5.1 تعارف

روزمرہ کی زبان میں ‘کام’، ‘توانائی’ اور ‘طاقت’ کے الفاظ کثرت سے استعمال ہوتے ہیں۔ کھیت میں ہل چلانے والا کسان، اینٹیں اٹھانے والا تعمیراتی مزدور، مقابلے کے امتحان کی تیاری کرنے والا طالب علم، خوبصورت منظر نامہ بنانے والا فنکار، سب کے بارے میں کہا جاتا ہے کہ وہ کام کر رہے ہیں۔ تاہم، طبیعیات میں ‘کام’ کا لفظ ایک واضح اور مخصوص مفہوم رکھتا ہے۔ جو شخص دن میں 14-16 گھنٹے کام کرنے کی صلاحیت رکھتا ہے، اس کے بارے میں کہا جاتا ہے کہ اس میں بڑی قوت برداشت یا توانائی ہے۔ ہم لمبی دوڑ کی کھلاڑی کی قوت برداشت یا توانائی کی تعریف کرتے ہیں۔ اس طرح توانائی ہمارے کام کرنے کی صلاحیت ہے۔ طبیعیات میں بھی ‘توانائی’ کی اصطلاح اسی مفہوم میں کام سے متعلق ہے، لیکن جیسا کہ اوپر کہا گیا ہے، ‘کام’ کی اصطلاح خود بہت زیادہ واضح طور پر تعریف کی گئی ہے۔ ‘طاقت’ کا لفظ روزمرہ کی زندگی میں مختلف معنوں میں استعمال ہوتا ہے۔ کراٹے یا باکسنگ میں ہم ‘طاقتور’ مکوں کے بارے میں بات کرتے ہیں۔ یہ بہت زیادہ رفتار سے لگائے جاتے ہیں۔ اس مفہوم کا رنگ طبیعیات میں استعمال ہونے والے لفظ ‘طاقت’ کے معنی کے قریب ہے۔ ہم دیکھیں گے کہ طبیعیاتی تعریفات اور ان اصطلاحات کے ذریعے ہمارے ذہنوں میں بننے والی جسمانی تصویروں کے درمیان بہترین صورت میں ایک ڈھیلی سی مطابقت ہوتی ہے۔ اس باب کا مقصد ان تین طبیعیاتی مقداریوں کی سمجھ پیدا کرنا ہے۔ اس کام پر آگے بڑھنے سے پہلے، ہمیں ایک ریاضیاتی شرط تیار کرنے کی ضرورت ہے، یعنی دو سمتیوں کا عددی حاصل ضرب۔

5.1.1 عددی حاصل ضرب

ہم نے باب 3 میں سمتیوں اور ان کے استعمال کے بارے میں سیکھا ہے۔ جیسے کہ جابجائی، سمتار، اسراع، قوت وغیرہ طبیعیاتی مقداریں سمتیہ ہیں۔ ہم نے یہ بھی سیکھا ہے کہ سمتیوں کو کیسے جمع یا تفریق کیا جاتا ہے۔ اب ہمیں یہ جاننے کی ضرورت ہے کہ سمتیوں کو کیسے ضرب دی جاتی ہے۔ سمتیوں کو ضرب دینے کے دو طریقے ہیں جن سے ہمارا سامنا ہوگا: ایک طریقہ جسے عددی حاصل ضرب کہتے ہیں، دو سمتیوں سے ایک عددی مقدار دیتا ہے اور دوسرا طریقہ جسے سمتیہ حاصل ضرب کہتے ہیں، دو سمتیوں سے ایک نیا سمتیہ پیدا کرتا ہے۔ ہم سمتیہ حاصل ضرب پر باب 6 میں نظر ڈالیں گے۔ یہاں ہم دو سمتیوں کے عددی حاصل ضرب کو لیتے ہیں۔ دو سمتیوں A اور B کے عددی حاصل ضرب یا نقطہ حاصل ضرب، جسے A.B سے ظاہر کیا جاتا ہے (پڑھیں $\mathbf{A} \operatorname{dot} \mathbf{B}$) اس طرح تعریف کیا جاتا ہے

$$ \begin{equation*} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=A B \cos \theta \tag{5.1a} \end{equation*} $$

یہاں $\theta$ دو سمتیوں کے درمیان زاویہ ہے جیسا کہ شکل 5.1(a) میں دکھایا گیا ہے۔ چونکہ $A, B$ اور $\cos \theta$ عددی مقداریں ہیں، اس لیے $\mathbf{A}$ اور $\mathbf{B}$ کا نقطہ حاصل ضرب ایک عددی مقدار ہے۔ ہر سمتیہ، $\mathbf{A}$ اور $\mathbf{B}$، کی ایک سمت ہوتی ہے لیکن ان کے عددی حاصل ضرب کی کوئی سمت نہیں ہوتی۔

مساوات (5.1a) سے، ہمارے پاس ہے

$$ \begin{aligned} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} & =A(B \cos \theta) \\ & =B(A \cos \theta) \end{aligned} $$

ہندسی طور پر، $B \cos \theta$، شکل 5.1 (b) میں $\mathbf{B}$ کی $\mathbf{A}$ پر شاخص (projection) ہے اور $A \cos \theta$، شکل 5.1 (c) میں $\mathbf{A}$ کی $\mathbf{B}$ پر شاخص ہے۔ لہذا، A.B، $\mathbf{A}$ کے مقدار اور A کے ساتھ $\mathbf{B}$ کے جزو کا حاصل ضرب ہے۔ متبادل طور پر، یہ $\mathbf{B}$ کے مقدار اور $\mathbf{A}$ کے $\mathbf{B}$ کے ساتھ جزو کا حاصل ضرب ہے۔

مساوات (5.1a) سے ظاہر ہوتا ہے کہ عددی حاصل ضرب مبادلہ قانون کی پیروی کرتا ہے:

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}$

عددی حاصل ضرب تقسیمی قانون کی پیروی کرتا ہے:

$\mathbf{A} \cdot(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}+\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}$

مزید برآں، $\quad \mathbf{A} \cdot(\lambda \mathbf{B})=\lambda(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})$

جہاں $\lambda$ ایک حقیقی عدد ہے۔

مذکورہ بالا مساواتوں کے ثبوت آپ کے لیے مشق کے طور پر چھوڑے گئے ہیں۔

یکائی سمتیوں $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}$ کے لیے ہمارے پاس ہے

$$ \begin{aligned} & \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=1 \\ & \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=0 \end{aligned} $$

دو سمتیے دیے گئے ہیں

$$ \begin{aligned} & \mathbf{A}=A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}} \\ & \mathbf{B}=B_{x} \hat{\mathbf{i}}+B_{y} \hat{\mathbf{j}}+B_{z} \hat{\mathbf{k}} \end{aligned} $$

ان کا عددی حاصل ضرب ہے

$$ \begin{align*} & \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\left(A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \cdot\left(B_{x} \hat{\mathbf{i}}+B_{y} \hat{\mathbf{j}}+B_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \\ & =A_{x} B_{x}+A_{y} B_{y}+A_{z} B_{z} \tag{5.1b} \end{align*} $$

عددی حاصل ضرب کی تعریف اور (مساوات 5.1b) سے ہمارے پاس ہے:

$$ \begin{equation*} \text{(i)} \quad \quad \quad \quad \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}=A_{x} A_{x}+A_{y} A_{y}+A_{z} A_{z} \end{equation*} $$

$$\text{Or, } \quad\quad\quad\quad A^{2}=A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2} \tag{5.1c}$$

چونکہ $\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}=|\mathbf{A}||\mathbf{A}| \cos 0=A^{2}$۔

(ii) $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=0$، اگر $\mathbf{A}$ اور $\mathbf{B}$ باہم عمود ہوں۔

مثال 5.1 قوت $\mathbf{F}=(3 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}-5 \hat{\mathbf{k}})$ اکائی اور جابجائی $\mathbf{d}=(5 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}})$ اکائی کے درمیان زاویہ معلوم کریں۔ نیز $\mathbf{F}$ کی $\mathbf{d}$ پر شاخص معلوم کریں۔

جواب $\mathbf{F} \cdot \mathbf{d}=F_{x} d_{x}+F_{y} d_{y}+F_{z} d_{z}$

$$ \begin{aligned} & =3(5)+4(4)+(-5)(3) \\ & =16 \text { unit } \end{aligned} $$

لہذا $\mathbf{F} \cdot \mathbf{d}=F d \cos \theta=16$ اکائی

اب $\mathbf{F} \cdot \mathbf{F}$ $$ =F^{2}=F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2} $$

$$ \begin{aligned} & =9+16+25 \\ & =50 \text { unit } \end{aligned} $$

اور $\mathbf{d} \cdot \mathbf{d} \quad=d^{2}=d_{x}^{2}+d_{y}^{2}+d_{z}^{2}$

$$ =25+16+9 $$

$$ =50 \text { unit } $$

$\therefore \cos \theta=\frac{16}{\sqrt{50} \sqrt{50}}=\frac{16}{50}=0.32$,

$\theta=\cos ^{-1} 0.32$

شکل 5.1 (a) دو سمتیوں A اور B کا عددی حاصل ضرب ایک عددی مقدار ہے: A.B = A B cos θ. (b) B cos θ، B کی A پر شاخص ہے۔ (c) A cos θ، A کی B پر شاخص ہے۔

5.2 کام اور حرکی توانائی کے تصورات: کام-توانائی قضیہ

باب 3 میں مستقل اسراع $a$ کے تحت خطی حرکت کے لیے درج ذیل تعلق کا سامنا ہوا ہے،

$$ \begin{equation*} v^{2}-u^{2}=2 a s \tag{5.2} \end{equation*} $$

جہاں $u$ اور $v$ ابتدائی اور آخری رفتار ہیں اور $s$ طے شدہ فاصلہ ہے۔ دونوں اطراف کو $m / 2$ سے ضرب دینے پر، ہمارے پاس ہے

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m u^{2}=m a s=F s \tag{5.2a} \end{equation*} $$

جہاں آخری مرحلہ نیوٹن کے دوسرے قانون سے اخذ ہوتا ہے۔ ہم مساوات (5.2) کو سمتیوں کا استعمال کرتے ہوئے تین جہتوں میں تعمیم کر سکتے ہیں

$$ v^{2}-u^{2}=2 \text { a.d } $$

یہاں $\mathbf{a}$ اور $\mathbf{d}$ بالترتیب شے کے اسراع اور جابجائی کے سمتیہ ہیں۔ ایک بار پھر دونوں اطراف کو $\mathrm{m} / 2$ سے ضرب دینے پر، ہم حاصل کرتے ہیں

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m u^{2}=m \mathbf{a} \cdot \mathbf{d}=\mathbf{F} . \mathbf{d} \tag{5.2b} \end{equation*} $$

مذکورہ بالا مساوات کام اور حرکی توانائی کی تعریفوں کے لیے تحریک فراہم کرتی ہے۔ مساوات کا بائیں طرف ‘آدھے کمیت ضرب رفتار کے مربع’ کی مقدار میں اس کی ابتدائی قدر سے اس کی آخری قدر تک کا فرق ہے۔ ہم ان میں سے ہر مقدار کو ‘حرکی توانائی’ کہتے ہیں، جسے $K$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ دائیں طرف جابجائی اور جابجائی کی سمت میں قوت کے جزو کا حاصل ضرب ہے۔ اس مقدار کو ‘کام’ کہا جاتا ہے اور اسے W سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ مساوات (5.2b) پھر ہے

$$ \begin{equation*} K_{f}-K_{i}=W \tag{5.3} \end{equation*} $$

جہاں $K_{i}$ اور $K_{f}$ بالترتیب شے کی ابتدائی اور آخری حرکی توانائیاں ہیں۔ کام قوت اور اس جابجائی سے مراد ہے جس پر وہ عمل کرتی ہے۔ کام ایک قوت کے ذریعے جسم پر ایک مخصوص جابجائی پر کیا جاتا ہے۔

مساوات (5.2) کام-توانائی (WE) قضیہ کی بھی ایک خاص صورت ہے: ایک ذرہ کی حرکی توانائی میں تبدیلی اس پر خالص قوت کے ذریعے کئے گئے کام کے برابر ہوتی ہے۔ ہم مذکورہ بالا اخذ کو بعد کے حصے میں ایک متغیر قوت کے لیے تعمیم کریں گے۔

مثال 5.2 یہ بات معلوم ہے کہ بارش کا قطرہ نیچے کی طرف ثقلی قوت اور مخالف مزاحمتی قوت کے زیر اثر گرتا ہے۔ یہ معلوم ہے کہ مؤخر الذکر قطرہ کی رفتار کے متناسب ہوتی ہے لیکن دوسری صورت میں غیر معین ہوتی ہے۔ کمیت $1.00 \mathrm{~g}$ کے ایک قطرے پر غور کریں جو بلندی $1.00 \mathrm{~km}$ سے گر رہا ہے۔ یہ زمین سے $50.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ کی رفتار سے ٹکراتا ہے۔ (a) ثقلی قوت کے ذریعے کیا کام ہوا؟ نامعلوم مزاحمتی قوت کے ذریعے کیا کام ہوا؟

جواب (a) قطرہ کی حرکی توانائی میں تبدیلی ہے

$$ \begin{aligned} & \Delta K=\frac{1}{2} m v^{2}-0 \\ & =\frac{1}{2} \times 10^{-3} \times 50 \times 50 \\ & =1.25 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

جہاں ہم نے فرض کیا ہے کہ قطرہ ابتداء میں ساکن ہے۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ $g$ ایک مستقل مقدار ہے جس کی قدر $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ ہے، ثقلی قوت کے ذریعے کیا گیا کام ہے،

$$ \begin{aligned} W_{g} & =m g h \\ & =10^{-3} \times 10 \times 10^{3} \\ & =10.0 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

(b) کام-توانائی قضیہ سے

$$ \Delta K=W_{g}+W_{r} $$

جہاں $W_{r}$ بارش کے قطرے پر مزاحمتی قوت کے ذریعے کیا گیا کام ہے۔ اس طرح

$$ \begin{aligned} W_{r} & =\Delta K-W_{g} \\ & =1.25-10 \\ & =-8.75 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

منفی ہے۔

5.3 کام

جیسا کہ پہلے دیکھا گیا، کام قوت اور اس جابجائی سے متعلق ہے جس پر وہ عمل کرتی ہے۔ ایک مستقل قوت $\mathbf{F}$ پر غور کریں جو کمیت $m$ کے ایک جسم پر عمل کر رہی ہے۔ جسم جابجائی $\mathbf{d}$ سے مثبت $x$-سمت میں گزرتا ہے جیسا کہ شکل 5.2 میں دکھایا گیا ہے۔

شکل 5.2 ایک جسم قوت F کے زیر اثر جابجائی d سے گزرتا ہے۔

قوت کے ذریعے کئے گئے کام کی تعریف جابجائی کی سمت میں قوت کے جزو اور اس جابجائی کے مقدار کے حاصل ضرب کے طور پر کی جاتی ہے۔ اس طرح

$$ \begin{equation*} W=(F \cos \theta) d=\mathbf{F} \cdot \mathbf{d} \tag{5.4} \end{equation*} $$

ہم دیکھتے ہیں کہ اگر کوئی جابجائی نہیں ہے، تو کوئی کام نہیں ہوتا چاہے قوت کتنی ہی بڑی کیوں نہ ہو۔ اس طرح، جب آپ ایک سخت اینٹ کی دیوار کے خلاف زور سے دھکیلتے ہیں، تو دیوار پر آپ کی لگائی گئی قوت کوئی کام نہیں کرتی۔ پھر بھی آپ کے پٹھے متبادل طور پر سکڑ رہے ہیں اور ڈھیلے ہو رہے ہیں اور اندرونی توانائی استعمال ہو رہی ہے اور آپ تھک جاتے ہیں۔ اس طرح، طبیعیات میں کام کا مطلب روزمرہ کی زبان میں اس کے استعمال سے مختلف ہے۔

کوئی کام نہیں ہوتا اگر:

(i) جابجائی صفر ہو جیسا کہ اوپر کی مثال میں دیکھا گیا ہے۔ ایک ویٹ لفٹر جو $\mathrm{kg}$ کے بوجھ کو $30 \mathrm{~s}$ تک اپنے کندھے پر مستقل طور پر تھامے رہتا ہے، اس وقت کے دوران بوجھ پر کوئی کام نہیں کرتا۔

(ii) قوت صفر ہو۔ ایک ہموار افقی میز پر حرکت کرنے والا بلاک کسی افقی قوت کے زیر اثر نہیں ہوتا (کیونکہ کوئی رگڑ نہیں ہے)، لیکن ایک بڑی جابجائی سے گزر سکتا ہے۔

(iii) قوت اور جابجائی باہم عمود ہوں۔ ایسا اس لیے ہے کیونکہ، $\theta=\pi / 2 \mathrm{rad}$ کے لیے $\left(=90^{\circ}\right), \cos (\pi / 2)=0$۔ ہموار افقی میز پر حرکت کرنے والے بلاک کے لیے، ثقلی قوت $m g$ کوئی کام نہیں کرتی کیونکہ یہ جابجائی کے دائیں زاویوں پر عمل کرتی ہے۔ اگر ہم فرض کریں کہ چاند کا زمین کے گرد مدار بالکل گول ہے تو زمین کی ثقلی قوت کوئی کام نہیں کرتی۔ چاند کی فوری جابجائی مماسی ہے جبکہ زمین کی قوت شعاعی طور پر اندر کی طرف ہے اور $\theta=\pi / 2$۔

کام مثبت اور منفی دونوں ہو سکتا ہے۔ اگر $\theta$، $0^{\circ}$ اور $90^{\circ}, \cos \theta$ کے درمیان ہے تو مساوات (5.4) میں مثبت ہے۔ اگر $\theta$، $90^{\circ}$ اور $180^{\circ}, \cos \theta$ کے درمیان ہے تو منفی ہے۔ بہت سی مثالوں میں رگڑ کی قوت جابجائی کی مخالفت کرتی ہے اور $\theta=180^{\circ}$۔ پھر رگڑ کے ذریعے کیا گیا کام منفی ہوتا ہے $\left(\cos 180^{\circ}=-1\right)$۔

مساوات (5.4) سے واضح ہے کہ کام اور توانائی کے ایک ہی ابعاد ہیں، $\left[\mathrm{ML}^{2} \mathrm{~T}^{-2}\right]$۔ ان کی ایس آئی اکائی جوول (J) ہے، جس کا نام مشہور برطانوی طبیعیات دان جیمز پریسکوٹ جوول (1811-1869) کے نام پر رکھا گیا ہے۔ چونکہ کام اور توانائی بطور طبیعی تصورات بہت وسیع پیمانے پر استعمال ہوتے ہیں، اس لیے متبادل اکائیاں بہت ہیں اور ان میں سے کچھ جدول 5.1 میں درج ہیں۔

جدول 5.1 کام/توانائی کی متبادل اکائیاں $\mathrm{J}$ میں

مثال 5.3 ایک سائیکل سوار $10 \mathrm{~m}$ میں پھسل کر رک جاتا ہے۔ اس عمل کے دوران، سڑک کی وجہ سے سائیکل پر قوت $200 \mathrm{~N}$ ہے اور براہ راست حرکت کی مخالفت کرتی ہے۔ (a) سڑک سائیکل پر کتنا کام کرتی ہے؟ (b) سائیکل سڑک پر کتنا کام کرتی ہے؟

جواب سڑک کے ذریعے سائیکل پر کیا گیا کام، سڑک کی وجہ سے سائیکل پر رکاوٹ (رگڑ) قوت کے ذریعے کیا گیا کام ہے۔

(a) رکاوٹ قوت اور جابجائی ایک دوسرے کے ساتھ $180^{\circ}$ ( $\pi \mathrm{rad}$) کا زاویہ بناتی ہیں۔ اس طرح، سڑک کے ذریعے کیا گیا کام،

$$ \begin{aligned} W_{r} & =F d \cos \theta \\ & =200 \times 10 \times \cos \pi \\ & =-2000 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

یہی منفی کام WE قضیہ کے مطابق سائیکل کو رکاوٹ پر لاتا ہے۔

(b) نیوٹن کے تیسرے قانون کے مطابق سائیکل کی وجہ سے سڑک پر ایک مساوی اور مخالف قوت عمل کرتی ہے۔ اس کا مقدار 200 N ہے۔ تاہم، سڑک کوئی جابجائی نہیں کرتی۔ اس طرح، سائیکل کے ذریعے سڑک پر کیا گیا کام صفر ہے۔

مثال 5.3 کا سبق یہ ہے کہ اگرچہ جسم A پر جسم $\mathrm{B}$ کے ذریعے لگائی گئی قوت ہمیشہ B پر A کے ذریعے لگائی گئی قوت کے مساوی اور مخالف ہوتی ہے (نیوٹن کا تیسرا قانون)؛ لیکن A پر B کے ذریعے کیا گیا کام ضروری نہیں کہ $\mathrm{B}$ پر $\mathrm{A}$ کے ذریعے کئے گئے کام کے مساوی اور مخالف ہو۔

5.4 حرکی توانائی

جیسا کہ پہلے بتایا گیا، اگر کمیت $m$ کے کسی جسم کی سمتار $\mathbf{v}$ ہے، تو اس کی حرکی توانائی $K$ ہے

$$ \begin{equation*} K=\frac{1}{2} m \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}=\frac{1}{2} m v^{2} \tag{5.5} \end{equation*} $$

جدول 5.2 عام حرکی توانائیاں (K)

حرکی توانائی ایک عددی مقدار ہے۔ کسی جسم کی حرکی توانائی اس کام کی پیمائش ہے جو ایک جسم اپنی حرکت کی وجہ سے کر سکتا ہے۔ یہ تصور طویل عرصے سے فطری طور پر جانا جاتا رہا ہے۔ تیز بہتے ہوئے ندی کی حرکی توانائی کا استعمال اناج پیسنے کے لیے کیا جاتا رہا ہے۔ بادبانی جہاز ہوا کی حرکی توانائی کا استعمال کرتے ہیں۔ جدول 5.2 مختلف اشیاء کے لیے حرکی توانائیاں درج کرتا ہے۔

مثال 5.4 ایک بیلسٹکس مظاہرے میں ایک پولیس افسر کمیت $50.0 \mathrm{~g}$ کی گولی کو رفتار $200 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ (جدول 5.2 دیکھیں) سے نرم پلائی ووڈ کی موٹائی $2.00 \mathrm{~cm}$ پر فائر کرتا ہے۔ گولی اپنی ابتدائی حرکی توانائی کا صرف $10 \%$ حصہ لے کر نکلتی ہے۔ گولی کی نکلنے والی رفتار کیا ہے؟

جواب گولی کی ابتدائی حرکی توانائی $m v^{2} / 2=1000 \mathrm{~J}$ ہے۔ اس کی آخری حرکی توانائی $0.1 \times 1000=100 \mathrm{~J}$ ہے۔ اگر $v_{f}$ گولی کی نکلنے والی رفتار ہے،

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} m v_{f}^{2}=100 \mathrm{~J} \\ & v_{f}=\sqrt{\frac{2 \times 100 \mathrm{~J}}{0.05 \mathrm{~kg}}} \\ & \quad=63.2 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

رفتار تقریباً $68 \%$ کم ہو جاتی ہے (90 فیصد نہیں)۔

5.5 متغیر قوت کے ذریعے کیا گیا کام

مستقل قوت نایاب ہوتی ہے۔ یہ متغیر قوت ہے، جو زیادہ عام طور پر سامنے آتی ہے۔ شکل 5.3 ایک جہت میں ایک متغیر قوت کا خاکہ ہے۔

اگر جابجائی $\Delta x$ چھوٹی ہے، تو ہم قوت $F(x)$ کو تقریباً مستقل سمجھ سکتے ہیں اور پھر کیا گیا کام ہے

$$ \Delta W=F(x) \Delta x $$

یہ شکل 5.3(a) میں دکھایا گیا ہے۔ شکل 5.3(a) میں مسلسل مستطیلی رقبوں کو جوڑ کر ہم کل کئے گئے کام کو حاصل کرتے ہیں

$$ \begin{equation*} W \cong \sum_{x_{i}}^{x_{f}} F(x) \Delta x \tag{5.6} \end{equation*} $$

جہاں جمع ابتدائی مقام $x_{i}$ سے آخری مقام $x_{f}$ تک ہے۔

اگر جابجائیوں کو صفر کے قریب آنے دیا جائے، تو مجموعے میں شرائط کی تعداد بغیر حد کے بڑھ جاتی ہے، لیکن مجموعہ شکل 5.3(b) میں منحنی کے نیچے کے رقبے کے برابر ایک واضح قدر کے قریب پہنچ جاتا ہے۔ پھر کیا گیا کام ہے

$$W =\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \sum_{x_{i}}^{x_{f}} F(x) \Delta x$$

$$=\int\limits_{x_i}^{x_f} F(x) \mathrm{d} x \tag{5.7}$$

جہاں ’lim’ مجموعہ کی حد کے لیے کھڑا ہے جب $\Delta x$ صفر کی طرف جاتا ہے۔ اس طرح، ایک متغیر قوت کے لیے کئے گئے کام کو جابجائی پر قوت کے قطعی تکامل کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے (ضمیمہ 3.1 بھی دیکھیں)۔

شکل 5.3(a)

شکل 5.3 (a) سایہ دار مستطیل متغیر قوت F(x) کے ذریعے چھوٹی جابجائی ∆x پر کئے گئے کام کی نمائندگی کرتا ہے، ∆W = F(x) ∆x. (b) تمام مستطیلوں کے رقبوں کو جوڑ کر ہم پاتے ہیں کہ ∆x → 0 کے لیے، منحنی کے نیچے کا رقبہ بالکل F(x) کے ذریعے کئے گئے کام کے برابر ہے۔

مثال 5.5 ایک عورت ریلوے پلیٹ فارم پر ایک صندھی کو دھکیلتی ہے جس کی سطح کھردری ہے۔ وہ $100 \mathrm{~N}$ کی قوت $10 \mathrm{~m}$ کے فاصلے پر لگاتی ہے۔ اس کے بعد، وہ بتدریج تھک جاتی ہے اور اس کی لگائی گئی قوت فاصلے کے ساتھ خطی طور پر کم ہو کر $50 \mathrm{~N}$ ہو جاتی ہے۔ کل فاصلہ جس کے ذریعے صندھی کو منتقل کیا گیا ہے $20 \mathrm{~m}$ ہے۔ عورت کے ذریعے لگائی گئی قوت اور رگڑ کی قوت، جو $50 \mathrm{~N}$ ہے، کو جابجائی کے خلاف پلاٹ کریں۔ $20 \mathrm{~m}$ پر دونوں قوتوں کے ذریعے کئے گئے کام کا حساب لگائیں۔

جواب

شکل 5.4 عورت کے ذریعے لگائی گئی قوت F اور مخالف رگڑ قوت f کا جابجائی کے خلاف پلاٹ۔

لگائی گئی قوت کا پلاٹ شکل 5.4 میں دکھایا گیا ہے۔ $x=20 \mathrm{~m}, F=50 \mathrm{~N}(\neq 0)$ پر۔ ہمیں دیا گیا ہے کہ رگڑ قوت $f$، $|\mathbf{f}|=50 \mathrm{~N}$ ہے۔ یہ حرکت کی مخالفت کرتی ہے اور $\mathbf{F}$ کی مخالف سمت میں عمل کرتی ہے۔ اس لیے، اسے قوت محور کے منفی طرف دکھایا گیا ہے۔

عورت کے ذریعے کیا گیا کام ہے

$W_{F} \rightarrow$ مستطیل $\mathrm{ABCD}+$ کا رقبہ ذوزنقہ CEID کا رقبہ

$$ \begin{aligned} & W_{F}=100 \times 10+\frac{1}{2}(100+50) \times 10 \\ & =1000+750 \\ & \quad=1750 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

رگڑ قوت کے ذریعے کیا گیا کام ہے

$W_{f} \rightarrow$ مستطیل AGHI کا رقبہ

$$ \begin{aligned} W_{f} & =(-50) \times 20 \\ & =-1000 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

قوت محور کے منفی طرف کے رقبے کا منفی علامت ہے۔

5.6 متغیر قوت کے لیے کام-توانائی قضیہ

اب ہم کام اور حرکی توانائی کے تصورات سے واقف ہیں تاکہ متغیر قوت کے لیے کام-توانائی قضیہ ثابت کیا جا سکے۔ ہم خود کو ایک جہت تک محدود رکھتے ہیں۔ حرکی توانائی کی وقت کی شرح تبدیلی ہے

$$ \frac{\mathrm{d} K}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{1}{2} m v^{2} $$ $$ \begin{aligned} & =m \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} v \\ & =F v\text { (from Newton’s Second Law) } \\ & =F \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} \end{aligned} $$

اس طرح

$$ \mathrm{d} K=F \mathrm{~d} x $$

ابتدائی مقام $\left(x_{i}\right)$ سے آخری مقام $\left(x_{f}\right.$ تک تکامل کرنے پر، ہمارے پاس ہے

$$ \int_{K_{i}}^{K_{f}} \mathrm{~d} K=\int_{x_{i}}^{x_{f}} F \mathrm{~d} x $$

جہاں، $K_{i}$ اور $K_{f}$ بالترتیب ابتدائی اور آخری حرکی توانائیاں ہیں جو $x_{i}$ اور $x_{\mathrm{f}}$ سے مطابقت رکھتی ہیں۔

$$ \begin{equation*} \text { or } \quad K_{f}-K_{i}=\int_{x_{i}}^{x_{f}} F \mathrm{~d} x \tag{5.8a} \end{equation*} $$

مساوات (5.7) سے، یہ ظاہر ہوتا ہے کہ

$$ \begin{equation*} K_{f}-K_{i}=W \tag{5.8b} \end{equation*} $$

اس طرح، WE قضیہ متغیر قوت کے لیے ثابت ہوتا ہے۔

اگرچہ WE قضیہ مختلف مسائل میں مفید ہے، یہ عام طور پر نیوٹن کے دوسرے قانون کی مکمل حرکیاتی معلومات کو شامل نہیں کرتا۔ یہ نیوٹن کے دوسرے قانون کی تکاملاتی شکل ہے۔ نیوٹن کا دوسرا قانون کسی بھی لمحے اسراع اور قوت کے درمیان تعلق ہے۔ کام-توانائی قضیہ وقت کے وقفے پر ایک تکامل شامل کرتا ہے۔ اس معنی میں، نیوٹن کے دوسرے قانون کے بیان میں موجود زمانی (وقت) کی معلومات ‘پر تکامل شدہ’ ہیں اور صریح طور پر دستیاب نہیں ہیں۔ ایک اور مشاہدہ یہ ہے کہ دو یا تین جہتوں کے لیے نیوٹن کا دوسرا قانون سمتیہ شکل میں ہے جبکہ کام-توانائی قضیہ عددی شکل میں ہے۔ عددی شکل میں، نیوٹن کے دوسرے قانون میں موجود سمتوں کے حوالے سے معلومات موجود نہیں ہیں۔

مثال 5.6 کمیت $m=1 \mathrm{~kg}$ کا ایک بلاک، افقی سطح پر رفتار $V_{i}=2 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ سے حرکت کرتے ہوئے ایک کھردرے پیچ میں داخل ہوتا ہے جو $X=0.10 \mathrm{~m}$ سے $X=2.01 \mathrm{~m}$ تک ہے۔ اس رینج میں بلاک پر رکاوٹ قوت $F_{r}$ اس رینج میں $x$ کے معکوس متناسب ہے،

$F_{r}=\frac{-k}{x}$ کے لیے $0.1<x<2.01 \mathrm{~m}$

$=0$ کے لیے $x<0.1 \mathrm{~m}$ اور $x>2.01 \mathrm{~m}$

جہاں $k=0.5 \mathrm{~J}$۔ جب یہ بلاک اس پیچ کو عبور کرتا ہے تو اس کی آخری حرکی توانائی اور رفتار $v_{f}$ کیا ہے؟

جواب مساوات (5.8a) سے

$$ \begin{aligned} K _{f} & =K _{i}+\int _{0.1}^{2.01} \frac{(-k)}{x} \mathrm{~d} x \\ & =\frac{1}{2} m v _{i}^{2}-\left.k \ln (x)\right| _{0.1} ^{2.01} \\ & =\frac{1}{2} m v _{i}^{2}-k \ln (2.01 / 0.1) \\ = & 2-0.5 \ln (20.1) \\ = & -1.5=0.5 \mathrm{~J} \\ \end{aligned}$$

$$ \begin{aligned} v _{f} & =\sqrt{2 K _{f} / m}=1 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

یہاں، نوٹ کریں کہ $\ln$ قدرتی لوگارتھم کے لیے ایک علامت ہے جس کی بنیاد $e$ ہے نہ کہ بنیاد $10\left[\ln X=\log _{e} X=2.303 \log _{10} X\right]$ کے لوگارتھم کے لیے۔

5.7 سمجھوتہ توانائی کا تصور

لفظ سمجھوتہ امکان یا عمل کی صلاحیت کی طرف اشارہ کرتا ہے۔ سمجھوتہ توانائی کی اصطلاح ذہن میں ‘ذخیرہ شدہ’ توانائی لاتی ہے۔ ایک تنا ہوا کمان کی ڈوری میں سمجھوتہ توانائی ہوتی ہے۔ جب اسے چھوڑا جاتا ہے، تو تیر بہت تیزی سے اڑ جاتا ہے۔ زمین کی پرت یکساں نہیں ہے، بلکہ اس میں عدم تسلسل اور بے ترتیبیاں ہیں جنہیں فالٹ لائنز کہا جاتا ہے۔ زمین کی پرت میں یہ فالٹ لائنیں ‘دبے ہوئے سپرنگز’ کی طرح ہیں۔ ان میں سمجھوتہ توانائی کی ایک بڑی مقدار ہوتی ہے۔ زلزلہ اس وقت آتا ہے جب یہ فالٹ لائنیں دوبارہ ترتیب پاتی ہیں۔ اس طرح، سمجھوتہ توانائی جسم کی پوزیشن یا ترتیب کے باعث ‘ذخیرہ شدہ توانائی’ ہے۔ جسم کو اپنے حال پر چھوڑ دیا جائے تو یہ ذخیرہ شدہ توانائی حرکی توانائی کی شکل میں خارج کرتا ہے۔ آئیے سمجھوتہ توانائی کے اپنے تصور کو مزید ٹھوس بنائیں۔

کمیت $m$ کی گیند پر ثقلی قوت $m g$ ہے۔ g کو زمین کی سطح کے قریب ایک مستقل سمجھا جا سکتا ہے۔ ‘قریب’ سے ہمارا مطلب ہے کہ زمین کی سطح سے گیند کی بلندی $h$ زمین کے رداس $R_{E}\left(h«R_{E}\right)$ کے مقابلے میں بہت کم ہے تاکہ ہم زمین کی سطح کے قریب $g$ کی تغیر کو نظر انداز کر سکیں*۔ درج ذیل میں ہم نے اوپر کی سمت کو مثبت لیا ہے۔ آئیے گیند کو بلندی $h$ تک اٹھائیں۔ بیرونی ایجنسی کے ذریعے ثقلی قوت کے خلاف کیا گیا کام $m g h$ ہے۔ یہ کام سمجھوتہ توانائی کے طور پر ذخیرہ ہو جاتا ہے۔ کسی شے کی ثقلی سمجھوتہ توانائی، بلندی $h$ کے فنکشن کے طور پر، $V(h)$ سے ظاہر کی جاتی ہے اور یہ اس بلندی تک شے کو اٹھانے میں ثقلی قوت کے ذریعے کئے گئے کام کا منفی ہے۔

$$ V(h)=m g h $$

اگر $h$ کو متغیر کے طور پر لیا جائے، تو یہ آسانی سے دیکھا جا سکتا ہے کہ ثقلی قوت $F$، $V(h)$ کے $h$ کے ساتھ مشتق کے منفی کے برابر ہے۔ اس طرح،

$$ F=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} h} V(h)=-m g $$

منفی علامت ظاہر کرتی ہے کہ ثقلی قوت نیچے کی طرف ہے۔ جب چھوڑا جاتا ہے، تو گیند تیزی سے بڑھتی ہوئی رفتار سے نیچے آتی ہے۔ زمین سے ٹکرانے سے ٹھیک پہلے، اس کی رفتار حرکیاتی تعلق سے دی جاتی ہے،

$$ v^{2}=2 g h $$

یہ مساوات اس طرح لکھی جا سکتی ہے

$$ \frac{1}{2} m v^{2}=m g h $$

جو ظاہر کرتی ہے کہ بلندی $h$ پر شے کی ثقلی سمجھوتہ توانائی، جب شے کو چھوڑا جاتا ہے، زمین پر پہنچنے پر شے کی حرکی توانائی کے طور پر ظاہر ہوتی ہے۔

جسمانی طور پر، سمجھوتہ توانائی کا تصور صرف ان قوتوں کی کلاس پر لاگو ہوتا ہے جہاں قوت کے خلاف کیا گیا کام ‘ذخیرہ’ ہو جاتا ہے۔ جب بیرونی رکاوٹیں ہٹا دی جاتی ہ