8.1 تعارف

باب 6 میں، ہم نے اجسام کی گردش کا مطالعہ کیا اور پھر یہ سمجھا کہ کسی جسم کی حرکت اس بات پر منحصر ہے کہ اس کے اندر کمیت کیسے تقسیم ہے۔ ہم نے خود کو سخت اجسام کی سادہ تر صورتوں تک محدود رکھا۔ ایک سخت جسم عام طور پر ایک سخت ٹھوس شے کو کہتے ہیں جس کی ایک مخصوص شکل اور سائز ہو۔ لیکن حقیقت میں، اجسام کو کھینچا، دبایا اور موڑا جا سکتا ہے۔ یہاں تک کہ نمایاں طور پر سخت اسٹیل کی سلاخ بھی اس پر کافی بڑی بیرونی قوت لگائے جانے پر بد شکل ہو سکتی ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ ٹھوس اجسام بالکل سخت نہیں ہوتے۔

ایک ٹھوس کی مخصوص شکل اور سائز ہوتا ہے۔ کسی جسم کی شکل یا سائز کو تبدیل (یا مسخ) کرنے کے لیے، ایک قوت درکار ہوتی ہے۔ اگر آپ ایک ہیلیکل سپرنگ کو اس کے سروں کو آہستگی سے کھینچ کر لمبا کریں، تو سپرنگ کی لمبائی تھوڑی بڑھ جاتی ہے۔ جب آپ سپرنگ کے سروں کو چھوڑ دیتے ہیں، تو یہ اپنے اصل سائز اور شکل کو واپس حاصل کر لیتی ہے۔ کسی جسم کی وہ خاصیت، جس کی بدولت وہ لگائی گئی قوت ہٹائے جانے پر اپنے اصل سائز اور شکل کو واپس حاصل کرنے کی کوشش کرتا ہے، لچک (elasticity) کہلاتی ہے اور اس سے پیدا ہونے والی مسخیت (deformation) کو لچکدار مسخیت (elastic deformation) کہتے ہیں۔ تاہم، اگر آپ پٹی یا کیچڑ کے ایک ڈھیر پر قوت لگائیں، تو ان میں اپنی پچھلی شکل کو واپس حاصل کرنے کی کوئی واضح رجحان نہیں ہوتی، اور وہ مستقل طور پر مسخ ہو جاتے ہیں۔ ایسے مادوں کو پلاسٹک (plastic) کہا جاتا ہے اور اس خاصیت کو پلاسٹیسٹی (plasticity) کہتے ہیں۔ پٹی اور کیچڑ مثالی پلاسٹک کے قریب ہیں۔

مواد کی لچکدار رویہ انجینئرنگ ڈیزائن میں اہم کردار ادا کرتا ہے۔ مثال کے طور پر، عمارت ڈیزائن کرتے وقت، اسٹیل، کنکریٹ وغیرہ جیسے مواد کی لچکدار خصوصیات کا علم ضروری ہے۔ یہی بات پلوں، گاڑیوں، رپ ویز وغیرہ کے ڈیزائن میں بھی درست ہے۔ کوئی یہ بھی پوچھ سکتا ہے: کیا ہم ایک ہوائی جہاز ڈیزائن کر سکتے ہیں جو بہت ہلکا لیکن کافی مضبوط ہو؟ کیا ہم ایک مصنوعی عضو ڈیزائن کر سکتے ہیں جو ہلکا لیکن مضبوط ہو؟ ریلوے ٹریک کی شکل خاص طور پر I کیوں ہوتی ہے؟ شیشہ نازک کیوں ہوتا ہے جبکہ پیتل نہیں ہوتا؟ ایسے سوالات کے جوابات اس مطالعے سے شروع ہوتے ہیں کہ نسبتاً سادہ قسم کے بوجھ یا قوتیں مختلف ٹھوس اجسام کو مسخ کرنے کے لیے کیسے کام کرتی ہیں۔ اس باب میں، ہم ٹھوس اجسام کی لچکدار رویہ اور میکانیکی خصوصیات کا مطالعہ کریں گے جو ایسے بہت سے سوالات کے جواب دیں گی۔

8.2 تناؤ (Stress) اور کھنچاؤ (Strain)

جب کسی جسم پر قوتیں اس طرح لگائی جاتی ہیں کہ جسم اب بھی جامد توازن میں ہو، تو وہ جسم کے مادے کی نوعیت اور مسخ کرنے والی قوت کے حجم کے لحاظ سے کم یا زیادہ حد تک مسخ ہو جاتا ہے۔ بہت سے مواد میں مسخیت کو بصری طور پر محسوس نہیں کیا جا سکتا لیکن وہ موجود ہوتی ہے۔ جب کسی جسم پر مسخ کرنے والی قوت لگائی جاتی ہے، تو جسم میں ایک بحالی قوت (restoring force) پیدا ہوتی ہے۔ یہ بحالی قوت لگائی گئی قوت کے حجم میں برابر لیکن سمت میں مخالف ہوتی ہے۔ بحالی قوت فی اکائی رقبہ کو تناؤ (stress) کہا جاتا ہے۔ اگر $F$ وہ قوت ہے جو قطعِ عرض (cross-section) کے عموداً لگائی گئی ہے اور $A$ جسم کے قطعِ عرض کا رقبہ ہے تو

$$ \text{Magnitude of the stress} =F / A \tag{8.1}$$

تناؤ کی SI اکائی $\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}$ یا پاسکل $(\mathrm{Pa})$ ہے اور اس کا جہتی فارمولا $\left[\mathrm{ML}^{-1} \mathrm{~T}^{-2}\right]$ ہے۔

جب کسی ٹھوس پر بیرونی قوت عمل کرتی ہے تو اس کے ابعاد بدلنے کے تین طریقے ہیں۔ یہ شکل 8.1 میں دکھائے گئے ہیں۔ شکل 8.1(a) میں، ایک سلنڈر کو اس کے قطعِ عرض کے رقبہ کے عموداً لگائی گئی دو برابر قوتوں کے ذریعے کھینچا جا رہا ہے۔ اس صورت میں بحالی قوت فی اکائی رقبہ کھنچاؤ تناؤ (tensile stress) کہلاتی ہے۔ اگر سلنڈر کو لگائی گئی قوتوں کے تحت دبایا جائے، تو بحالی قوت فی اکائی رقبہ دباؤ تناؤ (compressive stress) کہلاتی ہے۔ کھنچاؤ یا دباؤ تناؤ کو طولی تناؤ (longitudinal stress) بھی کہا جا سکتا ہے۔

دونوں صورتوں میں، سلنڈر کی لمبائی میں تبدیلی ہوتی ہے۔ لمبائی میں تبدیلی $\Delta L$ اور جسم (اس صورت میں سلنڈر) کی اصل لمبائی $L$ کے تناسب کو طولی کھنچاؤ (longitudinal strain) کہا جاتا ہے۔

$$ \begin{equation*} \text { Longitudinal strain }=\frac{\Delta L}{L} \tag{8.2} \end{equation*} $$

تاہم، اگر دو برابر اور مخالف مسخ کرنے والی قوتیں سلنڈر کے قطعِ عرض کے رقبہ کے متوازی لگائی جائیں، جیسا کہ شکل 8.1(b) میں دکھایا گیا ہے، تو سلنڈر کے مخالف چہروں کے درمیان نسبتاً جابجائی ہوتی ہے۔ لگائی گئی مماسی قوت (tangential force) کی وجہ سے پیدا ہونے والی بحالی قوت فی اکائی رقبہ کو مماسی یا کترنے والا تناؤ (tangential or shearing stress) کہا جاتا ہے۔ لگائی گئی مماسی قوت کے نتیجے میں، سلنڈر کے مخالف چہروں کے درمیان ایک نسبتاً جابجائی $\Delta x$ ہوتی ہے جیسا کہ شکل 8.1(b) میں دکھایا گیا ہے۔ اس سے پیدا ہونے والے کھنچاؤ کو کترنے والا کھنچاؤ (shearing strain) کہا جاتا ہے اور اسے چہروں کی نسبتاً جابجائی $\Delta x$ اور سلنڈر کی لمبائی $L$ کے تناسب کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔

$$ \begin{equation*} \text { Shearing strain }=\frac{\Delta x}{L}=\tan \theta \tag{8.3} \end{equation*} $$

جہاں $\theta$ سلنڈر کا عمودی (سلنڈر کی اصل پوزیشن) سے زاویائی جابجائی ہے۔ عام طور پر $\theta$ بہت چھوٹا ہوتا ہے، $\tan \theta$ تقریباً زاویہ $\theta$ کے برابر ہوتا ہے، (اگر $\theta=10^{\circ}$، مثال کے طور پر، تو $\theta$ اور $\tan \theta$ کے درمیان صرف $1 \%$ کا فرق ہوتا ہے)۔ اس کو اس وقت بھی تصور کیا جا سکتا ہے، جب ایک کتاب کو ہاتھ سے دبایا جائے اور افقی طور پر دھکیلا جائے، جیسا کہ شکل 8.2 (c) میں دکھایا گیا ہے۔

$$\text{Thus, shearing strain } =\tan \theta \approx \theta \tag{8.4}$$

شکل 8.1 (d) میں، ایک ٹھوس کرہ جو اعلی دباؤ والے سیال میں رکھا گیا ہے، تمام اطراف سے یکساں طور پر دبا ہوا ہے۔ سیال کے ذریعے لگائی گئی قوت سطح کے ہر نقطہ پر عمودی سمت میں عمل کرتی ہے اور جسم ہائیڈرولک دباؤ (hydraulic compression) کے تحت کہا جاتا ہے۔ اس سے اس کے حجم میں کمی آتی ہے بغیر اس کی جیومیٹریکل شکل میں کسی تبدیلی کے۔

شکل 8.1 (a) کھنچاؤ تناؤ کے تحت ایک بیضوی جسم ∆L سے لمبا ہو رہا ہے (b) ایک سلنڈر پر کترنے والا تناؤ اسے زاویہ θ سے مسخ کر رہا ہے (c) کترنے والے تناؤ کے تابع ایک جسم (d) ہر نقطہ پر سطح کے عموداً تناؤ کے تحت ایک ٹھوس جسم (ہائیڈرولک تناؤ)۔ حجمی کھنچاؤ ∆V/V ہے، لیکن شکل میں کوئی تبدیلی نہیں ہوتی۔

جسم اندرونی بحالی قوتیں پیدا کرتا ہے جو سیال کے ذریعے لگائی گئی قوتوں کے برابر اور مخالف ہوتی ہیں (جسم سیال سے نکالے جانے پر اپنی اصل شکل اور سائز بحال کر لیتا ہے)۔ اس صورت میں اندرونی بحالی قوت فی اکائی رقبہ کو ہائیڈرولک تناؤ (hydraulic stress) کہا جاتا ہے اور حجم میں یہ ہائیڈرولک دباؤ (فی اکائی رقبہ لگائی گئی قوت) کے برابر ہوتا ہے۔

ہائیڈرولک دباؤ سے پیدا ہونے والے کھنچاؤ کو حجمی کھنچاؤ (volume strain) کہا جاتا ہے اور اسے حجم میں تبدیلی $(\Delta V)$ اور اصل حجم $(V)$ کے تناسب کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔

$$ \begin{equation*} \text { Volume Strain }=\frac{\Delta V}{V} \tag{8.5} \end{equation*} $$

چونکہ کھنچاؤ، بعد میں تبدیلی اور اصل بعد کا تناسب ہے، اس لیے اس کی کوئی اکائیاں یا جہتی فارمولا نہیں ہوتا۔

8.3 ہُک کا قانون (Hooke’s Law)

تناؤ اور کھنچاؤ شکل (8.1) میں دکھائی گئی صورتوں میں مختلف شکلیں اختیار کرتے ہیں۔ چھوٹی مسخیتوں کے لیے تناؤ اور کھنچاؤ ایک دوسرے کے متناسب ہوتے ہیں۔ اسے ہُک کا قانون کہا جاتا ہے۔

اس طرح،

تناؤ $\propto$ کھنچاؤ

$$ \begin{equation*} \text { stress }=k \times \text { strain } \tag{8.6} \end{equation*} $$

جہاں $k$ تناسب کا مستقل (proportionality constant) ہے اور اسے لچک کا معیار (modulus of elasticity) کہا جاتا ہے۔

ہُک کا قانون ایک تجرباتی قانون ہے اور زیادہ تر مواد کے لیے درست پایا جاتا ہے۔ تاہم، کچھ ایسے مواد بھی ہیں جو اس خطی تعلق (linear relationship) کا مظاہرہ نہیں کرتے۔

8.4 تناؤ-کھنچاؤ منحنی (Stress-Strain Curve)

کسی دیے گئے مواد کے لیے کھنچاؤ تناؤ کے تحت تناؤ اور کھنچاؤ کے درمیان تعلق تجرباتی طور پر معلوم کیا جا سکتا ہے۔ کھنچاؤ خصوصیات کے معیاری ٹیسٹ میں، ایک ٹیسٹ سلنڈر یا تار کو لگائی گئی قوت سے کھینچا جاتا ہے۔ لمبائی میں جزوی تبدیلی (کھنچاؤ) اور اس کھنچاؤ کو پیدا کرنے کے لیے درکار لگائی گئی قوت کو ریکارڈ کیا جاتا ہے۔ لگائی گئی قوت کو بتدریج قدم بہ قدم بڑھایا جاتا ہے اور لمبائی میں تبدیلی نوٹ کی جاتی ہے۔ تناؤ (جو فی اکائی رقبہ لگائی گئی قوت کے حجم میں برابر ہوتا ہے) اور پیدا ہونے والے کھنچاؤ کے درمیان ایک گراف بنایا جاتا ہے۔ دھات کے لیے ایک عام گراف شکل 8.2 میں دکھایا گیا ہے۔ دباؤ اور کترنے والے تناؤ کے لیے مشابہ گراف بھی حاصل کیے جا سکتے ہیں۔ تناؤ-کھنچاؤ منحنی مواد کے لحاظ سے مختلف ہوتی ہیں۔ یہ منحنی ہمیں یہ سمجھنے میں مدد کرتی ہیں کہ کوئی دیا گیا مواد بڑھتے ہوئے بوجھ کے ساتھ کیسے مسخ ہوتا ہے۔ گراف سے، ہم دیکھ سکتے ہیں کہ $\mathrm{O}$ سے $\mathrm{A}$ کے درمیان والے خطے میں، منحنی خطی (linear) ہے۔ اس خطے میں، ہُک کا قانون مانا جاتا ہے۔ جب لگائی گئی قوت ہٹا دی جاتی ہے تو جسم اپنے اصل ابعاد بحال کر لیتا ہے۔ اس خطے میں، ٹھوس ایک لچکدار جسم کی طرح برتاؤ کرتا ہے۔

شکل 8.2 دھات کے لیے ایک عام تناؤ-کھنچاؤ منحنی۔

A سے B کے خطے میں، تناؤ اور کھنچاؤ متناسب نہیں ہوتے۔ بہر حال، جب بوجھ ہٹا دیا جاتا ہے تو جسم اب بھی اپنے اصل بعد کو واپس آ جاتا ہے۔ منحنی کا نقطہ $\mathrm{B}$ پیداواری نقطہ (yield point) (جسے لچکدار حد (elastic limit) بھی کہا جاتا ہے) کے نام سے جانا جاتا ہے اور اس کے مطابق تناؤ مواد کی پیداواری طاقت (yield strength) $\left(\sigma_{y}\right)$ کے نام سے جانا جاتا ہے۔

اگر بوجھ مزید بڑھایا جائے، تو پیدا ہونے والا تناؤ پیداواری طاقت سے تجاوز کر جاتا ہے اور تناؤ میں چھوٹی سی تبدیلی کے لیے بھی کھنچاؤ تیزی سے بڑھتا ہے۔ منحنی کا $B$ اور $D$ کے درمیان والا حصہ یہ دکھاتا ہے۔ جب بوجھ ہٹا دیا جاتا ہے، مثلاً $\mathrm{B}$ اور $\mathrm{D}$ کے درمیان کسی نقطہ $\mathrm{C}$ پر، جسم اپنا اصل بعد بحال نہیں کرتا۔ اس صورت میں، یہاں تک کہ جب تناؤ صفر ہو، تو کھنچاؤ صفر نہیں ہوتا۔ کہا جاتا ہے کہ مواد میں ایک مستقل سیٹ (permanent set) ہے۔ مسخیت کو پلاسٹک مسخیت (plastic deformation) کہا جاتا ہے۔ گراف پر نقطہ $D$ مواد کی حتمی کھنچاؤ طاقت (ultimate tensile strength) $\left(\sigma_{u}\right)$ ہے۔ اس نقطے سے آگے، مزید کھنچاؤ کم کی گئی لگائی گئی قوت سے بھی پیدا ہوتا ہے اور نقطہ $\mathrm{E}$ پر ٹوٹ پھوٹ (fracture) واقع ہوتی ہے۔ اگر حتمی طاقت اور ٹوٹ پھوٹ کے نقاط $\mathrm{D}$ اور $\mathrm{E}$ قریب ہوں، تو مواد کو نازک (brittle) کہا جاتا ہے۔ اگر وہ دور ہوں، تو مواد کو لچکدار (ductile) کہا جاتا ہے۔

شکل 8.3 دل سے خون لے جانے والی بڑی نالی (وعاء) اوریٹا کے لچکدار بافت (tissue) کے لیے تناؤ-کھنچاؤ منحنی۔

جیسا کہ پہلے بیان کیا گیا، تناؤ-کھنچاؤ کا رویہ مواد کے لحاظ سے مختلف ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، ربڑ کو اس کی اصل لمبائی سے کئی گنا تک کھینچا جا سکتا ہے اور پھر بھی یہ اپنی اصل شکل میں واپس آ جاتا ہے۔ شکل 8.3 دل میں موجود اوریٹا کے لچکدار بافت کے لیے تناؤ-کھنچاؤ منحنی دکھاتی ہے۔ نوٹ کریں کہ اگرچہ لچکدار خطہ بہت بڑا ہے، مواد زیادہ تر خطے پر ہُک کے قانون کی پابندی نہیں کرتا۔ دوسرا، کوئی واضح طور پر بیان کردہ پلاسٹک خطہ نہیں ہے۔ اوریٹا کے بافت، ربڑ وغیرہ جیسی اشیاء، جنہیں بڑے کھنچاؤ پیدا کرنے کے لیے کھینچا جا سکتا ہے، ایلسٹومرز (elastomers) کہلاتی ہیں۔

8.5 لچک کے معیارات (Elastic Moduli)

تناؤ-کھنچاؤ منحنی کی لچکدار حد کے اندر متناسب خطہ (شکل 8.2 میں خطہ OA) ساختی اور مینوفیکچرنگ انجینئرنگ ڈیزائن کے لیے بہت اہمیت کا حامل ہے۔ تناؤ اور کھنچاؤ کا تناسب، جسے لچک کا معیار (modulus of elasticity) کہا جاتا ہے، مواد کی ایک خاصیت کے طور پر پایا جاتا ہے۔

8.5.1 ینگ کا معیار (Young’s Modulus)

تجرباتی مشاہدہ یہ دکھاتا ہے کہ کسی دیے گئے مواد کے لیے، پیدا ہونے والے کھنچاؤ کا حجم وہی ہوتا ہے چاہے تناؤ کھنچاؤ والا ہو یا دباؤ والا۔ کھنچاؤ (یا دباؤ) تناؤ $(\sigma)$ اور طولی کھنچاؤ $(\varepsilon)$ کے تناسب کو ینگ کا معیار (Young’s modulus) کہا جاتا ہے اور اسے علامت $Y$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

$$ \begin{equation*} Y=\frac{\sigma}{\varepsilon} \tag{8.7} \end{equation*} $$

مساوات (8.1) اور (8.2) سے، ہمارے پاس ہے

$$ \begin{align*} Y & =(F / A) /(\Delta L / L) \\ & =(F \times L) /(A \times \Delta L) \tag{8.8} \end{align*} $$

چونکہ کھنچاؤ ایک بے بعد مقدار (dimensionless quantity) ہے، ینگ کے معیار کی اکائی تناؤ کی اکائی کے برابر ہے یعنی $\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}$ یا پاسکل (Pa)۔ جدول 8.1 کچھ مواد کے ینگ کے معیارات اور پیداواری طاقتوں کی قیمتیں دیتا ہے۔

جدول 8.1 میں دیے گئے ڈیٹا سے، یہ نوٹ کیا جاتا ہے کہ دھاتوں کے لیے ینگ کے معیار بڑے ہوتے ہیں۔

جدول 8.1 کچھ مواد کے ینگ کے معیارات اور پیداواری طاقتیں

دباؤ کے تحت ٹیسٹ کیے گئے مادے

لہٰذا، ان مواد کو لمبائی میں چھوٹی سی تبدیلی پیدا کرنے کے لیے ایک بڑی قوت درکار ہوتی ہے۔ $0.1 \mathrm{~cm}^{2}$ قطعِ عرضی رقبہ والی پتلی اسٹیل کی تار کی لمبائی کو $0.1 \%$ بڑھانے کے لیے، $2000 \mathrm{~N}$ کی قوت درکار ہوتی ہے۔ ایک ہی قطعِ عرضی رقبہ رکھنے والی ایلومینیم، پیتل اور تانبے کی تاروں میں ایک ہی کھنچاؤ پیدا کرنے کے لیے درکار قوتیں بالترتیب $690 \mathrm{~N}$، $900 \mathrm{~N}$ اور $1100 \mathrm{~N}$ ہیں۔ اس کا مطلب ہے کہ اسٹیل تانبے، پیتل اور ایلومینیم سے زیادہ لچکدار ہے۔ اسی وجہ سے اسٹیل کو بھاری ڈیوٹی کی مشینوں اور ساختی ڈیزائنوں میں ترجیح دی جاتی ہے۔ لکڑی، ہڈی، کنکریٹ اور شیشہ کے ینگ کے معیار نسبتاً چھوٹے ہوتے ہیں۔

مثال 8.1 ایک ساختی اسٹیل کی سلاخ کا رداس $10 \mathrm{~mm}$ اور لمبائی $1.0 \mathrm{~m}$ ہے۔ ایک $100 \mathrm{kN}$ قوت اسے اس کی لمبائی کے ساتھ کھینچتی ہے۔ حساب لگائیں (a) تناؤ، (b) لمبائی میں اضافہ، اور (c) سلاخ پر کھنچاؤ۔ ساختی اسٹیل کا ینگ کا معیار $2.0 \times 10^{11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}$ ہے۔

جواب ہم فرض کرتے ہیں کہ سلاخ ایک سرے پر کلیمپ سے جکڑی ہوئی ہے، اور قوت $F$ دوسرے سرے پر، سلاخ کی لمبائی کے متوازی لگائی گئی ہے۔ پھر سلاخ پر تناؤ اس طرح دیا جاتا ہے

$$ \begin{aligned} \text { Stress } & =\frac{F}{A}=\frac{F}{\pi r^{2}} \\ & =\frac{100 \times 10^{3} \mathrm{~N}}{3.14 \times\left(10^{-2} \mathrm{~m}\right)^{2}} \\ & =3.18 \times 10^{8} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2} \end{aligned} $$

لمبائی میں اضافہ،

$$ \begin{aligned} \Delta L & =\frac{(F / A) L}{Y} \\ & =\frac{\left(3.18 \times 10^{8} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}\right)(1 \mathrm{~m})}{2 \times 10^{11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}} \\ & =1.59 \times 10^{-3} \mathrm{~m} \\ & =1.59 \mathrm{~mm} \end{aligned} $$

کھنچاؤ اس طرح دیا جاتا ہے

$$ \begin{aligned} \text{Strain }& = \Delta L / L \\ & =\left(1.59 \times 10^{-3} \mathrm{~m}\right) /(1 \mathrm{~m}) \\ & =1.59 \times 10^{-3} \\ & =0.16 \% \end{aligned} $$

مثال 8.2 تانبے کی ایک تار لمبائی $2.2 \mathrm{~m}$ اور اسٹیل کی ایک تار لمبائی $1.6 \mathrm{~m}$، دونوں کا قطر $3.0 \mathrm{~mm}$ ہے، سرے سے سرے سے جڑی ہوئی ہیں۔ جب ایک بوجھ سے کھینچا جاتا ہے، تو خالص لمبائی میں اضافہ $0.70 \mathrm{~mm}$ پایا جاتا ہے۔ لگایا گیا بوجھ معلوم کریں۔

جواب تانبے اور اسٹیل کی تاریں کھنچاؤ تناؤ کے تحت ہیں کیونکہ ان میں ایک ہی کھنچاؤ (بوجھ $W$ کے برابر) اور قطعِ عرض کا ایک ہی رقبہ $A$ ہے۔ مساوات (8.7) سے ہمارے پاس تناؤ $=$ کھنچاؤ $\times$ ینگ کا معیار ہے۔ لہٰذا

$$ W / A=Y_{c} \times\left(\Delta L_{c} / L_{c}\right)=Y_{s} \times\left(\Delta L_{s} / L_{s}\right) $$

جہاں زیریں لکھتیں (subscripts) $c$ اور $s$ بالترتیب تانبے اور سٹینلیس اسٹیل کی طرف اشارہ کرتی ہیں۔ یا،

$$ \Delta L_{c} / \Delta L_{s}=\left(Y_{s} / Y_{c}\right) \times\left(L_{c} / L_{s}\right) $$

دیے گئے $$ L_{c}=2.2 \mathrm{~m}, L_{s}=1.6 \mathrm{~m} , $$

جدول $$9.1 Y_{c}=1.1 \times 10^{11} \mathrm{~N}^{-2}$$ سے، اور

$$ Y_{s}^{c}=2.0 \times 10^{11} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}^{-2} . $$

$$\Delta L_{c} / \Delta L_{s}=\left(2.0 \times 10^{11} / 1.1 \times 10^{11}\right) \times(2.2 / 1.6)=2.5$$.

کل لمبائی میں اضافہ دیا گیا ہے

$$ \Delta L_{c}+\Delta L_{s}=7.0 \times 10^{-4} \mathrm{~m} $$

مندرجہ بالا مساوات کو حل کرنے پر،

$$ \Delta L _{c}=5.0 \times 10^{-4} \mathrm{~m} \text {, and } \Delta L _{s}=2.0 \times 10^{-4} \mathrm{~m} $$

لہٰذا

$W=\left(A \times Y_{c} \times \Delta L_{c}\right) / L_{c}$

$=\pi\left(1.5 \times 10^{-3}\right)^{2} \times\left[\left(5.0 \times 10^{-4} \times 1.1 \times 10^{11}\right) / 2.2\right]$

$=1.8 \times 10^{2} \mathrm{~N}$

مثال 8.3 سرکس میں انسانی پرامڈ میں، متوازن گروپ کا پورا وزن ایک اداکار کے ٹانگوں پر سہارا دیا جاتا ہے جو اپنی پیٹھ کے بل لیٹا ہوا ہے (جیسا کہ شکل 8.4 میں دکھایا گیا ہے)۔ اداکاری کرنے والے تمام افراد اور شامل میزوں، تختیوں وغیرہ کا مجموعی وزن $280 \mathrm{~kg}$ ہے۔ پرامڈ کے نیچے اپنی پیٹھ کے بل لیٹے ہوئے اداکار کا وزن $60 \mathrm{~kg}$ ہے۔ اس اداکار کی ہر ران کی ہڈی (فیمر) کی لمبائی $50 \mathrm{~cm}$ اور مؤثر رداس $2.0 \mathrm{~cm}$ ہے۔ اضافی بوجھ کے تحت ہر ران کی ہڈی کے دب جانے کی مقدار معلوم کریں۔

شکل 8.4 سرکس میں انسانی پرامڈ۔

جواب تمام اداکاروں، میزوں، تختیوں وغیرہ کا کل وزن $\quad=280 \mathrm{~kg}$

اداکار کا وزن $=60 \mathrm{~kg}$

پرامڈ کے نیچے لیٹے ہوئے اداکار کی ٹانگوں کے ذریعے سہارا دیا گیا وزن

$=280-60=220 \mathrm{~kg}$

اس سہارے دیے گئے وزن کا وزن

$=220 \mathrm{~kg} \mathrm{wt} .=220 \times 9.8 \mathrm{~N}=2156 \mathrm{~N}$.

اداکار کی ہر ران کی ہڈی کے ذریعے سہارا دیا گیا وزن $=1 / 2(2156) \mathrm{N}=1078 \mathrm{~N}$.

جدول 9.1 سے، ہڈی کے لیے ینگ کا معیار دیا گیا ہے

$$ Y=9.4 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2} \text {. } $$

ہر ران کی ہڈی کی لمبائی $L=0.5 \mathrm{~m}$ ران کی ہڈی کا رداس $=2.0 \mathrm{~cm}$

اس طرح ران کی ہڈی کا قطعِ عرضی رقبہ $A=\pi \times\left(2 \times 10^{-2}\right)^{2} \mathrm{~m}^{2}=1.26 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{2}$.

مساوات (9.8) کا استعمال کرتے ہوئے، ہر ران کی ہڈی میں دباؤ $(\Delta L)$ کا حساب اس طرح لگایا جا سکتا ہے

$$ \begin{aligned} \Delta L & =[(F \times L) /(Y \times A)] \\ & =\left[(1078 \times 0.5) /\left(9.4 \times 10^{9} \times 1.26 \times 10^{-3}\right)\right] \\ & =4.55 \times 10^{-5} \mathrm{~m} \text { or } 4.55 \times 10^{-3} \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

یہ ایک بہت چھوٹی تبدیلی ہے! ران کی ہڈی میں جزوی کمی $\Delta L / L=0.000091$ یا $0.0091 \%$ ہے۔

8.5.2 کترنے کا معیار (Shear Modulus)

کترنے والے تناؤ اور اس کے مطابق کترنے والے کھنچاؤ کے تناسب کو مواد کا کترنے کا معیار (shear modulus) کہا جاتا ہے اور اسے $G$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اسے سختی کا معیار (modulus of rigidity) بھی کہا جاتا ہے۔

$$ \begin{align*} G & =\text { shearing stress }\left(\sigma_{\mathrm{s}}\right) / \text { shearing strain } \\ G & =(F / A) /(\Delta x / L) \\ & =(F \times L) /(A \times \Delta x) \tag{8.10} \end{align*} $$

اسی طرح، مساوات (9.4) سے

$$ \begin{align*} G & =(F / A) / \theta \\ & =F /(A \times \theta) \tag{8.11} \end{align*} $$

کترنے والا تناؤ $\sigma_{\mathrm{s}}$ کو اس طرح بھی ظاہر کیا جا سکتا ہے

$$ \begin{equation*} \sigma_{\mathrm{s}}=G \times \theta \tag{8.12} \end{equation*} $$

کترنے کے معیار کی SI اکائی $\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}$ یا $\mathrm{Pa}$ ہے۔ کچھ عام مواد کے کترنے کے معیار جدول 9.2 میں دیے گئے ہیں۔ دیکھا جا سکتا ہے کہ کترنے کا معیار (یا سختی کا معیار) عام طور پر ینگ کے معیار (جدول 9.1 سے) سے کم ہوتا ہے۔ زیادہ تر مواد کے لیے $G \approx Y / 3$۔

جدول 8.2 کچھ عام مواد کے کترنے کے معیار (G)

مثال 8.4 ایک مربع سیسے کی سلاب جس کا ضلع 50 $\mathrm{cm}$ اور موٹائی $10 \mathrm{~cm}$ ہے، ایک کترنے والی قوت (اس کے تنگ چہرے پر) $9.0 \times$ $10^{4} \mathrm{~N}$ کے تابع ہے۔ نچلا کنارہ فرش سے ریویٹ کیا گیا ہے۔ اوپری کنارہ کتنا جابجا ہوگا؟

جواب سیسے کی سلاب مقرر ہے اور قوت تنگ چہرے کے متوازی لگائی گئی ہے جیسا کہ شکل 8.6 میں دکھایا گیا ہے۔ اس چہرے کا رقبہ جس کے متوازی یہ قوت لگائی گئی ہے

$$ \begin{aligned} A & =50 \mathrm{~cm} \times 10 \mathrm{~cm} \\ & =0.5 \mathrm{~m} \times 0.1 \mathrm{~m} \\ & =0.05 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$

لہٰذا، لگایا گیا تناؤ ہے

$$ \begin{aligned} & =\left(9.4 \times 10^{4} \mathrm{~N} / 0.05 \mathrm{~m}^{2}\right) \\ & =1.80 \times 10^{6} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}^{-2} \end{aligned} $$

شکل 8.5

ہم جانتے ہیں کہ کترنے والا کھنچاؤ $=(\Delta x / L)=$ تناؤ $/ G$.

لہٰذا جابجائی $\Delta x=($ تناؤ $\times L) / G$

$=\left(1.8 \times 10^{6} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2} \times 0.5 \mathrm{~m}\right) /\left(5.6 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}\right)$ $=1.6 \times 10^{-4} \mathrm{~m}=0.16 \mathrm{~mm}$

8.5.3 حجمی معیار (Bulk Modulus)

قطعہ (8.3) میں، ہم نے دیکھا ہے کہ جب کوئی جسم سیال میں ڈوبا ہوا ہوتا ہے، تو وہ ہائیڈرولک تناؤ (hydraulic stress) کے تابع ہوتا ہے (جو ہائیڈرولک دباؤ کے حجم میں برابر ہوتا ہے)۔ اس سے جسم کے حجم میں کمی آتی ہے جس سے حجمی کھنچاؤ (volume strain) [مساوات (8.5)] پیدا ہوتا ہے۔ ہائیڈرولک تناؤ اور اس کے مطابق ہائیڈرولک کھنچاؤ کے تناسب کو حجمی معیار (bulk modulus) کہا جاتا ہے۔ اسے علامت $B$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

$$ \begin{equation*} B=-p /(\Delta V / V) \tag{8.12} \end{equation*} $$

منفی علامت اس حقیقت کی طرف اشارہ کرتی ہے کہ دباؤ میں اضافے کے ساتھ، حجم میں کمی واقع ہوتی ہے۔ یعنی، اگر $p$ مثبت ہے، تو $\Delta V$ منفی ہے۔ اس طرح توازن میں موجود نظام کے لیے، حجمی معیار $B$ کی قیمت ہمیشہ مثبت ہوتی ہے۔ حجمی معیار کی SI اکائی دباؤ کی اکائی کے برابر ہے یعنی $\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}$ یا $\mathrm{Pa}$۔ کچھ عام مواد کے حجمی معیار جدول 8.3 میں دیے گئے ہیں۔

حجمی معیار کا معکوس (reciprocal) سمپٹیبلٹی (compressibility) کہلاتا ہے اور اسے $k$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اسے فی اکائی دباؤ میں اضافے پر حجم میں جزوی تبدیلی کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔

$$ \begin{equation*} k=(1 / B)=-(1 / \Delta p) \times(\Delta V / V) \tag{8.13} \end{equation*} $$

جدول 8.3 میں دیے گئے ڈیٹا سے دیکھا جا سکتا ہے کہ ٹھوس اجسام کے حجمی معیار مائعات کے مقابلے میں بہت زیادہ