frac{1}{3}, \frac{a_3}{a_2}=\frac{1}{3}, \frac{a_4}{a_3}=\frac{1}{3}$ اور اس طرح جاری ہے۔

اسی طرح، (iii) میں حصول کی ترقی کیسے ہوتی ہے؟ مشاہدہ کیا جاتا ہے کہ ہر صورت میں، پہلے سے ہی ہونے کے بعد ہر حصہ کو پہلے سے ہی ہونے کے بعد کے حصہ کے ساتھ ایک مقررہ نسبت سے ہوتا ہے۔ (i) میں اس مقررہ نسبت 2 ہے؛ (ii) میں اس کی نسبت $-\frac{1}{3}$ ہے اور (iii) میں مقررہ نسبت 0.01 ہے۔ ایسی سیکنڈز کو جبری سیکنڈز یا جبری ترتیب کہلاتی ہے جسے G.P. کہلاتے ہیں۔

ایک سیکنڈز $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ جبری ترتیب کہلاتی ہے، اگر ہر حصہ غیر صفر ہو اور $\frac{a_{k+1}}{a_k}=r$ (مقررہ) ہو، جہاں $k \geq 1$۔

$a_1=a$ کو معطیہ کرتے ہوئے، ہم ایک جبری ترتیب حاصل کرتے ہیں، $a, a r, a r^{2}, a r^{3}, \ldots$، جہاں $a$ کو پہلا حصہ کہلاتے ہیں اور $r$ کو جبری ترتیب کی مشترکہ نسبت کہلاتے ہیں۔ اُنچی ذکر شدہ جبری ترتیب (i)، (ii) اور (iii) میں مشترکہ نسبت $2,-\frac{1}{3}$ اور 0.01 ہیں، علیحدہ طور پر۔

عددی ترتیب کی صورت میں، $n^{\text{th }}$ حصہ یا $n$ حصول کے مجموعہ حاصل کرنے کے مسئلے مشکل ہونے کی وجہ سے جب $a$ حصول کے لیے صورتیں استعمال کرنے کے بغیر حل نہیں کیے جاتے، تو صورتیں جو ہم اگلے سیکشن میں تیار کریں گے۔ ہم ان صورتوں کے استعمال کے لیے درج ذیل نوٹیشن استعمال کریں گے:

$ \begin{aligned} & a=\text{ پہلا حصہ، } r=\text{ مشترکہ نسبت، } l=\text{ آخری حصہ، } \\ & n=\text{ حصول کا تعداد، } \\ & S_n=\text{ پہلے } n \text{ حصول کا مجموعہ۔ } \end{aligned} $

8.4.1 $a$ G.P. کا عام حصہ

اگر ہم ایک G.P. کو ایک غیر صفر پہلا حصہ ’ $a$ ’ اور ایک مشترکہ نسبت ’ $r$ ’ کے ساتھ دیکھیں۔ اس کے کچھ حصول لکھیں۔ دوسرا حصہ $a$ کو $r$ سے کھیل کر حاصل کیا جاتا ہے، اس طرح $a_2=a r$۔ اسی طرح، تیسرا حصہ $a_2$ کو $r$ سے کھیل کر حاصل کیا جاتا ہے۔ اس طرح، $a_3=a_2 r=a r^{2}$، اور اس طرح جاری ہوتا ہے۔

ہم درج ذیل ان اور کچھ اور حصول لکھتے ہیں۔

$1^{\text{st }}$ حصہ $=a_1=a=a r^{1-1}, 2^{\text{nd }}$ حصہ $=a_2=a r=a r^{2-1}, 3^{\text{rd }}$ حصہ $=a_3=a r^{2}=a r^{3-1}$ $4^{\text{th }}$ حصہ $=a_4=a r^{3}=a r^{4-1}, 5^{\text{th }}$ حصہ $=a_5=a r^{4}=a r^{5-1}$

کیا آپ نمٹ دیکھتے ہیں؟ $16^{\text{th }}$ حصہ کو کیسے حاصل کیا جائے گا؟

$$ a _{16}=a r^{16-1}=a r^{15} $$

وجود پر، نمٹ کا مطلب یہ ہے کہ G.P. کا $n^{\text{th }}$ حصہ $a_n=a r^{n-1}$ کے طور پر دیا جاتا ہے۔ اس طرح، $a$، G.P. کو $a, a r, a r^{2}, a r^{3}, \ldots a r^{n-1} ; a, a r, a r^{2}, \ldots, a r^{n-1} \ldots ;$ کے تحت لکھا جا سکتا ہے جب G.P. محدود ہو یا تکمیلی ہو، علیحدہ طور پر۔ سیریز $a+a r+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1}$ یا $a+a r+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1}+\ldots$ کو محدود یا تکمیلی جبری سیریز کہلاتی ہیں، علیحدہ طور پر۔

8.4.2. $n$ حصول کے لیے $a$ G.P. کا مجموعہ

اگر G.P. کا پہلا حصہ $a$ ہو اور مشترکہ نسبت $r$ ہو۔ اگر ہم $S_n$ کو G.P. کے پہلے $n$ حصول کے مجموعہ کہلاتے ہیں، تو

$$ S_n=a+a^{n}+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

حالت 1 اگر $r=1$، ہم داشتہ ہیں $S_n=a+a+a+\ldots+a(n$ حصول $)=n a$

حالت 2 اگر $r \neq 1$، (1) کو $r$ سے کھیل کر ہم داشتہ ہیں

$$ r S_n=a r+a r^{2}+a r^{3}+\ldots+a r^{n} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $$

(1) کو (2) سے مطرح کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں $$(1-r) S_n=a-a r^{n}=a(1-r^{n})$$

یہ دہراتا ہے

$$ \mathrm{S} n=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r} \text { or } \mathrm{S} _{n}=\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1} $$

مثال 4 G.P. $5,25,125, \ldots$ کے $10^{\text{th }}$ اور $n^{\text{th }}$ حصول حاصل کریں۔

حل یہاں $a=5$ اور $r=5$۔ اس لیے $a _{10}=5(5)^{10-1}=5(5)^{9}=5^{10}$ اور $a_n=a r^{n-1}=5(5)^{n-1}=5^{n}$۔

مثال 5 G.P.، 2,8,32,… $n$ حصول تک $n^{\text{th }}$ حصہ کو کیا ہے 131072؟

حل 131072 کو دی گئی G.P. کا $n^{\text{th }}$ حصہ ہونا چاہیے۔ یہاں $a=2$ اور $r=4$۔

وجود پر $\quad 131072=a_n=2(4)^{n-1}$ یا $65536=4^{n-1}$

یہ دہراتا ہے $\quad 4^{8}=4^{n-1}$۔

وجود پر $n-1=8$، یعنی $n=9$۔ وجود پر، 131072 G.P. کا $9^{\text{th }}$ حصہ ہے۔

مثال 6 G.P. میں، $3^{\text{rd }}$ حصہ 24 ہے اور $6^{\text{th }}$ حصہ 192 ہے۔ $10^{\text{th }}$ حصہ حاصل کریں۔

حل یہاں، $a_3=a r^{2}=24 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

اور $ \quad \quad a_6=a r^{5}=192 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

(2) کو (1) سے مطرح کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں $r=2$۔ $r=2$ کو (1) میں جایہ، ہم حاصل کرتے ہیں $a=6$۔

وجود پر $a _{10}=6(2)^{9}=3072$۔

مثال 7 جبری سیریز $1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\ldots$ کے پہلے $n$ حصول اور پہلے 5 حصول کا مجموعہ حاصل کریں۔

حل یہاں $a=1$ اور $r=\frac{2}{3}$۔ وجود پر

$$ S_n=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}=\frac{[1-(\frac{2}{3})^{n}]}{1-\frac{2}{3}}=3[1-(\frac{2}{3})^{n}] $$

خاص طور پر، $\quad S_5=3[1-(\frac{2}{3})^{5}]=3 \times \frac{211}{243}=\frac{211}{81}$۔

مثال 8 G.P. $3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \ldots$ کے کتنے حصول $sum \frac{3069}{512} ?$ کے لیے درکار ہوں گے؟

حل $n$ کو درکار حصول کے تعداد کہلائیں۔ دیا گیا ہے $a=3, r=\frac{1}{2}$ اور $S_n=\frac{3069}{512}$

کیونکہ $ \quad \quad \quad S_n=\frac{a(1-r^{n})}{1-r} $

وجود پر $ \quad \quad \quad \frac{3069}{512}=\frac{3(1-\frac{1}{2^{n}})}{1-\frac{1}{2}}=6(1-\frac{1}{2^{n}}) $

یا $ \quad \quad \quad \frac{3069}{3072}=1-\frac{1}{2^{n}} $

یا $\quad \quad \quad \frac{1}{2^{n}} =1-\frac{3069}{3072}=\frac{3}{3072}=\frac{1}{1024}$

یا $\quad \quad \quad2^{n} =1024=2^{10}, \text{ which gives } n=10$

مثال 9 G.P. کے پہلے تین حصول کا مجموعہ $\frac{13}{12}$ ہے اور ان کا حاصل ضرب -1 ہے۔ مشترکہ نسبت اور حصول حاصل کریں۔

حل $\frac{a}{r}, a$، ar کو G.P. کے پہلے تین حصول کہلائیں۔ تو

$$ \frac{a}{r}+a r+a=\frac{13}{12} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

اور $\quad(\frac{a}{r})(a)(a r)=-1 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

(2) سے، ہم حاصل کرتے ہیں $a^{3}=-1$، یعنی $a=-1$ (صرف حقیقی جذور کو مدنظر رکھتے ہوئے)

$a=-1$ کو (1) میں جایہ، ہم داشتہ ہیں

$$ -\frac{1}{r}-1-r=\frac{13}{12} \text{ or } 12 r^{2}+25 r+12=0 \text{. } $$

یہ $r$ میں ایک تربیعی مساواة ہے، حل کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں $r=-\frac{3}{4}$ یا $-\frac{4}{3}$۔

وجود پر، G.P. کے تین حصول یہ ہیں: $\frac{4}{3},-1, \frac{3}{4}$ جہاں $r=\frac{-3}{4}$ اور $\frac{3}{4},-1, \frac{4}{3}$ جہاں $r=\frac{-4}{3}$،

مثال10 سیریز 7, 77, 777, 7777, … $n$ حصول تک مجموعہ حاصل کریں۔

حل یہ ایک G.P. نہیں ہے، تاہم، ہم اسے ایک G.P. کے طور پر درج ذیل کے ذریعے منسلک کر سکتے ہیں

$ S_n=7+77+777+7777+\ldots \text{ to } n \text{ terms } $ $ \begin{aligned} & =\frac{7}{9}[9+99+999+9999+\ldots \text{ to } n \text{ term }] \\ & =\frac{7}{9}[(10-1)+(10^{2}-1)+(10^{3}-1)+(10^{4}-1)+\ldots n \text{ terms }] \\ & =\frac{7}{9}[(10+10^{2}+10^{3}+\ldots n \text{ terms })-(1+1+1+\ldots n \text{ terms })] \\ & =\frac{7}{9} \left[ \frac{10(10^{n}-1)}{10-1}-n\right]=\frac{7}{9}\left[\frac{10(10^{n}-1)}{9}-n \right] . \end{aligned} $

مثال 11 ایک شخص کے 2 باپ دادا، 4 چچن اور بعد میں اس طرح جاری ہوتا ہے۔ اس کے اپنے اپنے پاشنے کا تعداد دریافت کریں۔

حل یہاں $a=2, r=2$ اور $n=10$

مجموعہ صورت کے استعمال کے ذریعے $\quad S_n=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$

ہم داشتہ ہیں $ \quad\quad\quad\quad S_{10}=2(2^{10}-1)=2046 $

وجود پر، شخص کے پاشنے کا تعداد 2046 ہے۔

8.4.3 جبری وسطی (G.M.)

دو موجب تعدادوں $a$ اور $b$ کا جبری وسطی تعداد $\sqrt{a b}$ ہے۔ اس لیے، 2 اور 8 کا جبری وسطی 4 ہے۔ ہم دیکھتے ہیں کہ ثلاث تعدادوں $2,4,8$ ایک G.P. کے متوالی حصول ہیں۔ یہ ثنائی تعدادوں کے جبری وسطی کے مفهوم کو تعمیم دہی کرتا ہے۔

کسی بھی دو موجب تعدادوں $a$ اور $b$ کے لیے، ہم ان کے درمیان چاہتے ہوئے کتنے بھی تعدادوں کو انسست کر سکتے ہیں تاکہ نتیجہ G.P. میں ہو۔

اگر $G_1, G_2, \ldots, G_n$ کو $n$ تعدادوں کہلائیں جو موجب تعدادوں $a$ اور $b$ کے درمیان ہوں تاکہ $a, G_1, G_2, G_3, \ldots, G_n, b$ ایک G.P. ہو۔ اس طرح، $b$ جو $(n+2)^{\text{th }}$ حصہ ہے، ہم داشتہ ہیں

$ b=a r^{n+1}, \quad \text{ یا } \quad r=(\frac{b}{a})^{\frac{1}{n+1}} \text{۔ } $

وجود پر $G_1=a r=a(\frac{b}{a})^{\frac{1}{n+1}}, G_2=a r^{2}=a(\frac{b}{a})^{\frac{2}{n+1}}, G_3=a r^{3}=a(\frac{b}{a})^{\frac{3}{n+1}}$،

$$ G_n=a r^{n}=a(\frac{b}{a})^{\frac{n}{n+1}} $$

مثال12 1 اور 256 کے درمیان تین تعدادوں کو انسست کریں تاکہ نتیجہ ایک G.P. ہو۔

حل $G_1, G_2, G_3$ کو 1 اور 256 کے درمیان تین تعدادوں کہلائیں تاکہ $1, G_1, G_2, G_3, 256$ ایک G.P. ہو۔

وجود پر $\quad 256=r^{4}$ دہراتا ہے $r= \pm 4$ (صرف حقیقی جذور کو مدنظر رکھتے ہوئے)

$r=4$ کے لیے، ہم داشتہ ہیں $G_1=a r=4, G_2=a r^{2}=16, G_3=a r^{3}=64$

اسی طرح، $r=-4$ کے لیے، تعدادوں کو $-4,16$ اور -64 ہیں۔

وجود پر، ہم 1 اور 256 کے درمیان 4، 16، 64 کو انسست کر سکتے ہیں تاکہ نتیجہ G.P. میں ہو۔

8.5 A.M. اور G.M. کے درمیان تعلقہ

اگر $A$ اور $G$ دو دی گئی موجب حقیقی تعدادوں $a$ اور $b$ کے عددی وسطی اور جبری وسطی ہوں، تو

$$ A=\frac{a+b}{2} \text{ and } G=\sqrt{a b} $$

وجود پر، ہم داشتہ ہیں

$ \begin{aligned} A-G & =\frac{a+b}{2}-\sqrt{a b}=\frac{a+b-2 \sqrt{a b}}{2} \\ & =\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}{2} \geq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) \end{aligned} $

(1) سے، ہم تعلقہ حاصل کرتے ہیں $A \geq G$۔

مثال 13 اگر دو موجب تعدادوں $a$ اور $b$ کے عددی وسطی اور جبری وسطی 10 اور 8 ہیں، تو تعدادوں کو حاصل کریں۔

حل دیا گیا ہے عددی وسطی $=\frac{a+b}{2}=10 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

اور $ \text{ جبری وسطی }=\sqrt{a b}=8 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

(1) اور (2) سے، ہم حاصل کرتے ہیں

$$ \begin{aligned} & a+b=20 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3)\\ & a b=64 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (4) \end{aligned} $$

(3) اور (4) کے $a$ اور $b$ کی قدر کو جایہ، ہم حاصل کرتے ہیں

$$(a-b)^{2}=400-256=144$$

یا $\quad \quad \quad a-b= \pm 12 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (5)$

(3) اور (5) کو حل کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$$ a=4, b=16 \text{ or } a=16, b=4 $$

وجود پر، تعدادوں $a$ اور $b$ 4،16 یا 16,4 علیحدہ طور پر ہیں۔

مشتمل مثالیں

مثال 14 اگر $a, b, c, d$ اور $p$ مختلف حقیقی تعدادیں ہوں جو $(a^{2}+b^{2}+c^{2}) p^{2}-2(a b+b c+c d) p+(b^{2}+c^{2}+d^{2}) \leq 0$، تو دکھائیں کہ $a, b, c$ اور $d$ G.P. میں ہیں۔

حل دیا گیا ہے

$ (a^{2}+b^{2}+c^{2}) p^{2}-2(a b+b c+c d) p+(b^{2}+c^{2}+d^{2}) \leq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $

لیکن L.H.S.

$ =(a^{2} p^{2}-2 a b p+b^{2})+(b^{2} p^{2}-2 b c p+c^{2})+(c^{2} p^{2}-2 c d p+d^{2}), $

جو دہراتا ہے $(a p-b)^{2}+(b p-c)^{2}+(c p-d)^{2} \geq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2)$

کیونکہ حقیقی تعدادوں کے مربعات کا مجموعہ غیر منفی ہوتا ہے، وجود پر (1) اور (2) سے، ہم داشتہ ہیں، $\quad(a p-b)^{2}+(b p-c)^{2}+(c p-d)^{2}=0$

یا

$ a p-b=0, b p-c=0, c p-d=0 $

یہ دہراتا ہے کہ $\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{d}{c}=p$

وجود پر $a, b, c$ اور $d$ G.P. میں ہیں۔

خلاصہ

سیکنڈز کو ایک تعدادوں کے ترتیب کہلاتا ہے جو کسی نمٹ کے مطابق مقررہ ترتیب میں درج کیے جاتے ہیں۔ ہم سیکنڈز کو ایک فنکشن کے طور پر بھی تعریف کرتے ہیں جس کا مضمون قومی تعدادوں کا مجموعہ یا اس کے کچھ ذیلی مجموعہ ہو سکتا ہے ${1,2,3, \ldots . k}$۔ ایک سیکنڈز جس میں منتخب تعداد حصول ہوتے ہوں وہ محدود سیکنڈز کہلاتی ہے۔ ایک سیکنڈز تکمیلی کہلاتی ہے اگر وہ محدود سیکنڈز نہ ہو۔

اگر $a_1, a_2, a_3, \ldots$ سیکنڈز ہو، تو عبارت $a_1+a_2+a_3+\ldots$ کو سیریز کہلاتی ہے۔ ایک سیریز محدود سیریز کہلاتی ہے اگر اس میں منتخب تعداد حصول ہوتے ہوں۔

ایک سیکنڈز کو جبری ترتیب یا G.P. کہلاتی ہے، اگر ہر حصہ کو اس کے پہلے سے ہی ہونے کے بعد کے حصہ کے ساتھ ایک مقررہ نسبت سے ہوتا ہے۔ اس مقررہ عامل کو مشترکہ نسبت کہلاتے ہیں۔ عام طور پر، ہم G.P. کے پہلے حصہ کو $a$ اور اس کی مشترکہ نسبت کو $r$ کہلاتے ہیں۔ G.P. کا عام یا $n^{\text{th }}$ حصہ $a_n=a r^{n-1}$ کے طور پر دیا جاتا ہے۔

G.P. کے پہلے $n$ حصول کا مجموعہ $S_n$ کے طور پر دیا جاتا ہے یا $\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$ اگر $r \neq 1$

کسی بھی دو موجب تعدادوں $a$ اور $b$ کا جبری وسطی (G.M.) $\sqrt{a b}$ کے طور پر دیا جاتا ہے یعنی، سیکنڈز $a, G, b$ G.P. ہے۔

تاریخی نوٹ

4000 سال قبل بابلیوں نے عددی اور جبری سیکنڈز کے بارے میں جانا جانا ہوا ہے۔ بوئیسٹس (510) کے مطابق، عددی اور جبری سیکنڈز ایکدورہ یونانی نویسندوں کے ذمہ داری میں تھے۔ ہندوستانی ریاضیدانوں میں، آریبھاتٹا (476) نے 499 میں لکھے گئے اپنے مشہور کام آریبھاتیا میں قومی تعدادوں کے مربعات اور تکونوں کے مجموعہ کی صورت روپ کا پہلا حکم دیا تھا۔ اسی طرح، وہ عددی سیکنڈز کے $n$ حصول کے مجموعہ حاصل کرنے کی صورت روپ بھی دیتے ہیں جو $p^{\text{th }}$ حصہ سے شروع ہوتی ہے۔ مشہور ہندوستانی ریاضیدان براحم گپٹا (598)، ماہوویرا (850) اور بھاسکرا (1114-1185) نے بھی مربعات اور تکونوں کے مجموعہ کو مدنظر رکھا۔ دوسری مخصوص صورت میں سیکنڈز جو ریاضی میں اہم کارکشی کا باعث بنتی ہے، جسے فیبوناچی سیکنڈز کہلاتے ہیں، یونانی ریاضیدان لیونارڈو فیبوناچی (1170-1250) نے دریافت کیا تھا۔ 17ویں صدی میں سیریز کو مخصوص شکلوں میں تقسیم کیا گیا۔ 1671 میں جیمز گریگوری نے تکمیلی سیکنڈز کے ساتھ تکمیلی سیریز کا استعمال کیا۔ صرف جب جبری اور مجموعہ نظریہ کے ٹولز کے دقیق تیاری ہوئے تو سیکنڈز اور سیریز کے متعلقہ مفاہیم کو مناسب طور پر شکل دے دیا جا سکا۔