3.1 تعارف

پچھلے باب میں ہم نے مقام، جابجائی، سمتار اور اسراع کے تصورات وضع کیے تھے جو کسی شے کی سیدھی لکیر میں حرکت کو بیان کرنے کے لیے ضروری ہیں۔ ہم نے پایا کہ ان مقداریوں کے سمتاری پہلو کو + اور - کی علامات سے نمٹایا جا سکتا ہے، کیونکہ ایک بعد میں صرف دو سمتیں ممکن ہیں۔ لیکن کسی شے کی حرکت کو دو ابعاد (ایک مستوی) یا تین ابعاد (فضا) میں بیان کرنے کے لیے، ہمیں مذکورہ بالا طبیعی مقداریوں کو بیان کرنے کے لیے سمتیہ کا استعمال کرنا پڑتا ہے۔ لہٰذا، سب سے پہلے سمتیوں کی زبان سیکھنا ضروری ہے۔ سمتیہ کیا ہے؟ سمتیوں کو کیسے جمع، تفریق اور ضرب کیا جاتا ہے؟ کسی سمتیہ کو حقیقی عدد سے ضرب دینے کا نتیجہ کیا ہوتا ہے؟ ہم یہ سیکھیں گے تاکہ ہم سمتار اور اسراع کو مستوی میں تعریف کرنے کے لیے سمتیہ استعمال کر سکیں۔ پھر ہم کسی شے کی حرکت کو مستوی میں زیرِ بحث لائیں گے۔ مستوی میں حرکت کے ایک سادہ کیس کے طور پر، ہم مستقل اسراع والی حرکت پر بات کریں گے اور مقذوف حرکت کو تفصیل سے بیان کریں گے۔ دائروی حرکت ایک مانوس قسم کی حرکت ہے جس کی روزمرہ زندگی کے حالات میں خاص اہمیت ہے۔ ہم یکساں دائروی حرکت پر کچھ تفصیل سے بات کریں گے۔ اس باب میں مستوی میں حرکت کے لیے وضع کردہ مساوات کو تین ابعاد کے کیس تک آسانی سے بڑھایا جا سکتا ہے۔

3.2 عددی اور سمتیہ

طبیعیات میں، ہم مقداریوں کو عددی یا سمتیہ کے طور پر درجہ بندی کر سکتے ہیں۔ بنیادی طور پر، فرق یہ ہے کہ سمتیہ کے ساتھ ایک سمت وابستہ ہوتی ہے لیکن عددی کے ساتھ نہیں ہوتی۔ عددی مقدار صرف مقدار (مقدار) رکھتی ہے۔ اسے مکمل طور پر ایک واحد عدد کے ساتھ، مناسب اکائی کے ساتھ، بیان کیا جاتا ہے۔ مثالیں ہیں: دو نقاط کے درمیان فاصلہ، کسی شے کا کمیت، جسم کا درجہ حرارت اور وہ وقت جب کوئی خاص واقعہ پیش آیا۔ عددیوں کو ملا کر ایک کرنے کے قواعد معمولی الجبرا کے قواعد ہیں۔ عددیوں کو جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم کیا جا سکتا ہے بالکل عام اعداد کی طرح*۔ مثال کے طور پر، اگر کسی مستطیل کی لمبائی اور چوڑائی بالترتیب 1.0 m اور 0.5 m ہیں، تو اس کا محیط چاروں اطراف کی لمبائیوں کا مجموعہ ہے، 1.0 m + 0.5 m +1.0 m + 0.5 m = 3.0 m۔ ہر طرف کی لمبائی ایک عددی ہے اور محیط بھی ایک عددی ہے۔ ایک اور مثال لیں: کسی خاص دن پر زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم درجہ حرارت بالترتیب 35.6 °C اور 24.2 °C ہیں۔ پھر، دونوں درجہ حرارت کے درمیان فرق 11.4 °C ہے۔ اسی طرح، اگر ایلومینیم کے ایک یکساں ٹھوس مکعب کا ضلع 10 cm ہے اور اس کا کمیت 2.7 kg ہے، تو اس کا حجم 10–3 m3 (ایک عددی) ہے اور اس کی کثافت 2.7×103 kg m–3 (ایک عددی) ہے۔ سمتیہ مقدار وہ مقدار ہے جس میں مقدار اور سمت دونوں ہوتے ہیں اور وہ جمع کے تکونی قانون یا مساوی طور پر جمع کے متوازی الاضلاع قانون کی پابندی کرتی ہے۔ لہٰذا، ایک سمتیہ کو اس کی مقدار (ایک عدد کے ذریعے) اور اس کی سمت دے کر بیان کیا جاتا ہے۔ کچھ طبیعی مقداریں جو سمتیہ کے ذریعے ظاہر کی جاتی ہیں وہ ہیں: جابجائی، سمتار، اسراع اور قوت۔

کسی سمتیہ کو ظاہر کرنے کے لیے، ہم اس کتاب میں بولڈ فیس ٹائپ استعمال کرتے ہیں۔ اس طرح، ایک سمتار سمتیہ کو علامت v سے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ چونکہ بولڈ فیس لکھنا مشکل ہوتا ہے، ہاتھ سے لکھتے وقت ایک سمتیہ کو اکثر کسی حرف پر رکھے گئے تیر سے ظاہر کیا جاتا ہے، مثلاً $\vec{v}$۔ اس طرح، v اور $\vec{v}$ دونوں سمتار سمتیہ کو ظاہر کرتے ہیں۔ کسی سمتیہ کی مقدار کو اکثر اس کی مطلق قیمت کہا جاتا ہے، جو |v| = v سے ظاہر کی جاتی ہے۔ اس طرح، ایک سمتیہ کو بولڈ فیس سے ظاہر کیا جاتا ہے، مثلاً A, a, p, q, r, … x, y، جن کی متعلقہ مقداریں ہلکے فیس A, a, p, q, r, … x, y سے ظاہر کی جاتی ہیں۔

3.2.1 مقامی اور جابجائی سمتیہ

کسی مستوی میں حرکت کرنے والی شے کی پوزیشن بیان کرنے کے لیے، ہمیں ایک مناسب نقطہ منتخب کرنے کی ضرورت ہے، فرض کریں O کو مبدا کے طور پر۔ فرض کریں P اور P′ بالترتیب وقت t اور t′ پر شے کی پوزیشنیں ہیں [شکل 3.1(a)]۔ ہم O اور P کو ایک سیدھی لکیر سے ملاتے ہیں۔ پھر، OP وقت t پر شے کا مقامی سمتیہ ہے۔ اس لکیر کے سر پر ایک تیر نشان زد کیا گیا ہے۔ اسے علامت r سے ظاہر کیا جاتا ہے، یعنی OP = r۔ نقطہ P′ کو ایک اور مقامی سمتیہ، OP′ سے ظاہر کیا جاتا ہے جسے r′ کہتے ہیں۔ سمتیہ r کی لمبائی سمتیہ کی مقدار کو ظاہر کرتی ہے اور اس کی سمت وہ سمت ہے جس میں P واقع ہے جیسا کہ O سے دیکھا جاتا ہے۔ اگر شے P سے P′ تک حرکت کرتی ہے، تو سمتیہ PP′ (جس کی دم P پر اور نوک P′ پر ہو) جابجائی سمتیہ کہلاتا ہے جو نقطہ P (وقت t پر) سے نقطہ P′ (وقت t′ پر) کی حرکت کے مطابق ہوتا ہے۔

شکل 3.1 (a) مقامی اور جابجائی سمتیہ۔ (b) جابجائی سمتیہ PQ اور حرکت کے مختلف راستے۔

یہ نوٹ کرنا اہم ہے کہ جابجائی سمتیہ ابتدائی اور حتمی پوزیشنوں کو ملانے والی سیدھی لکیر ہے اور اس پر انحصار نہیں کرتا کہ شے نے دونوں پوزیشنوں کے درمیان اصل میں کون سا راستہ اختیار کیا ہے۔ مثال کے طور پر، شکل 4.1(b) میں، ابتدائی اور حتمی پوزیشنوں کو P اور Q دینے پر، جابجائی سمتیہ مختلف سفر کے راستوں کے لیے ایک ہی PQ ہے، فرض کریں PABCQ, PDQ, اور PBEFQ۔ لہٰذا، جابجائی کی مقدار دو نقاط کے درمیان کسی شے کے راستے کی لمبائی سے یا تو کم ہوتی ہے یا اس کے برابر ہوتی ہے۔ اس حقیقت پر پچھلے باب میں بھی زور دیا گیا تھا جب سیدھی لکیر میں حرکت پر بات ہو رہی تھی۔

3.2.2 سمتیوں کی برابری

دو سمتیہ A اور B برابر کہلاتے ہیں اگر، اور صرف اگر، ان کی مقدار ایک جیسی ہو اور سمت بھی ایک جیسی ہو۔**

شکل 3.2 (a) دو برابر سمتیہ A اور B۔ (b) دو سمتیہ A′ اور B′ غیر برابر ہیں حالانکہ ان کی لمبائی ایک جیسی ہے۔

شکل 3.2(a) دو برابر سمتیہ A اور B دکھاتی ہے۔ ہم ان کی برابری آسانی سے چیک کر سکتے ہیں۔ B کو خود کے متوازی اس طرح سرکائیں کہ اس کی دم Q A کی دم کے ساتھ مل جائے، یعنی Q O کے ساتھ مل جائے۔ پھر، چونکہ ان کی نوکیں S اور P بھی مل جاتی ہیں، دونوں سمتیہ برابر کہلاتے ہیں۔ عام طور پر، برابری کو A = B کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ شکل 3.2(b) میں، سمتیہ A′ اور B′ کی مقدار ایک جیسی ہے لیکن وہ برابر نہیں ہیں کیونکہ ان کی سمتیں مختلف ہیں۔ یہاں تک کہ اگر ہم B′ کو خود کے متوازی اس طرح سرکائیں کہ اس کی دم Q′ A′ کی دم O′ کے ساتھ مل جائے، تو B′ کی نوک S′ A′ کی نوک P′ کے ساتھ نہیں ملتی۔

3.3 سمتیوں کو حقیقی اعداد سے ضرب دینا

کسی سمتیہ A کو ایک مثبت عدد λ سے ضرب دینے سے ایک سمتیہ ملتا ہے جس کی مقدار کو عامل λ سے بدل دیا جاتا ہے لیکن سمت A کی سمت جیسی ہی رہتی ہے:

$$ |\lambda \mathbf{A}|=\lambda|\mathbf{A}| \text { if } \lambda=0 $$

مثال کے طور پر، اگر A کو 2 سے ضرب دی جائے، تو حاصل سمتیہ 2A A کی ہی سمت میں ہوتا ہے اور اس کی مقدار |A| سے دوگنی ہوتی ہے جیسا کہ شکل 3.3(a) میں دکھایا گیا ہے۔ کسی سمتیہ A کو ایک منفی عدد −λ سے ضرب دینے سے ایک اور سمتیہ ملتا ہے جس کی سمت A کی سمت کے مخالف ہوتی ہے اور جس کی مقدار |A| سے λ گنا ہوتی ہے۔

کسی دیے گئے سمتیہ A کو منفی اعداد، فرض کریں –1 اور –1.5، سے ضرب دینے سے سمتیہ ملتے ہیں جیسا کہ شکل 3.3(b) میں دکھایا گیا ہے۔ وہ عامل λ جس سے سمتیہ A کو ضرب دیا جاتا ہے، ایک عددی ہو سکتا ہے جس کی اپنی طبیعی بعد ہو۔ پھر، λ A کا بعد λ اور A کے بعدوں کا حاصل ضرب ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، اگر ہم کسی مستقل سمتار سمتیہ کو مدت (وقت) سے ضرب دیں، تو ہمیں ایک جابجائی سمتیہ ملتا ہے۔

شکل 3.3 (a) سمتیہ A اور حاصل سمتیہ جب A کو مثبت عدد 2 سے ضرب دیا جاتا ہے۔ (b) سمتیہ A اور حاصل سمتیہ جب اسے منفی عدد –1 اور –1.5 سے ضرب دیا جاتا ہے۔

3.4 سمتیوں کی جمع اور تفریق — گرافیکی طریقہ

جیسا کہ سیکشن 3.2 میں ذکر کیا گیا ہے، سمتیہ، تعریف کے مطابق، جمع کے تکونی قانون یا مساوی طور پر، جمع کے متوازی الاضلاع قانون کی پابندی کرتے ہیں۔ ہم اب اس جمع کے قانون کو گرافیکی طریقہ استعمال کرتے ہوئے بیان کریں گے۔ فرض کریں دو سمتیہ A اور B جو ایک مستوی میں واقع ہیں جیسا کہ شکل 3.4(a) میں دکھایا گیا ہے۔ ان سمتیوں کو ظاہر کرنے والے لکیر قطعوں کی لمبائیاں سمتیوں کی مقدار کے متناسب ہیں۔ مجموعہ A + B تلاش کرنے کے لیے، ہم سمتیہ B کو اس طرح رکھتے ہیں کہ اس کی دم سمتیہ A کے سر پر ہو، جیسا کہ شکل 3.4(b) میں ہے۔ پھر، ہم A کی دم کو B کے سر سے ملاتے ہیں۔ یہ لکیر OQ ایک سمتیہ R کو ظاہر کرتی ہے، یعنی سمتیہ A اور B کا مجموعہ۔ چونکہ، سمتیہ جمع کے اس طریقہ کار میں، سمتیہ سر سے دم تک ترتیب دیے جاتے ہیں، اس گرافیکی طریقہ کو سر سے دم تک کا طریقہ کہتے ہیں۔ دو سمتیہ اور ان کا حاصل تینوں مثلث کی تین اطراف بناتے ہیں، اس لیے اس طریقہ کو سمتیہ جمع کا تکونی طریقہ بھی کہا جاتا ہے۔ اگر ہم B + A کا حاصل تلاش کریں جیسا کہ شکل 3.4(c) میں ہے، تو وہی سمتیہ R حاصل ہوتا ہے۔ اس طرح، سمتیہ جمع مبدلی ہے:

A + B = B + A $\quad \quad \quad$ (3.1)

شکل 3.4 (a) سمتیہ A اور B۔ (b) سمتیہ A اور B کو گرافیکی طور پر جمع کیا گیا۔ (c) سمتیہ B اور A کو گرافیکی طور پر جمع کیا گیا۔ (d) سمتیہ جمع کے اشتراکی قانون کی وضاحت۔

سمتیوں کی جمع اشتراکی قانون کی بھی پابندی کرتی ہے جیسا کہ شکل 3.4(d) میں دکھایا گیا ہے۔ پہلے سمتیہ A اور B کو جمع کرنے اور پھر سمتیہ C کو جمع کرنے کا نتیجہ وہی ہوتا ہے جو پہلے B اور C کو جمع کرنے اور پھر سمتیہ A کو جمع کرنے کا نتیجہ ہوتا ہے:

$$ \begin{equation*} (\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}=\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C}) \tag{3.2} \end{equation*} $$

دو برابر اور مخالف سمتیوں کو جمع کرنے کا کیا نتیجہ ہوتا ہے؟ فرض کریں دو سمتیہ A اور –A جو شکل 3.3(b) میں دکھائے گئے ہیں۔ ان کا مجموعہ A + (–A) ہے۔ چونکہ دونوں سمتیوں کی مقداریں ایک جیسی ہیں، لیکن سمتیں مخالف ہیں، حاصل سمتیہ کی مقدار صفر ہوتی ہے اور اسے 0 سے ظاہر کیا جاتا ہے جسے صفر سمتیہ یا نل سمتیہ کہتے ہیں:

$$\mathbf{A}-\mathbf{A}=\mathbf{0} \qquad |\mathbf{0}|=0 \tag{3.3}$$

چونکہ نل سمتیہ کی مقدار صفر ہوتی ہے، اس کی سمت متعین نہیں کی جا سکتی۔ نل سمتیہ اس وقت بھی حاصل ہوتا ہے جب ہم کسی سمتیہ A کو عدد صفر سے ضرب دیتے ہیں۔ 0 کی اہم خصوصیات ہیں:

$$ \begin{align*} & \mathbf{A}+\mathbf{0}=\mathbf{A} \\ & \lambda \mathbf{0}=\mathbf{0} \\ & 0 \mathbf{A}=\mathbf{0} \tag{3.4} \end{align*} $$

صفر سمتیہ کا طبیعی مطلب کیا ہے؟ فرض کریں مقامی اور جابجائی سمتیہ ایک مستوی میں جیسا کہ شکل 3.1(a) میں دکھایا گیا ہے۔ اب فرض کریں کہ ایک شے جو وقت t پر P پر ہے، P′ تک جاتی ہے اور پھر P پر واپس آ جاتی ہے۔ پھر، اس کی جابجائی کیا ہے؟ چونکہ ابتدائی اور حتمی پوزیشنیں مل جاتی ہیں، جابجائی ایک “نل سمتیہ” ہے۔

سمتیوں کی تفریق کو سمتیوں کی جمع کے لحاظ سے تعریف کیا جا سکتا ہے۔ ہم دو سمتیہ A اور B کے فرق کو دو سمتیہ A اور –B کے مجموعہ کے طور پر تعریف کرتے ہیں:

$$ \begin{equation*} \mathbf{A}-\mathbf{B}=\mathbf{A}+(-\mathbf{B}) \tag{3.5} \end{equation*} $$

یہ شکل 3.5 میں دکھایا گیا ہے۔ سمتیہ $-\mathbf{B}$ کو سمتیہ $\mathbf{A}$ میں جمع کیا جاتا ہے تاکہ $\mathbf{R} _{2}=(\mathbf{A}-\mathbf{B})$ حاصل ہو۔ سمتیہ $\mathbf{R} _{1}=\mathbf{A}+\mathbf{B}$ بھی موازنہ کے لیے اسی شکل میں دکھایا گیا ہے۔ ہم دو سمتیوں کا مجموعہ تلاش کرنے کے لیے متوازی الاضلاع طریقہ بھی استعمال کر سکتے ہیں۔ فرض کریں ہمارے پاس دو سمتیہ $\mathbf{A}$ اور $\mathbf{B}$ ہیں۔ ان سمتیوں کو جمع کرنے کے لیے، ہم ان کی دم کو ایک مشترک مبدا $\mathrm{O}$ پر لاتے ہیں جیسا کہ شکل 3.6(a) میں دکھایا گیا ہے۔ پھر ہم $\mathbf{A}$ کے سر سے $\mathbf{B}$ کے متوازی ایک لکیر کھینچتے ہیں اور B کے سر سے A کے متوازی ایک اور لکیر کھینچتے ہیں تاکہ ایک متوازی الاضلاع OQSP مکمل ہو۔ اب ہم ان دو لکیروں کے تقاطع کے نقطہ کو مبدا O سے ملاتے ہیں۔ حاصل سمتیہ R مشترک مبدا O سے متوازی الاضلاع کے قطر (OS) کے ساتھ ہدایت کیا جاتا ہے [شکل 3.6(b)]۔ شکل 3.6(c) میں، A اور B کا حاصل حاصل کرنے کے لیے تکونی قانون استعمال کیا گیا ہے اور ہم دیکھتے ہیں کہ دونوں طریقے ایک ہی نتیجہ دیتے ہیں۔ اس طرح، دونوں طریقے مساوی ہیں۔

شکل 3.5 (a) دو سمتیہ A اور B، – B بھی دکھایا گیا ہے۔ (b) سمتیہ B کو سمتیہ A سے تفریق کرنا – نتیجہ R2 ہے۔ موازنہ کے لیے، سمتیہ A اور B کو جمع کرنا، یعنی R1 بھی دکھایا گیا ہے۔

شکل 3.6 (a) دو سمتیہ A اور B جن کی دم ایک مشترک مبدا پر لائی گئی ہیں۔ (b) مجموعہ A + B متوازی الاضلاع طریقہ استعمال کرتے ہوئے حاصل کیا گیا۔ (c) سمتیہ جمع کا متوازی الاضلاع طریقہ تکونی طریقہ کے مساوی ہے۔

مثال 3.1 بارش عمودی طور پر 35 m s–1 کی رفتار سے گر رہی ہے۔ کچھ دیر بعد ہوائیں مشرق سے مغرب کی سمت میں 12 m s–1 کی رفتار سے چلنا شروع ہو جاتی ہیں۔ بس اسٹاپ پر انتظار کرنے والے لڑکے کو اپنا چھتری کس سمت میں پکڑنا چاہیے؟

جواب بارش اور ہوا کی سمتار کو سمتیہ $\mathbf{v_r}$ اور $\mathbf{v_w}$ سے ظاہر کیا گیا ہے جو شکل 3.7 میں ہیں اور مسئلہ میں بتائی گئی سمت میں ہیں۔ سمتیہ جمع کے قانون کا استعمال کرتے ہوئے، ہم دیکھتے ہیں کہ $\mathbf{v_r}$ اور $\mathbf{v_w}$ کا حاصل $\mathrm{R}$ ہے جیسا کہ شکل میں دکھایا گیا ہے۔ $\mathrm{R}$ کی مقدار ہے

$$ R=\sqrt{v _{r}^{2}+v _{w}^{2}}=\sqrt{35^{2}+12^{2}} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}=37 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $$

سمت $\theta$ جو $R$ عمودی کے ساتھ بناتی ہے وہ دی جاتی ہے

$$ \tan \theta=\frac{v _{w}}{v _{r}}=\frac{12}{35}=0.343 $$

یا، $\theta=\tan ^{-1}(0.343)=19^{\circ}$

لہٰذا، لڑکے کو اپنا چھتری عمودی مستوی میں عمودی سے تقریباً $19^{\circ}$ کے زاویہ پر مشرق کی طرف رکھنا چاہیے۔

3.5 سمتیوں کی تحلیل

فرض کریں a اور b ایک مستوی میں کوئی دو غیر صفر سمتیہ ہیں جن کی سمتیں مختلف ہیں اور فرض کریں A اسی مستوی میں ایک اور سمتیہ ہے (شکل 3.8)۔ A کو دو سمتیوں کے مجموعہ کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے — ایک a کو ایک حقیقی عدد سے ضرب دے کر حاصل کیا جاتا ہے اور دوسرا b کو کسی دوسرے حقیقی عدد سے ضرب دے کر حاصل کیا جاتا ہے۔ اسے دیکھنے کے لیے، فرض کریں O اور P سمتیہ A کی دم اور سر ہیں۔ پھر، O سے ہو کر، a کے متوازی ایک سیدھی لکیر کھینچیں، اور P سے ہو کر، b کے متوازی ایک سیدھی لکیر کھینچیں۔ انہیں Q پر قطع کرنے دیں۔ پھر، ہمارے پاس ہے

$$ \begin{equation*} \mathbf{A}=\mathbf{O P}=\mathbf{O} \mathbf{Q}+\mathbf{Q P} \tag{3.6} \end{equation*} $$

لیکن چونکہ OQ a کے متوازی ہے، اور QP b کے متوازی ہے، ہم لکھ سکتے ہیں:

$$ \begin{equation*} \mathbf{O} \mathbf{Q}=\lambda \mathbf{a} \text { तथा } \mathbf{Q P}=\mu \mathbf{b} \tag{3.7} \end{equation*} $$

جہاں λ اور µ حقیقی اعداد ہیں۔

لہٰذا،

$$\mathbf{A}=\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b}\tag{3.8}$$

شکل 3.8 (a) دو غیر خطی سمتیہ a اور b۔ (b) کسی سمتیہ A کو سمتیہ a اور b کے لحاظ سے تحلیل کرنا۔

ہم کہتے ہیں کہ A کو دو مرکب سمتیہ λ a اور µ b میں تحلیل کر دیا گیا ہے جو بالترتیب a اور b کے ساتھ ہیں۔ اس طریقہ کا استعمال کرتے ہوئے، کسی دیے گئے سمتیہ کو دو سمتیوں کے ایک سیٹ کے ساتھ دو مرکب سمتیہ میں تحلیل کیا جا سکتا ہے — تینوں ایک ہی مستوی میں واقع ہوتے ہیں۔ اکائی مقدار والے سمتیہ استعمال کرتے ہوئے کسی عمومی سمتیہ کو مستطیل محدد نظام کے محوروں کے ساتھ تحلیل کرنا آسان ہوتا ہے۔ انہیں یکہ سمتیہ کہتے ہیں جن پر ہم اب بات کریں گے۔ یکہ سمتیہ وہ سمتیہ ہے جس کی مقدار ایک ہوتی ہے اور وہ کسی خاص سمت میں اشارہ کرتا ہے۔ اس کا کوئی بعد اور اکائی نہیں ہوتا۔ اسے صرف سمت متعین کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ مستطیل محدد نظام کے x-, y- اور z-محوروں کے ساتھ یکہ سمتیہ کو بالترتیب $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}} \text{ and }\hat{\mathbf{k}}$ سے ظاہر کیا جاتا ہے، جیسا کہ شکل 3.9(a) میں دکھایا گیا ہے۔ چونکہ یہ یکہ سمتیہ ہیں، ہمارے پاس ہے

$$ \begin{equation*} |\hat{\mathbf{i}}|=\hat{\mathbf{j}}|=\hat{\mathbf{k}}|=1 \tag{3.9} \end{equation*} $$

یہ یکہ سمتیہ ایک دوسرے کے عمود ہیں۔ اس متن میں، انہیں دیگر سمتیوں سے ممیز کرنے کے لیے بولڈ فیس میں ایک ٹوپی (^) کے ساتھ چھاپا جاتا ہے۔ چونکہ ہم اس باب میں دو ابعاد میں حرکت سے نمٹ رہے ہیں، ہمیں صرف دو یکہ سمتیہ کے استعمال کی ضرورت ہے۔ اگر ہم کسی یکہ سمتیہ، فرض کریں $\hat{\mathbf{n}}$ کو کسی عددی سے ضرب دیں، تو نتیجہ ایک سمتیہ $\lambda = \lambda\hat{\mathbf{n}}$ ہوتا ہے۔ عام طور پر، ایک سمتیہ A کو اس طرح لکھا جا سکتا ہے

$$ \begin{equation*} \mathbf{A}=|\mathbf{A}| \hat{\mathbf{n}} \tag{3.10} \end{equation*} $$

جہاں $\hat{\mathbf{n}}$ A کے ساتھ ایک یکہ سمتیہ ہے۔ اب ہم کسی سمتیہ A کو ان مرکب سمتیہ کے لحاظ سے تحلیل کر سکتے ہیں جو یکہ سمتیہ $\hat{\mathbf{i}}$ اور $\hat{\mathbf{j}}$ کے ساتھ واقع ہیں۔ فرض کریں ایک سمتیہ A جو x-y مستوی میں واقع ہے جیسا کہ شکل 3.9(b) میں دکھایا گیا ہے۔ ہم A کے سر سے محدد محوروں کے عمود لکیریں کھینچتے ہیں جیسا کہ شکل 3.9(b) میں ہے، اور سمتیہ $\mathbf{A_1}$ اور $\mathbf{A_2}$ حاصل کرتے ہیں ایسے کہ $\mathbf{A_1} + \mathbf{A_2} = \mathbf{A}$۔ چونکہ $\mathbf{A_1}$ $\hat{\mathbf{i}}$ کے متوازی ہے اور $\mathbf{A_2}$ $\hat{\mathbf{j}}$ کے متوازی ہے، ہمارے پاس ہے:

شکل 3.9 (a) یکہ سمتیہ ɵ i , ɵ j اور ɵk x-, y-, اور z-محوروں کے ساتھ واقع ہیں۔ (b) ایک سمتیہ A کو اس کے مرکب Ax اور Ay میں تحلیل کیا گیا ہے جو x-, اور y- محوروں کے ساتھ ہیں۔ (c) A1 اور A2 کو ɵ i اور ɵ j کے لحاظ سے ظاہر کیا گیا ہے۔

$$ \begin{equation*} \mathbf{A} _{1}=A _{x} \hat{\mathbf{i}}, \mathbf{A} _{2}=A _{y} \hat{\mathbf{j}} \tag{3.11} \end{equation*} $$

جہاں $A_x$ اور $A_y$ حقیقی اعداد ہیں۔

اس طرح، $\quad \mathbf{A}=A_x \dot{\hat{\mathbf{i}}}+A_y \hat{\mathbf{j}}\quad \quad \quad (3.12)$

یہ شکل 3.9(c) میں ظاہر کیا گیا ہے۔ مقداریں $A_x$ اور $A_y$ کو سمتیہ A کے $x$-، اور $y$-مرکب کہتے ہیں۔ نوٹ کریں کہ $A_x$ خود کوئی سمتیہ نہیں ہے، لیکن $A_x \hat{\mathbf{i}}$ ایک سمتیہ ہے، اور اسی طرح $A_y \hat{\mathbf{j}}$ بھی ہے۔ سادہ مثلثیات استعمال کرتے ہوئے، ہم $A_x$ اور $A_y$ کو $\mathbf{A}$ کی مقدار اور زاویہ $\theta$ کے لحاظ سے ظاہر کر سکتے ہیں جو یہ $x$-محور کے ساتھ بناتا ہے:

$$ \begin{align*} & A _{x}=A \cos \theta \\ & A _{y}=A \sin \theta \tag{3.13} \end{align*} $$

جیسا کہ مساوات (3.13) سے واضح ہے، کسی سمتیہ کا مرکب $\theta$ کی قیمت پر منحصر ہو کر مثبت، منفی یا صفر ہو سکتا ہے۔

اب، ہمارے پاس ایک مستوی میں کسی سمتیہ $\mathbf{A}$ کو متعین کرنے کے دو طریقے ہیں۔ اسے متعین کیا جا سکتا ہے:

(i) اس کی مقدار $A$ اور سمت $\theta$ جو یہ $x$-محور کے ساتھ بناتا ہے؛ یا

(ii) اس کے مرکب $A_x$ اور $A_y$

اگر $\mathrm{A}$ اور $\theta$ دیے گئے ہوں، تو $A_x$ اور $A_y$ مساوات (3.13) استعمال کرتے ہوئے حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ اگر $A_x$ اور $A_y$ دیے گئے ہوں، تو $A$ اور $\theta$ اس طرح حاصل کیے جا سکتے ہیں:

$$ \begin{equation*} A _{x}^{2}+A _{y}^{2}=A^{2} \cos ^{2} \theta+A^{2} \sin ^{2} \theta=A^{2} \tag{3.14} \end{equation*} $$

یا، $ \quad \quad \quad A=\sqrt{A_x^2+A_y^2} \quad \quad \quad (3.14) $

اور $ \quad \quad \quad \tan \theta=\frac{A_y}{A_x}, \quad \theta=\tan ^{-1} \frac{A_y}{A_x} \quad \quad \quad (3.15) $

اب تک ہم نے ایک سمتیہ پر غور کیا ہے جو x-y مستوی میں واقع ہے۔ اسی طریقہ کار کا استعمال کرتے ہوئے ایک عمومی سمتیہ A کو تین ابعاد میں x-, y-, اور z-محوروں کے ساتھ تین مرکب میں تحلیل کیا جا سکتا ہے۔ اگر α, β, اور γ بالترتیب A اور x-, y-, اور z-محوروں کے درمیان زاویے ہیں [شکل 4.9(d)]، تو ہمارے پاس ہے

شکل 3.9 (d) ایک سمتیہ A کو x-, y-, اور z-محوروں کے ساتھ مرکب میں تحلیل کیا گیا ہے۔

$ \mathrm{A_x}=\mathrm{A} \cos \alpha, \mathrm{A_y}=\mathrm{A} \cos \beta, \mathrm{A_z}=\mathrm{A} \cos \gamma \quad\quad \text { (3.16a) } $

عام طور پر، ہمارے پاس ہے

$ \mathbf{A}=A_x \hat{\mathbf{i}}+A_y \hat{\mathbf{j}}+A_z \hat{\mathbf{k}} \quad\quad \text { (3.16b) } $

سمتیہ $\mathbf{A}$ کی مقدار ہے

$ A=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2} \quad\quad \text { (3.16c) } $

ایک مقامی سمتیہ $\mathbf{r}$ کو اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے

$ \mathbf{r}=x \hat{\mathbf{i}}+y \hat{\mathbf{j}}+z \hat{\mathbf{k}} \quad\quad \text { (3.17) } $

جہاں $x, y$, اور $z$ بالترتیب $\mathbf{r}$ کے مرکب ہیں جو $x-, y-, z$-محوروں کے ساتھ ہیں۔

3.6 سمتیہ جمع - تجزیاتی طریقہ

اگرچہ سمتیوں کو جمع کرنے کا گرافیکی طریقہ ہمیں سمتیوں اور حاصل سمتیہ کو تصور کرنے میں مدد دیتا ہے، یہ کبھی کبھی طویل اور محدود درستگی رکھتا ہے۔ سمتیوں کو ان کے متعلقہ مرکب ملا کر جمع کرنا کہیں آسان ہے۔ فرض کریں دو سمتیہ $\mathbf{A}$ اور $\mathbf{B}$ $x-y$ مستوی میں ہیں جن کے مرکب $A_x, A_y$ اور $B_x, B_y$ ہیں:

$ \mathbf{A}=A_x \hat{\mathbf{i}}+A_y \hat{\mathbf{j}} \quad\quad \text { (3.18) } $

$ \mathbf{B}=B_x \hat{\mathbf{i}}+B_y \hat{\mathbf{j}} $

فرض کریں $\mathbf{R}$ ان کا مجموعہ ہے۔ ہمارے پاس ہے

$ \begin{aligned} \mathbf{R} & =\mathbf{A}+\