14.1 تعارف

پچھلے باب میں، ہم نے تنہائی میں کمپن کرتی ہوئی اشیاء کی حرکت کا مطالعہ کیا تھا۔ ایسے نظام میں کیا ہوتا ہے، جو ایسی اشیاء کا مجموعہ ہو؟ ایک مادی واسطہ ایسی مثال فراہم کرتا ہے۔ یہاں، لچکدار قوتیں اجزاء کو ایک دوسرے سے باندھتی ہیں اور اس لیے، ایک کی حرکت دوسرے کو متاثر کرتی ہے۔ اگر آپ پانی کے ایک ساکن تالاب میں ایک چھوٹا سا کنکر گرائیں، تو پانی کی سطح میں خلل پڑتا ہے۔ یہ خلل ایک جگہ تک محدود نہیں رہتا، بلکہ باہر کی طرف ایک دائرے کی شکل میں پھیلتا ہے۔ اگر آپ تالاب میں کنکر گرانا جاری رکھیں، تو آپ دیکھیں گے کہ دائرے تیزی سے اس نقطے سے باہر کی طرف حرکت کر رہے ہیں جہاں پانی کی سطح میں خلل پڑا ہے۔ ایسا محسوس ہوتا ہے جیسے پانی خلل کے نقطے سے باہر کی طرف بہہ رہا ہو۔ اگر آپ خلل زدہ سطح پر کچھ کارک کے ٹکڑے رکھیں، تو دیکھا جاتا ہے کہ کارک کے ٹکڑے اوپر نیچے حرکت کرتے ہیں لیکن خلل کے مرکز سے دور نہیں جاتے۔ یہ ظاہر کرتا ہے کہ پانی کا بڑا پیمانہ دائرے کے ساتھ باہر کی طرف نہیں بہتا، بلکہ ایک متحرک خلل پیدا ہوتا ہے۔ اسی طرح، جب ہم بولتے ہیں، تو آواز ہم سے باہر کی طرف حرکت کرتی ہے، بغیر واسطے کے کسی بھی حصے سے دوسرے حصے میں ہوا کے بہاؤ کے۔ ہوا میں پیدا ہونے والے خلل بہت کم واضح ہوتے ہیں اور صرف ہمارے کان یا مائیکروفون ہی ان کا پتہ لگا سکتے ہیں۔ یہ نمونے، جو مادے کی مجموعی طور پر حقیقی جسمانی منتقلی یا بہاؤ کے بغیر حرکت کرتے ہیں، لہروں کہلاتے ہیں۔ اس باب میں، ہم ایسی لہروں کا مطالعہ کریں گے۔

لہریں توانائی منتقل کرتی ہیں اور خلل کے نمونے میں معلومات ہوتی ہیں جو ایک نقطے سے دوسرے تک پھیلتی ہیں۔ ہماری تمام مواصلات بنیادی طور پر لہروں کے ذریعے سگنلز کی ترسیل پر منحصر ہیں۔ تقریر کا مطلب ہے ہوا میں آواز کی لہروں کی تخلیق اور سننے کا مطلب ہے ان کا پتہ لگانا۔ اکثر، مواصلات میں مختلف قسم کی لہریں شامل ہوتی ہیں۔ مثال کے طور پر، آواز کی لہروں کو پہلے برقی کرنٹ کے سگنل میں تبدیل کیا جا سکتا ہے جو بدلے میں ایک برقناطیسی لہر پیدا کر سکتا ہے جسے ایک آپٹیکل کیبل کے ذریعے یا ایک سیٹلائٹ کے ذریعے منتقل کیا جا سکتا ہے۔ اصل سگنل کا پتہ لگانا عام طور پر ان مراحل کو الٹے ترتیب میں شامل کرے گا۔

تمام لہروں کو ان کی ترسیل کے لیے کسی واسطے کی ضرورت نہیں ہوتی۔ ہم جانتے ہیں کہ روشنی کی لہریں خلا سے گزر سکتی ہیں۔ ستاروں سے خارج ہونے والی روشنی، جو سینکڑوں نوری سال دور ہیں، بین النجمی خلا سے ہو کر ہم تک پہنچتی ہے، جو عملی طور پر ایک خلا ہے۔

لہروں کی سب سے مانوس قسم، جیسے تار پر لہریں، پانی کی لہریں، آواز کی لہریں، زلزلے کی لہریں، وغیرہ، نام نہاد میکانیکی لہریں ہیں۔ ان لہروں کو ترسیل کے لیے ایک واسطے کی ضرورت ہوتی ہے، یہ خلا سے نہیں گزر سکتیں۔ ان میں اجزاء کے ذرات کے کمپن شامل ہوتے ہیں اور واسطے کی لچکدار خصوصیات پر انحصار ہوتا ہے۔ برقناطیسی لہریں جو آپ بارہویں جماعت میں پڑھیں گے ایک مختلف قسم کی لہر ہیں۔ برقناطیسی لہروں کو ضروری نہیں کہ کسی واسطے کی ضرورت ہو - یہ خلا سے سفر کر سکتی ہیں۔ روشنی، ریڈیو لہریں، ایکس رے، سب برقناطیسی لہریں ہیں۔ خلا میں، تمام برقناطیسی لہروں کی رفتار ایک جیسی ہوتی ہے $\mathrm{c}$، جس کی قیمت ہے:

$$c=299,792,458 \mathrm{~ms}^{-1} \tag{14.1}$$

لہروں کی تیسری قسم نام نہاد مادے کی لہریں ہیں۔ یہ مادے کے اجزاء سے وابستہ ہیں: الیکٹران، پروٹون، نیوٹران، ایٹم اور مالیکیول۔ یہ فطرت کی کوانٹم میکانیکی وضاحت میں پیدا ہوتی ہیں جو آپ اپنی بعد کی تعلیم میں سیکھیں گے۔ اگرچہ تصوراتی طور پر میکانیکی یا برقناطیسی لہروں سے زیادہ تجریدی، انہیں پہلے ہی جدید ٹیکنالوجی کی بنیاد پر کئی آلات میں اطلاقات مل چکی ہیں؛ الیکٹران سے وابستہ مادے کی لہروں کو الیکٹران خوردبینوں میں استعمال کیا جاتا ہے۔

اس باب میں ہم میکانیکی لہروں کا مطالعہ کریں گے، جنہیں ان کی ترسیل کے لیے مادی واسطے کی ضرورت ہوتی ہے۔

لہروں کا فن اور ادب پر جمالیاتی اثر بہت قدیم زمانے سے دیکھا جاتا ہے؛ پھر بھی لہر حرکت کا پہلا سائنسی تجزیہ سترہویں صدی کا ہے۔ لہر حرکت کی طبیعیات سے وابستہ کچھ مشہور سائنسدان کرسچیان ہائیجنز (1629-1695)، رابرٹ ہک اور آئزک نیوٹن ہیں۔ لہروں کی طبیعیات کی سمجھ بندھی ہوئی کمیتوں کے کمپن اور سادہ لٹکن کی طبیعیات کے بعد آئی۔ لچکدار میڈیا میں لہریں ہم آہنگ کمپنوں سے گہرا تعلق رکھتی ہیں۔ (تنی ہوئی تاروں، لچھے دار سپرنگز، ہوا، وغیرہ، لچکدار میڈیا کی مثالیں ہیں)۔ ہم اس تعلق کو سادہ مثالوں کے ذریعے واضح کریں گے۔

ایک دوسرے سے جڑی ہوئی سپرنگز کے مجموعے پر غور کریں جیسا کہ شکل 14.1 میں دکھایا گیا ہے۔ اگر ایک سرے پر سپرنگ کو اچانک کھینچا جائے اور چھوڑ دیا جائے، تو خلل دوسرے سرے تک پہنچ جاتا ہے۔ کیا ہوا؟ پہلی سپرنگ اپنی توازن کی لمبائی سے ہٹ جاتی ہے۔ چونکہ دوسری سپرنگ پہلی سے جڑی ہوئی ہے، یہ بھی کھنچی یا دبی ہوئی ہے، اور اسی طرح۔ خلل ایک سرے سے دوسرے تک حرکت کرتا ہے؛ لیکن ہر سپرنگ صرف اپنی توازن کی پوزیشن کے گرد چھوٹے کمپن کرتی ہے۔ اس صورتحال کی ایک عملی مثال کے طور پر، ریلوے اسٹیشن پر کھڑی ٹرین پر غور کریں۔ ٹرین کے مختلف ڈبوں کو ایک دوسرے سے ایک سپرنگ جوڑ کے ذریعے جوڑا جاتا ہے۔ جب ایک انجن ایک سرے پر لگایا جاتا ہے، تو یہ اس کے ساتھ والے ڈبے کو دھکا دیتا ہے؛ یہ دھکا ایک ڈبے سے دوسرے تک منتقل ہوتا ہے بغیر پوری ٹرین کے جسمانی طور پر منتقل ہوئے۔

شکل 14.1 ایک دوسرے سے جڑی ہوئی سپرنگز کا مجموعہ۔ سرے A کو اچانک کھینچا جاتا ہے جس سے ایک خلل پیدا ہوتا ہے، جو پھر دوسرے سرے تک پھیلتا ہے۔

اب ہوا میں آواز کی لہروں کی ترسیل پر غور کریں۔ جیسے ہی لہر ہوا سے گزرتی ہے، یہ ہوا کے ایک چھوٹے سے علاقے کو دباتی یا پھیلاتی ہے۔ اس سے اس علاقے کی کثافت میں تبدیلی آتی ہے، فرض کریں $\delta \rho$، یہ تبدیلی اس علاقے میں دباؤ میں تبدیلی، $\delta p$، کو جنم دیتی ہے۔ دباؤ فی یونٹ رقبہ پر قوت ہے، لہذا خلل کے متناسب بحالی قوت ہوتی ہے، بالکل ایک سپرنگ کی طرح۔ اس صورت میں، وہ مقدار جو سپرنگ کے پھیلاؤ یا دباؤ کے مشابہ ہے وہ کثافت میں تبدیلی ہے۔ اگر کوئی علاقہ دبا ہوا ہے، تو اس علاقے کے مالیکیول ایک ساتھ بندھے ہوئے ہیں، اور وہ متصل علاقے کی طرف نکلنے کی کوشش کرتے ہیں، اس طرح متصل علاقے میں کثافت بڑھاتے ہیں یا دباؤ پیدا کرتے ہیں۔ نتیجتاً، پہلے علاقے کی ہوا ہلکی ہو جاتی ہے۔ اگر کوئی علاقہ نسبتاً ہلکا ہے تو ارد گرد کی ہوا اس میں دوڑے گی جس سے ہلکا پن متصل علاقے میں منتقل ہو جاتا ہے۔ اس طرح، دباؤ یا ہلکا پن ایک علاقے سے دوسرے میں منتقل ہوتا ہے، جس سے ہوا میں خلل کی ترسیل ممکن ہوتی ہے۔

ٹھوس اجسام میں، اسی طرح کے دلائل دیے جا سکتے ہیں۔ ایک قلمی ٹھوس میں، ایٹم یا ایٹموں کے گروہ ایک دوری جالی میں ترتیب دیے جاتے ہیں۔ ان میں، ہر ایٹم یا ایٹموں کا گروہ ارد گرد کے ایٹموں کی قوتوں کی وجہ سے توازن میں ہوتا ہے۔ ایک ایٹم کو ہٹانا، دوسروں کو مقرر رکھتے ہوئے، بحالی قوتوں کا باعث بنتا ہے، بالکل ایک سپرنگ کی طرح۔ لہذا ہم جالی میں ایٹموں کو اختتامی نقاط کے طور پر سوچ سکتے ہیں، جن کے درمیان سپرنگز ہیں۔

اس باب کے بعد کے حصوں میں ہم لہروں کی مختلف خصوصی خصوصیات پر بحث کریں گے۔

14.2 عرضی اور طولی لہریں

ہم نے دیکھا ہے کہ میکانیکی لہروں کی حرکت میں واسطے کے اجزاء کے کمپن شامل ہوتے ہیں۔ اگر واسطے کے اجزاء لہر کی ترسیل کی سمت کے عموداً کمپن کرتے ہیں، تو ہم لہر کو عرضی لہر کہتے ہیں۔ اگر وہ لہر کی ترسیل کی سمت کے ساتھ کمپن کرتے ہیں، تو ہم لہر کو طولی لہر کہتے ہیں۔

شکل 14.2 جب ایک دھکا تنی ہوئی تار کی لمبائی کے ساتھ سفر کرتا ہے (x-سمت)، تار کے عناصر اوپر نیچے کمپن کرتے ہیں (y-سمت)

شکل 14.2 ایک تار پر ایک واحد دھکے کی ترسیل دکھاتی ہے، جو ایک واحد اوپر نیچے کے جھٹکے کے نتیجے میں ہوتی ہے۔ اگر تار دھکے کے سائز کے مقابلے میں بہت لمبی ہے، تو دھکا دوسرے سرے تک پہنچنے سے پہلے ہی ختم ہو جائے گا اور اس سرے سے عکس کو نظر انداز کیا جا سکتا ہے۔ شکل 14.3 اسی طرح کی صورتحال دکھاتی ہے، لیکن اس بار بیرائی ایجنٹ تار کے ایک سرے کو مسلسل دوری سائنوسی اوپر نیچے کا جھٹکا دیتا ہے۔ تار پر نتیجتی خلل پھر ایک سائنوسی لہر ہوتی ہے۔ دونوں صورتوں میں تار کے عناصر اپنی توازن کی اوسط پوزیشن کے گرد کمپن کرتے ہیں جیسے ہی دھکا یا لہر ان سے گزرتی ہے۔ کمپن تار کے ساتھ لہر کی حرکت کی سمت کے عموداً ہیں، لہذا یہ عرضی لہر کی ایک مثال ہے۔

شکل 14.3 ایک ہم آہنگ (سائنوسی) لہر جو تنی ہوئی تار کے ساتھ سفر کرتی ہے عرضی لہر کی ایک مثال ہے۔ لہر کے علاقے میں تار کا ایک عنصر لہر کی ترسیل کی سمت کے عموداً اپنی توازن کی پوزیشن کے گرد کمپن کرتا ہے۔

ہم لہر کو دو طریقوں سے دیکھ سکتے ہیں۔ ہم وقت کا ایک لمحہ مقرر کر سکتے ہیں اور لہر کو خلا میں تصویر بنا سکتے ہیں۔ یہ ہمیں دیے گئے لمحے پر خلا میں لہر کی شکل مجموعی طور پر دے گا۔ دوسرا طریقہ یہ ہے کہ ایک مقام مقرر کریں یعنی تار کے کسی خاص عنصر پر اپنی توجہ مرکوز کریں اور وقت کے ساتھ اس کی کمپن حرکت دیکھیں۔

شکل 14.4 طولی لہروں کے لیے صورتحال کو آواز کی لہروں کی ترسیل کی سب سے مانوس مثال میں بیان کرتی ہے۔ ہوا سے بھری ایک لمبی پائپ کے ایک سرے پر ایک پسٹن ہے۔ پسٹن کو ایک اچانک آگے دھکا اور پیچھے کھینچنا واسطے (ہوا) میں گاڑھے پن (زیادہ کثافت) اور ہلکے پن (کم کثافت) کا ایک دھکا پیدا کرے گا۔ اگر پسٹن کا دھکا-کھینچا مسلسل اور دوری (سائنوسی) ہے، تو ایک سائنوسی لہر پیدا ہوگی جو ہوا میں پائپ کی لمبائی کے ساتھ پھیلتی ہے۔ یہ واضح طور پر طولی لہروں کی ایک مثال ہے۔

شکل 14.4 طولی لہریں (آواز) ہوا سے بھری پائپ میں پسٹن کو اوپر نیچے حرکت دے کر پیدا کی گئی ہیں۔ ہوا کا ایک حجمی عنصر لہر کی ترسیل کی سمت کے متوازی سمت میں کمپن کرتا ہے۔

اوپر غور کی گئی لہریں، عرضی یا طولی، سفر کرنے والی یا ترقی پذیر لہریں ہیں کیونکہ یہ واسطے کے ایک حصے سے دوسرے تک سفر کرتی ہیں۔ مادی واسطہ مجموعی طور پر حرکت نہیں کرتا، جیسا کہ پہلے ہی نوٹ کیا گیا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک ندی، پانی کی مجموعی حرکت تشکیل دیتی ہے۔ پانی کی لہر میں، یہ خلل ہے جو حرکت کرتا ہے، نہ کہ پانی مجموعی طور پر۔ اسی طرح ہوا (ہوا کی مجموعی حرکت) کو آواز کی لہر سے الجھانا نہیں چاہیے جو ہوا میں خلل (دباؤ کثافت میں) کی ترسیل ہے، بغیر ہوا کے واسطے کی مجموعی حرکت کے۔

عرضی لہروں میں، ذرہ کی حرکت لہر کی ترسیل کی سمت کے عموداً ہوتی ہے۔ لہذا، جیسے ہی لہر پھیلتی ہے، واسطے کا ہر عنصر ایک کترنے والا تناؤ برداشت کرتا ہے۔ عرضی لہریں، لہذا، صرف انہی میڈیا میں پھیلائی جا سکتی ہیں، جو کترنے والے دباؤ کو برداشت کر سکتے ہیں، جیسے ٹھوس اجسام اور سیالوں میں نہیں۔ سیال، نیز، ٹھوس اجسام دباؤ والے تناؤ کو برداشت کر سکتے ہیں؛ لہذا، طولی لہریں تمام لچکدار میڈیا میں پھیلائی جا سکتی ہیں۔ مثال کے طور پر، اسٹیل جیسے میڈیم میں، دونوں عرضی اور طولی لہریں پھیل سکتی ہیں، جبکہ ہوا صرف طولی لہروں کو برداشت کر سکتی ہے۔ پانی کی سطح پر لہریں دو قسم کی ہیں: کیپلری لہریں اور کشش ثقل لہریں۔ پہلی کافی چھوٹی طول موج والی لہریں ہیں-زیادہ سے زیادہ چند سینٹی میٹر-اور بحالی قوت جو انہیں پیدا کرتی ہے وہ پانی کی سطحی تناؤ ہے۔ کشش ثقل لہروں کی طول موج عام طور پر کئی میٹر سے لے کر کئی سو میٹر تک ہوتی ہے۔ بحالی قوت جو ان لہروں کو پیدا کرتی ہے وہ کشش ثقل کی کھینچ ہے، جو پانی کی سطح کو اس کی کم ترین سطح پر رکھنے کی کوشش کرتی ہے۔ ان لہروں میں ذرات کے کمپن صرف سطح تک ہی محدود نہیں ہیں، بلکہ کم ہوتی ہوئی振幅 کے ساتھ بالکل نیچے تک پھیلتے ہیں۔ پانی کی لہروں میں ذرہ کی حرکت ایک پیچیدہ حرکت شامل کرتی ہے - وہ نہ صرف اوپر نیچے حرکت کرتے ہیں بلکہ آگے پیچھے بھی حرکت کرتے ہیں۔ سمندر میں لہریں دونوں طولی اور عرضی لہروں کا مجموعہ ہیں۔

یہ پایا جاتا ہے کہ، عام طور پر، عرضی اور طولی لہریں ایک ہی میڈیم میں مختلف رفتار سے سفر کرتی ہیں۔

مثال 14.1 نیچے لہر حرکت کی کچھ مثالیں دی گئی ہیں۔ ہر صورت میں بتائیں کہ لہر حرکت عرضی، طولی ہے یا دونوں کا مجموعہ:

(الف) ایک طولی سپرنگ میں ایک کِنک کی حرکت جو سپرنگ کے ایک سرے کو اطراف میں ہٹا کر پیدا کی جاتی ہے۔

(ب) ایک سلنڈر میں سیال پر لہریں جو اس کے پسٹن کو آگے پیچھے حرکت دے کر پیدا کی جاتی ہیں۔

(ج) پانی میں سفر کرنے والی موٹر بوٹ کے ذریعے پیدا ہونے والی لہریں۔

(د) ہوا میں الٹراسونک لہریں جو ایک کمپن کرتے ہوئے کوارٹج کرسٹل کے ذریعے پیدا ہوتی ہیں۔

جواب

(الف) عرضی اور طولی

(ب) طولی

(ج) عرضی اور طولی

(د) طولی

14.3 ترقی پذیر لہر میں جابجائی کا تعلق

سفر کرنے والی لہر کی ریاضیاتی وضاحت کے لیے، ہمیں مقام $x$ اور وقت $t$ دونوں کا ایک فنکشن درکار ہوتا ہے۔ ایسا فنکشن ہر لمحے پر اس لمحے پر لہر کی شکل دینا چاہیے۔ نیز، ہر دیے گئے مقام پر، اسے اس مقام پر واسطے کے جزو کی حرکت بیان کرنی چاہیے۔ اگر ہم ایک سائنوسی سفر کرنے والی لہر (جیسا کہ شکل 14.3 میں دکھائی گئی ہے) بیان کرنا چاہتے ہیں تو متعلقہ فنکشن بھی سائنوسی ہونا چاہیے۔ سہولت کے لیے، ہم لہر کو عرضی لیں گے تاکہ اگر واسطے کے اجزاء کی پوزیشن کو $x$ سے ظاہر کیا جائے، تو توازن کی پوزیشن سے جابجائی کو $y$ سے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ ایک سائنوسی سفر کرن والی لہر پھر اس طرح بیان کی جاتی ہے:

$$ \begin{equation*} y(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\varphi) \tag{14.2} \end{equation*} $$

سائن فنکشن کے دلیل میں اصطلاح $\phi$ کا مطلب مساوی طور پر یہ ہے کہ ہم سائن اور کوسائن فنکشنز کا ایک لکیری مجموعہ غور کر رہے ہیں:

$y(x, t)=A \sin (k x-\omega t)+B \cos (k x-\omega t) \quad$ (14.3)

مساوات (14.2) اور (14.3) سے،

$$ a=\sqrt{A^{2}+B^{2}} \text { तथा } \phi=\tan ^{-1}\left(\frac{B}{A}\right) $$

یہ سمجھنے کے لیے کہ مساوات (14.2) ایک سائنوسی سفر کرنے والی لہر کی نمائندگی کیوں کرتی ہے، ایک مقرر لمحہ لیں، فرض کریں $t=t_{0}$۔ پھر، مساوات (14.2) میں سائن فنکشن کی دلیل صرف $k x+$ مستقل ہے۔ اس طرح، لہر کی شکل (کسی بھی مقرر لمحے پر) $x$ کے فنکشن کے طور پر ایک سائن لہر ہے۔ اسی طرح، ایک مقرر مقام لیں، فرض کریں $x=x_{0}$۔ پھر، مساوات (14.2) میں سائن فنکشن کی دلیل مستقل $-\omega t$ ہے۔ جابجائی $y$، ایک مقرر مقام پر، اس طرح، وقت کے ساتھ سائنوسی طور پر مختلف ہوتی ہے۔ یعنی، مختلف مقامات پر واسطے کے اجزاء سادہ ہارمونک حرکت انجام دیتے ہیں۔ آخر میں، جیسے $t$ بڑھتا ہے، $x$ کو $k x-\omega t+\phi$ کو مستقل رکھنے کے لیے مثبت سمت میں بڑھنا چاہیے۔ اس طرح، مساوات (14.2) $x$-محور کی مثبت سمت میں سفر کرنے والی ایک سائنوسی (ہم آہنگ) لہر کی نمائندگی کرتی ہے۔ دوسری طرف، ایک فنکشن $x$-محور کی منفی سمت میں سفر کرنے والی لہر کی نمائندگی کرتا ہے۔ شکل (14.5) مختلف طبیعی مقداروں کے نام دیتی ہے جو $\mathrm{Eq}$ میں ظاہر ہوتی ہیں۔ (14.2) جس کی ہم اب تشریح کرتے ہیں۔

$$ \begin{equation*} y(x, t)=a \sin (k x+\omega t+\varphi) \tag{14.4} \end{equation*} $$

شکل 14.5 مساوات (14.2) میں معیاری علامتوں کا مطلب

شکل 14.6 مساوات (14.2) کے پلاٹ دکھاتی ہے وقت کے مختلف اقدار کے لیے جو وقت کے برابر وقفوں سے مختلف ہیں۔ ایک لہر میں، چوٹی زیادہ سے زیادہ مثبت جابجائی کا نقطہ ہے، گڑھا زیادہ سے زیادہ منفی جابجائی کا نقطہ ہے۔ یہ دیکھنے کے لیے کہ لہر کیسے سفر کرتی ہے، ہم ایک چوٹی پر توجہ مرکوز کر سکتے ہیں اور دیکھ سکتے ہیں کہ یہ وقت کے ساتھ کیسے آگے بڑھتی ہے۔ شکل میں، یہ چوٹی پر ایک کراس ( ) سے دکھایا گیا ہے۔ اسی طرح، ہم ایک مقرر مقام پر واسطے کے کسی خاص جزو کی حرکت دیکھ سکتے ہیں، فرض کریں $x$-محور کے مبدا پر۔ یہ ایک ٹھوس $\operatorname{dot}(\bullet)$ سے دکھایا گیا ہے۔ شکل 14.6 کے پلاٹ دکھاتے ہیں کہ وقت کے ساتھ، مبدا پر ٹھوس نقطہ $(\bullet)$ دوری طور پر حرکت کرتا ہے، یعنی مبدا پر ذرہ اپنی اوسط پوزیشن کے گرد کمپن کرتا ہے جیسے ہی لہر آگے بڑھتی ہے۔ یہ کسی بھی دوسرے مقام کے لیے بھی سچ ہے۔ ہم یہ بھی دیکھتے ہیں کہ جس وقت ٹھوس نقطہ $(\bullet)$ نے ایک مکمل کمپن مکمل کیا ہے، چوٹی ایک مخصوص فاصلے تک مزید آگے بڑھ چکی ہے۔

شکل 14.6 ایک ہم آہنگ لہر جو x-محور کی مثبت سمت میں مختلف اوقات میں ترقی کر رہی ہے۔

شکل 14.6 کے پلاٹ استعمال کرتے ہوئے، ہم اب مساوات (14.2) کی مختلف مقداریں تعریف کرتے ہیں۔

14.3.1 دامن اور فیز

مساوات (14.2) میں، چونکہ سائن فنکشن 1 اور -1 کے درمیان مختلف ہوتی ہے، جابجائی $y(x, t)$ $a$ اور $-a$ کے درمیان مختلف ہوتی ہے۔ ہم $a$ کو بغیر کسی نقصان کے ایک مثبت مستقل لے سکتے ہیں۔ پھر، a واسطے کے اجزاء کی ان کی توازن کی پوزیشن سے زیادہ سے زیادہ جابجائی کی نمائندگی کرتا ہے۔ نوٹ کریں کہ جابجائی $y$ مثبت یا منفی ہو سکتی ہے، لیکن $a$ مثبت ہے۔ اسے لہر کا دامن کہتے ہیں۔

مقدار $(k x-\omega t+\phi)$ جو مساوات (14.2) میں سائن فنکشن کی دلیل کے طور پر ظاہر ہوتی ہے لہر کا فیز کہلاتی ہے۔ دامن $a$ دیے گئے، فیز کسی بھی مقام پر اور کسی بھی لمحے پر لہر کی جابجائی کا تعین کرتی ہے۔ واضح طور پر $\phi$ $x=0$ اور $t=0$ پر فیز ہے۔ لہذا، $\phi$ ابتدائی فیز زاویہ کہلاتا ہے۔ $x$-محور پر مبدا اور ابتدائی وقت کے مناسب انتخاب سے، یہ ممکن ہے کہ $\phi=0$ ہو۔ اس طرح $\phi$ کو چھوڑنے میں کوئی نقصان نہیں ہے، یعنی مساوات (14.2) کو $\phi=0$ کے ساتھ لینے میں۔

14.3.2 طول موج اور کونیی موج نمبر

ایک ہی فیز رکھنے والے دو نقاط کے درمیان کم سے کم فاصلہ لہر کی طول موج کہلاتا ہے، عام طور پر $\lambda$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ سادگی کے لیے، ہم ایک ہی فیز کے نقاط کو چوٹیوں یا گڑھوں کے طور پر منتخب کر سکتے ہیں۔ طول موج پھر لہر میں دو لگاتار چوٹیوں یا گڑھوں کے درمیان فاصلہ ہے۔ مساوات (14.2) میں $\phi=0$ لیتے ہوئے، $t=0$ پر جابجائی دی جاتی ہے

$$ \begin{equation*} y(x, 0)=a \sin k x \tag{14.5} \end{equation*} $$

چونکہ سائن فنکشن ہر $2 \pi$ زاویہ میں تبدیلی کے بعد اپنی قدر دہراتا ہے،

$$ \sin k x=\sin (k x+2 n \pi)=\sin k\left(x+\frac{2 n \pi}{k}\right) $$

یعنی نقاط $x$ اور $ x+\frac{2 n \pi}{k} $

پر جابجائیاں ایک جیسی ہیں، جہاں $n=1,2,3, \ldots$ ایک ہی جابجائی (کسی بھی دیے گئے وقت پر) رکھنے والے نقاط کے درمیان کم سے کم فاصلہ $n=1$ لے کر حاصل کیا جاتا ہے۔ $\lambda$ پھر دی جاتی ہے

$$ \begin{equation*} \lambda=\frac{2 \pi}{k} \quad \text { or } \quad k=\frac{2 \pi}{\lambda} \tag{14.6} \end{equation*} $$

$k$ کونیی موج نمبر یا ترسیل مستقل ہے؛ اس کی SI یونٹ ریڈین فی میٹر یا rad $m^{-1}$ ہے۔

14.3.3 دور، کونیی تعدد اور تعدد

تعددشکل 14.7 دوبارہ ایک سائنوسی پلاٹ دکھاتی ہے۔ یہ کسی خاص لمحے پر لہر کی شکل نہیں بلکہ واسطے کے ایک عنصر (کسی بھی مقرر مقام پر) کی جابجائی کو وقت کے فنکشن کے طور پر بیان کرتی ہے۔ ہم سادگی کے لیے، مساوات (14.2) کو $\phi=0$ کے ساتھ لے سکتے ہیں اور عنصر کی حرکت، فرض کریں $x=0$ پر، مانیٹر کر سکتے ہیں۔ ہمیں پھر ملتا ہے

$$ \begin{aligned} y(0, t) & =a \sin (-\omega t) \\ & =-a \sin \omega t \end{aligned} $$

شکل 14.7 تار کا ایک عنصر ایک مقرر مقام پر وقت کے ساتھ دامن a اور دور T کے ساتھ کمپن کرتا ہے، جیسے ہی لہر اس پر سے گزرتی ہے۔

اب، لہر کے کمپن کا دور وہ وقت ہے جو کسی عنصر کو ایک مکمل کمپن مکمل کرنے میں لگتا ہے۔ یعنی $-a \sin \omega t=-a \sin \omega(t+\mathrm{T})$

$$ =-a \sin (\omega t+\omega T) $$

چونکہ سائن فنکشن ہر $2 \pi$ کے بعد دہراتا ہے،

$$ \begin{equation*} \omega T=2 \pi \text { or } \omega=\frac{2 \pi}{\mathrm{T}} \tag{14.7} \end{equation*} $$

$\omega$ لہر کا کونیی تعدد کہلاتا ہے۔ اس کی SI یونٹ $\mathrm{rad} s^{-1}$ ہے۔ تعدد $v$ فی سیکنڈ کمپنوں کی تعداد ہے۔ لہذا،

$$ \begin{equation*} v=\frac{1}{\mathrm{~T}}=\frac{\omega}{2 \pi} \tag{14.8} \end{equation*} $$

• یہاں پھر، ‘ریڈین’ کو چھوڑا جا سکتا ہے اور یونٹ صرف m–1 لکھے جا سکتے ہیں۔ اس طرح، k 2π گنا تعداد لہروں (یا کل فیز فرق) کی نمائندگی کرتا ہے جو فی یونٹ لمبائی میں سما سکتی ہیں، SI یونٹ m–1 کے ساتھ۔$v$ عام طور پر ہرٹز میں ناپا جاتا ہے۔

اوپر کی بحث میں، ہمیشہ ایک تار پر سفر کرنے والی لہر یا ایک عرضی لہر کا