جیومیٹری، ایک منطقی نظام کے طور پر، ایک ذریعہ ہے اور یہاں تک کہ سب سے طاقتور ذریعہ ہے بچوں کو انسانی روح کی طاقت کا احساس دلانے کے لیے جو ان کی اپنی روح ہے۔ - ایچ. فرائیڈن تھال

9.1 تعارف

ہم پچھلی کلاسوں سے دو جہتی کوآرڈینیٹ جیومیٹری سے واقف ہیں۔ بنیادی طور پر، یہ الجبرا اور جیومیٹری کا امتزاج ہے۔ الجبرا کے استعمال سے جیومیٹری کا منظم مطالعہ سب سے پہلے معروف فرانسیسی فلسفی اور ریاضی دان رینے ڈیکارٹ نے اپنی کتاب ‘لا جیومیٹری’ میں کیا، جو 1637 میں شائع ہوئی۔ اس کتاب نے منحنی خطوط کے مساوات کا تصور اور متعلقہ تجزیاتی طریقے جیومیٹری کے مطالعے میں متعارف کرائے۔ تجزیہ اور جیومیٹری کے اس نتیجے میں امتزاج کو اب تجزیاتی جیومیٹری کہا جاتا ہے۔ پچھلی کلاسوں میں، ہم نے کوآرڈینیٹ جیومیٹری کا مطالعہ شروع کیا، جہاں ہم نے کوآرڈینیٹ محور، کوآرڈینیٹ مستوی، ایک مستوی میں نقاط کی پلاٹنگ، دو نقاط کے درمیان فاصلہ، سیکشن فارمولے وغیرہ کے بارے میں پڑھا۔ یہ تمام تصورات کوآرڈینیٹ جیومیٹری کی بنیادیات ہیں۔

آئیے پچھلی کلاسوں میں کی گئی کوآرڈینیٹ جیومیٹری کا مختصراً جائزہ لیں۔ یاد دہانی کے لیے، XY-مستوی میں نقاط $(6,-4)$ اور $(3,0)$ کی مقامیت کو شکل 9.1 میں دکھایا گیا ہے۔

شکل 9.1

ہم نوٹ کر سکتے ہیں کہ نقطہ $(6,-4)$ مثبت $x$-محور کے ساتھ ناپے گئے $y$-محور سے 6 یونٹ کے فاصلے پر ہے اور منفی $y$-محور کے ساتھ ناپے گئے $x$-محور سے 4 یونٹ کے فاصلے پر ہے۔ اسی طرح، نقطہ $(3,0)$ مثبت $x$-محور کے ساتھ ناپے گئے $y$-محور سے 3 یونٹ کے فاصلے پر ہے اور $x$-محور سے اس کا فاصلہ صفر ہے۔

ہم نے وہاں درج ذیل اہم فارمولے بھی پڑھے:

I. نقاط $P(x_1, y_1)$ اور $Q(x_2, y_2)$ کے درمیان فاصلہ ہے

$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}} $

مثال کے طور پر، نقاط $(6,-4)$ اور $(3,0)$ کے درمیان فاصلہ ہے

$$ \sqrt{(3-6)^{2}+(0+4)^{2}}=\sqrt{9+16}=5 \text{ units. } $$

II. نقاط $(x_1, y_1)$ اور $(x_2, y_2)$ کو ملانے والے خط قطعہ کو داخلی طور پر، نسبت $m: n$ میں تقسیم کرنے والے نقطہ کے کوآرڈینیٹس $(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n})$ ہیں۔

مثال کے طور پر، اس نقطہ کے کوآرڈینیٹس جو خط قطعہ A $(1,-3)$ اور $B(-3,9)$ کو داخلی طور پر، نسبت $1: 3$ میں تقسیم کرتا ہے، $x=\frac{1 .(-3)+3.1}{1+3}=0$ $\text{ and } y=\frac{1.9+3 \cdot(-3)}{1+3}=0$ کے ذریعے دیے جاتے ہیں۔

III. خاص طور پر، اگر $m=n$، تو نقاط $(x_1, y_1)$ اور $(x_2, y_2)$ کو ملانے والے خط قطعہ کے وسطی نقطہ کے کوآرڈینیٹس $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$ ہیں۔

IV. مثلث جس کے راس $(x _{1,} y_1),(x_2, y_2)$ اور $(x_3, y_3)$ ہیں کا رقبہ ہے

$\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)| .$

مثال کے طور پر، مثلث جس کے راس $(4,4),(3,-2)$ اور $(-3,16)$ ہیں کا رقبہ ہے

$ \frac{1}{2}|4(-2-16)+3(16-4)+(-3)(4+2)|=\frac{|-54|}{2}=27 $

تبصرہ اگر مثلث $ABC$ کا رقبہ صفر ہے، تو تین نقاط $A, B$ اور $C$ ایک خط پر واقع ہیں، یعنی وہ ہم خطی ہیں۔

اس باب میں، ہم سیدھی خطوط کی خصوصیات کے مطالعے کے لیے کوآرڈینیٹ جیومیٹری کا مطالعہ جاری رکھیں گے۔ اپنی سادگی کے باوجود، خط جیومیٹری کا ایک اہم تصور ہے اور ہمارے روزمرہ کے تجربات میں بے شمار دلچسپ اور مفید طریقوں سے داخل ہوتا ہے۔ بنیادی توجہ خط کو الجبرائی طور پر پیش کرنے پر ہے، جس کے لیے ڈھال سب سے ضروری ہے۔

9.2 خط کی ڈھال

ایک خط کوآرڈینیٹ مستوی میں $x$-محور کے ساتھ دو زاویے بناتا ہے، جو تکمیلی ہیں۔ وہ زاویہ (فرض کریں) $\theta$ جو خط $l$ مثبت $x$-محور کی سمت کے ساتھ بناتا ہے اور گھڑی کی مخالف سمت میں ناپا جاتا ہے، خط کا میلان کہلاتا ہے۔ ظاہر ہے $0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}$ (شکل 9.2)۔

شکل 9.2

ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ $x$-محور کے متوازی، یا $x$-محور کے ساتھ منطبق ہونے والے خطوط کا میلان $0^{\circ}$ ہوتا ہے۔ عمودی خط ($y$-محور کے متوازی یا اس کے ساتھ منطبق) کا میلان $90^{\circ}$ ہوتا ہے۔

تعریف 1 اگر $\theta$ خط $l$ کا میلان ہے، تو $\tan \theta$ خط $l$ کی ڈھال یا گرادیانٹ کہلاتا ہے۔

اس خط کی ڈھال جس کا میلان $90^{\circ}$ ہے، تعریف شدہ نہیں ہے۔ خط کی ڈھال کو $m$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

اس طرح، $m=\tan \theta, \theta \neq 90^{\circ}$ یہ مشاہدہ کیا جا سکتا ہے کہ $x$-محور کی ڈھال صفر ہے اور $y$-محور کی ڈھال تعریف شدہ نہیں ہے۔

9.2.1 خط کی ڈھال جب خط پر کسی بھی دو نقاط کے کوآرڈینیٹس دیے گئے ہوں

ہم جانتے ہیں کہ ایک خط مکمل طور پر متعین ہو جاتا ہے جب ہمیں اس پر دو نقاط دیے جاتے ہیں۔ لہذا، ہم خط پر دو نقاط کے کوآرڈینیٹس کے لحاظ سے خط کی ڈھال معلوم کرنے کے لیے آگے بڑھتے ہیں۔

فرض کریں $P(x_1, y_1)$ اور $Q(x_2, y_2)$ غیر عمودی خط $l$ پر دو نقاط ہیں جس کا میلان $\theta$ ہے۔ ظاہر ہے، $x_1 \neq x_2$، ورنہ خط $x$-محور کے عمودی ہو جائے گا اور اس کی ڈھال تعریف شدہ نہیں ہوگی۔ خط $l$ کا میلان حادہ یا منفرجہ ہو سکتا ہے۔ آئیے ان دو صورتوں کو لیں۔

$x$-محور پر عمودی $QR$ اور $RQ$ پر عمودی $PM$ کھینچیں جیسا کہ شکلوں 9.3 (i) اور (ii) میں دکھایا گیا ہے۔

صورت 1 جب زاویہ $\theta$ حادہ ہو:

شکل 9.3

(i) میں، $\angle MPQ=\theta \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

لہذا، خط $l=m=\tan \theta$ کی ڈھال۔

لیکن $\triangle MPQ$ میں، ہمارے پاس $\tan \theta=\frac{MQ}{MP}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2)$ ہے۔

مساوات (1) اور (2) سے، ہمارے پاس ہے

$ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $

صورت II جب زاویہ $\theta$ منفرجہ ہو:

شکل 9.3

(ii) میں، ہمارے پاس $\angle MPQ=180^{\circ}-\theta$ ہے۔

لہذا، $\theta=180^{\circ}-\angle MPQ$۔

اب، خط $l=m=\tan \theta$ کی ڈھال۔

$$ \begin{aligned} & =\tan \left(180^{\circ}-\angle \mathrm{MPQ}\right) \\ & =-\tan \angle \mathrm{MPQ} \\ & =-\frac{\mathrm{MQ}}{\mathrm{MP}}=-\frac{y _{2}-y _{1}}{x _{1}-x _{2}}=\frac{y _{2}-y _{1}}{x _{2}-x _{1}} . \end{aligned} $$

نتیجتاً، ہم دیکھتے ہیں کہ دونوں صورتوں میں نقاط $(x_1, y_1)$ اور $(x_2, y_2)$ سے گزرنے والے خط کی ڈھال $m$ $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ کے ذریعے دی جاتی ہے۔

9.2.2 خطوط کی توازی اور عمودیت کی شرائط ان کی ڈھال کے لحاظ سے

ایک کوآرڈینیٹ مستوی میں، فرض کریں کہ غیر عمودی خطوط $l_1$ اور $l_2$ کی ڈھال بالترتیب $m_1$ اور $m_2$ ہیں۔ ان کے میلان بالترتیب $\alpha$ اور $\beta$ ہوں۔ اگر خط $\boldsymbol{l_1}$، $\boldsymbol{l_2}$ کے متوازی ہے (شکل 9.4)، تو ان کے میلان برابر ہیں، یعنی،

شکل 9.4

$ \alpha=\beta, \text{ اور اس لیے، } \tan \alpha=\tan \beta $

لہذا $\quad m _{1}=m _{2}$، یعنی، ان کی ڈھال برابر ہیں۔

اس کے برعکس، اگر دو خطوط $l_1$ اور $l_2$ کی ڈھال یکساں ہے، یعنی،

$$ m_1=m_2 $$

پھر

$$ \tan \alpha=\tan \beta \text{. } $$

ٹینجنٹ فنکشن کی خصوصیت کے مطابق ($0^{\circ}$ اور $180^{\circ}$ کے درمیان)، $\alpha=\beta$۔

لہذا، خطوط متوازی ہیں۔

لہذا، دو غیر عمودی خطوط $l_1$ اور $l_2$ متوازی ہیں اگر اور صرف اگر ان کی ڈھال برابر ہوں۔

اگر خطوط $ \boldsymbol{l_1 } $ اور $\boldsymbol{l_2 } $ عمودی ہیں (شکل 9.5)، تو $\beta=\alpha+90^{\circ}$۔

شکل 9.5

لہذا، $\quad \tan \beta=\tan (\alpha+90^{\circ})$

$$ =-\cot \alpha=-\frac{1}{\tan \alpha} $$

یعنی، $\quad m_2=-\frac{1}{m_1}$ یا $\quad m_1 m_2=-1$

اس کے برعکس، اگر $m_1 m_2=-1$، یعنی، $\tan \alpha \tan \beta=-1$۔

پھر $\tan \alpha=-\cot \beta=\tan (\beta+90^{\circ})$ یا $\tan (\beta-90^{\circ})$

لہذا، $\alpha$ اور $\beta$ میں $90^{\circ}$ کا فرق ہے۔

اس طرح، خطوط $l_1$ اور $l_2$ ایک دوسرے کے عمودی ہیں۔

لہذا، دو غیر عمودی خطوط ایک دوسرے کے عمودی ہیں اگر اور صرف اگر ان کی ڈھال ایک دوسرے کی منفی معکوس ہوں،

یعنی، $\quad m_2=-\frac{1}{m_1}$ یا، $m_1 m_2=-1$۔

آئیے درج ذیل مثال پر غور کریں۔

مثال 1 خطوط کی ڈھال معلوم کریں:

(الف) نقاط $(3,-2)$ اور $(-1,4)$ سے گزرنے والا،

(ب) نقاط $(3,-2)$ اور $(7,-2)$ سے گزرنے والا،

(ج) نقاط $(3,-2)$ اور $(3,4)$ سے گزرنے والا،

(د) مثبت $x$-محور کی سمت کے ساتھ $60^{\circ}$ کا میلان بنانے والا۔

حل (الف) $(3,-2)$ اور $(-1,4)$ سے گزرنے والے خط کی ڈھال ہے

$$ m=\frac{4-(-2)}{-1-3}=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2} $$

(ب) نقاط $(3,-2)$ اور $(7,-2)$ سے گزرنے والے خط کی ڈھال ہے

$$ m=\frac{-2-(-2)}{7-3}=\frac{0}{4}=0 $$

(ج) نقاط $(3,-2)$ اور $(3,4)$ سے گزرنے والے خط کی ڈھال ہے

$ m=\frac{4-(-2)}{3-3}=\frac{6}{0} \text{, جو تعریف شدہ نہیں ہے۔ } $

(د) یہاں خط کا میلان $\alpha=60^{\circ}$ ہے۔ لہذا، خط کی ڈھال ہے

$$ m=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3} \text{. } $$

9.2.3 دو خطوط کے درمیان زاویہ

جب ہم ایک مستوی میں ایک سے زیادہ خطوط کے بارے میں سوچتے ہیں، تو ہم پاتے ہیں کہ یہ خطوط یا تو متقاطع ہیں یا متوازی۔ یہاں ہم دو خطوط کے درمیان زاویہ ان کی ڈھال کے لحاظ سے زیر بحث لائیں گے۔

فرض کریں $L_1$ اور $L_2$ دو غیر عمودی خطوط ہیں جن کی ڈھال بالترتیب $m_1$ اور $m_2$ ہیں۔ اگر $\alpha_1$ اور $\alpha_2$ خطوط $L_1$ اور $L_2$ کے میلان ہیں، تو

$$ m_1=\tan \alpha_1 \text{ and } m_2=\tan \alpha_2 . $$

ہم جانتے ہیں کہ جب دو خطوط ایک دوسرے کو قطع کرتے ہیں، تو وہ عمودی مخالف زاویوں کے دو جوڑے بناتے ہیں جیسے کہ کسی بھی دو ملحقہ زاویوں کا مجموعہ $180^{\circ}$ ہوتا ہے۔ فرض کریں $\theta$ اور $\phi$ خطوط $L_1$ اور $L_2$ کے درمیان ملحقہ زاویے ہیں (شکل 9.6)۔ پھر

شکل 9.6

$$ \theta=\alpha_2-\alpha_1 \text{ and } \alpha_1, \alpha_2 \neq 90^{\circ} \text{. } $$

لہذا $\tan \theta=\tan (\alpha_2-\alpha_1)=\frac{\tan \alpha_2-\tan \alpha_1}{1+\tan \alpha_1 \tan \alpha_2}=\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \quad(.$ کیونکہ $.1+m_1 m_2 \neq 0)$ اور $\phi=180^{\circ}-\theta$

تاکہ $\tan \phi=\tan (180^{\circ}-\theta)=-\tan \theta=-\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$، کیونکہ $1+m_1 m_2 \neq 0$

اب، دو صورتیں پیدا ہوتی ہیں:

صورت I اگر $\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$ مثبت ہے، تو $\tan \theta$ مثبت ہوگا اور $\tan \phi$ منفی ہوگا، جس کا مطلب ہے کہ $\theta$ حادہ ہوگا اور $\phi$ منفرجہ ہوگا۔

صورت II اگر $\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$ منفی ہے، تو $\tan \theta$ منفی ہوگا اور $\tan \phi$ مثبت ہوگا، جس کا مطلب ہے کہ $\theta$ منفرجہ ہوگا اور $\phi$ حادہ ہوگا۔

اس طرح، حادہ زاویہ (فرض کریں $\theta$) خطوط $L_1$ اور $L_2$ کے درمیان جن کی ڈھال بالترتیب $m_1$ اور $m_2$ ہیں، کے ذریعے دیا جاتا ہے

$ \tan \theta=|\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}|, \text{ جیسا کہ } 1+m_1 m_2 \neq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(1) $

منفرجہ زاویہ (فرض کریں $\phi$) $\phi=180^{\circ}-\theta$ استعمال کر کے معلوم کیا جا سکتا ہے۔

مثال 2 اگر دو خطوط کے درمیان زاویہ $\frac{\pi}{4}$ ہے اور ایک خط کی ڈھال $\frac{1}{2}$ ہے، دوسرے خط کی ڈھال معلوم کریں۔

حل ہم جانتے ہیں کہ دو خطوط کے درمیان حادہ زاویہ $\theta$ جن کی ڈھال $m_1$ اور $m_2$ ہیں، کے ذریعے دیا جاتا ہے

$\quad \tan \theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \right| \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(1)$

فرض کریں $m_1=\frac{1}{2}, m_2=m$ اور $\theta=\frac{\pi}{4}$۔

اب، ان اقدار کو (1) میں رکھتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے

$$ \tan \frac{\pi}{4}=\left|\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}\right| \text{ or } 1=\left|\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}\right| $$

جو $\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}=1$ یا $\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}=-1$ دیتا ہے۔

لہذا $m=3$ یا $m=-\frac{1}{3}$۔

لہذا، دوسرے خط کی ڈھال 3 یا $-\frac{1}{3}$ ہے۔ شکل 9.7 دو جوابات کی وجہ کی وضاحت کرتی ہے۔

شکل 9.7

مثال 3 نقاط $(-2,6)$ اور $(4,8)$ سے گزرنے والا خط، نقاط $(8,12)$ اور $(x, 24)$ سے گزرنے والے خط کے عمودی ہے۔ $x$ کی قیمت معلوم کریں۔

حل نقاط $(-2,6)$ اور $(4,8)$ سے گزرنے والے خط کی ڈھال ہے

$ m_1=\frac{8-6}{4-(-2)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} $

نقاط $(8,12)$ اور $(x, 24)$ سے گزرنے والے خط کی ڈھال ہے

$ m_2=\frac{24-12}{x-8}=\frac{12}{x-8} $

چونکہ دو خطوط عمودی ہیں، $m_1 m_2=-1$، جو دیتا ہے

$$ \frac{1}{3} \times \frac{12}{x-8}=-1 \text{ or } x=4 \text{. } $$

9.3 خط کی مساوات کی مختلف شکلیں

ہم جانتے ہیں کہ ہر خط ایک مستوی میں اس پر لامحدود نقاط پر مشتمل ہوتا ہے۔ خط اور نقاط کے درمیان یہ تعلق ہمیں درج ذیل مسئلے کا حل تلاش کرنے کی طرف لے جاتا ہے:

ہم کیسے کہہ سکتے ہیں کہ ایک دیا گیا نقطہ دیے گئے خط پر واقع ہے؟ اس کا جواب یہ ہو سکتا ہے کہ ایک دیے گئے خط کے لیے ہمارے پاس خط پر واقع نقاط کے لیے ایک واضح شرط ہونی چاہیے۔ فرض کریں $P(x, y)$ XY-مستوی میں ایک خود مختار نقطہ ہے اور $L$ دیا گیا خط ہے۔ $L$ کی مساوات کے لیے، ہم نقطہ $P$ کے لیے ایک بیان یا شرط بنانا چاہتے ہیں جو سچ ہو، جب $P$، $L$ پر ہو، ورنہ غلط۔ بلاشبہ بیان محض متغیرات $x$ اور $y$ پر مشتمل ایک الجبرائی مساوات ہے۔ اب، ہم مختلف حالات کے تحت ایک خط کی مساوات پر بحث کریں گے۔

9.3.1 افقی اور عمودی خطوط

اگر ایک افقی خط $L$، $x$ محور سے $a$ کے فاصلے پر ہے تو خط پر واقع ہر نقطہ کی عرض یا تو $a$ یا $-a$ ہے [شکل 9.8 (الف)]۔ لہذا، خط $L$ کی مساوات یا تو $y=a$ یا $y=-a$ ہے۔ علامت کا انتخاب خط کی پوزیشن پر منحصر ہوگا کہ خط $y$-محور کے اوپر ہے یا نیچے۔ اسی طرح، $y$-محور سے $b$ کے فاصلے پر ایک عمودی خط کی مساوات یا تو $x=b$ یا $x=-b$ ہے [شکل 9.8(ب)]۔

مثال 4 محوروں کے متوازی اور $(-2,3)$ سے گزرنے والے خطوط کی مساوات معلوم کریں۔

شکل 9.9

حل خطوط کی پوزیشن شکل 9.9 میں دکھائی گئی ہے۔ $x$-محور کے متوازی خط پر ہر نقطہ کا $y$-کوآرڈینیٹ 3 ہے، لہذا، x-محور کے متوازی اور $(-2,3)$ سے گزرنے والے خط کی مساوات $y=3$ ہے۔ اسی طرح، $y$-محور کے متوازی اور $(-2,3)$ سے گزرنے والے خط کی مساوات $x=-2$ ہے۔

9.3.2 نقطہ-ڈھال شکل

فرض کریں کہ $P_0(x_0, y_0)$ ایک غیر عمودی خط $L$ پر ایک مقررہ نقطہ ہے، جس کی ڈھال $m$ ہے۔ فرض کریں $P(x, y)$ L پر ایک خود مختار نقطہ ہے (شکل 9.10)۔

شکل 9.10

پھر، تعریف کے مطابق، $L$ کی ڈھال کے ذریعے دی جاتی ہے

$ m=\frac{y-y_0}{x-x_0} \text{, یعنی، } y-y_0=m(x-x_0) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $

چونکہ نقطہ $P_0(x_0, y_0)$ $L$ پر تمام نقاط $(x, y)$ کے ساتھ (1) کو تسلیم کرتا ہے اور مستوی میں کوئی دوسرا نقطہ (1) کو تسلیم نہیں کرتا۔ مساوات (1) درحقیقت دیے گئے خط $L$ کے لیے مساوات ہے۔

اس طرح، نقطہ $(x, y)$ مقررہ نقطہ $(x_0, y_0)$ سے گزرنے والے $m$ ڈھال والے خط پر واقع ہوتا ہے، اگر اور صرف اگر، اس کے کوآرڈینیٹس مساوات کو تسلیم کرتے ہیں

$$ y-y_0=m(x-x_0) $$

مثال 5 $(-2,3)$ سے گزرنے والے اور ڈھال -4 والے خط کی مساوات معلوم کریں۔

حل یہاں $m=-4$ اور دیا گیا نقطہ $(x_0, y_0)$، $(-2,3)$ ہے۔

اوپر دیے گئے ڈھال-قطع شکل کے فارمولہ (1) کے مطابق، دیے گئے خط کی مساوات ہے

$y-3=-4(x+2)$ یا

$4 x+y+5=0$، جو مطلوبہ مساوات ہے۔

9.3.3 دو-نقطہ شکل

فرض کریں خط $L$ دو دیے گئے نقاط $P_1(x_1, y_1)$ اور $P_2(x_2, y_2)$ سے گزرتا ہے۔ فرض کریں $P(x, y)$، $L$ پر ایک عمومی نقطہ ہے (شکل 9.11)۔

تین نقاط $P_1, P_2$ اور $P$ ہم خطی ہیں، لہذا، ہمارے پاس ہے

شکل 9.11 $P_1 P=$ کی ڈھال = $P_1 P_2$ کی ڈھال

$ \text{ یعنی، } \quad \frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, \quad \text{ یا } \quad y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) \text{. } $

اس طرح، نقاط $(x_1, y_1)$ اور $(x_2, y_2)$ سے گزرنے والے خط کی مساوات کے ذریعے دی جاتی ہے

$$ y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $$

مثال 6 نقاط $(1,-1)$ اور $(3,5)$ سے گزرنے والے خط کی مساوات لکھیں۔

حل یہاں $x_1=1, y_1=-1, x_2=3$ اور $y_2=5$۔ خط کی مساوات کے لیے اوپر دو-نقطہ شکل (2) استعمال کرتے ہوئے، ہمارے پاس ہے

$$ y-(-1)=\frac{5-(-1)}{3-1}(x-1) $$

یا $ -3 x+y+4=0 \text{, جو مطلوبہ مساوات ہے۔ } $

9.3.4 ڈھال-قطع شکل

کبھی کبھی ایک خط اپنی ڈھال اور ایک محور پر قطع کے ساتھ ہمارے لیے معلوم ہوتا ہے۔ اب ہم ایسے خطوط کی مساوات معلوم کریں گے۔

صورت I فرض کریں ایک خط $L$ جس کی ڈھال $m$ ہے، $y$-محور کو مبدا سے $c$ کے فاصلے پر قطع کرتا ہے (شکل 9.12)۔ فاصلہ $c$ خط L کا $y$ قطع کہلاتا ہے۔ ظاہر ہے، اس نقطہ کے کوآرڈینیٹس جہاں خط $y$-محور سے ملتا ہے، $(0, c)$ ہیں۔ اس طرح، $L$ کی ڈھال $m$ ہے اور ایک مقررہ نقطہ $(0, c)$ سے گزرتا ہے۔ لہذا، نقطہ-ڈھال شکل کے مطابق، $L$ کی مساوات ہے

شکل 9.12

$$ y-c=m(x-0) $$

یا $\quad y=m x+c$

اس طرح، نقطہ $(x, y)$ ڈھال $m$ اور $y$-قطع $c$ والے خط پر واقع ہوتا ہے اگر اور صرف اگر

$ y=m x+c \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(3) $

نوٹ کریں کہ $c$ کی قیمت مثبت یا منفی ہوگی اس پر منحصر ہے کہ قطع $y$-محور کے مثبت یا منفی سمت پر بنایا گیا ہے۔

صورت II فرض کریں خط $L$ جس کی ڈھال $m$ ہے، $x$-قطع $d$ بناتا ہے۔ پھر $L$ کی مساوات ہے $ y=m(x-d) \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(4) $

طلباء خود اس مساوات کو صورت I میں استعمال ہونے والے طریقے کی طرح اخذ کر سکتے ہیں۔

مثال 7 ان خطوط کی مساوات لکھیں جن کے لیے $\tan \theta=\frac{1}{2}$، جہاں $\theta$ خط کا میلان ہے اور (i) $y$-قطع $-\frac{3}{2}$ ہے (ii) $x$-قطع 4 ہے۔

حل (i) یہاں، خط کی ڈھال $m=\tan \theta=\frac{1}{2}$ ہے اور $y$ - قطع $c=-\frac{3}{2}$ ہے۔

لہذا، ڈھال-قطع شکل (3) کے مطابق، خط کی مساوات ہے

$ y=\frac{1}{2} x-\frac{3}{2} \text{ یا } 2 y-x+3=0 \text{, } $

جو مطلوبہ مساوات ہے۔

(ii) یہاں، ہمارے پاس $m=\tan \theta=\frac{1}{2}$ اور $d=4$ ہے۔

لہذا، ڈھال-قطع شکل (4) کے مطابق، خط کی مساوات ہے

$$ y=\frac{1}{2}(x-4) \text{ or } 2 y-x+4=0 \text{, } $$

جو مطلوبہ مساوات ہے۔

9.3.5 قطع - شکل

فرض کریں ایک خط L، محوروں پر $x$-قطع $a$ اور $y$-قطع $b$ بناتا ہے۔ ظاہر ہے $L$، $x$-محور سے نقطہ $(a, 0)$ پر اور $y$-محور سے نقطہ $(0, b)$ پر ملتا ہے (شکل 9.13)۔ خط کی مساوات کی دو-نقطہ شکل کے ذریعے، ہمارے پاس ہے

شکل 9.13

$y-0=\frac{b-0}{0-a}(x-a)$ یا $a y=-b x+a b$، یعنی، $\quad \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

اس طرح، $x$-اور $y$-محوروں پر بالترتیب قطع $a$ اور $b$ بنانے والے خط کی مساوات ہے

$ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (5) $

مثال 8 اس خط کی مساوات معلوم کریں، جو $x$ - اور $y$-محوروں پر بالترتیب -3 اور 2 قطع بناتا ہے۔

حل یہاں $a=-3$ اور $b=2$۔ قطع شکل (5) کے مطابق، خط کی مساوات ہے

$$ \frac{x}{-3}+\frac{y}{2}=1 \quad \text{ or } \quad 2 x-3 y+6=0 $$

کسی بھی مساوات کی شکل $A x+B y+C=0$، جہاں $A$ اور $B$ بیک وقت صفر نہیں ہیں، عمومی لکیری مساوات یا خط کی عمومی مساوات کہلاتی ہے۔

9.4 ایک نقطہ سے ایک خط کا فاصلہ

ایک نقطہ سے ایک خط کا فاصلہ اس نقطہ سے خط پر کھینچے گئے عمودی کی لمبائی ہے۔ فرض کریں $L: A x+By+C=0$ ایک خط ہے، جس کا نقطہ $P(x_1, y_1)$ سے فاصلہ $d$ ہے۔ نقطہ $P$ سے خط $L$ پر ایک عمودی PM کھینچیں (شکل 9.14)۔ اگر

خط $x$-اور $y$-محوروں سے نقاط $Q$ اور $R$ پر ملتا ہے، تو نقاط کے کوآرڈینیٹس بالترتیب $Q(-\frac{C}{A}, 0)$ اور $R(0,-\frac{C}{B})$ ہیں۔ اس طرح، مثلث $P Q R$ کا رقبہ کے ذریعے دیا جاتا ہے

$ \text{ رقبہ }(\Delta PQR)=\frac{1}{2} PM \cdot QR \text{, جو دیتا ہے } PM=\frac{2 \text{رقبہ}(\Delta PQR)}{QR} \quad \quad \quad \ldots (1) $

نیز، رقبہ $(\Delta PQR)=\frac{1}{2}\left|x_1(0+\frac{C}{B})+(-\frac{C}{A})(-\frac{C}{B}-y_1)+0(y_1-0)\right|$

$$ =\frac{1}{2}|x_1 \frac{C}{B}+y_1 \frac{C}{A}+\frac{C^{2}}{AB}| $$

یا 2 رقبہ $(\Delta PQR)=|\frac{C}{AB}| \cdot|A _{x_1}+B y_1+C|$، اور

$$ QR=\sqrt{(0+\frac{C}{A})^{2}+(\frac{C}{B}-0)^{2}}=|\frac{C}{AB}| \sqrt{A^{2}+B^{2}} $$

رقبہ $(\triangle PQR)$ اور $QR$ کی اقدار کو (1) میں رکھتے ہوئے، ہمیں ملتا ہے

$$ PM=\frac{|A x_1+B y_1+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} $$

یا

$$ d=\frac{|A x_1+B y_1+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} . $$

اس طرح، ایک خط $A x+B y+C=0$ کا نقطہ $(x_1, y_1)$ سے عمودی فاصلہ $(d)$ کے ذریعے دیا جاتا ہے

$$ d=\frac{|A x_1+B y_1+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} . $$

9.4.1 دو متوازی خطوط کے درمیان فاصلہ

ہم جانتے ہیں کہ دو متوازی خطوط کی ڈھال برابر ہوتی ہیں۔ لہذا، دو متوازی خطوط کو درج ذیل شکل میں لیا جا سکتا ہے

$\quad \quad \quad\quad y=m x+c_1 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

اور $\quad \quad \quad y=m x+c_2 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2)$

خط (1) $x$-محور سے نقطہ $A(-\frac{c_1}{m}, 0)$ پر قطع کرے گا جیسا کہ شکل 9.15 میں دکھایا گیا ہے۔

شکل 9.15

دو خطوط کے درمیان فاصلہ نقطہ A سے خط (2) پر عمودی کی لمبائی کے برابر ہے۔ لہذا، خطوط (1) اور (2) کے درمیان فاصلہ ہے

$$ \frac{|(-m)(-\frac{c_1}{m})+(-c_2)|}{\sqrt{1+m^{2}}} \text{ or } d=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{1+m^{2}}} \text{. } $$

اس طرح، دو متوازی خطوط $y=m x+c_1$ اور $y=m x+c_2$ کے درمیان فاصلہ $d$ کے ذریعے دیا جاتا ہے