باب 01 اکائیاں اور پیمائش
1.1 تعارف
کسی بھی طبیعی مقدار کی پیمائش میں ایک مخصوص، بنیادی، من مانی طور پر منتخب کردہ، بین الاقوامی طور پر تسلیم شدہ حوالہ معیار جسے اکائی کہتے ہیں، سے موازنہ شامل ہوتا ہے۔ کسی طبیعی مقدار کی پیمائش کا نتیجہ ایک عدد (یا عددی پیمائش) کے ساتھ ایک اکائی کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اگرچہ طبیعی مقداروں کی تعداد بہت زیادہ معلوم ہوتی ہے، لیکن ہمیں تمام طبیعی مقداروں کو ظاہر کرنے کے لیے صرف محدود تعداد میں اکائیوں کی ضرورت ہوتی ہے، کیونکہ وہ ایک دوسرے سے باہمی طور پر جڑی ہوئی ہیں۔ بنیادی یا اساس مقداروں کے لیے اکائیوں کو اساس اکائیاں کہتے ہیں۔ دیگر تمام طبیعی مقداروں کی اکائیاں اساس اکائیوں کے مجموعوں کے طور پر ظاہر کی جا سکتی ہیں۔ اخذ کردہ مقداروں کے لیے حاصل ہونے والی ایسی اکائیوں کو اخذ کردہ اکائیاں کہتے ہیں۔ ان اکائیوں کا ایک مکمل سیٹ، جو اساس اکائیاں اور اخذ کردہ اکائیاں دونوں پر مشتمل ہو، نظام اکائیات کہلاتا ہے۔
1.2 بین الاقوامی نظام اکائیات
پہلے زمانے میں مختلف ممالک کے سائنسدان پیمائش کے لیے مختلف نظام اکائیات استعمال کرتے تھے۔ ایسے تین نظام، CGS نظام، FPS (یا برطانوی) نظام اور MKS نظام حال ہی تک وسیع پیمانے پر استعمال میں تھے۔
ان نظاموں میں لمبائی، کمیت اور وقت کی اساس اکائیاں درج ذیل تھیں:
- CGS نظام میں یہ بالترتیب سینٹی میٹر، گرام اور سیکنڈ تھیں۔
- FPS نظام میں یہ بالترتیب فٹ، پاؤنڈ اور سیکنڈ تھیں۔
- MKS نظام میں یہ بالترتیب میٹر، کلوگرام اور سیکنڈ تھیں۔
اکائیات کا وہ نظام جو فی الحال پیمائش کے لیے بین الاقوامی طور پر تسلیم شدہ ہے، وہ Système Internationale d’ Unites (بین الاقوامی نظام اکائیات کے لیے فرانسیسی اصطلاح) ہے، جسے مختصراً SI کہا جاتا ہے۔ علامات، اکائیوں اور مخففات کے معیاری اسکیم کے ساتھ SI، جو Bureau International des Poids et Mesures (بین الاقوامی دفتر اوزان و پیمائش، BIPM) نے 1971 میں تیار کیا تھا، کو حال ہی میں نومبر 2018 میں عمومی کانفرنس برائے اوزان و پیمائش نے نظر ثانی کی۔ یہ اسکیم اب سائنسی، تکنیکی، صنعتی اور تجارتی کاموں میں بین الاقوامی استعمال کے لیے ہے۔ چونکہ SI اکائیاں اعشاری نظام استعمال کرتی ہیں، اس لیے نظام کے اندر تبدیلیاں کافی سادہ اور آسان ہیں۔ ہم اس کتاب میں SI اکائیوں کی پیروی کریں گے۔
SI میں، سات اساس اکائیاں ہیں جیسا کہ جدول 1.1 میں دی گئی ہیں۔ سات اساس اکائیوں کے علاوہ، دو مزید اکائیاں ہیں جو (a) مستوی زاویہ $\mathrm{d} \theta$ کے لیے قوس کی لمبائی ds اور رداس $r$ کے تناسب کے طور پر اور (b) فضائی زاویہ $\mathrm{d} \Omega$ کے لیے کروی سطح کے قطع شدہ رقبہ $\mathrm{d} A$ کا اس کے رداس کے مربع $r$ سے تناسب کے طور پر بیان کی جاتی ہیں، جیسا کہ بالترتیب شکل 1.1(a) اور (b) میں دکھایا گیا ہے۔ مستوی زاویہ کی اکائی ریڈین ہے جس کی علامت rad ہے اور فضائی زاویہ کی اکائی اسٹیرےڈین ہے جس کی علامت sr ہے۔ یہ دونوں بے بعد مقداریں ہیں۔
شکل 1.1 (a) مستوی زاویہ dθ اور (b) فضائی زاویہ dΩ کی وضاحت۔
جدول 1.1 SI اساس مقداریں اور اکائیاں*
| SI اکائیاں | |||
|---|---|---|---|
| اساس مقدار | نام | علامت | تعریف |
| لمبائی | میٹر | $\mathrm{m}$ | میٹر، علامت $\mathrm{m}$، لمبائی کی SI اکائی ہے۔ اس کی تعریف خلا میں روشنی کی رفتار $c$ کی مقررہ عددی قدر 299792458 لے کر کی جاتی ہے جب اسے اکائی $\mathrm{m} \mathrm{s}^{-1}$ میں ظاہر کیا جائے، جہاں سیکنڈ کی تعریف سیزیم تعدد $\Delta \nu c s$ کے لحاظ سے کی جاتی ہے۔ |
| کمیت | کلوگرام | $\mathrm{kg}$ | کلوگرام، علامت $\mathrm{kg}$، کمیت کی SI اکائی ہے۔ اس کی تعریف پلانک مستقل $h$ کی مقررہ عددی قدر $6.6260701510^{-34}$ لے کر کی جاتی ہے جب اسے اکائی $\mathrm{J} \mathrm{s}$ میں ظاہر کیا جائے، جو $\mathrm{kg} \mathrm{m}^{2} \mathrm{~s}^{-1}$ کے برابر ہے، جہاں میٹر اور سیکنڈ کی تعریف $c$ اور $\Delta V c s$ کے لحاظ سے کی جاتی ہے۔ |
| وقت | سیکنڈ | $\mathrm{s}$ | سیکنڈ، علامت s، وقت کی SI اکائی ہے۔ اس کی تعریف سیزیم تعدد $\Delta V c s$، یعنی سیزیم-133 ایٹم کی غیر متاثرہ بنیادی حالت ہائپر فائن انتقالی تعدد، کی مقررہ عددی قدر 9192631770 لے کر کی جاتی ہے جب اسے اکائی $\mathrm{Hz}$ میں ظاہر کیا جائے، جو s ${ }^{-1}$ کے برابر ہے۔ |
| برقی رو | ایمپیئر | A | ایمپیئر، علامت $\mathrm{A}$، برقی رو کی SI اکائی ہے۔ اس کی تعریف بنیادی بار $e$ کی مقررہ عددی قدر $1.60217663410^{-19}$ لے کر کی جاتی ہے جب اسے اکائی $C$ میں ظاہر کیا جائے، جو $\mathrm{A}$ کے برابر ہے، جہاں سیکنڈ کی تعریف $\Delta V c s$ کے لحاظ سے کی جاتی ہے۔ |
| حرحرکیاتی درجہ حرارت | کیلون | K | کیلون، علامت $\mathrm{K}$، حرحرکیاتی درجہ حرارت کی SI اکائی ہے۔ اس کی تعریف بولٹزمین مستقل $\mathrm{k}$ کی مقررہ عددی قدر $1.38064910^{-23}$ لے کر کی جاتی ہے جب اسے اکائی $\mathrm{J} \mathrm{K}^{-1}$ میں ظاہر کیا جائے، جو $\mathrm{kg} \mathrm{m}^{2} \mathrm{~s}^{-2} \mathrm{k}^{-1}$ کے برابر ہے، جہاں کلوگرام، میٹر اور سیکنڈ کی تعریف $h, c$ اور $\Delta V c s$ کے لحاظ سے کی جاتی ہے۔ |
| مادہ کی مقدار | مول | mol | مول، علامت mol، مادہ کی مقدار کی SI اکائی ہے۔ ایک مول میں بالکل $6.0221407610^{23}$ بنیادی اکائیاں ہوتی ہیں۔ یہ عدد ایوگیڈرو مستقل $N_{A}$ کی مقررہ عددی قدر ہے، جب اسے اکائی mol $^{-1}$ میں ظاہر کیا جائے اور اسے ایوگیڈرو عدد کہتے ہیں۔ مادہ کی مقدار، علامت $n$، کسی نظام میں مخصوص بنیادی اکائیوں کی تعداد کا پیمانہ ہے۔ ایک بنیادی اکائی ایٹم، مالیکیول، آئن، الیکٹران، کوئی دوسرا ذرہ یا مخصوص گروہ ذرات ہو سکتی ہے۔ |
| نوری شدت | کینڈیلا | $\mathrm{cd}$ | کینڈیلا، علامت cd، دیے گئے سمت میں نوری شدت کی SI اکائی ہے۔ اس کی تعریف تعدد $54010^{12} \mathrm{~Hz}, \mathrm{~K}_{\mathrm{ed}}$ کے یک رنگ تابکاری کی نوری تاثیر کی مقررہ عددی قدر 683 لے کر کی جاتی ہے جب اسے اکائی $\mathrm{lm} \mathrm{W} \mathrm{W}^{-1}$ میں ظاہر کیا جائے، جو $\mathrm{cd} \mathrm{sr} \mathrm{W} \mathrm{W}^{-1}$، یا $\mathrm{cd} \mathrm{sr} \mathrm{kg}^{-1} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~s}^3$ کے برابر ہے، جہاں کلوگرام، میٹر اور سیکنڈ کی تعریف $h, c$ اور $\Delta v c s$ کے لحاظ سے کی جاتی ہے۔ |
جدول 1.2 عمومی استعمال کے لیے برقرار رکھی گئی کچھ اکائیاں (اگرچہ SI سے باہر)
| نام | علامت | SI اکائی میں قدر |
|---|---|---|
| منٹ | min | $60 \mathrm{~s}$ |
| گھنٹہ | $\mathrm{h}$ | $60 \mathrm{~min}=3600 \mathrm{~s}$ |
| دن | $\mathrm{d}$ | $24 \mathrm{~h}=86400 \mathrm{~s}$ |
| سال | $\mathrm{y}$ | $365.25 \mathrm{~d}=3.156 \times 10^{7} \mathrm{~s}$ |
| ڈگری | o | $1^{\circ}=(\pi / 180) \mathrm{rad}$ |
| لیٹر | $\mathrm{L}$ | $\mathrm{I} \mathrm{dm}^{3}=10^{-3} \mathrm{~m}^{3}$ |
| ٹن | $\mathrm{t}$ | $10^{3} \mathrm{~kg}$ |
| قیراط | $\mathrm{c}$ | $200 \mathrm{mg}$ |
| بار | bar | $0.1 \mathrm{MPa}=10^{5} \mathrm{~Pa}$ |
| کیوری | $\mathrm{Ci}$ | $3.7 \times 10^{10} \mathrm{~s}^{-1}$ |
| رونٹیگن | $\mathrm{R}$ | $2.58 \times 10^{-4} \mathrm{C} / \mathrm{kg}$ |
| من | $\mathrm{q}$ | $100 \mathrm{~kg}^{2}$ |
| بارن | $\mathrm{b}$ | $100 \mathrm{fm}^{2}=10^{-28} \mathrm{~m}^{2}$ |
| ایکڑ | $\mathrm{a}$ | $1 \mathrm{dam}^{2}=10^{2} \mathrm{~m}^{2}$ |
| ہیکٹر | ha | $1 \mathrm{hm}^{2}=10^{4} \mathrm{~m}^{2}$ |
| معیاری فضائی دباؤ | atm | $101325 \mathrm{~Pa}=1.013 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}$ |
نوٹ کریں کہ جب مول استعمال کیا جائے تو بنیادی اکائیوں کی وضاحت ضروری ہے۔ یہ اکائیاں ایٹم، مالیکیول، آئن، الیکٹران، دیگر ذرات یا ایسے ذرات کے مخصوص گروہ ہو سکتی ہیں۔
ہم کچھ طبیعی مقداروں کے لیے ایسی اکائیاں استعمال کرتے ہیں جو سات اساس اکائیوں سے اخذ کی جا سکتی ہیں (ضمیمہ A 6)۔ SI اساس اکائیوں کے لحاظ سے کچھ اخذ کردہ اکائیاں (ضمیمہ A 6.1) میں دی گئی ہیں۔ کچھ SI اخذ کردہ اکائیاں کو خاص نام دیے جاتے ہیں (ضمیمہ A 6.2) اور کچھ اخذ کردہ SI اکائیاں ان خاص نام والی اکائیوں اور سات اساس اکائیوں کا استعمال کرتی ہیں (ضمیمہ A 6.3)۔ یہ آپ کے فوری حوالے کے لیے ضمیمہ A 6.2 اور A 6.3 میں دی گئی ہیں۔ عمومی استعمال کے لیے برقرار رکھی گئی دیگر اکائیاں جدول 1.2 میں دی گئی ہیں۔
عام SI سابقے اور ضربیات اور زیرضربیات کے لیے علامات ضمیمہ A2 میں دی گئی ہیں۔ طبیعی مقداروں، کیمیائی عناصر اور نیوکلائیڈز کے لیے علامات استعمال کرنے کے عمومی رہنما اصول آپ کی رہنمائی اور فوری حوالے کے لیے ضمیمہ A7 میں دیے گئے ہیں اور SI اکائیوں اور کچھ دیگر اکائیوں کے لیے وہ ضمیمہ A8 میں دیے گئے ہیں۔
1.3 معنوی عدد
جیسا کہ اوپر بحث کی گئی، ہر پیمائش میں غلطیاں شامل ہوتی ہیں۔ اس لیے، پیمائش کے نتیجے کو اس طرح رپورٹ کیا جانا چاہیے جو پیمائش کی صحت کی نشاندہی کرے۔ عام طور پر، پیمائش کا رپورٹ شدہ نتیجہ ایک ایسا عدد ہوتا ہے جس میں عدد کے وہ تمام ہندسے شامل ہوتے ہیں جو قابل اعتماد طور پر معلوم ہوں اور پہلا غیر یقینی ہندسہ بھی شامل ہو۔ قابل اعتماد ہندسے اور پہلے غیر یقینی ہندسے کو معنوی ہندسے یا معنوی عدد کہتے ہیں۔ اگر ہم کہیں کہ ایک سادہ لٹکن کا دورانیہ $1.62 \mathrm{~s}$ ہے، تو ہندسے 1 اور 6 قابل اعتماد اور یقینی ہیں، جبکہ ہندسہ 2 غیر یقینی ہے۔ اس طرح، پیمائش شدہ قدر کے تین معنوی عدد ہیں۔ کسی شے کی لمبائی پیمائش کے بعد $287.5 \mathrm{~cm}$ رپورٹ کی گئی ہے تو اس کے چار معنوی عدد ہیں، ہندسے $2,8,7$ یقینی ہیں جبکہ ہندسہ 5 غیر یقینی ہے۔ واضح ہے کہ پیمائش کے نتیجے کو معنوی ہندسوں سے زیادہ ہندسوں کے ساتھ رپورٹ کرنا غیر ضروری اور گمراہ کن ہے کیونکہ یہ پیمائش کی صحت کے بارے میں غلط تصور دے گا۔
معنوی عدد کی تعداد کا تعین کرنے کے قواعد درج ذیل مثالوں سے سمجھے جا سکتے ہیں۔ معنوی عدد، جیسا کہ پہلے ذکر کیا گیا، پیمائش کی صحت کی نشاندہی کرتے ہیں جو پیمائشی آلہ کی کم ترین گنتی پر منحصر ہوتی ہے۔ مختلف اکائیوں میں تبدیلی کا انتخاب پیمائش میں معنوی ہندسوں یا عدد کی تعداد کو نہیں بدلتا۔ یہ اہم بات درج ذیل مشاہدات کو زیادہ تر واضح کر دیتی ہے:
(1) مثال کے طور پر، لمبائی $2.308 \mathrm{~cm}$ کے چار معنوی عدد ہیں۔ لیکن مختلف اکائیوں میں، یہی قدر $0.02308 \mathrm{~m}$ یا 23.08 $\mathrm{mm}$ یا $23080 \mu \mathrm{m}$ کے طور پر لکھی جا سکتی ہے۔
ان تمام اعداد میں معنوی عدد کی ایک ہی تعداد ہے (ہندسے 2, 3, 0, 8)، یعنی چار۔
یہ ظاہر کرتا ہے کہ اعشاریہ کے مقام کا معنوی عدد کی تعداد کے تعین میں کوئی اثر نہیں ہوتا۔
مثال درج ذیل قواعد دیتی ہے:
- تمام غیر صفر ہندسے معنوی ہوتے ہیں۔
- دو غیر صفر ہندسوں کے درمیان تمام صفر معنوی ہوتے ہیں، خواہ اعشاریہ کہیں بھی ہو، اگر ہو بھی۔
- اگر عدد 1 سے کم ہو، تو اعشاریہ کے دائیں طرف لیکن پہلے غیر صفر ہندسے کے بائیں طرف والے صفر معنوی نہیں ہوتے۔ [$\underline{0} . \underline{00} 2308$ میں، زیرخط صفر معنوی نہیں ہیں]۔
- اعشاریہ کے بغیر کسی عدد میں آخری یا لاحقہ صفر معنوی نہیں ہوتے۔
[اس طرح $123 \mathrm{~m}=12300 \mathrm{~cm}=123000 \mathrm{~mm}$ کے تین معنوی عدد ہیں، لاحقہ صفر معنوی نہیں ہیں۔] تاہم، آپ اگلا مشاہدہ بھی دیکھ سکتے ہیں۔
- اعشاریہ کے ساتھ کسی عدد میں لاحقہ صفر معنوی ہوتے ہیں۔
[اعداد 3.500 یا 0.06900 میں سے ہر ایک کے چار معنوی عدد ہیں۔]
(2) لاحقہ صفر کے بارے میں کچھ الجھن ہو سکتی ہے۔ فرض کریں کہ ایک لمبائی $4.700 \mathrm{~m}$ رپورٹ کی گئی ہے۔ یہ واضح ہے کہ یہاں صفر پیمائش کی صحت کو ظاہر کرنے کے لیے ہیں اور اس لیے معنوی ہیں۔ [اگر یہ نہ ہوتے، تو انہیں واضح طور پر لکھنا غیر ضروری ہوتا، رپورٹ شدہ پیمائش صرف $4.7 \mathrm{~m}$ ہوتی]۔ اب فرض کریں ہم اکائیاں بدلتے ہیں، پھر
$4.700 \mathrm{~m}=470.0 \mathrm{~cm}=4700 \mathrm{~mm}=0.004700 \mathrm{~km}$
چونکہ آخری عدد میں اعشاریہ کے بغیر عدد میں لاحقہ صفر ہیں، ہم اوپر کے مشاہدہ (1) سے غلط طور پر یہ نتیجہ نکالیں گے کہ عدد کے دو معنوی عدد ہیں، جبکہ حقیقت میں اس کے چار معنوی عدد ہیں اور محض اکائیوں کی تبدیلی معنوی عدد کی تعداد نہیں بدل سکتی۔
(3) معنوی عدد کی تعداد کے تعین میں ایسی ابہامات کو دور کرنے کے لیے بہترین طریقہ یہ ہے کہ ہر پیمائش کو سائنسی علامت میں (10 کی طاقت میں) رپورٹ کیا جائے۔ اس علامت میں، ہر عدد کو $a \times 10^{b}$ کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے، جہاں $a$ 1 اور 10 کے درمیان ایک عدد ہے، اور $b$ 10 کا کوئی مثبت یا منفی طاقت نمائی ہے۔ عدد کا تقریبی اندازہ لگانے کے لیے، ہم عدد $a$ کو 1 پر ($a \leq 5$ کے لیے) اور 10 پر ($5<a \leq 10$ کے لیے) گرد کر سکتے ہیں۔ پھر عدد کو تقریباً $10^{\mathrm{b}}$ کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے جس میں 10 کی طاقت نمائی b کو طبیعی مقدار کی قدرتی عظمت کہتے ہیں۔ جب صرف تخمینہ درکار ہو، تو مقدار کی قدرتی عظمت $10^{\mathrm{b}}$ ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، زمین کا قطر $\left(1.28 \times 10^{7} \mathrm{~m}\right)$ کی قدرتی عظمت $10^{7} \mathrm{~m}$ ہے جس کی قدرتی عظمت 7 ہے۔ ہائیڈروجن ایٹم کا قطر $\left(1.06 \times 10^{-10} \mathrm{~m}\right)$ کی قدرتی عظمت $10^{-10} \mathrm{~m}$ ہے، جس کی قدرتی عظمت -10 ہے۔ اس طرح، زمین کا قطر ہائیڈروجن ایٹم سے 17 قدرتی عظمت بڑا ہے۔
اکثر پہلے ہندسے کے بعد اعشاریہ لکھنا رواجی ہوتا ہے۔ اب اوپر (a) میں ذکر کردہ الجھن ختم ہو جاتی ہے:
$$ \begin{aligned} & 4.700 \mathrm{~m}=4.700 \times 10^{2} \mathrm{~cm} \\ = & 4.700 \times 10^{3} \mathrm{~mm}=4.700 \times 10^{-3} \mathrm{~km} \end{aligned} $$
10 کی طاقت کا معنوی عدد کے تعین سے کوئی تعلق نہیں ہے۔ تاہم، سائنسی علامت میں بنیادی عدد میں ظاہر ہونے والے تمام صفر معنوی ہوتے ہیں۔ اس صورت میں ہر عدد کے چار معنوی عدد ہیں۔
اس طرح، سائنسی علامت میں، بنیادی عدد $a$ میں لاحقہ صفر کے بارے میں کوئی الجھن نہیں ہوتی۔ وہ ہمیشہ معنوی ہوتے ہیں۔
(4) پیمائش رپورٹ کرنے کے لیے سائنسی علامت مثالی ہے۔ لیکن اگر یہ اختیار نہ کیا جائے، تو ہم پچھلی مثال میں اپنائے گئے قواعد استعمال کرتے ہیں:
- 1 سے بڑے عدد کے لیے، بغیر کسی اعشاریہ کے، لاحقہ صفر معنوی نہیں ہوتے۔
- اعشاریہ کے ساتھ عدد کے لیے، لاحقہ صفر معنوی ہوتے ہیں۔
(5) 1 سے کم عدد کے لیے اعشاریہ کے بائیں طرف روایتی طور پر لگایا گیا ہندسہ 0 (جیسے 0.1250) کبھی بھی معنوی نہیں ہوتا۔ تاہم، ایسے عدد کے آخر میں آنے والے صفر پیمائش میں معنوی ہوتے ہیں۔
(6) ضربی یا تقسیمی عوامل جو نہ تو گرد شدہ اعداد ہیں اور نہ ہی پیمائش شدہ اقدار کو ظاہر کرنے والے اعداد ہیں، وہ عین ہوتے ہیں اور ان کے لامحدود معنوی ہندسے ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر $r=\frac{d}{2}$ یا $\mathrm{s}=2 \pi r$ میں، عامل 2 ایک عین عدد ہے اور اسے حسب ضرورت 2.0, 2.00 یا 2.0000 کے طور پر لکھا جا سکتا ہے۔ اسی طرح، $T=\frac{t}{n}, n$ میں ایک عین عدد ہے۔
1.3.1 معنوی عدد کے ساتھ حسابی عمل کے قواعد
قدرتی مقداروں کی تقریبی پیمائش شدہ اقدار (یعنی محدود تعداد میں معنوی عدد والی اقدار) پر مشتمل حساب کے نتیجے کو اصل پیمائش شدہ اقدار میں غیر یقینی کی عکاسی کرنی چاہیے۔ یہ ان اصل پیمائش شدہ اقدار سے زیادہ درست نہیں ہو سکتا جن پر یہ نتیجہ مبنی ہے۔ عام طور پر، حتمی نتیجے میں ان اصل ڈیٹا سے زیادہ معنوی عدد نہیں ہونے چاہئیں جن سے یہ حاصل کیا گیا ہے۔ اس طرح، اگر کسی شے کی کمیت کو، فرض کریں، $4.237 \mathrm{~g}$ (چار معنوی عدد) پیمائش کیا گیا ہو اور اس کا حجم $1.68804780876 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}$ پیمائش کیا گیا ہو، تو اس کی کثافت، محض حسابی تقسیم سے، 11 اعشاریہ مقامات تک $1.68804780876 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}$ ہے۔ یہ واضح طور پر بے معنی اور غیر متعلق ہوگا کہ کثافت کی حساب شدہ قدر کو اس درستگی کے ساتھ ریکارڈ کیا جائے جب اس قدر کی بنیاد پر کی گئی پیمائشوں کی درستگی بہت کم ہو۔ معنوی عدد کے ساتھ حسابی عمل کے لیے درج ذیل قواعد یہ یقینی بناتے ہیں کہ حساب کے حتمی نتیجے کو اس درستگی کے ساتھ دکھایا جائے جو ان پٹ پیمائش شدہ اقدار کی درستگی کے مطابق ہو:
(1) ضرب یا تقسیم میں، حتمی نتیجے میں اتنے ہی معنوی عدد رکھنے چاہئیں جتنے اصل عدد میں سب سے کم معنوی عدد والے عدد میں ہوں۔
اس طرح، اوپر کی مثال میں، کثافت کو تین معنوی عدد تک رپورٹ کیا جانا چاہیے۔
$$ \text { Density }=\frac{4.237 \mathrm{~g}}{2.51 \mathrm{~cm}^{3}}=1.69 \mathrm{~g} \mathrm{~cm}^{-3} $$
اسی طرح، اگر روشنی کی رفتار $3.00 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ (تین معنوی عدد) دی گئی ہو اور ایک سال ($1 \mathrm{y}=365.25 \mathrm{~d}$) میں $3.1557 \times 10^{7} \mathrm{~s}$ (پانچ معنوی عدد) ہوں، تو نوری سال $9.47 \times 10^{15} \mathrm{~m}$ (تین معنوی عدد) ہے۔
(2) جمع یا تفریق میں، حتمی نتیجے میں اتنے ہی اعشاریہ مقامات رکھنے چاہئیں جتنے عدد میں سب سے کم اعشاریہ مقامات والے عدد میں ہوں۔
مثال کے طور پر، اعداد $436.32 \mathrm{~g}, 227.2 \mathrm{~g}$ اور $0.301 \mathrm{~g}$ کا مجموعہ، محض حسابی جمع سے، $663.821 \mathrm{~g}$ ہے۔ لیکن کم ترین درست پیمائش $(227.2 \mathrm{~g})$ صرف ایک اعشاریہ مقام تک درست ہے۔ اس لیے حتمی نتیجے کو $663.8 \mathrm{~g}$ پر گرد کرنا چاہیے۔
اسی طرح، لمبائی میں فرق کو اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے:
$0.307 \mathrm{~m}-0.304 \mathrm{~m}=0.003 \mathrm{~m}=3 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$.
نوٹ کریں کہ ہمیں ضرب اور تقسیم کے لیے قابل اطلاق قاعدہ (1) استعمال نہیں کرنا چاہیے اور جمع کی مثال میں $664 \mathrm{~g}$ اور تفریق کی مثال میں $3.00 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$ کو نتیجہ کے طور پر لکھنا چاہیے۔ وہ پیمائش کی درستگی کو صحیح طور پر نہیں ظاہر کرتے۔ جمع اور تفریق کے لیے، قاعدہ اعشاریہ مقامات کے لحاظ سے ہے۔
1.3.2 غیر یقینی ہندسوں کو گرد کرنا
تقریبی اعداد کے ساتھ حساب کا نتیجہ، جو ایک سے زیادہ غیر یقینی ہندسے رکھتے ہیں، کو گرد کرنا چاہیے۔ اعداد کو مناسب معنوی عدد پر گرد کرنے کے قواعد زیادہ تر معاملات میں واضح ہیں۔ ایک عدد $2.74 \underline{6}$ کو تین معنوی عدد پر گرد کرنے سے 1.75 بنتا ہے، جبکہ عدد 1.743, 1.74 بن جائے گا۔ رواج کے مطابق قاعدہ یہ ہے کہ اگر گرانے والا غیر معنوی ہندسہ (اس صورت میں زیرخط ہندسہ) 5 سے زیادہ ہے، تو پچھلا ہندسہ 1 سے بڑھا دیا جاتا ہے، اور اگر یہ 5 سے کم ہے تو اسے تبدیل نہیں کیا جاتا۔ لیکن اگر عدد 2.745 ہو جس میں غیر معنوی ہندسہ 5 ہے تو کیا ہوگا؟ یہاں، رواج یہ ہے کہ اگر پچھلا ہندسہ جفت ہو، تو غیر معنوی ہندسہ صرف گرایا جاتا ہے، اور اگر طاق ہو، تو پچھلا ہندسہ 1 سے بڑھا دیا جاتا ہے۔ پھر، عدد 2.745 کو تین معنوی عدد پر گرد کرنے سے 1.74 بن جاتا ہے۔ دوسری طرف، عدد 2.735 کو تین معنوی عدد پر گرد کرنے سے 1.74 بن جاتا ہے کیونکہ پچھلا ہندسہ طاق ہے۔
کسی بھی پیچیدہ یا کثیر مرحلہ حساب میں، آپ کو درمیانی مراحل میں معنوی ہندسوں سے ایک ہندسہ زیادہ رکھنا چاہیے اور حساب کے اختتام پر مناسب معنوی عدد پر گرد کرنا چاہیے۔ اسی طرح، ایک عدد جو بہت سے معنوی عدد کے دائرے میں معلوم ہو، جیسے خلا میں روشنی کی رفتار کے لیے $1.99792458 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$، کو ایک تقریبی قدر $3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ پر گرد کیا جاتا ہے، جو اکثر حسابات میں استعمال ہوتی ہے۔ آخر میں، یاد رکھیں کہ عین اعداد جو فارمولوں میں ظاہر ہوتے ہیں جیسے $2 \pi$ میں $T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$، کے بہت زیادہ (لامحدود) معنوی عدد ہوتے ہیں۔ $\pi=$ $3.1415926 \ldots$ کی قدر بہت سے معنوی عدد کے ساتھ معلوم ہے۔ آپ $\pi$ کے لیے اس قدر کو 3.142 یا 3.14 لے سکتے ہیں، حسب ضرورت محدود تعداد میں معنوی عدد کے ساتھ۔
مثال 1.1 ایک مکعب کی ہر طرف $7.203 \mathrm{~m}$ پیمائش کی گئی ہے۔ مناسب معنوی عدد میں مکعب کا کل سطحی رقبہ اور حجم کیا ہے؟
جواب پیمائش شدہ لمبائی میں معنوی عدد کی تعداد 4 ہے۔ اس لیے حساب شدہ رقبہ اور حجم کو 4 معنوی عدد پر گرد کرنا چاہیے۔
$$ \begin{aligned} \text{Surface area of the cube}& =6(7.203)^{2} \mathrm{~m}^{2} \\ & =311.299254 \mathrm{~m}^{2} \\ & =311.3 \mathrm{~m}^{2} \\ \text{Volume of the cube } \quad & =(7.203)^{3} \mathrm{~m}^{3} \\ & =373.714754 \mathrm{~m}^{3} \\ & =373.7 \mathrm{~m}^{3} \end{aligned} $$
مثال 1.2 کسی مادہ کے $5.74 \mathrm{~g}$ کا حجم $1.2 \mathrm{~cm}^{3}$ ہے۔ معنوی عدد کو مد نظر رکھتے ہوئے اس کی کثافت ظاہر کریں۔
جواب پیمائش شدہ کمیت میں 3 معنوی عدد ہیں جبکہ پیمائش شدہ حجم میں صرف 2 معنوی عدد ہیں۔ اس لیے کثافت کو صرف 2 معنوی عدد تک ظاہر کرنا چاہیے۔
$$ \begin{aligned} \text { Density } & =\frac{5.74}{1.2} \mathrm{~g} \mathrm{~cm}^{-3} \\ & =4.8 \mathrm{~g} \mathrm{~cm}^{-3} \end{aligned} $$
1.3.3 حسابی حسابات کے نتائج میں غیر یقینی کا تعین کرنے کے قواعد
حسابی عمل میں عدد/پیمائش شدہ مقدار میں غیر یقینی یا غلطی کا تعین کرنے کے قواعد درج ذیل مثالوں سے سمجھے جا سکتے ہیں۔
(1) اگر ایک پتلی مستطیل شیٹ کی لمبائی اور چوڑائی میٹر پیمانے کا استعمال کرتے ہوئے بالترتیب $16.2 \mathrm{~cm}$ اور $10.1 \mathrm{~cm}$ پیمائش کی گئی ہیں، تو ہر پیمائش میں تین معنوی عدد ہیں۔ اس کا مطلب ہے کہ لمبائی l کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے:
$$ l=16.2 \pm 0.1 \mathrm{~cm} $$
$$ =16.2 \mathrm{~cm} \pm 0.6 \% $$
اسی طرح، چوڑائی $b$ کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے:
$$ \begin{aligned} b & =10.1 \pm 0.1 \mathrm{~cm} \\ & =10.1 \mathrm{~cm} \pm 1 \% \end{aligned} $$
پھر، دو (یا زیادہ) تجرباتی اقدار کے حاصل ضرب کی غلطی، غلطیوں کے مجموعہ کے قاعدے کا استعمال کرتے ہوئے، ہوگی:
$$ \begin{aligned} 1 b & =163.62 \mathrm{~cm}^{2} \pm 1.6 \% \\ & =163.62 \pm 2.6 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$
یہ ہمیں حتمی نتیجہ کو اس طرح بیان کرنے کی طرف لے جاتی ہے:
$$ 1 b=164 \pm 3 \mathrm{~cm}^{2} $$
یہاں $3 \mathrm{~cm}^{2}$ مستطیل شیٹ کے رقبہ کے تخمینہ میں غیر یقینی یا غلطی ہے۔
(2) اگر تجرباتی ڈیٹا کا سیٹ $\mathbf{n}$ معنوی عدد کے لیے مخصوص کیا گیا ہو، تو ڈیٹا کو ملا کر حاصل ہونے والا نتیجہ بھی $n$ معنوی عدد تک درست ہوگا۔
تاہم، اگر ڈیٹا کو تفریق کیا جائے، تو معنوی عدد کی تعداد کم ہو سکتی ہے۔
مثال کے طور پر، $12.9 \mathrm{~g}-7.06 \mathrm{~g}$، دونوں تین معنوی عدد کے لیے مخصوص، کو صحیح طور پر $5.84 \mathrm{~g}$ کے طور پر نہیں بلکہ صرف $5.8 \mathrm{~g}$ کے طور پر جانچا جا سکتا ہے، کیونکہ تفریق یا جمع میں غیر یقینی مختلف طریقے سے جمع ہوتی ہے (کسی بھی جمع یا تفریق شدہ عدد میں معنوی عدد کی تعداد کے بجائے اعشاریہ مقامات کی کم ترین تعداد)۔
(3) معنوی عدد کے لیے مخصوص عدد کی نسبتتی غلطی نہ صرف $\mathbf{n}$ پر بلکہ خود عدد پر بھی منحصر ہوتی ہے۔
مثال کے طور پر، کمیت $1.02 \mathrm{~g}$ کی پیمائش میں درستگی $\pm 0.01 \mathrm{~g}$ ہے جبکہ ایک اور پیمائش $9.89 \mathrm{~g}$ بھی $\pm 0.01 \mathrm{~g}$ تک درست ہے۔
$1.02 \mathrm{~g}$ میں نسبتتی غلطی ہے:
$$ \begin{aligned} & =( \pm 0.01 / 1.02) \times 100 \% \\ & = \pm 1 \% \end{aligned} $$
اسی طرح، $9.89 \mathrm{~g}$ میں نسبتتی غلطی ہے:
$$ \begin{aligned} & =( \pm 0.01 / 9.89) \times 100 \% \\ & = \pm 0.1 \% \end{aligned} $$
آخر میں، یاد رکھیں کہ کثیر مرحلہ حساب میں درمیانی نتائج کو ہر پیمائش میں کم ترین درست پیمائش میں ہندسوں کی تعداد سے ایک زیادہ معنوی عدد پر حساب کرنا چاہیے۔ انہیں ڈیٹا سے جواز پیش کرنا چاہیے اور پھر حسابی عمل انجام دیے جا سکتے ہیں؛ ورنہ گرد کرنے کی غلطیاں جمع ہو سکتی ہیں۔ مثال کے طور پر، 9.58 کا معکوس، اسی تعداد میں معنوی عدد (تین) پر حساب کرنے (گرد کرن
BETA
