2.1 تعارف

کائنات میں ہر چیز کے لیے حرکت عام ہے۔ ہم چلتے، دوڑتے اور سائیکل چلاتے ہیں۔ یہاں تک کہ جب ہم سو رہے ہوتے ہیں، ہوا ہمارے پھیپھڑوں میں داخل اور خارج ہوتی رہتی ہے اور خون شریانوں اور وریدوں میں بہتا رہتا ہے۔ ہم درختوں سے پتے گرتے اور بند سے پانی بہتا ہوا دیکھتے ہیں۔ موٹر گاڑیاں اور ہوائی جہاز لوگوں کو ایک جگہ سے دوسری جگہ لے جاتے ہیں۔ زمین ہر چوبیس گھنٹے میں ایک بار اپنے محور پر گھومتی ہے اور ایک سال میں سورج کے گرد ایک چکر پورا کرتی ہے۔ سورج خود ملکی وے میں حرکت کر رہا ہے، جو پھر اپنے مقامی کہکشاں کے گروپ کے اندر حرکت کر رہی ہے۔

حرکت وقت کے ساتھ کسی جسم کی پوزیشن میں تبدیلی ہے۔ پوزیشن وقت کے ساتھ کیسے بدلتی ہے؟ اس باب میں، ہم حرکت کو بیان کرنے کا طریقہ سیکھیں گے۔ اس کے لیے، ہم رفتار اور اسراع کے تصورات کو وضع کرتے ہیں۔ ہم اپنے آپ کو ایک سیدھی لکیر کے ساتھ حرکت کرنے والے اجسام کی حرکت کے مطالعہ تک محدود رکھیں گے، جسے خطی حرکت بھی کہا جاتا ہے۔ یکساں اسراع کے ساتھ خطی حرکت کے معاملے کے لیے، مساواتوں کا ایک سادہ سیٹ حاصل کیا جا سکتا ہے۔ آخر میں، حرکت کی نسبتی نوعیت کو سمجھنے کے لیے، ہم نسبت رفتار کا تصور متعارف کراتے ہیں۔

اپنی بحثوں میں، ہم حرکت میں موجود اجسام کو نقطہ اجسام کے طور پر سمجھیں گے۔ یہ تقریب اس حد تک درست ہے جب تک کہ جسم کا سائز معقول وقت کے وقفے میں اس کے طے کردہ فاصلے سے بہت چھوٹا ہو۔ حقیقی زندگی کے بہت سے حالات میں، اجسام کے سائز کو نظر انداز کیا جا سکتا ہے اور انہیں بہت زیادہ غلطی کے بغیر نقطہ نما اجسام سمجھا جا سکتا ہے۔

حرکیات میں، ہم حرکت کے اسباب میں جانے کے بغیر حرکت کو بیان کرنے کے طریقے سیکھتے ہیں۔ حرکت کا سبب کیا ہے، اس باب اور اگلے باب میں بیان کیا گیا ہے، جو باب 4 کا موضوع ہے۔

2.2 فوری رفتار اور سمتار

اوسط رفتار ہمیں بتاتی ہے کہ کوئی جسم کسی دیے گئے وقت کے وقفے میں کتنی تیزی سے حرکت کر رہا ہے لیکن یہ نہیں بتاتی کہ اس وقفے کے دوران مختلف لمحات پر وہ کتنی تیزی سے حرکت کرتا ہے۔ اس کے لیے، ہم کسی لمحہ t پر فوری رفتار یا صرف رفتار v کی تعریف کرتے ہیں۔

کسی لمحے پر رفتار کو اوسط رفتار کی حد کے طور پر تعریف کیا جاتا ہے جب وقت کا وقفہ ${\Delta T}$ نہایت چھوٹا ہو جاتا ہے۔ دوسرے الفاظ میں،

$\begin{aligned} v & =\lim _{\Delta \mathrm{t} \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \ & =\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\end{aligned}$

جہاں علامت lim ∆t→0 اپنے دائیں طرف کی مقدار کے لیے ∆tg0 کے طور پر حد لینے کے عمل کو ظاہر کرتی ہے۔ کیلکولس کی زبان میں، مساوات (2.1a) کے دائیں ہاتھ کی طرف والی مقدار x کا t کے ساتھ تفریقی حصہ ہے اور اسے $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ سے ظاہر کیا جاتا ہے (ضمیمہ 2.1 دیکھیں)۔ یہ اس لمحے پر وقت کے ساتھ پوزیشن میں تبدیلی کی شرح ہے۔

ہم فوری رفتار کی قدر حاصل کرنے کے لیے مساوات (2.1a) کو گرافیکی یا عددی طور پر استعمال کر سکتے ہیں۔ فرض کریں کہ ہم گرافیکی طور پر وقت t = 4 s (نقطہ P) پر رفتار کی قدر حاصل کرنا چاہتے ہیں، اس کار کی حرکت کے لیے جو Fig.2.1 میں دکھائی گئی ہے۔ ہم ∆t = 2 s لیتے ہیں جو t = 4 s پر مرکوز ہے۔ پھر، اوسط رفتار کی تعریف کے مطابق، لکیر $P_1P_2$ (Fig. 2.1) کا ڈھلوان وقفہ 3 s سے 5 s کے دوران اوسط رفتار کی قدر دیتی ہے۔

Fig. 2.1 پوزیشن-ٹائم گراف سے رفتار کا تعین۔ t = 4 s پر رفتار اس لمحے پر گراف کی مماس کا ڈھلوان ہے۔

اب، ہم $\Delta t$ کی قدر کو $2 \mathrm{~s}$ سے گھٹا کر 1 s کرتے ہیں۔ پھر لکیر $\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$، $\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$ بن جاتی ہے اور اس کا ڈھلوان وقفہ $3.5 \mathrm{~s}$ سے $4.5 \mathrm{~s}$ کے دوران اوسط رفتار کی قدر دیتا ہے۔ حد $\Delta t \rightarrow 0$ میں، لکیر $\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$، پوزیشن-ٹائم وکر کے نقطہ $\mathrm{P}$ پر مماس بن جاتی ہے اور $t$ $=4 \mathrm{~s}$ پر رفتار اس نقطہ پر مماس کے ڈھلوان سے دی جاتی ہے۔ اس عمل کو گرافیکی طور پر دکھانا مشکل ہے۔ لیکن اگر ہم رفتار کی قدر حاصل کرنے کے لیے عددی طریقہ استعمال کریں، تو حد لینے کے عمل کا مطلب واضح ہو جاتا ہے۔ Fig. 2.1 میں دکھائے گئے گراف کے لیے، $x=0.08 t^3$۔ Table 2.1، $\Delta t$ کے برابر $2.0 \mathrm{~s}$، $1.0 \mathrm{~s}, 0.5 \mathrm{~s}, 0.1 \mathrm{~s}$ اور $0.01 \mathrm{~s}$ کے لیے حساب کی گئی $\Delta x / \Delta t$ کی قدر دیتی ہے جو $t=$ $4.0 \mathrm{~s}$ پر مرکوز ہیں۔ دوسرا اور تیسرا کالم $t_1=\left(t-\frac{\Delta t}{2}\right)$ اور $t_2=\left(t+\frac{\Delta t}{2}\right)$ کی قدر دیتے ہیں اور چوتھا اور پانچواں کالم $x$ کی متعلقہ اقدار دیتے ہیں، یعنی $x\left(t_1\right)=0.08 t_1^3$ اور $x\left(t_2\right)=0.08 t_2^3$۔ چھٹا کالم فرق $\Delta x=X\left(t_2\right)-X\left(t_1\right)$ کو فہرست کرتا ہے اور آخری کالم $\Delta x$ اور $\Delta t$ کے تناسب کو دیتا ہے، یعنی پہلے کالم میں درج $\Delta t$ کی قدر کے مطابق اوسط رفتار۔

Table 2.1 $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ کی حدی قدر $t=4 \mathrm{~s}$ پر

ہم Table 2.1 سے دیکھتے ہیں کہ جیسے ہم $\Delta t$ کی قدر کو $2.0 \mathrm{~s}$ سے گھٹا کر $0.010 \mathrm{~s}$ کرتے ہیں، اوسط رفتار کی قدر حدی قدر $3.84 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ کے قریب پہنچتی ہے جو $t=4.0 \mathrm{~s}$ پر رفتار کی قدر ہے، یعنی $\frac{d x}{d t}$ کی قدر $t=4.0 \mathrm{~s}$ پر۔ اس طریقے سے، ہم کار کی حرکت کے لیے ہر لمحے پر رفتار کا حساب لگا سکتے ہیں۔

فوری رفتار کے تعین کا گرافیکی طریقہ ہمیشہ آسان طریقہ نہیں ہوتا۔ اس کے لیے، ہمیں پوزیشن-ٹائم گراف کو احتیاط سے بنانا ہوگا اور اوسط رفتار کی قدر کا حساب لگانا ہوگا جیسے $\Delta t$ چھوٹا ہوتا جائے۔ اگر ہمارے پاس مختلف لمحات پر پوزیشنز کا ڈیٹا ہو یا وقت کے فنکشن کے طور پر پوزیشن کی صحیح ایکسپریشن ہو تو مختلف لمحات پر رفتار کی قدر کا حساب لگانا آسان ہے۔ پھر، ہم $\Delta x / \Delta t$ کا حساب $\Delta t$ کی قدر کو گھٹانے کے لیے ڈیٹا سے لگاتے ہیں اور Table 2.1 میں کیے گئے طریقے سے حدی قدر تلاش کرتے ہیں یا دی گئی ایکسپریشن کے لیے تفریقی کیلکولس استعمال کرتے ہیں اور $\frac{d x}{d t}$ کا حساب مختلف لمحات پر لگاتے ہیں جیسا کہ مندرجہ ذیل مثال میں کیا گیا ہے۔

مثال 2.1 ایک جسم کی x-axis کے ساتھ حرکت کرتے ہوئے پوزیشن x = a + bt2 سے دی گئی ہے جہاں a = 8.5 m, b = 2.5 m $s^{–2}$ اور t سیکنڈز میں ناپا جاتا ہے۔ t = 0 s اور t = 2.0 s پر اس کی رفتار کیا ہے؟ t = 2.0 s اور t = 4.0 s کے درمیان اوسط رفتار کیا ہے؟

جواب تفریقی کیلکولس کے اشارے میں، رفتار ہے

$ v=\frac{d x}{d t}=\frac{d}{d t}\left(a+b t^2\right)=2 b t=5.0 t \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $

$t=0 \mathrm{~s}, \quad V=0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ پر اور $t=2.0 \mathrm{~s}$ پر، $v=10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$۔

$ \text { اوسط رفتار }=\frac{x(4.0)-x(2.0)}{4.0-2.0} $

$\begin{array}{r}=\frac{a+16 b-a-4 b}{2.0}=6.0 \times b \\ =6.0 \times 2.5=15 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\end{array}$

نوٹ کریں کہ یکساں حرکت کے لیے، رفتار ہر لمحے پر اوسط رفتار کے برابر ہوتی ہے۔

فوری سمتار یا صرف سمتار رفتار کا حجم ہے۔ مثال کے طور پر، $+24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ کی رفتار اور $-24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}-$ کی رفتار دونوں کا تعلق $24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ کی سمتار سے ہے۔ یہ نوٹ کرنا چاہیے کہ اگرچہ وقت کے محدود وقفے پر اوسط سمتار اوسط رفتار کے حجم سے زیادہ یا اس کے برابر ہوتی ہے، لیکن کسی لمحے پر فوری سمتار اس لمحے پر فوری رفتار کے حجم کے برابر ہوتی ہے۔ ایسا کیوں؟

2.3 اسراع

کسی جسم کی رفتار، عام طور پر، اس کی حرکت کے دوران بدلتی رہتی ہے۔ اس تبدیلی کو کیسے بیان کیا جائے؟ کیا اسے فاصلے کے ساتھ یا وقت کے ساتھ رفتار میں تبدیلی کی شرح کے طور پر بیان کیا جانا چاہیے؟ یہ گلیلیو کے زمانے میں بھی ایک مسئلہ تھا۔ پہلے یہ سوچا گیا کہ اس تبدیلی کو فاصلے کے ساتھ رفتار میں تبدیلی کی شرح سے بیان کیا جا سکتا ہے۔ لیکن، آزادانہ گرنے والے اجسام کی حرکت اور ڈھلوان سطح پر اجسام کی حرکت کے اپنے مطالعے کے ذریعے، گلیلیو نے یہ نتیجہ نکالا کہ وقت کے ساتھ رفتار میں تبدیلی کی شرح آزادانہ گرنے والے تمام اجسام کے لیے حرکت کا ایک مستقل ہے۔ دوسری طرف، فاصلے کے ساتھ رفتار میں تبدیلی مستقل نہیں ہوتی – یہ گرنے کے بڑھتے ہوئے فاصلے کے ساتھ کم ہوتی جاتی ہے۔ اس نے اسراع کے تصور کو وقت کے ساتھ رفتار میں تبدیلی کی شرح کے طور پر متعارف کرایا۔

وقت کے وقفے پر اوسط اسراع a کو رفتار میں تبدیلی کو وقت کے وقفے سے تقسیم کر کے تعریف کیا جاتا ہے:

$\bar{a}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\quad \quad \quad \quad \quad (2.2)$

جہاں $v_2$ اور $v_1$ وقت $t_2$ اور $t_1$ پر فوری رفتار یا صرف رفتار ہیں۔ یہ فی اکائی وقت میں اوسط تبدیلی رفتار ہے۔ اسراع کی SI اکائی $\mathrm{m} \mathrm{s}^{-2}$ ہے۔

رفتار بمقابلہ وقت کے پلاٹ پر، اوسط اسراع سیدھی لکیر کا ڈھلوان ہے جو $\left(v_2, t_2\right)$ اور $\left(v_1, t_1\right)$ کے مطابق نقاط کو ملاتی ہے۔

فوری اسراع کو اسی طرح تعریف کیا جاتا ہے جیسے فوری رفتار:

$ a=\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} \quad \quad \quad \quad \quad (2.3) $

کسی لمحے پر اسراع $v-t$ وکر کے اس لمحے پر مماس کا ڈھلوان ہے۔

چونکہ رفتار ایک ایسی مقدار ہے جس کا حجم اور سمت دونوں ہوتے ہیں، رفتار میں تبدیلی ان میں سے کسی ایک یا دونوں عوامل کو شامل کر سکتی ہے۔ اس لیے، اسراع سمتار (حجم) میں تبدیلی، سمت میں تبدیلی یا دونوں میں تبدیلیوں کے نتیجے میں ہو سکتا ہے۔ رفتار کی طرح، اسراع بھی مثبت، منفی یا صفر ہو سکتا ہے۔ مثبت اسراع، منفی اسراع اور صفر اسراع کے ساتھ حرکت کے لیے پوزیشن-ٹائم گرافز بالترتیب Figs. 2.4 (a), (b) اور (c) میں دکھائے گئے ہیں۔ نوٹ کریں کہ گراف مثبت اسراع کے لیے اوپر کی طرف مڑتا ہے؛ منفی اسراع کے لیے نیچے کی طرف اور یہ صفر اسراع کے لیے ایک سیدھی لکیر ہے۔

Fig. 2.2 (a) مثبت اسراع؛ (b) منفی اسراع، اور (c) صفر اسراع کے ساتھ حرکت کے لیے پوزیشن-ٹائم گراف۔

اگرچہ اسراع وقت کے ساتھ بدل سکتا ہے، اس باب میں ہمارا مطالعہ مستقل اسراع کے ساتھ حرکت تک محدود ہوگا۔ اس صورت میں، اوسط اسراع وقفے کے دوران اسراع کی مستقل قدر کے برابر ہوتی ہے۔ اگر کسی جسم کی رفتار $V$ پر $t$ $=0$ ہے اور وقت $t$ پر $v$ ہے، تو ہمارے پاس ہے

$ \bar{a}=\frac{v-v_o}{t-0} $

$\text { یا, } v=v_o+a t \quad (2.4) $

آئیے دیکھتے ہیں کہ کچھ سادہ معاملات کے لیے رفتار-ٹائم گراف کیسی لگتی ہے۔ Fig. 2.3 درج ذیل معاملات کے لیے مستقل اسراع کے ساتھ حرکت کے لیے رفتار-ٹائم گراف دکھاتی ہے:

Fig. 2.3 مستقل اسراع کے ساتھ حرکت کے لیے رفتار-ٹائم گراف۔ (a) مثبت اسراع کے ساتھ مثبت سمت میں حرکت، (b) منفی اسراع کے ساتھ مثبت سمت میں حرکت، (c) منفی اسراع کے ساتھ منفی سمت میں حرکت، (d) منفی اسراع کے ساتھ کسی جسم کی حرکت جو وقت t1 پر سمت بدلتی ہے۔ وقت 0 سے $t_1$ کے درمیان، یہ مثبت x - سمت میں حرکت کرتی ہے اور $t_1$ اور $t_2$ کے درمیان یہ مخالف سمت میں حرکت کرتی ہے۔

(a) ایک جسم مثبت اسراع کے ساتھ مثبت سمت میں حرکت کر رہا ہے۔

(b) ایک جسم منفی اسراع کے ساتھ مثبت سمت میں حرکت کر رہا ہے۔

(c) ایک جسم منفی اسراع کے ساتھ منفی سمت میں حرکت کر رہا ہے۔

(d) ایک جسم وقت $t_1$ تک مثبت سمت میں حرکت کر رہا ہے، اور پھر اسی منفی اسراع کے ساتھ واپس مڑ جاتا ہے۔

کسی بھی حرکت کرتے ہوئے جسم کے لیے رفتار-ٹائم گراف کی ایک دلچسپ خصوصیت یہ ہے کہ وکر کے نیچے کا رقبہ دیے گئے وقت کے وقفے پر جابجا کو ظاہر کرتا ہے۔ اس بیان کا ایک عام ثبوت کیلکولس کے استعمال کی ضرورت ہے۔ تاہم، ہم دیکھ سکتے ہیں کہ یہ مستقل رفتار u سے حرکت کرنے والے جسم کے سادہ معاملے کے لیے سچ ہے۔ اس کا رفتار-ٹائم گراف Fig. 2.4 میں دکھایا گیا ہے۔

Fig. 2.4 v-t وکر کے نیچے کا رقبہ دیے گئے وقت کے وقفے پر جسم کے جابجا کے برابر ہے۔

v-t وکر وقت کے محور کے متوازی ایک سیدھی لکیر ہے اور t = 0 اور t = T کے درمیان اس کے نیچے کا رقبہ اونچائی u اور بنیاد T والے مستطیل کا رقبہ ہے۔ لہذا، رقبہ = u × T = uT جو اس وقت کے وقفے میں جابجا ہے۔ اس معاملے میں رقبہ فاصلے کے برابر کیسے ہو گیا؟ سوچیں! دونوں محوروں پر مقداروں کے ابعاد پر غور کریں، اور آپ کو جواب مل جائے گا۔

نوٹ کریں کہ اس باب میں کئی اشکال میں دکھائے گئے x-t, v-t, اور a-t گرافز میں کچھ نقاط پر تیز موڑ ہیں جس کا مطلب ہے کہ فنکشنز ان نقاط پر تفریقی نہیں ہیں۔ کسی بھی حقیقی صورت حال میں، فنکشنز تمام نقاط پر تفریقی ہوں گی اور گراف ہموار ہوں گے۔

جسمانی طور پر اس کا کیا مطلب ہے کہ اسراع اور رفتار کسی لمحے پر اچانک اقدار نہیں بدل سکتیں۔ تبدیلیاں ہمیشہ مسلسل ہوتی ہیں۔

2.4 یکساں طور پر اسراع حرکت کے لیے حرکی مساوات

یکساں طور پر اسراع حرکت کے لیے، ہم کچھ سادہ مساوات اخذ کر سکتے ہیں جو جابجا $(x)$، لیا گیا وقت $(t)$، ابتدائی رفتار $\left(v_0\right)$، حتمی رفتار $(v)$ اور اسراع (a) سے متعلق ہیں۔ پہلے حاصل کردہ مساوات (2.4) حتمی اور ابتدائی رفتار $v$ اور $v_0$ کے درمیان تعلق دیتی ہے جو یکساں اسراع $a$ کے ساتھ حرکت کر رہا ہے:

$$ v=v_o+a t (2.4) $$

یہ تعلق گرافیکی طور پر Fig. 2.5 میں دکھایا گیا ہے۔ اس وکر کے نیچے کا رقبہ ہے: لمحات 0 اور $t=$ کے درمیان رقبہ مثلث $\mathrm{ABC}+$ کا رقبہ مستطیل $\mathrm{OACD}$ کا رقبہ

$$ =\frac{1}{2}\left(v-v_0\right) t+v_0 t $$

Fig. 2.5 یکساں اسراع کے ساتھ کسی جسم کے لیے v-t وکر کے نیچے کا رقبہ۔

جیسا کہ پچھلے حصے میں وضاحت کی گئی ہے، v-t وکر کے نیچے کا رقبہ جابجا کو ظاہر کرتا ہے۔ لہذا، جسم کا جابجا x ہے:

$$ x=\frac{1}{2}\left(v-v_0\right) t+v_0 t \quad\quad \quad \quad \quad \quad (2.5) $$

لیکن $\quad\quad \quad v-v _0=a t$

لہذا، $\quad\quad x=\frac{1}{2} a t^2+v _0 t$

یا، $\quad\quad \quad x=v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 \quad (2.6)$

مساوات (2.5) کو اس طرح بھی لکھا جا سکتا ہے

$$ \begin{align*} X & =\frac{V+v _{0}}{2} t \\ & =\bar{v} \cdot t \tag{2.7a} \\ \bar{v} & =\frac{v+v _{0}}{2} \text { (constant acceleration only) } \tag{2.7b} \end{align*} \quad $$

مساوات (2.7a) اور (2.7b) کا مطلب ہے کہ جسم نے جابجا $x$ کا تجربہ کیا ہے جس کی اوسط رفتار ابتدائی اور حتمی رفتار کے حسابی اوسط کے برابر ہے۔

مساوات (2.4) سے، $t=\left(v-v_0\right) / a$۔ اسے مساوات (2.7a) میں رکھنے سے، ہمیں ملتا ہے

$$ \begin{align*} x & =\bar{v} t=\frac{v+v _{0}}{2} \cdot \frac{v-v _{0}}{a}=\frac{v^{2}-v _{0}^{2}}{2 a} \\ v^{2} & =v _{0}^{2}+2 a x \tag{2.8} \end{align*} $$

یہ مساوات مساوات (2.4) سے t کی قدر کو مساوات (2.6) میں رکھ کر بھی حاصل کی جا سکتی ہے۔ اس طرح، ہم نے تین اہم مساوات حاصل کی ہیں: پانچ مقداروں $v_0, v, a, t$ اور $x$ کو جوڑتی ہیں۔

$$ \begin{gathered} v=v_0+a t \\ x=v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 \\ v^2=v_0^2+2 a x \quad\quad\quad \quad (2.9a) \end{gathered} $$

یہ مستقل اسراع کے لیے خطی حرکت کی حرکی مساوات ہیں۔

مساوات (2.9a) کا سیٹ یہ فرض کر کے حاصل کیا گیا تھا کہ $t=0$ پر، ذرہ کی پوزیشن، $x$ 0 ہے۔ ہم ایک زیادہ عام مساوات حاصل کر سکتے ہیں اگر ہم $t=0$ پر پوزیشن کوآرڈینیٹ کو غیر صفر لیتے ہیں، فرض کریں $x_0$۔ پھر مساوات (2.9a) میں تبدیلی کی جاتی ہے ($x$ کو $x-x_0$ سے بدل کر):

$$ \begin{align*} v & =v _{0}+a t \\ x & =x _{0}+v _{0} t+\frac{1}{2} a t^{2} \tag{2.9b} \\ v^{2} & =v _{0}^{2}+2 a\left(x-x _{0}\right) \tag{2.9c} \end{align*} $$

مثال 2.2 کیلکولس کے طریقہ کا استعمال کرتے ہوئے مستقل اسراع کے لیے حرکت کی مساوات حاصل کریں۔

جواب تعریف کے مطابق

$$ \begin{aligned} & a=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} \\ & \mathrm{~d} v=a \mathrm{~d} t \end{aligned} $$

دونوں اطراف کو انٹیگریٹ کرنا

$$ \begin{aligned} \int_{v_0}^v \mathrm{~d} v & =\int_0^t a \mathrm{~d} t \\ & =a \int_0^t \mathrm{~d} t \quad \quad \quad \quad \text{( a is constant)}\\ v-v_0 & =a t \\ v & =v_0+a t \end{aligned} $$

مزید، $$ \begin{aligned} v & =\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} \\ \mathrm{~d} x & =v \mathrm{~d} t \end{aligned} $$

دونوں اطراف کو انٹیگریٹ کرنا $$ \begin{aligned} \int_{x_0}^x \mathrm{~d} x=\int_0^t v \mathrm{~d} t & =\int_0^t\left(v_0+a t\right) \mathrm{d} t \\ x-x_0 & =v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 \\ x & =x_0+v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 \end{aligned} $$

ہم لکھ سکتے ہیں

$$ \begin{aligned} & a=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} x} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=v \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} x} \\ \\ & \text { or, } v \mathrm{~d} v=a \mathrm{~d} x \end{aligned} $$

دونوں اطراف کو انٹیگریٹ کرنا،

$$ \begin{aligned} & \int_{v_0}^v v \mathrm{~d} v=\int_{x_0}^x a \mathrm{~d} x \\ & \frac{v^2-v_0^2}{2}=a\left(x-x_0\right) \\ & v^2=v_0^2+2 a\left(x-x_0\right) \end{aligned} $$

اس طریقہ کا فائدہ یہ ہے کہ اسے غیر یکساں اسراع کے ساتھ حرکت کے لیے بھی استعمال کیا جا سکتا ہے۔

اب، ہم ان مساوات کو کچھ اہم معاملات پر لاگو کریں گے۔

مثال 2.3 ایک گیند کو عمودی طور پر اوپر کی طرف 20 m $s^{–1}$ کی رفتار سے ایک کثیر منزلہ عمارت کی چھت سے پھینکا جاتا ہے۔ جس نقطہ سے گیند پھینکی گئی ہے اس کی اونچائی زمین سے 25.0 m ہے۔ (a) گیند کتنی اونچائی تک جائے گی؟ اور (b) گیند کے زمین سے ٹکرانے سے پہلے کتنا وقت لگے گا؟ g = 10 m $s^{–2}$ لیں۔

جواب (a) ہم $y$-axis کو عمودی طور پر اوپر کی طرف لیتے ہیں جس کا صفر زمین پر ہے، جیسا کہ Fig. 2.6 میں دکھایا گیا ہے۔

$$ \begin{aligned} \text { Now } \quad v_o & =+20 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}, \\ a & =-g=-10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}, \\ v & =0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

اگر گیند لانچ کے نقطہ سے اونچائی $y$ تک جاتی ہے، تو مساوات $v^2=v_o^2+2 a\left(y-y_0\right), 0=(20)^2+2(-10)\left(y-y_0\right),$ استعمال کرتے ہوئے

$$ \text{Solving, we get,} \left(y-y_0\right)=20 \mathrm{~m}. $$

(b) ہم مسئلے کے اس حصے کو دو طریقوں سے حل کر سکتے ہیں۔

استعمال کیے گئے طریقوں کو غور سے نوٹ کریں۔

Fig. 2.6

پہلا طریقہ: پہلے طریقے میں، ہم راستے کو دو حصوں میں تقسیم کرتے ہیں: اوپر کی طرف حرکت (A سے B) اور نیچے کی طرف حرکت (B سے C) اور متعلقہ لیا گیا وقت $t_1$ اور $t_2$ کا حساب لگاتے ہیں۔ چونکہ B پر رفتار صفر ہے، ہمارے پاس ہے:

$$ \begin{aligned} & v=v_{\mathrm{o}}+a t \\ 0 & =20-10 t_1 \\ \text { Or, } \quad \quad & t_1=2 \mathrm{~s} \end{aligned} $$

یہ $A$ سے $B$ تک جانے کا وقت ہے۔ $B$ سے، یا زیادہ سے زیادہ اونچائی کے نقطہ سے، گیند کشش ثقل کی وجہ سے اسراع کے تحت آزادانہ گرتی ہے۔ گیند منفی $y$ سمت میں حرکت کر رہی ہے۔ ہم مساوات استعمال کرتے ہیں $$ y=y_0+v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 $$

ہمارے پاس، $y_0=45 \mathrm{~m}, y=0, v_0=0, a=-g=-10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$

$$ 0=45+(1 / 2)(-10) t_2^2 $$

حل کرنے سے، ہمیں ملتا ہے $\mathrm{t}_2=3 \mathrm{~s}$ لہذا، گیند کے زمین سے ٹکرانے سے پہلے کل وقت $=t_1+t_2=2 \mathrm{~s}+3 \mathrm{~s}=5 \mathrm{~s}$۔

دوسرا طریقہ: کل وقت کا حساب منتخب کردہ مبدا کے حوالے سے گیند کی ابتدائی اور حتمی پوزیشنوں کے کوآرڈینیٹس نوٹ کر کے اور مساوات استعمال کر کے بھی لگایا جا سکتا ہے

$$ y=y_0+v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 $$ $$ \begin{array}{ll} \text{Now} \quad \quad y_0=25 \mathrm{~m} & y=0 \mathrm{~m} \\ \quad \quad\quad \quad v_o=20 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}, & a=-10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}, \quad t=? \end{array} $$

$$ \begin{array}{ll} & 0=25+20 t+(1 / 2)(-10) t^2 \\ \text { Or, } & \quad 5 t^2-20 t-25=0 \end{array} $$

$t$ کے لیے اس دو درجی مساوات کو حل کرنے سے، ہمیں ملتا ہے

$$ t=5 \mathrm{~s} $$

نوٹ کریں کہ دوسرا طریقہ بہتر ہے کیونکہ ہمیں حرکت کے راستے کی فکر کرنے کی ضرورت نہیں ہے کیونکہ حرکت مستقل اسراع کے تحت ہے۔

مثال 2.4 آزادانہ گراؤ: آزادانہ گراؤ کے تحت کسی جسم کی حرکت پر بحث کریں۔ ہوا کے مزاحمت کو نظر انداز کریں۔

جواب زمین کی سطح کے قریب چھوڑا گیا کوئی جسم کشش ثقل کی قوت کے تحت نیچے کی طرف اسراع حاصل کرتا ہے۔ کشش ثقل کی وجہ سے اسراع کے حجم کو g سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اگر ہوا کی مزاحمت کو نظر انداز کر دیا جائے، تو جسم آزادانہ گراؤ میں کہلاتا ہے۔ اگر جسم جس اونچائی سے گرتا ہے وہ زمین کے رداس کے مقابلے میں چھوٹی ہے، تو g کو مستقل، 9.8 m $s^{–2}$ کے برابر لیا جا سکتا ہے۔ آزادانہ گراؤ اس طرح یکساں اسراع کے ساتھ حرکت کا ایک معاملہ ہے۔

ہم فرض کرتے ہیں کہ حرکت y-direction میں ہے، زیادہ صحیح طور پر –y-direction میں کیونکہ ہم اوپر کی سمت کو مثبت کے طور پر منتخب کرتے ہیں۔ چونکہ کشش ثقل کی وجہ سے اسراع ہمیشہ نیچے کی طرف ہوتا ہے، یہ منفی سمت میں ہوتا ہے اور ہمارے پاس ہے

$$ a=-g=-9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2} $$

جسم کو $y=0$ پر آرام سے چھوڑا جاتا ہے۔ لہذا، $v_0=0$ اور حرکت کی مساوات بن جاتی ہیں:

$$ \begin{array}{lll} v=0-g t & =-9.8 t &\mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \\ y=0-1 / 2 g t^2 & =-4.9 t^2 & \mathrm{~m} \\ v^2=0-2 g y & =-19.6 y &\mathrm{~m}^2 \mathrm{~s}^{-2} \end{array} $$

یہ مساوات وقت کے فنکشن کے طور پر رفتار اور طے شدہ فاصلہ دیتی ہیں اور فاصلے کے ساتھ رفتار کی تغیر بھی دیتی ہیں۔ اسراع، رفتار، اور فاصلے کی وقت کے ساتھ تغیر کو Fig. 2.7(a), (b) اور (c) میں پلاٹ کیا گیا ہے۔

(a)

(b)

(c)

Fig. 2.7 آزادانہ گراؤ کے تحت کسی جسم کی حرکت۔

(a) وقت کے ساتھ اسراع کی تغیر۔

(b) وقت کے ساتھ رفتار کی تغیر۔

(c) وقت کے ساتھ فاصلے کی تغیر۔

مثال 2.5 گلیلیو کا طاق اعداد کا قانون: “آرام سے گرنے والے جسم کے ذریعے، وقت کے برابر وقفوں کے دوران طے شدہ فاصلے، ایک دوسرے سے اسی تناسب میں ہوتے ہیں جیسے طاق اعداد جو واحد سے شروع ہوتے ہیں [یعنی، 1: 3: 5: 7……]۔” اسے ثابت کریں۔

جواب آئیے آزادانہ گراؤ میں حرکت کرنے والے جسم کے وقت کے وقفہ کو بہت سے برابر وقفوں τ میں تقسیم کریں اور وقت کے متواتر وقفوں کے دوران طے شدہ فاصلوں کو تلاش کریں۔ چونکہ ابتدائی رفتار صفر ہے، ہمارے پاس ہے

$$ y=-\frac{1}{2} g t^2 $$

اس مساوات کا استعمال کرتے ہوئے، ہم مختلف وقت کے وقفوں کے بعد جسم کی پوزیشن کا حساب لگا سکتے ہیں، $0, \tau, 2 \tau, 3 \tau \ldots$ جو Table 2.2 کے دوسرے کالم میں دیے گئے ہیں۔ اگر ہم $(-1 / 2) g \tau^2$ کو $y_0$ کے طور پر لیں - پہلے وقت کے وقفہ $\tau$ کے بعد پوزیشن کوآرڈینیٹ، تو تیسرا کالم $y_0$ کی اکائی میں پوزیشنز دیتا ہے۔ چوتھا کالم متواتر $\tau \mathrm{s}$ میں طے شدہ فاصلے دیتا ہے۔ ہم دیکھتے ہیں کہ فاصلے آخری کالم میں دکھائے گئے سادہ تناسب $1: 3: 5: 7: 9: 11 \ldots$ میں ہیں۔ یہ قانون گیلیلیو گیلیلی (1564-1642) نے قائم کیا تھا جو آزادانہ گراؤ کے مقداری مطالعہ کرنے والے پہلے شخص تھے۔

مثال 2.6 گاڑیوں کا رکنے کا فاصلہ: جب ایک حرکت کرتی ہوئی گاڑی پر بریک لگائی جاتی ہے، تو رکنے سے پہلے وہ جو فاصلہ طے کرتی ہے اسے رکنے کا فاصلہ کہتے ہیں۔ یہ سڑک کی حفاظت کے لیے ایک اہم عنصر ہے اور ابتدائی رفتار $(v_0)$ اور بریکنگ کی صلاحیت، یا منفی اسراع، –a پر منحصر ہے جو بریکنگ کی وجہ سے ہوتا ہے۔ گاڑی کے رکنے کے فاصلے کے لیے $v_o$ اور a کے لحاظ سے ایک ایکسپریشن اخذ کریں۔

Table 2.2