زیادہ تر علوم میں ایک نسل وہ سب کچھ گرادیتی ہے جو دوسری نے تعمیر کیا ہوتا ہے اور جو ایک نے قائم کیا ہوتا ہے دوسرا اسے مٹا دیتا ہے۔ ریاضی میں اکیلے ہر نسل پرانی عمارت پر ایک نئی منزل تعمیر کرتی ہے۔ - ہرمن ہینکل

10.1 تعارف

ہماری روزمرہ زندگی میں، ہمیں بہت سے سوالات کا سامنا ہوتا ہے جیسے - آپ کی قد کتنی ہے؟ ایک فٹ بال کھلاڑی کو گیند کو کس طرح مارنا چاہیے تاکہ وہ اپنی ٹیم کے دوسرے کھلاڑی کو پاس دے سکے؟ غور کریں کہ پہلے سوال کا ممکنہ جواب 1.6 میٹر ہو سکتا ہے، ایک مقدار جو صرف ایک قدر (شدت) پر مشتمل ہے جو ایک حقیقی عدد ہے۔ ایسی مقداروں کو سکیلر کہتے ہیں۔ تاہم، دوسرے سوال کا جواب ایک ایسی مقدار (جسے قوت کہتے ہیں) ہے جو عضلاتی طاقت (شدت) اور سمت (جس میں دوسرا کھلاڑی موجود ہے) پر مشتمل ہے۔ ایسی مقداروں کو ویکٹر کہتے ہیں۔ ریاضی، طبیعیات اور انجینئرنگ میں، ہم اکثر دونوں قسم کی مقداروں سے سامنا کرتے ہیں، یعنی، سکیلر مقداروں جیسے لمبائی، کمیت، وقت، فاصلہ، رفتار، رقبہ، حجم، درجہ حرارت، کام، پیسہ، وولٹیج، کثافت، مزاحمت وغیرہ اور ویکٹر مقداروں جیسے جابجائی، سمتار، اسراع، قوت، وزن، معیار حرکت، برقی میدان کی شدت وغیرہ۔

ڈبلیو آر ہیملٹن $(1805-1865)$

اس باب میں، ہم ویکٹرز کے بارے میں کچھ بنیادی تصورات، ویکٹرز پر مختلف عملیات، اور ان کی الجبرائی اور ہندسی خصوصیات کا مطالعہ کریں گے۔ یہ دونوں قسم کی خصوصیات، جب ایک ساتھ مدنظر رکھی جائیں، ویکٹرز کے تصور کو مکمل طور پر سمجھنے میں مدد دیتی ہیں، اور اوپر بیان کردہ مختلف شعبوں میں ان کی اہم کارکردگی کی راہ ہموار کرتی ہیں۔

10.2 کچھ بنیادی تصورات

فرض کریں ‘$l$’ سطح یا تین جہتی خلا میں کوئی سیدھی لکیر ہے۔ اس لکیر کو تیر کے نشانات کے ذریعے دو سمتوں میں دیا جا سکتا ہے۔ جس لکیر کی سمت مقرر کر دی گئی ہو اسے ہدایت شدہ لکیر کہتے ہیں (شکل 10.1 (i)، (ii))۔

شکل 10.1

اب غور کریں کہ اگر ہم لکیر $l$ کو لکیری قطعہ AB تک محدود کر دیں، تو لکیر $l$ پر دو سمتوں میں سے ایک کے ساتھ ایک شدت مقرر ہو جاتی ہے، جس سے ہمیں ایک ہدایت شدہ لکیری قطعہ ملتا ہے (شکل 10.1(iii))۔ اس طرح، ایک ہدایت شدہ لکیری قطعہ میں شدت کے ساتھ ساتھ سمت بھی ہوتی ہے۔

تعریف 1 ایسی مقدار جس میں شدت کے ساتھ ساتھ سمت بھی ہو، ویکٹر کہلاتی ہے۔

نوٹ کریں کہ ایک ہدایت شدہ لکیری قطعہ ایک ویکٹر ہے (شکل 10.1(iii))، جسے $\overrightarrow{{}AB}$ یا صرف $\vec{a}$ سے ظاہر کیا جاتا ہے، اور ‘ویکٹر $\overrightarrow{{}AB}$’ یا ‘ویکٹر $\vec{a}$’ پڑھا جاتا ہے۔

نقطہ $A$ جہاں سے ویکٹر $\overrightarrow{{}AB}$ شروع ہوتا ہے اس کا ابتدائی نقطہ کہلاتا ہے، اور نقطہ $B$ جہاں یہ ختم ہوتا ہے اس کا اختتامی نقطہ کہلاتا ہے۔ ویکٹر کے ابتدائی اور اختتامی نقاط کے درمیان فاصلے کو ویکٹر کی شدت (یا لمبائی) کہتے ہیں، جسے $|\overrightarrow{{}AB}|$، یا $|\vec{a}|$، یا $a$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ تیر ویکٹر کی سمت کی نشاندہی کرتا ہے۔

نوٹ چونکہ لمبائی کبھی منفی نہیں ہوتی، اس لیے علامت $|\vec{a}|<0$ کا کوئی مطلب نہیں ہے۔

مقامی ویکٹر

کلاس گیارہ سے، تین جہتی دائیں ہاتھ کے مستطیل محدد نظام کو یاد کریں (شکل 10.2(i))۔ خلا میں ایک نقطہ $P$ پر غور کریں، جس کے مبدا $O(0,0,0)$ کے حوالے سے محدد $(x, y, z)$ ہیں۔ پھر، ویکٹر $\overrightarrow{{}OP}$ جس کے ابتدائی اور اختتامی نقاط بالترتیب $O$ اور $P$ ہیں، نقطہ $P$ کا مبدا $O$ کے حوالے سے مقامی ویکٹر کہلاتا ہے۔ فاصلے کے فارمولے (کلاس گیارہ سے) کا استعمال کرتے ہوئے، $\overrightarrow{{}OP}$ (یا $\vec{r}$) کی شدت اس طرح دی جاتی ہے

$$ |\overrightarrow{{}OP}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} $$

عملی طور پر، نقاط $A, B, C$ وغیرہ کے مقامی ویکٹر، مبدا $O$ کے حوالے سے، بالترتیب $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ وغیرہ سے ظاہر کیے جاتے ہیں (شکل 10.2 (ii))۔

شکل 10.2

سمتی کوسائنز

نقطہ $P(x, y, z)$ کے مقامی ویکٹر $\overrightarrow{{}OP}$ (یا $\vec{r}$) پر غور کریں جیسا کہ شکل 10.3 میں ہے۔ زاویے $\alpha$، $\beta, \gamma$ جو ویکٹر $\vec{r}$ $x, y$ اور $z$-محوروں کی مثبت سمتوں کے ساتھ بناتا ہے، بالترتیب، اس کے سمیتی زاویے کہلاتے ہیں۔ ان زاویوں کی کوسائن قدریں، یعنی $\cos \alpha, \cos \beta$ اور $\cos \gamma$ ویکٹر $\vec{r}$ کے سمیتی کوسائن کہلاتے ہیں، اور عام طور پر انہیں بالترتیب $l, m$ اور $n$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

شکل 10.3 سے، کوئی نوٹ کر سکتا ہے کہ مثلث OAP قائم الزاویہ ہے، اور اس میں، ہمارے پاس $\cos \alpha=\frac{x}{r}(r$ ہے جو $|\vec{r}|)$ کے لیے کھڑا ہے۔ اسی طرح، قائم الزاویہ مثلث OBP اور OCP سے، ہم $\cos \beta=\frac{y}{r}$ اور $\cos \gamma=\frac{z}{r}$ لکھ سکتے ہیں۔ اس طرح، نقطہ P کے محدد بھی $(l r, m r, n r)$ کے طور پر ظاہر کیے جا سکتے ہیں۔ اعداد $l r, m r$ اور $n r$، جو سمیتی کوسائنز کے متناسب ہیں، ویکٹر $\vec{r}$ کے سمیتی تناسب کہلاتے ہیں، اور انہیں بالترتیب $a, b$ اور $c$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

نوٹ کوئی نوٹ کر سکتا ہے کہ $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$ لیکن $a^{2}+b^{2}+c^{2} \neq 1$، عام طور پر۔

10.3 ویکٹرز کی اقسام

صفر ویکٹر ایک ویکٹر جس کے ابتدائی اور اختتامی نقاط منطبق ہوں، صفر ویکٹر (یا نل ویکٹر) کہلاتا ہے، اور اسے $\overrightarrow{{}0}$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ صفر ویکٹر کو کوئی مخصوص سمت نہیں دی جا سکتی کیونکہ اس کی شدت صفر ہے۔ یا، متبادل طور پر، اسے کوئی بھی سمت سمجھا جا سکتا ہے۔ ویکٹرز $\overrightarrow{{}AA}, \overrightarrow{{}BB}$ صفر ویکٹر کی نمائندگی کرتے ہیں،

اکائی ویکٹر ایک ویکٹر جس کی شدت یکسانی (یعنی، 1 اکائی) ہو، اکائی ویکٹر کہلاتا ہے۔ کسی دیے گئے ویکٹر $\vec{a}$ کی سمت میں اکائی ویکٹر کو $\hat{a}$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ہم ابتدا ویکٹرز دو یا زیادہ ویکٹرز جن کا ابتدائی نقطہ ایک ہو، ہم ابتدا ویکٹرز کہلاتے ہیں۔

ہم خطی ویکٹرز دو یا زیادہ ویکٹرز ہم خطی کہلاتے ہیں اگر وہ ایک ہی لکیر کے متوازی ہوں، چاہے ان کی شدتیں اور سمتیں کچھ بھی ہوں۔

برابر ویکٹرز دو ویکٹرز $\vec{a}$ اور $\vec{b}$ برابر کہلاتے ہیں، اگر ان کی شدت اور سمت ایک جیسی ہو چاہے ان کے ابتدائی نقاط کی پوزیشن کچھ بھی ہو، اور اسے $\vec{a}=\vec{b}$ لکھا جاتا ہے۔

ویکٹر کا منفی ایک ویکٹر جس کی شدت کسی دیے گئے ویکٹر (مثلاً، $\overrightarrow{{}AB}$) جتنی ہو، لیکن سمت اس کے مخالف ہو، دیے گئے ویکٹر کا منفی کہلاتا ہے۔ مثال کے طور پر، ویکٹر $\overrightarrow{{}BA}$ ویکٹر $\overrightarrow{{}AB}$ کا منفی ہے، اور اسے $\overrightarrow{{}BA}=-\overrightarrow{{}AB}$ لکھا جاتا ہے۔

تبصرہ اوپر بیان کردہ ویکٹرز ایسے ہیں کہ ان میں سے کسی کو بھی اس کی شدت اور سمت کو تبدیل کیے بغیر اس کے متوازی جابجائی کے تابع کیا جا سکتا ہے۔ ایسے ویکٹرز آزاد ویکٹرز کہلاتے ہیں۔ اس پورے باب میں، ہم صرف آزاد ویکٹرز کے ساتھ معاملہ کریں گے۔

مثال 1 جنوب کے مغرب میں $40 km, 30^{\circ}$ کی جابجائی کو گرافیکی طور پر ظاہر کریں۔

حل ویکٹر $\overrightarrow{{}OP}$ مطلوبہ جابجائی کی نمائندگی کرتا ہے (شکل 10.4)۔

شکل 10.4

مثال 2 درج ذیل پیمائشوں کو درجہ بندی کریں سکیلر اور ویکٹرز کے طور پر۔

(i) $5 \mathrm{~s}$

(ii) $1000 \mathrm{~cm}^{3}$

(iii) $10 \mathrm{~N}$

(iv) $30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$

(v) $10 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}$

(vi) $20 m / s$ شمال کی طرف

حل

(i) وقت-سکیلر

(ii) حجم-سکیلر

(iii) قوت-ویکٹر

(iv) رفتار-سکیلر

(v) کثافت-سکیلر

(vi) سمتار-ویکٹر

مثال 3 شکل 10.5 میں، کون سے ویکٹرز ہیں:

(i) ہم خطی

(ii) برابر

(iii) ہم ابتدا

حل

(i) ہم خطی ویکٹرز: $\vec{a}, \vec{c}$ اور $\vec{d}$۔

(ii) برابر ویکٹرز: $\vec{a}$ اور $\vec{c}$۔

(iii) ہم ابتدا ویکٹرز: $\vec{b}, \vec{c}$ اور $\vec{d}$۔

10.4 ویکٹرز کا جمع

ایک ویکٹر $\overrightarrow{{}AB}$ کا مطلب صرف نقطہ A سے نقطہ $B$ تک جابجائی ہے۔ اب ایک ایسی صورت حال پر غور کریں کہ ایک لڑکی $A$ سے $B$ اور پھر $B$ سے $C$ تک جاتی ہے (شکل 10.7)۔ لڑکی کی طرف سے نقطہ $A$ سے نقطہ $C$ تک کل جابجائی، ویکٹر $\overrightarrow{{}AC}$ سے دی جاتی ہے اور اس طرح ظاہر کی جاتی ہے

شکل 10.7

$ \overrightarrow{{}AC}=\overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC} $

اسے ویکٹر جمع کا مثلثی قانون کہتے ہیں۔

عام طور پر، اگر ہمارے پاس دو ویکٹرز $\vec{a}$ اور $\vec{b}$ ہوں (شکل 10.8 (i))، تو انہیں جمع کرنے کے لیے، انہیں اس طرح رکھا جاتا ہے کہ ایک کا ابتدائی نقطہ دوسرے کے اختتامی نقطہ سے منطبق ہو جائے (شکل 10.8(ii))۔

شکل 10.8

مثال کے طور پر، شکل 10.8 (ii) میں، ہم نے ویکٹر $\vec{b}$ کو اس کی شدت اور سمت کو تبدیل کیے بغیر اس طرح منتقل کیا ہے کہ اس کا ابتدائی نقطہ $\vec{a}$ کے اختتامی نقطہ سے منطبق ہو جائے۔ پھر، ویکٹر $\vec{a}+\vec{b}$، جو مثلث $ABC$ کی تیسری ضلع $AC$ سے ظاہر ہوتا ہے، ہمیں ویکٹرز $\vec{a}$ اور $\vec{b}$ کا مجموعہ (یا حاصل جمع) دیتا ہے یعنی، مثلث $ABC$ میں (شکل 10.8 (ii))، ہمارے پاس ہے

$ \overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}=\overrightarrow{{}AC} $

اب پھر، چونکہ $\overrightarrow{{}AC}=-\overrightarrow{{}CA}$، اوپر دیے گئے مساوات سے، ہمارے پاس ہے

$$ \overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}+\overrightarrow{{}CA}=\overrightarrow{{}AA}=\overrightarrow{{}0} $$

اس کا مطلب ہے کہ جب مثلث کی اضلاع کو ترتیب میں لیا جاتا ہے، تو یہ صفر حاصل جمع کی طرف لے جاتا ہے کیونکہ ابتدائی اور اختتامی نقاط منطبق ہو جاتے ہیں (شکل 10.8(iii))۔

اب، ایک ویکٹر $\overrightarrow{{}BC^{\prime}}$ اس طرح تعمیر کریں کہ اس کی شدت ویکٹر $\overrightarrow{{}BC}$ جتنی ہی ہو، لیکن سمت اس کے مخالف ہو (شکل 10.8 (iii))، یعنی، $ \overrightarrow{{}BC^{\prime}}=-\overrightarrow{{}BC} $ پھر، شکل 10.8 (iii) سے مثلثی قانون کا اطلاق کرنے پر، ہمارے پاس ہے $ \overrightarrow{{}AC^{\prime}}=\overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC^{\prime}}=\overrightarrow{{}AB}+(-\overrightarrow{{}BC})=\vec{a}-\vec{b} $

ویکٹر $\overrightarrow{{}AC^{\prime}}$ کو $\vec{a}$ اور $\vec{b}$ کے فرق کی نمائندگی کرنے والا کہا جاتا ہے۔

اب، ایک کشتی پر غور کریں جو دریا میں دریا کے بہاؤ کے عمود سمت میں دریا کے ایک کنارے سے دوسرے کنارے تک جا رہی ہے۔ پھر، اس پر دو سمتاری ویکٹرز اثر انداز ہوتے ہیں- ایک وہ سمتار ہے جو کشتی کے انجن کے ذریعے کشتی کو دی جاتی ہے اور دوسری دریا کے پانی کے بہاؤ کی سمتار ہے۔ ان دو سمتاروں کے ہمزمان اثر کے تحت، کشتی اصل میں ایک مختلف سمتار کے ساتھ سفر کرنا شروع کرتی ہے۔ کشتی کی مؤثر رفتار اور سمت (یعنی، حاصل سمتار) کے بارے میں صحیح تصور حاصل کرنے کے لیے، ہمارے پاس ویکٹر جمع کا درج ذیل قانون ہے۔

اگر ہمارے پاس دو ویکٹرز $\vec{a}$ اور $\vec{b}$ ہوں جو متوازی الاضلاع کی دو متصل اضلاع سے شدت اور سمت میں ظاہر ہوں (شکل 10.9)، تو ان کا مجموعہ $\vec{a}+\vec{b}$ شدت اور سمت میں ان کے مشترکہ نقطہ سے گزرنے والے متوازی الاضلاع کے قطر سے ظاہر ہوتا ہے۔ اسے ویکٹر جمع کا متوازی الاضلاع کا قانون کہتے ہیں۔

شکل 10.9

نوٹ شکل 10.9 سے، مثلثی قانون کا استعمال کرتے ہوئے، کوئی نوٹ کر سکتا ہے کہ

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ یا $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ (چونکہ $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$)

جو متوازی الاضلاع کا قانون ہے۔ اس طرح، ہم کہہ سکتے ہیں کہ ویکٹر جمع کے دو قانون ایک دوسرے کے مساوی ہیں۔

ویکٹر جمع کی خصوصیات

خصوصیت 1 کسی بھی دو ویکٹرز $\vec{a}$ اور $\vec{b}$ کے لیے،

$ \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a} $

(مبادلہ خصوصیت) ثبوت متوازی الاضلاع $ABCD$ پر غور کریں (شکل 10.10)۔ فرض کریں $\overrightarrow{{}AB}=\vec{a}$ اور $\overrightarrow{{}BC}=\vec{b}$، پھر مثلثی قانون کا استعمال کرتے ہوئے، مثلث $ABC$ سے، ہمارے پاس ہے $ \overrightarrow{{}AC}=\vec{a}+\vec{b} $

اب، چونکہ متوازی الاضلاع کی مخالف اضلاع برابر اور متوازی ہوتی ہیں، شکل 10.10 سے، ہمارے پاس ہے، $\overrightarrow{{}AD}=\overrightarrow{{}BC}=\vec{b}$ اور $\overrightarrow{{}DC}=\overrightarrow{{}AB}=\vec{a}$۔ پھر مثلثی قانون کا استعمال کرتے ہوئے،

شکل 10.10 مثلث $ADC$ سے، ہمارے پاس ہے

$ \overrightarrow{{}AC}=\overrightarrow{{}AD}+\overrightarrow{{}DC}=\vec{b}+\vec{a} $

لہذا

$ \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a} $

خصوصیت 2 کسی بھی تین ویکٹرز $a, b$ اور $c$ کے لیے

$ (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c}) $

ثبوت ویکٹرز $\vec{a}, \vec{b}$ اور $\vec{c}$ کو بالترتیب $\overrightarrow{{}PQ}, \overrightarrow{{}QR}$ اور $\overrightarrow{{}RS}$ سے ظاہر ہونے دیں، جیسا کہ شکل 10.11(i) اور (ii) میں دکھایا گیا ہے۔

شکل 10.11

پھر $$\quad\quad\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{{}PQ}+\overrightarrow{{}QR}=\overrightarrow{{}PR}$$

اور $$ \quad\quad\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{{}QR}+\overrightarrow{{}RS}=\overrightarrow{{}QS}$$

تو $$ \quad\quad(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\overrightarrow{{}PR}+\overrightarrow{{}RS}=\overrightarrow{{}PS}$$

اور $$\quad \quad\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=\overrightarrow{{}PQ}+\overrightarrow{{}QS}=\overrightarrow{{}PS}$$

لہذا $$\quad(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$$

تبصرہ ویکٹر جمع کی اشتراکی خصوصیت ہمیں تین ویکٹرز $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ کے مجموعہ کو بغیر قوسوں کے $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ لکھنے کے قابل بناتی ہے۔

نوٹ کریں کہ کسی بھی ویکٹر $a$ کے لیے، ہمارے پاس ہے

$$ \vec{a}+\overrightarrow{{}0}=\overrightarrow{{}0}+\vec{a}=\vec{a} $$

یہاں، صفر ویکٹر $\overrightarrow{{}0}$ کو ویکٹر جمع کے لیے جمعی شناخت کہتے ہیں۔

10.5 ویکٹر کو سکیلر سے ضرب دینا

فرض کریں $\vec{a}$ ایک دیا گیا ویکٹر ہے اور $\lambda$ ایک سکیلر ہے۔ پھر ویکٹر $\vec{a}$ کو سکیلر $\lambda$ سے ضرب دینے کا حاصل، جسے $\lambda \vec{a}$ سے ظاہر کیا جاتا ہے، ویکٹر $\vec{a}$ کو سکیلر $\lambda$ سے ضرب دینا کہلاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ، $\lambda \vec{a}$ بھی ایک ویکٹر ہے، جو ویکٹر $\vec{a}$ کے ہم خطی ہے۔ ویکٹر $\lambda \vec{a}$ کی سمت ویکٹر $\vec{a}$ جیسی ہی (یا مخالف) ہوتی ہے اس کے مطابق جیسے $\lambda$ کی قدر مثبت (یا منفی) ہو۔ نیز، ویکٹر $\lambda \vec{a}$ کی شدت ویکٹر $\vec{a}$ کی شدت کا $|\lambda|$ گنا ہوتی ہے، یعنی،

$$ |\lambda \vec{a}|=|\lambda||\vec{a}| $$

ویکٹر کو سکیلر سے ضرب دینے کی ایک ہندسی تصور شکل 10.12 میں دی گئی ہے۔

شکل 10.12

جب $\lambda=-1$، تو $\lambda \vec{a}=-\vec{a}$، جو ایک ویکٹر ہے جس کی شدت $\vec{a}$ کی شدت کے برابر ہوتی ہے اور سمت $\vec{a}$ کی سمت کے مخالف ہوتی ہے۔ ویکٹر $-\vec{a}$ کو ویکٹر $\vec{a}$ کا منفی (یا جمعی معکوس) کہتے ہیں اور ہمارے پاس ہمیشہ ہوتا ہے

$ \vec{a}+(-\vec{a})=(-\vec{a})+\vec{a}=\overrightarrow{{}0} $

نیز، اگر $\lambda=\frac{1}{|a|}$، بشرطیکہ $\vec{a} \neq 0$ یعنی $\vec{a}$ صفر ویکٹر نہ ہو،

تو $$ |\lambda \vec{a}|=|\lambda||\vec{a}|=\frac{1}{|\vec{a}|}|\vec{a}|=1 $$

لہذا، $\lambda \vec{a}$ ویکٹر $\vec{a}$ کی سمت میں اکائی ویکٹر کی نمائندگی کرتا ہے۔ ہم اسے اس طرح لکھتے ہیں

$$ \hat{a}=\frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a} $$

نوٹ کسی بھی سکیلر $k, k \overrightarrow{{}0}=\overrightarrow{{}0}$ کے لیے۔

10.5.1 ویکٹر کے اجزاء

آئیے نقاط $A(1,0,0), B(0,1,0)$ اور $C(0,0,1)$ کو بالترتیب $x$-محور، $y$-محور اور $z$-محور پر لیں۔ پھر، واضح طور پر

$$ |\overrightarrow{{}OA}|=1,|\overrightarrow{{}OB}|=1 \text{ and }|\overrightarrow{{}OC}|=1 $$

ویکٹرز $\overrightarrow{{}OA}, \overrightarrow{{}OB}$ اور $\overrightarrow{{}OC}$، جن میں سے ہر ایک کی شدت 1 ہے، بالترتیب محوروں $OX, OY$ اور $OZ$ کے ساتھ اکائی ویکٹر کہلاتے ہیں، اور انہیں بالترتیب $\hat{i}, \hat{j}$ اور $\hat{k}$ سے ظاہر کیا جاتا ہے (شکل 10.13)۔

اب، نقطہ $P(x, y, z)$ کے مقامی ویکٹر $\overline{OP}$ پر غور کریں شکل 10.13 جیسا کہ شکل 10.14 میں ہے۔ فرض کریں $P_1$ نقطہ $P$ سے سطح XOY پر عمود کا پاؤں ہے۔ ہم اس طرح دیکھتے ہیں کہ $P_1 P$ $z$-محور کے متوازی ہے۔ چونکہ $\hat{i}, \hat{j}$ اور $\hat{k}$ بالترتیب $x, y$ اور $z$-محوروں کے ساتھ اکائی ویکٹر ہیں، اور نقطہ $P$ کے محدد کی تعریف کے مطابق، ہمارے پاس $\overrightarrow{{}P_1 P}=\overrightarrow{{}OR}=z \hat{k}$ ہے۔ اسی طرح، $\overrightarrow{{}QP_1}=\overrightarrow{{}OS}=y \hat{j}$ اور $\overrightarrow{{}OQ}=x \hat{i}$۔

لہذا، اس سے یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ

$$ \begin{aligned} & \overrightarrow{{}OP_1}=\overrightarrow{{}OQ}+\overrightarrow{{}QP_1}=x \hat{i}+y \hat{j} \\ & \overrightarrow{{}OP}=\overrightarrow{{}OP_1}+\overrightarrow{{}P_1 P}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} \end{aligned} $$

لہذا، نقطہ $P$ کا مبدا $O$ کے حوالے سے مقامی ویکٹر اس طرح دیا جاتا ہے

$ \overrightarrow{{}OP}(\text{ یا } \vec{r})=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} $

کسی بھی ویکٹر کی یہ شکل اس کی جزوی شکل کہلاتی ہے۔ یہاں، $x, y$ اور $z$ کو $\vec{r}$ کے سکیلر اجزاء کہتے ہیں، اور $x \hat{i}, y \hat{j}$ اور $z \hat{k}$ کو $\vec{r}$ کے متعلقہ محوروں کے ساتھ ویکٹر اجزاء کہتے ہیں۔ کبھی کبھی $x, y$ اور $z$ کو مستطیلی اجزاء بھی کہا جاتا ہے۔

کسی بھی ویکٹر $\vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ کی لمبائی، فیثاغورث کے نظریے کو دو بار لاگو کرکے آسانی سے معلوم کی جا سکتی ہے۔ ہم نوٹ کرتے ہیں کہ قائم الزاویہ مثلث OQP میں (شکل 10.14) $^{\text{(F) }}$

$$ |\overrightarrow{{}OP_1}|=\sqrt{|\overrightarrow{{}OQ}|^{2}+|\overrightarrow{{}QP_1}|^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, $$

اور قائم الزاویہ مثلث $OP_1 P$ میں، ہمارے پاس ہے

$$ \overrightarrow{{}OP}=\sqrt{|\overrightarrow{{}OP_1}|^{2}+|\overrightarrow{{}P_1 P}|^{2}}=\sqrt{(x^{2}+y^{2})+z^{2}} $$

لہذا، کسی بھی ویکٹر $\vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ کی لمبائی اس طرح دی جاتی ہے $$ |\vec{r}|=|x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} $$

اگر $\vec{a}$ اور $\vec{b}$ کوئی دو ویکٹرز جزوی شکل $a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$ اور $b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}$ میں دیے گئے ہوں، بالترتیب، تو

(i) ویکٹرز $\vec{a}$ اور $\vec{b}$ کا مجموعہ (یا حاصل جمع) اس طرح دیا جاتا ہے

$$ \vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1) \hat{i}+(a_2+b_2) \hat{j}+(a_3+b_3) \hat{k} $$

(ii) ویکٹر $\vec{a}$ اور $\vec{b}$ کا فرق اس طرح دیا جاتا ہے

$$ \vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1) \hat{i}+(a_2-b_2) \hat{j}+(a_3-b_3) \hat{k} $$

(iii) ویکٹرز $\vec{a}$ اور $\vec{b}$ برابر ہوں گے اگر اور صرف اگر

$$ a_1=b_1, a_2=b_2 \quad \text{ and } \quad a_3=b_3 $$

(iv) ویکٹر $\vec{a}$ کو کسی سکیلر $\lambda$ سے ضرب دینے کا حاصل اس طرح دیا جاتا ہے

$$ \lambda \vec{a}=(\lambda a_1) \hat{i}+(\lambda a_2) \hat{j}+(\lambda a_3) \hat{k} $$

ویکٹرز کا جمع اور ویکٹر کو سکیلر سے ضرب دینا مل کر درج ذیل تقسیمی قوانین دیتے ہیں:

فرض کریں $\vec{a}$ اور $\vec{b}$ کوئی دو ویکٹرز ہیں، اور $k$ اور $m$ کوئی سکیلرز ہیں۔ پھر

(i) $k \vec{a}+m \vec{a}=(k+m) \vec{a}$

(ii) $k(m \vec{a})=(k m) \vec{a}$

(iii) $k(\vec{a}+\vec{b})=k \vec{a}+k \vec{b}$

تبصرے

(i) کوئی نوٹ کر سکتا ہے کہ $\lambda$ کی قدر کچھ بھی ہو، ویکٹر $\lambda \vec{a}$ ہمیشہ ویکٹر $\vec{a}$ کے ہم خطی ہوتا ہے۔ درحقیقت، دو ویکٹرز $\vec{a}$ اور $\vec{b}$ ہم خطی ہوتے ہیں اگر اور صرف اگر ایک غیر صفر سکیلر $\lambda$ موجود ہو جیسے کہ $\vec{b}=\lambda \vec{a}$۔ اگر ویکٹرز $\vec{a}$ اور $\vec{b}$ جزوی شکل میں دیے گئے ہوں، یعنی $\vec{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$ اور $\vec{b}=b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}$، تو دو ویکٹرز ہم خطی ہوں گے اگر اور صرف اگر

$$ \begin{array}{cc} & b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}=\lambda\left(a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}\right) \\ \Leftrightarrow & b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}=\left(\lambda a_1\right) \hat{i}+\left(\lambda a_2\right) \hat{j}+\left(\lambda a_3\right) \hat{k} \\ \Leftrightarrow & b_1=\lambda a_1, b_2=\lambda a_2, b_3=\lambda a_3 \\ \Leftrightarrow & \frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}=\frac{b_3}{a_3}=\lambda \end{array} $$

(ii) اگر $\vec{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$، تو $a_1, a_2, a_3$ کو $\vec{a}$ کے سمیتی تناسب بھی کہتے ہیں۔

(iii) اگر یہ دیا گیا ہو کہ $l, m, n$ کسی ویکٹر کے سمیتی کوسائن ہیں، تو $l \hat{i}+m \hat{j}+n \hat{k}$ $=(\cos \alpha) \hat{i}+(\cos \beta) \hat{j}+(\cos \gamma) \hat{k}$ اس ویکٹر کی سمت میں اکائی ویکٹر ہے، جہاں $\alpha, \beta$ اور $\gamma$ وہ زاویے ہیں جو ویکٹر $x, y$ اور $z$ محوروں کے ساتھ بناتا ہے۔

مثال 4 $x, y$ اور $z$ کی قدریں معلوم کریں تاکہ ویکٹرز $\vec{a}=x \hat{i}+2 \hat{j}+z \hat{k}$ اور $\vec{b}=2 \hat{i}+y \hat{j}+\hat{k}$ برابر ہوں۔

حل نوٹ کریں کہ دو ویکٹرز برابر ہوتے ہیں اگر اور صرف اگر ان کے متعلقہ اجزاء برابر ہوں۔ اس طرح، دیے گئے ویکٹرز $\vec{a}$ اور $\vec{b}$ برابر ہوں گے اگر اور صرف اگر $ x=2, y=2, z=1 $

مثال 5 فرض کریں $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}$ اور $\vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}$۔ کیا $|\vec{a}|=|\vec{b}|$؟ کیا ویکٹرز $\vec{a}$ اور $\vec{b}$ برابر ہیں؟

حل ہمارے پاس $|\vec{a}|=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$ اور $|\vec{b}|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$ ہے

لہذا، $|\vec{a}|=|\vec{b}|$۔ لیکن، دو ویکٹرز برابر نہیں ہیں کیونکہ ان کے متعلقہ اجزاء مختلف ہیں۔

مثال 6 ویکٹر $\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$ کی سمت میں اکائی ویکٹر معلوم کریں

حل کسی ویکٹر $\vec{a}$ کی سمت میں اکائی ویکٹر اس طرح دیا جاتا ہے $\hat{a}=\frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a}$۔

اب $ |\vec{a}|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+1^{2}}=\sqrt{14} $

لہذا $ \hat{a}=\frac{1}{\sqrt{14}}(2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k})=\frac{2}{\sqrt{14}} \hat{i}+\frac{3}{\sqrt{14}} \hat{j}+\frac{1}{\sqrt{14}} \hat{k} $

مثال 7 ویکٹر $\vec{a}=\hat{i}-2 \hat{j}$ کی سمت میں ایک ویکٹر معلوم کریں جس کی شدت 7 اکائیاں ہو۔

حل دیے گئے ویکٹر $\vec{a}$ کی سمت میں اکائی ویکٹر ہے $ \hat{a}=\frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a}=\frac{1}{\sqrt{5}}(\hat{i}-2 \hat{j})=\frac{1}{\sqrt{5}} \hat{i}-\frac{2}{\sqrt{5}} \hat{j} $ لہذا، وہ ویکٹر جس کی شدت 7 کے برابر ہو اور ویکٹر $\vec{a}$ کی سمت میں ہو، ہے $ 7 \hat{a}=7(\frac{1}{\sqrt{5}} \hat{i}-\frac{2}{\sqrt{5