7.1 تعارف

ہماری زندگی کے ابتدائی ایام میں ہی ہمیں تمام مادی اشیاء کے زمین کی طرف کھنچے جانے کے رجحان کا احساس ہو جاتا ہے۔ اوپر پھینکی گئی کوئی بھی چیز زمین کی طرف گرتی ہے، پہاڑی پر چڑھنا پہاڑی سے اترنے کے مقابلے میں کہیں زیادہ تھکا دینے والا ہوتا ہے، بادلوں سے بارش کے قطرے زمین کی طرف گرتے ہیں اور ایسے بہت سے دوسرے مظاہر ہیں۔ تاریخی طور پر یہ اطالوی طبیعیات دان گیلیلیو (1564-1642) تھا جس نے اس حقیقت کو تسلیم کیا کہ تمام اجسام، ان کے کمیتوں سے قطع نظر، زمین کی طرف ایک مستقل اسراع کے ساتھ اسراع پذیر ہوتے ہیں۔ کہا جاتا ہے کہ اس نے اس حقیقت کا عوامی مظاہرہ کیا۔ سچائی جاننے کے لیے، اس نے یقیناً ڈھلوان ہوائی طیاروں سے نیچے گرنے والے اجسام کے ساتھ تجربات کیے اور کشش ثقل کی وجہ سے اسراع کی ایک قدر حاصل کی جو بعد میں حاصل ہونے والی زیادہ درست قدر کے قریب ہے۔

ایک بظاہر غیر متعلقہ مظہر، ستاروں، سیاروں اور ان کی حرکت کا مشاہدہ ابتدائی زمانے سے ہی بہت سے ممالک میں توجہ کا مرکز رہا ہے۔ ابتدائی زمانے سے کیے گئے مشاہدات میں ان ستاروں کو تسلیم کیا گیا جو آسمان میں سال بہ سال اپنی پوزیشنوں میں بغیر تبدیلی کے ظاہر ہوتے تھے۔ زیادہ دلچسپ اشیاء سیارے ہیں جو ستاروں کے پس منظر کے خلاف باقاعدہ حرکتیں کرتے دکھائی دیتے ہیں۔ تقریباً 2000 سال پہلے بطلیموس کے پیش کردہ سیاروں کی حرکات کے لیے سب سے قدیم ریکارڈ ماڈل ایک ‘زمین مرکزی’ ماڈل تھا جس میں تمام آسمانی اشیاء، ستارے، سورج اور سیارے، سب زمین کے گرد گھومتے تھے۔ آسمانی اشیاء کے لیے ممکن حرکت صرف دائرے میں حرکت سمجھی جاتی تھی۔ مشاہدہ شدہ سیاروں کی حرکت کو بیان کرنے کے لیے بطلیموس نے حرکت کے پیچیدہ منصوبے پیش کیے۔ سیاروں کو ایسے دائرے میں حرکت کرتے ہوئے بیان کیا گیا تھا جن دائرے کے مراکز خود بڑے دائرے میں حرکت کر رہے تھے۔ اسی طرح کے نظریات ہندوستانی ماہرین فلکیات نے بھی تقریباً 400 سال بعد پیش کیے۔ تاہم، ایک زیادہ خوبصورت ماڈل جس میں سورج مرکز تھا جس کے گرد سیارے گھومتے تھے - ‘شمس مرکزی’ ماڈل - کا ذکر پہلے ہی آریہ بھٹ ( $5^{\text {th }}$ صدی عیسوی) نے اپنی تصنیف میں کیا تھا۔ ایک ہزار سال بعد، نکولس کوپرنیکس (1473-1543) نامی ایک پولش راہب نے ایک واضح ماڈل پیش کیا جس میں سیارے ایک مقررہ مرکزی سورج کے گرد دائرے میں حرکت کرتے تھے۔ اس کے نظریہ کو چرچ نے بدنام کیا، لیکن اس کے حامیوں میں قابل ذکر گیلیلیو تھا جسے اپنے عقائد کی وجہ سے ریاست کی طرف سے مقدمے کا سامنا کرنا پڑا۔

گیلیلیو کے ہم عصر ہی کے قریب قریب، ڈنمارک سے تعلق رکھنے والے ٹائکو براہی (1546-1601) نامی ایک نواب نے اپنی پوری زندگی سیاروں کے ننگی آنکھ سے مشاہدات ریکارڈ کرنے میں صرف کی۔ اس کے مرتب کردہ ڈیٹا کا تجزیہ بعد میں اس کے معاون جوہانس کیپلر (1571-1640) نے کیا۔ وہ ڈیٹا سے تین خوبصورت قوانین اخذ کر سکا جو اب کیپلر کے قوانین کے نام سے جانے جاتے ہیں۔ یہ قوانین نیوٹن کو معلوم تھے اور اس نے اپنے عالمی قانون کشش ثقل کو پیش کرنے میں ایک عظیم سائنسی چھلانگ لگانے کے قابل بنایا۔

7.2 کیپلر کے قوانین

کیپلر کے تین قوانین کو درج ذیل طور پر بیان کیا جا سکتا ہے:

1. مداروں کا قانون : تمام سیارے بیضوی مداروں میں حرکت کرتے ہیں جس میں سورج بیضوی (شکل 7.1a) کے فوکس میں سے ایک پر واقع ہوتا ہے (شکل 7.1a)۔ یہ قانون کوپرنیکن ماڈل سے ایک انحراف تھا جو صرف دائرہ دار مداروں کی اجازت دیتا تھا۔ بیضوی، جس کا دائرہ ایک خاص کیس ہے، ایک بند منحنی ہے جسے بہت آسانی سے درج ذیل طور پر کھینچا جا سکتا ہے۔

شکل 7.1(a) سورج کے گرد ایک سیارے کے ذریعے کھینچا گیا بیضوی۔ قریب ترین نقطہ P ہے اور دور ترین نقطہ A ہے، P کو حریض شمس اور A کو اوج شمس کہا جاتا ہے۔ نیم بڑا محور فاصلہ AP کا نصف ہے۔

شکل 7.1(b) ایک بیضوی کھینچنا۔ ایک ڈوری کے سروں کو F1 اور F2 پر مقرر کیا گیا ہے۔ ایک پنسل کی نوک ڈوری کو تنا ہوا رکھتی ہے اور اسے گھومایا جاتا ہے۔

دو نقطے $\mathrm{F}_1$ اور $\mathrm{F}_2$ منتخب کریں۔ ایک ڈوری کی لمبائی لیں اور اس کے سروں کو $F_1$ اور $F_2$ پر پنوں سے مقرر کریں۔ پنسل کی نوک سے ڈوری کو تنا ہوا کھینچیں اور پھر پنسل کو حرکت دیتے ہوئے ڈوری کو پورے وقت تنا ہوا رکھتے ہوئے ایک منحنی کھینچیں۔ (شکل 7.1(b)) جو بند منحنی آپ کو ملتی ہے اسے بیضوی کہتے ہیں۔ واضح طور پر بیضوی پر کسی بھی نقطہ $\mathrm{T}$ کے لیے، $\mathrm{F}_1$ اور $\mathrm{F}_2$ سے فاصلوں کا مجموعہ ایک مستقل ہے۔ $\mathrm{F}_1, \mathrm{~F}_2$ کو فوکائی کہا جاتا ہے۔ نقطوں $\mathrm{F}_1$ اور $\mathrm{F}_2$ کو جوڑیں اور لکیر کو بڑھا کر بیضوی کو نقطوں $\mathrm{P}$ اور $\mathrm{A}$ پر کاٹیں جیسا کہ شکل 7.1(b) میں دکھایا گیا ہے۔ لکیر PA کا وسطی نقطہ بیضوی کا مرکز $\mathrm{O}$ ہے اور لمبائی $\mathrm{PO}=$ AO کو بیضوی کا نیم بڑا محور کہا جاتا ہے۔ دائرے کے لیے، دو فوکائی آپس میں مل جاتے ہیں اور نیم بڑا محور دائرے کی رداس بن جاتا ہے۔

2. رقبہ کا قانون : جو لکیر کسی بھی سیارے کو سورج سے جوڑتی ہے وہ وقت کے برابر وقفوں میں برابر رقبے صاف کرتی ہے (شکل 7.2)۔ یہ قانون ان مشاہدات سے آتا ہے کہ سیارے سورج سے دور ہونے پر قریب ہونے کے مقابلے میں سست حرکت کرتے دکھائی دیتے ہیں۔

شکل 7.2 سیارہ P سورج کے گرد ایک بیضوی مدار میں حرکت کرتا ہے۔ سایہ دار رقبہ وقت کے ایک چھوٹے وقفہ ∆t میں صاف کیا گیا رقبہ ∆A ہے۔

3. ادوار کا قانون : کسی سیارے کے چکر کے دورانیہ کا مربع اس سیارے کے ذریعے کھینچے گئے بیضوی کے نیم بڑے محور کے مکعب کے متناسب ہوتا ہے۔

جدول 7.1 آٹھ* سیاروں کے سورج کے گرد چکر کے تقریبی دورانیے ان کے نیم بڑے محور کی قدروں کے ساتھ دیتا ہے۔

جدول 7.1

سیاروں کی حرکات کی پیمائش سے ڈیٹا نیچے دیا گیا ہے جو کیپلر کے ادوار کے قانون کی تصدیق کرتا ہے۔

$$ \begin{aligned} & (a \equiv \text{Semi-major axis in units of } 10^{10} \mathrm{~m}. \\ & T \equiv \text{Time period of revolution of the planet in years }(y). \\ & Q \equiv \text{The quotient } ( T^{2} / a^{3})\\ & \text{in units of } 10^{-34} \mathrm{y}^{2} \mathrm{~m}^{-3}.) \end{aligned} $$

رقبہ کے قانون کو زاویائی معیار حرکت کے تحفظ کے نتیجے کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے جو کسی بھی مرکزی قوت کے لیے درست ہے۔ ایک مرکزی قوت ایسی ہوتی ہے کہ سیارے پر قوت اس ویکٹر کے ساتھ ہوتی ہے جو سورج اور سیارے کو جوڑتا ہے۔ سورج کو مبدا پر ہونے دیں اور سیارے کی پوزیشن اور معیار حرکت کو بالترتیب $\mathbf{r}$ اور $\mathbf{p}$ سے ظاہر کریں۔ پھر کمیت $\mathrm{m}$ کے سیارے کے ذریعے وقت وقفہ $\Delta t$ میں صاف کیا گیا رقبہ (شکل 7.2) $\Delta \mathbf{A}$ ہے جو درج ذیل ہے۔

$$ \begin{equation*} \Delta \mathbf{A}=1 / 2(\mathbf{r} \times \mathbf{v} \Delta t) \tag{7.1} \end{equation*} $$

لہذا

$$ \Delta \mathbf{A} / \Delta \mathrm{t}=1 / 2(\mathbf{r} \times \mathbf{p}) / \mathrm{m},(\text { since } \mathbf{v}=\mathbf{p} / \mathrm{m}) $$ $$ \begin{equation*} =\mathrm{L} /(2 \mathrm{~m}) \tag{7.2} \end{equation*} $$

جہاں $\mathbf{v}$ سمتار ہے، $\mathbf{L}$ زاویائی معیار حرکت ہے جو $(\mathbf{r} \times \mathbf{p})$ کے برابر ہے۔ ایک مرکزی قوت کے لیے، جو $\mathbf{r}, \mathbf{L}$ کے ساتھ ہوتی ہے، ایک مستقل ہے جیسے سیارہ گھومتا ہے۔ لہذا، $\Delta \mathbf{A} / \Delta t$ آخری مساوات کے مطابق ایک مستقل ہے۔ یہ رقبہ کا قانون ہے۔ کشش ثقل ایک مرکزی قوت ہے اور اس لیے رقبہ کا قانون اس کے بعد آتا ہے۔

مثال 7.1 سیارے کی سمتار کو حریض شمس $P$ پر شکل 7.1(a) میں $V_P$ ہونے دیں اور سورج-سیارہ فاصلہ SP کو $r_P$ ہونے دیں۔ $\{r_P, V_P\}$ کو اوج شمس $\{r_A, V_A\}$ پر متعلقہ مقدار سے جوڑیں۔ کیا سیارہ $B A C$ اور $C P B$ کو عبور کرنے میں برابر وقت لے گا؟

جواب $P$ پر زاویائی معیار حرکت کا حجم $L_p=m_p r_p V_p$ ہے، چونکہ معائنہ ہمیں بتاتا ہے کہ $\mathbf{r}_p$ اور $\mathbf{v}_p$ باہمی طور پر عمود ہیں۔ اسی طرح، $L_A=m_p r_A V_A$۔ زاویائی معیار حرکت کے تحفظ سے

$$ m_{p} r_{p} v_{p}=m_{p} r_{A} v_{A} $$

یا $\frac{v_{p}}{v_{A}}=\frac{r_{A}}{r_{p}}$

چونکہ $r_{A}>r_{p}, V_{p}>v_{A}$۔

رقبہ $S B A C$ جو بیضوی اور رداس ویکٹرز $S B$ اور $S C$ سے محدود ہے، شکل 7.1 میں $\mathrm{SBPC}$ سے بڑا ہے۔ کیپلر کے دوسرے قانون سے، برابر رقبے برابر وقت میں صاف ہوتے ہیں۔ لہذا سیارہ $B A C$ کو عبور کرنے میں $C P B$ سے زیادہ وقت لے گا۔

7.3 عالمی قانون کشش ثقل

داستان یہ ہے کہ ایک درخت سے سیب گرتا دیکھ کر، نیوٹن ایک عالمی قانون کشش ثقل تک پہنچنے کی تحریک پائی جس نے زمینی کشش ثقل کے ساتھ ساتھ کیپلر کے قوانین کی وضاحت کی راہ ہموار کی۔ نیوٹن کی دلیل یہ تھی کہ چاند جو رداس $R_{m}$ کے مدار میں گھوم رہا تھا زمین کی کشش ثقل کی وجہ سے مرکز مائل اسراع کے تابع تھا جس کا حجم

$$ \begin{equation*} a_{m}=\frac{V^{2}}{R_{m}}=\frac{4 \pi^{2} R_{m}}{T^{2}} \tag{7.3} \end{equation*} $$

جہاں $V$ چاند کی سمتار ہے جو دورانیہ $T$ سے تعلق $V=2 \pi R_{m} / T$ سے رکھتی ہے۔ دورانیہ $T$ تقریباً 27.3 دن ہے اور $R_{m}$ اس وقت پہلے ہی تقریباً $3.84 \quad 10^{8} \mathrm{~m}$ معلوم تھا۔ اگر ہم ان اعداد کو مساوات (7.3) میں رکھیں، تو ہمیں $a_{m}$ کی ایک قدر ملتی ہے جو زمین کی سطح پر کشش ثقل کی وجہ سے اسراع $g$ کی قدر سے بہت کم ہے، جو زمین کی کششی کشش کی وجہ سے بھی پیدا ہوتا ہے۔ یہ واضح طور پر دکھاتا ہے کہ زمین کی کشش ثقل کی وجہ سے قوت فاصلے کے ساتھ کم ہوتی ہے۔ اگر کوئی فرض کرے کہ زمین کی کششی قوت زمین کے مرکز سے فاصلے کے معکوس مربع کے تناسب سے کم ہوتی ہے، تو ہمارے پاس $a_{m} \alpha R_{m}^{-2} ; g \alpha R_{E}^{-2}$ ہوگا اور ہمیں ملتا ہے۔

$$ \begin{equation*} \frac{g}{a_{m}}=\frac{R_{m}^{2}}{R_{E}^{2}} \simeq 3600 \tag{7.4} \end{equation*} $$

$g \simeq 9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ کی ایک قدر اور مساوات (7.3) سے $a_{\mathrm{m}}$ کی قدر کے مطابق۔ ان مشاہدات نے نیوٹن کو درج ذیل عالمی قانون کشش ثقل پیش کرنے پر آمادہ کیا:

کائنات میں ہر جسم ہر دوسرے جسم کو ایک قوت سے کھینچتا ہے جو ان کی کمیتوں کے حاصل ضرب کے راست متناسب اور ان کے درمیان فاصلے کے مربع کے معکوس متناسب ہوتی ہے۔

یہ اقتباس بنیادی طور پر نیوٹن کی مشہور تصنیف ‘Mathematical Principles of Natural Philosophy’ (مختصراً Principia) سے ہے۔

ریاضیاتی طور پر بیان کیا گیا، نیوٹن کا کشش ثقل کا قانون پڑھتا ہے: نقطہ کمیت $m_{2}$ پر نقطہ کمیت $m_{1}$ کی وجہ سے قوت $\mathbf{F}$ کا حجم ہے۔

$$ \begin{equation*} |\mathbf{F}|=G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \tag{7.5} \end{equation*} $$

مساوات (7.5) کو ویکٹر شکل میں اس طرح ظاہر کیا جا سکتا ہے۔

$$ \begin{aligned} \mathbf{F} & =G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}(-\hat{\mathbf{r}})=-G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \\ \\ & =-G \frac{m_{1} m_{2}}{|\mathbf{r}|^{3}} \hat{\mathbf{r}} \end{aligned} $$

جہاں $\mathrm{G}$ عالمی کششی مستقل ہے، $\hat{\mathbf{r}}$ $m_1$ سے $m_2$ تک یونٹ ویکٹر ہے اور $\mathbf{r}=\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$ جیسا کہ شکل 7.3 میں دکھایا گیا ہے۔

شکل 7.3 m2 کی وجہ سے m1 پر کششی قوت r کے ساتھ ہے جہاں ویکٹر r ہے (r2 – r1)۔

$m_2$ کی وجہ سے $m_1$ پر کششی قوت $\mathbf{r}$ کے ساتھ ہے جہاں ویکٹر $\mathbf{r}$ ہے ($\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$)۔ کششی قوت کششی ہے، یعنی قوت $\mathbf{F}$ $-\mathbf{r}$ کے ساتھ ہے۔ نقطہ کمیت $m_1$ پر $m_2$ کی وجہ سے قوت یقیناً نیوٹن کے تیسرے قانون کے مطابق $-\mathbf{F}$ ہے۔ اس طرح، جسم 1 پر جسم 2 کی وجہ سے کششی قوت F₁₂ اور جسم 2 پر جسم 1 کی وجہ سے F₂₁ اس طرح سے متعلق ہیں۔

F₁₂=-F₂₁۔

اس سے پہلے کہ ہم مساوات (7.5) کو زیر غور اشیاء پر لاگو کر سکیں، ہمیں محتاط رہنا ہوگا کیونکہ قانون نقطہ کمیتوں کا حوالہ دیتا ہے جبکہ ہم توسیعی اشیاء سے نمٹتے ہیں جن کا محدود سائز ہوتا ہے۔ اگر ہمارے پاس نقطہ کمیتوں کا مجموعہ ہے، تو ان میں سے کسی ایک پر قوت دوسری نقطہ کمیتوں کے ذریعے ڈالی گئی کششی قوتوں کا ویکٹر مجموعہ ہے جیسا کہ شکل 7.4 میں دکھایا گیا ہے۔

شکل 7.4 نقطہ کمیت m1 پر کششی قوت m2, m3 اور m4 کے ذریعے ڈالی گئی کششی قوتوں کا ویکٹر مجموعہ ہے۔

$m_1$ پر کل قوت ہے۔

$$ F_1=\frac{G m_2 m_1}{r_{21}^2} \hat{r_{21}}+\frac{G m_3 m_1}{r_{31}^2} \hat{r_{31}}+\frac{G m_4 m_1}{r_{41}^2} \hat{r_{41}} $$

مثال 7.2 تین برابر کمیتیں ہر ایک $m \mathrm{~kg}$ ایک متساوی الاضلاع مثلث $\mathrm{ABC}$ کے راسوں پر مقرر ہیں۔

(a) مرکز ثقل $\mathrm{G}$ پر رکھی گئی کمیت $2 m$ پر کون سی قوت عمل کر رہی ہے؟

(b) اگر راس $\mathrm{A}$ پر کمیت دگنی کر دی جائے تو قوت کیا ہوگی؟

$\mathrm{AG}=\mathrm{BG}=\mathrm{CG}=1 \mathrm{~m}$ لیں (شکل 7.5 دیکھیں)

جواب (a) GC اور مثبت $x$-محور کے درمیان زاویہ $30^{\circ}$ ہے اور اسی طرح GB اور منفی $x$-محور کے درمیان زاویہ ہے۔ ویکٹر علامت میں انفرادی قوتیں ہیں۔

شکل 7.5 ∆ ABC کے تین راسوں پر تین برابر کمیتیں رکھی گئی ہیں۔ مرکز ثقل G پر ایک کمیت 2m رکھی گئی ہے۔

$$ \begin{aligned} & \mathbf{F_\mathrm{GA}}=\frac{G m(2 m)}{1} \hat{\mathbf{j}} \\ & \mathbf{F_\mathrm{GB}}=\frac{G m(2 m)}{1}\left(\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right) \\ & \mathbf{F_\mathrm{GC}}=\frac{G m(2 m)}{1}\left(+\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right) \end{aligned} $$

سپرپوزیشن کے اصول اور ویکٹر جمع کے قانون سے، $(2 m)$ پر نتیجتی کششی قوت $\mathbf{F}_{\mathrm{R}}$ ہے۔

$$ \begin{aligned} & \mathbf{F_\mathrm{R}}= \mathbf{F_\mathrm{GA}}+\mathbf{F_\mathrm{GB}}+\mathbf{F_\mathrm{GC}} \\ & \mathbf{F_\mathrm{R}}=2 G m^{2} \hat{\mathbf{j}}+2 G m^{2}\left(-\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right) \\ &+2 G m^{2}\left(\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right)=0 \end{aligned} $$

متبادل طور پر، کسی کو تقارری کی بنیاد پر توقع ہوتی ہے کہ نتیجتی قوت صفر ہونی چاہیے۔

(b) اب اگر راس A پر کمیت دگنی کر دی جائے تو

$$ \begin{aligned} & \mathrm{F_{G A}^{\prime}}=\frac{\mathrm{G} 2 m \cdot 2 m}{1} \hat{\mathrm{j}}=4 \mathrm{Gm}^{2} \hat{\mathrm{j}} \\ & \mathrm{F_{G B}^{\prime}}=\mathrm{F_G B} \text { and } \mathrm{F_G C}^{\prime}=\mathrm{F_G C} \\ & \mathrm{~F_{R}^{\prime}}=\mathrm{F_G A}^{\prime}+\mathrm{F_G B}^{\prime}+\mathrm{F_G C}^{\prime} \\ & \mathrm{F_{\mathrm{R}}^{\prime}}=2 G m^{2} \hat{\mathrm{j}} \end{aligned} $$

ایک توسیعی شے (جیسے زمین) اور ایک نقطہ کمیت کے درمیان کششی قوت کے لیے، مساوات (7.5) براہ راست قابل اطلاق نہیں ہے۔ توسیعی شے میں ہر نقطہ کمیت دی گئی نقطہ کمیت پر ایک قوت ڈالے گی اور یہ قوتیں سب ایک ہی سمت میں نہیں ہوں گی۔ ہمیں کل قوت حاصل کرنے کے لیے توسیعی شے میں تمام نقطہ کمیتوں کے لیے ان قوتوں کو ویکٹری طور پر جمع کرنا ہوگا۔ یہ حسابان کا استعمال کرتے ہوئے آسانی سے کیا جا سکتا ہے۔ دو خاص معاملات کے لیے، جب آپ یہ کرتے ہیں تو ایک سادہ قانون نتیجہ دیتا ہے:

(1) یکساں کثافت کے ایک کھوکھلے کروی خول اور باہر واقع ایک نقطہ کمیت کے درمیان کششی قوت بالکل ایسی ہی ہے جیسے خول کی پوری کمیت خول کے مرکز پر مرتکز ہو۔

معیاری طور پر اسے درج ذیل طور پر سمجھا جا سکتا ہے: خول کے مختلف خطوں کے ذریعے ڈالی گئی کششی قوتوں کے اجزاء اس لکیر کے ساتھ ہوتے ہیں جو نقطہ کمیت کو مرکز سے جوڑتی ہے نیز اس لکیر کے عمود سمت کے ساتھ بھی۔ اس لکیر کے عمود اجزاء خول کے تمام خطوں پر جمع کرتے وقت منسوخ ہو جاتے ہیں، صرف نقطہ سے مرکز کو جوڑنے والی لکیر کے ساتھ ایک نتیجتی قوت چھوڑتے ہوئے۔ اس قوت کا حجم اوپر بیان کردہ طور پر کام کرتا ہے۔

(2) یکساں کثافت کے ایک کھوکھلے کروی خول کی وجہ سے کششی قوت، اس کے اندر واقع ایک نقطہ کمیت پر صفر ہے۔

معیاری طور پر، ہم اس نتیجہ کو دوبارہ سمجھ سکتے ہیں۔ کروی خول کے مختلف خطے اس کے اندر نقطہ کمیت کو مختلف سمتوں میں کھینچتے ہیں۔ یہ قوتیں ایک دوسرے کو مکمل طور پر منسوخ کر دیتی ہیں۔

7.4 کششی مستقل

عالمی قانون کشش ثقل میں داخل ہونے والے کششی مستقل $G$ کی قدر تجرباتی طور پر معلوم کی جا سکتی ہے اور یہ سب سے پہلے انگریز سائنسدان ہنری کیوینڈش نے 1798 میں کیا۔ اس کے ذریعے استعمال ہونے والے آلات کا خاکہ شکل 7.6 میں دکھایا گیا ہے۔

شکل 7.6 کیوینڈش کے تجربہ کا خاکہ۔ S1 اور S2 بڑے کرے ہیں جو A اور B پر کمیتوں کے دونوں طرف (سایہ دار دکھایا گیا) رکھے جاتے ہیں۔ جب بڑے کرے کمیتوں کے دوسری طرف لے جائے جاتے ہیں (ڈاٹڈ دائروں سے دکھایا گیا)، بار AB تھوڑا سا گھوم جاتی ہے چونکہ ٹارک سمت بدل دیتا ہے۔ گردش کا زاویہ تجرباتی طور پر ناپا جا سکتا ہے۔

بار $\mathrm{AB}$ کے سروں پر دو چھوٹے سیسے کے کرے لگے ہیں۔ بار کو ایک باریک تار سے ایک سخت سہارے سے لٹکایا گیا ہے۔ دو بڑے سیسے کے کرے چھوٹے کرے کے قریب لائے جاتے ہیں لیکن مخالف طرف جیسا کہ دکھایا گیا ہے۔ بڑے کرے قریبی چھوٹے کرے کو برابر اور مخالف قوت سے کھینچتے ہیں جیسا کہ دکھایا گیا ہے۔ بار پر کوئی خالص قوت نہیں ہے لیکن صرف ایک ٹارک ہے جو واضح طور پر $\mathrm{F}$ بار کی لمبائی کے برابر ہے، جہاں $\mathrm{F}$ ایک بڑے کرے اور اس کے پڑوسی چھوٹے کرے کے درمیان کششی قوت ہے۔ اس ٹارک کی وجہ سے، لٹکی ہوئی تار مڑ جاتی ہے یہاں تک کہ تار کا بحالی ٹارک کششی ٹارک کے برابر ہو جاتا ہے۔ اگر $\theta$ لٹکی ہوئی تار کے مڑنے کا زاویہ ہے، تو بحالی ٹارک $\theta$ کے متناسب ہے، $\tau \theta$ کے برابر ہے۔ جہاں $\tau$ فی یونٹ زاویہ مڑنے کا بحالی جوڑا ہے۔ $\tau$ کو آزادانہ طور پر ناپا جا سکتا ہے، مثال کے طور پر، ایک معلوم ٹارک لگا کر اور مڑنے کے زاویہ کو ناپ کر۔ کروی گیندوں کے درمیان کششی قوت ایسی ہی ہے جیسے ان کی کمیتیں ان کے مراکز پر مرتکز ہوں۔ اس طرح اگر $d$ بڑے اور اس کے پڑوسی چھوٹے کرے کے مراکز کے درمیان علیحدگی ہے، $\mathrm{M}$ اور $\mathrm{m}$ ان کی کمیتیں، بڑے کرے اور اس کے پڑوسی چھوٹے کرے کے درمیان کششی قوت ہے۔

$$ \begin{equation*} F=G \frac{M m}{d^{2}} \tag{7.6} \end{equation*} $$

اگر $L$ بار $A B$ کی لمبائی ہے، تو $F$ سے پیدا ہونے والا ٹارک $F$ ضرب L ہے۔ توازن پر، یہ بحالی ٹارک کے برابر ہے اور اس لیے

$$ \begin{equation*} G \frac{M m}{d^{2}} L=\tau \theta \tag{7.7} \end{equation*} $$

$\theta$ کا مشاہدہ اس طرح کسی کو اس مساوات سے $G$ کا حساب لگانے کے قابل بناتا ہے۔

کیوینڈش کے تجربہ کے بعد، $G$ کی پیمائش کو بہتر بنایا گیا ہے اور فی الحال قبول شدہ قدر ہے۔

$$ \begin{equation*} G=6.67 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{kg}^{2} \tag{7.8} \end{equation*} $$

7.5 زمین کی کشش ثقل کی وجہ سے اسراع

زمین کو ایک بڑی تعداد میں ہم مرکز کروی خولوں سے بنے ہوئے کرے کے طور پر تصور کیا جا سکتا ہے جس میں سب سے چھوٹا مرکز پر اور سب سے بڑا اس کی سطح پر ہوتا ہے۔ زمین سے باہر ایک نقطہ واضح طور پر تمام خولوں سے باہر ہے۔ اس طرح، تمام خول ایک نقطہ پر باہر ایک کششی قوت ڈالتے ہیں بالکل ایسے ہی جیسے ان کی کمیتیں سیکشن 7.3 میں بیان کردہ نتیجہ کے مطابق ان کے مشترکہ مرکز پر مرتکز ہوں۔ تمام خولوں کی کل کمیت صرف زمین کی کمیت ہے۔ لہذا، زمین سے باہر ایک نقطہ پر، کششی قوت بالکل ایسی ہی ہے جیسے زمین کی پوری کمیت اس کے مرکز پر مرتکز ہو۔

زمین کے اندر ایک نقطہ کے لیے، صورت حال مختلف ہے۔ یہ شکل 7.7 میں واضح کیا گیا ہے۔

شکل 7.7 کمیت m زمین کی سطح سے نیچے گہرائی d پر واقع ایک کان میں ہے جس کی کمیت ME اور رداس RE ہے۔ ہم زمین کو کروی طور پر متناظر سمجھتے ہیں۔

دوبارہ زمین کو پہلے کی طرح ہم مرکز خولوں سے بنا ہوا تصور کریں اور ایک نقطہ کمیت $m$ مرکز سے فاصلہ $r$ پر واقع ہے۔ نقطہ $\mathrm{P}$ رداس $r$ کے کرے سے باہر ہے۔ رداس $r$ سے زیادہ والے خولوں کے لیے، نقطہ $\mathrm{P}$ اندر ہے۔ لہذا پچھلے سیکشن میں بیان کردہ نتیجہ کے مطابق، وہ کمیت $m$ پر جو $\mathrm{P}$ پر رکھی گئی ہے کوئی کششی قوت نہیں ڈالتے۔ رداس $\leq r$ والے خول رداس $r$ کا ایک کرہ بناتے ہیں جس کے لیے نقطہ $P$ سطح پر واقع ہے۔ یہ چھوٹا کرہ اس لیے کمیت $m$ پر $\mathrm{P}$ پر ایک قوت ڈالتا ہے جیسے اس کی کمیت $M_{r}$ مرکز پر مرتکز ہو۔ اس طرح کمیت $m$ پر $\mathrm{P}$ پر قوت کا حجم ہے۔

$$ \begin{equation*} F=\frac{G m\left(M_{\mathrm{r}}\right)}{r^{2}} \tag{7.9} \end{equation*} $$

ہم فرض کرتے ہیں کہ پوری زمین یکساں کثافت کی ہے اور اس لیے اس کی کمیت $M_{\mathrm{E}}=\frac{4 \pi}{3} R_{E}^{3} \rho$ ہے جہاں $M_{\mathrm{E}}$ زمین کی کمیت ہے $R_{\mathrm{E}}$ اس کا رداس ہے اور $\rho$ کثافت ہے۔ دوسری طرف رداس $r$ کے کرے $M_{r}$ کی کمیت $\frac{4 \pi}{3} \rho r^{3}$ ہے اور اس لیے

$$ \begin{align*} F & =G m\left(\frac{4 p}{3} r\right) \frac{r^{3}}{r^{2}}=G m\left(\frac{M_{E}}{R_{E}^{3}}\right) \frac{r^{3}}{r^{2}} \\ & =\frac{G m M_{\mathrm{E}}}{R_{E}{ }^{3}} r \tag{7.10} \end{align*} $$

اگر کمیت $m$ زمین کی سطح پر واقع ہے، تو $r=R_{E}$ اور اس پر کششی قوت، مساوات (7.10) سے ہے۔

$$ \begin{equation*} F=G \frac{M_{E} m}{R_{E}^{2}} \tag{7.11} \end{equation*} $$

کمیت $\mathrm{m}$ کے ذریعے تجربہ کیا گیا اسراع، جو عام طور پر علامت $g$ سے ظاہر کیا جاتا ہے، $\mathrm{F}$ سے نیوٹن کے $2^{\text {nd }}$ قانون کے ذریعے تعلق $F=m g$ سے متعلق ہے۔ اس طرح

$$ \begin{equation*} g=\frac{F}{m}=\frac{G M_{E}}{R_{E}^{2}} \tag{7.12} \end{equation*} $$

اسراع $g$ آسانی سے قابل پیمائش ہے۔ $R_{E}$ ایک معلوم مقدار ہے۔ کیوینڈش کے تجربہ (یا دوسری صورت میں) کے ذریعے $G$ کی پیمائش، $g$ اور $R_{E}$ کی معلومات کے ساتھ مل کر، کسی کو مساوات (7.12) سے $M_{E}$ کا تخمینہ لگانے کے قابل بناتی ہے۔ یہی وجہ ہے کہ کیوینڈش کے بارے میں ایک مقبول بیان ہے: “کیوینڈش نے زمین کا وزن کیا”۔

7.6 زمین کی سطح سے نیچے اور اوپر کشش ثقل کی وجہ سے اسراع

ایک نقطہ کمیت $m$ کو زمین کی سطح سے اوپر اونچائی $h$ پر غور کریں جیسا کہ شکل 7.8(a) میں دکھایا گیا ہے۔ زمین کا رداس $R_{E}$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ چونکہ یہ نقطہ زمین سے باہر ہے، اس کا زمین کے مرکز سے فاصلہ $\left(R_{E}+h\right)$ ہے۔ اگر $F(h)$ نقطہ کمیت $m$ پر قوت کے حجم کو ظاہر کرتا ہے، تو ہمیں مساوات (7.5) سے ملتا ہے:

شکل 7.8 (a) زمین کی سطح سے اوپر اونچائی h پر g

$$ \begin{equation*} F(h)=\frac{G M_{E} m}{\left(R_{E}+h\right)^{2}} \tag{7.13} \end{equation*} $$

نقطہ کمیت کے ذریعے تجربہ کیا گیا اسراع $F(h) / m \equiv g(h)$ ہے اور ہمیں ملتا ہے۔

$$ \begin{equation*} g(h)=\frac{F(h)}{m}=\frac{G M_{E}}{\left(R_{E}+h\right)^{2}} . \tag{7.14} \end{equation*} $$

یہ واضح طور پر زمین کی سطح پر $g$ کی قدر سے کم ہے: $g=\frac{G M_{E}}{R_{E}^{2}}$۔ $h \ll R_{E}$ کے لیے، ہم مساوات (7.14) کے RHS کو پھیلا سکتے ہیں:

$$ g(h)=\frac{G M_{E}}{R_{E}^{2}\left(1+h / R_{E}\right)^{2}}=g\left(1+h / R_{E}\right)^{-2} $$

$\text{For}\frac{h}{R _{E}} \ll 1$، دو رقمی اظہار کا استعمال کرتے ہوئے

$$ \begin{equation*} g(h) \cong g \quad 1-\frac{2 h}{R _{E}} \tag{7.15} \end{equation*} $$

مساوات (7.15) اس طرح ہمیں بتاتی ہے کہ چھوٹی اونچائیوں $h$ کے لیے اوپر $g$ کی قدر $a$ فیکٹر $\left(1-2 h / R_{E}\right)$ سے کم ہو جاتی ہے۔

اب، ایک نقطہ کمیت $m$ کو زمین کی سطح سے نیچے گہرائی $d$ پر غور