ریاضی کی اختراع کی جانبۂ حرکت نہ صرف تفکر بلکہ تخیل ہے۔ - ایڈمورگن

11.1 تعارف

دو ذیلیوں میں تحلیلی ریاضی کے ذریعے جدولہ اور تین ذیلیوں کی اندازی کے تعارف کے دوران، ہم صرف دائری طریقے پر توجہ دیتے تھے۔ اس کتاب کے پچھلے فصل میں، ہم نے ویکٹر کے بنیادی مفاہیم کو سیکھا ہے۔ اب ہم ویکٹر حساب کو تین ذیلیوں کی اندازی کے لیے استعمال کریں گے۔ 3-بعدی اندازی کے لیے اس طریقے کا مقصد یہ ہے کہ اس کی تدریس آسان اور خوبصورت* بن جائے۔

اس فصل میں، ہم دو نقطوں کے درمیان راستے کے انداز کوزین اور انداز کے تناسبی نمبروں پر بحث کریں گے، اور اسی طرح اس جگہ پر راستے اور مسافات کے معادلات کے بارے میں بات کریں گے، مختلف شرائط کے تحت، دو راستوں، دو مسافات، ایک راستا اور ایک مسافہ، اور ایک راستے اور ایک مسافہ کے درمیان زیادہ گہری فاصلہ، دو چھوٹے راستوں کے درمیان زیادہ گہری فاصلہ اور ایک نقطے سے ایک مسافہ کا فاصلہ۔ بہت سی مذکورہ بالا نتائج ویکٹر فارم میں حاصل کی جاتی ہیں۔ تاہم، ہم ان نتائج کو بھی دائری فارم میں ترجمان کریں گے جو، کبھی کبھار، موقع کی روایت کی ایک واضح ریاضیاتی اور شکلی تصویر کو پیش کرتی ہے۔

لیونڈ ہارڈ اویل $(\mathbf{1 7 0 7 - 1 7 8 3 })$

11.2 راستے کے انداز کوزین اور انداز کے تناسبی نمبر

فصل 10 سے یاد رہے کہ اگر ایک جائز راستہ $L$ صفر کے گزرتے ہوئے $\alpha, \beta$ اور $\gamma$ کے $x, y$ اور $z$-محوروں کے ساتھ علیحدہ علیحدہ زاویوں $\cos \alpha, \cos \beta$ اور $\cos \gamma$ کو پیدا کرتا ہے، جن کو انداز کے زاویے کہا جاتا ہے، تو ان زاویوں کے کوسائن، جیسے کہ $\cos \alpha, \cos \beta$ اور $\cos \gamma$، جائز راستے $L$ کے انداز کوزین کہلاتے ہیں۔

اگر ہم $L$ کی سمت کو محو کر دیں، تو انداز کے زاویے کی جگہ ان کے مکمل زاویوں کے ہو جاتے ہیں، یعنی $\pi-\alpha, \pi-\beta$ اور $\pi-\gamma$۔ اس لیے، انداز کوزین کے علامات بدل جاتے ہیں۔

شکل 11.1

نوٹ کریں کہ خاص جگہ پر ایک دیا گیا راستہ دو مختلف سمتوں میں چلا سکتا ہے اور اس کے دو مختلف انداز کوزین کے سیٹ ہو سکتے ہیں۔ خاص جگہ پر ایک راستے کے لیے ایک منفرد انداز کوزین کے سیٹ حاصل کرنے کے لیے، ہم اپنے آپ کو جائز راستے کے طور پر رکھیں گے۔ یہ منفرد انداز کوزین $l, m$ اور $n$ کے طور پر نشان زد کیے جاتے ہیں۔

تبصرہ اگر خاص جگہ پر دیا گیا راستہ صفر سے نہ گزرتا ہے، تو اس کے انداز کوزین حاصل کرنے کے لیے، ہم صفر سے اپنے آپ کو اس راستے کے ساتھ براہ راست شروع کرنے والے ایک راستے کے ذریعے کھینچتے ہیں۔ اب صفر سے دیا گیا جائز راستے میں سے ایک کے انداز کوزین حاصل کیے جاتے ہیں، کیونکہ دو براہ راست شروع کرنے والے راستے ایک ہی انداز کوزین کے سیٹ کے ساتھ ہوتے ہیں۔

راستے کے انداز کوزین کے تناسبی دوہرے عدد جو کہ راستے کے انداز کے تناسبی نمبر کہلاتے ہیں۔ اگر $l, m, n$ راستے کے انداز کوزین اور $a, b, c$ راستے کے انداز کے تناسبی نمبر ہیں، تو $a=\lambda l, b=\lambda m$ اور $c=\lambda n$، اور کسی بھی غیر صفر $\lambda \in \mathbf{R}$ کے لیے۔

نوٹ کچھ مترجموں نے انداز کے تناسبی نمبروں کو بھی انداز کے نمبروں کہا ہے۔

اگر $a, b, c$ راستے کے انداز کے تناسبی نمبر ہیں اور $l, m$ اور $n$ راستے کے انداز کوزین (د.س.) ہیں، تو

$$ \frac{l}{a}=\frac{m}{b}=\frac{n}{c}=k \text{ (say), } k \text{ being a constant. } $$

اس لیے $ \qquad l=a k, m=b k, n=c k $

لیکن $ \qquad l^{2}+m^{2}+n^{2}=1 $

اس لیے $ \qquad k^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=1 $

یا $ \qquad k= \pm \frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $

اس لیے، (1) سے راستے کے د.س. یہ ہیں $ \qquad l= \pm \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, m= \pm \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, n= \pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $

جہاں، $k$ کے مطلوبہ علامت کے لیے، $l, m$ اور $n$ کے لیے مثبت یا منفی علامت منتخب کی جاتی ہے۔ کسی بھی راستے کے لیے، اگر $a, b, c$ راستے کے انداز کے تناسبی نمبر ہیں، تو $k a, k b, k c ; k \neq 0$ بھی ایک سیٹ انداز کے تناسبی نمبر ہوتا ہے۔ اس لیے، کسی راستے کے دو سیٹ انداز کے تناسبی نمبر بھی تناسبی ہوتے ہیں۔ اسی طرح، کسی راستے کے لیے انداز کے تناسبی نمبروں کے لاہیہ میں بے نیاز ہوتے ہیں۔

11.2.1 دو نقطوں کے درمیان گزرنے والے راستے کے انداز کوزین

کیونکہ دو دیے گئے نقطوں سے ایک اور صرف ایک راستہ گزرتا ہے، اس لیے ہم دیے گئے نقطوں $P(x_1, y_1, z_1)$ اور $Q(x_2, y_2, z_2)$ کے درمیان گزرنے والے راستے کے انداز کوزین کو مساوی کر سکتے ہیں (شکل 11.2 (a))۔

شکل 11.2

اگر $l, m, n$ راستے PQ کے انداز کوزین ہیں اور $\alpha, \beta$ اور $\gamma$ $x, y$ اور $z$-محوروں کے ساتھ علیحدہ علیحدہ زاویوں کو پیدا کرتے ہیں،

$P$ اور $Q$ کو $XY$-مستوی سے عمودی طور پر کھینچ کر $R$ اور $S$ پر مل جاتے ہیں۔ اب $P$ سے $QS$ کو عمودی طور پر کھینچ کر $N$ پر مل جاتے ہیں۔ اب ریاضیاتی مثلث $PNQ, \angle PQN=\gamma$ (شکل 11.2 (b)) میں۔

$$ \begin{aligned} & \cos \gamma=\frac{\mathrm{NQ}}{\mathrm{PQ}}=\frac{z _{2}-z _{1}}{\mathrm{PQ}} \\ & \cos \alpha=\frac{x _{2}-x _{1}}{\mathrm{PQ}} \text { और } \cos \beta=\frac{y _{2}-y _{1}}{\mathrm{PQ}} \end{aligned} $$

اس لیے اس لیے، نقطوں $P(x_1, y_1, z_1)$ اور $Q(x_2, y_2, z_2)$ کے درمیان جوڑنے والے راستے کے انداز کوزین یہ ہیں

$$ \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $$

جہاں $ \qquad PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $

نوٹ نقطوں $P(x_1, y_1, z_1)$ اور $Q(x_2, y_2, z_2)$ کے درمیان جوڑنے والے راستے کے انداز کے تناسبی نمبر کو یہ لیا جا سکتا ہے

$$ x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \text{ or } x_1-x_2, y_1-y_2, z_1-z_2 $$

مثال 1 اگر ایک راستہ $90^{\circ}, 60^{\circ}$ اور $30^{\circ}$ کے مثبت سمت کے $x, y$ اور $z$-محوروں کے ساتھ علیحدہ علیحدہ زاویوں کو پیدا کرتا ہے، تو اس کے انداز کوزین کیا ہوں گے۔

حل اگر $d . c$۔ ’ $s$ کے راستے کے $l, m, n$۔ تو $l=\cos 90^{\circ}=0, m=\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$، $n=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$۔

مثال 2 اگر ایک راستے کے انداز کے تناسبی نمبر 2، - 1، - 2 ہیں، تو اس کے انداز کوزین کیا ہوں گے۔

حل انداز کوزین یہ ہیں

$$ \frac{2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}, \frac{-1}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}, \frac{-2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}} $$

یا $\qquad \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3}$

مثال 3 نقطوں $(-2,4,-5)$ اور $(1,2,3)$ کے درمیان گزرنے والے راستے کے انداز کوزین کیا ہوں گے۔

حل ہمیں معلوم ہے کہ دو نقطوں $P(x_1, y_1, z_1)$ اور $Q(x_2, y_2, z_2)$ کے درمیان گزرنے والے راستے کے انداز کوزین

جہاں $ \qquad \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $

$$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $$

یہاں $P$ $(-2,4,-5)$ اور $Q$ $(1,2,3)$ ہے۔

تو $ \qquad P Q=\sqrt{(1-(-2))^{2}+(2-4)^{2}+(3-(-5))^{2}}=\sqrt{77} $

اس لیے، دو نقطوں کے درمیان جوڑنے والے راستے کے انداز کوزین یہ ہیں

$ \qquad \frac{3}{\sqrt{77}}, \frac{-2}{\sqrt{77}}, \frac{8}{\sqrt{77}} $

مثال 4 $x, y$ اور $z$-محور کے انداز کوزین کیا ہوں گے۔

حل $x$-محور $0^{\circ}, 90^{\circ}$ اور $90^{\circ}$ کے ساتھ علیحدہ علیحدہ زاویوں کو پیدا کرتا ہے۔ اس لیے، $x$-محور کے انداز کوزین $\cos 0^{\circ}, \cos 90^{\circ}, \cos 90^{\circ}$ یعنی $1,0,0$ ہیں۔ اسی طرح، $y$-محور اور $z$-محور کے انداز کوزین علیحدہ علیحدہ $0,1,0$ اور $0,0,1$ ہیں۔

مثال 5 دکھائیں کہ نقطے A $(2,3,-4), B(1,-2,3)$ اور $C(3,8,-11)$ مساوی ہیں۔

حل A اور B کے درمیان راستے کے انداز کے تناسبی نمبر یہ ہیں

$1-2,-2-3,3+4$ یعنی $-1,-5,7$۔

نقطوں $B$ اور $C$ کے درمیان راستے کے انداز کے تناسبی نمبر $3-1,8+2,-11-3$، یعنی $2,10,-14$ ہیں۔

یہ واضح ہے کہ $AB$ اور $BC$ کے انداز کے تناسبی نمبر تناسبی ہیں، اس لیے، $AB$ $BC$ کے ساتھ براہ راست شروع کرتا ہے۔ لیکن نقطہ $B$ $AB$ اور $BC$ کے دونوں کے ساتھ مشترک ہے۔ اس لیے، $A, B, C$ مساوی نقطوں ہیں۔

11.3 اس جگہ پر راستہ

ہم نے دو ذیلیوں میں راستے کے معادلات کو فصل XI میں سیکھا ہے، اب ہم اس جگہ پر راستے کے ویکٹر اور دائری معادلات کو سیکھیں گے۔

ایک راستہ منفرد طور پر معین ہوتا ہے اگر

(آئی) وہ ایک دیا گیا نقطہ گزرتا ہے اور معین سمت کے ساتھ ہے، یا

(آئی) وہ دو دیے گئے نقطوں گزرتا ہے۔

11.3.1 ایک دیا گیا نقطے سے گزرنے والے راستے کا معادلہ اور $\vec{a}$ دیا گیا ویکٹر $\vec{b}$ کے ساتھ براہ راست شروع کرنے والے راستے کا معادلہ

اگر $\vec{a}$ جدولہ کے مستطیل کوآرڈینیٹ سسٹم کے صفر کے نسبت سے دیا گیا نقطہ A کا موقع ویکٹر ہے۔ اگر $l$ ایک راستہ ہے جو نقطہ $A$ سے گزرتا ہے اور ایک دیا گیا ویکٹر $\vec{b}$ کے ساتھ براہ راست شروع کرتا ہے۔ اگر $\vec{r}$ راستے پر کسی بھی عام نقطے $P$ کا موقع ویکٹر ہے (شکل 11.3)۔

تو $\overrightarrow{{}AP}$ ویکٹر $\vec{b}$ کے ساتھ براہ راست شروع کرتا ہے، یعنی $\overrightarrow{{}AP}=\lambda \vec{b}$، جہاں $\lambda$ کسی بھی حقیقی عدد ہے۔

لیکن $$ \overrightarrow{{}AP}=\overrightarrow{{}OP}-\overrightarrow{{}OA} $$

یعنی $$\lambda \vec{b}=\vec{r}-\vec{a}$$

بالعکس، پیرامیٹر $\lambda$ کے ہر قدر کے لیے، یہ معادلہ راستے پر ایک نقطہ $P$ کا موقع ویکٹر دیتا ہے۔ اس لیے، راستے کا ویکٹر معادلہ یہ ہے

$$ \begin{equation*} \vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b} \tag{1} \end{equation*} $$

تبصرہ اگر $\vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$، تو $a, b, c$ راستے کے انداز کے تناسبی نمبر ہوتے ہیں اور بالعکس، اگر $a, b, c$ راستے کے انداز کے تناسبی نمبر ہیں، تو $\vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$ راستے کے ساتھ براہ راست شروع کرے گا۔ یہاں، $b$ کو $|\vec{b}|$ سے ہٹا دیا جائے۔ ویکٹر فارم سے دائری فارم کا اشتقاق

اگر دیا گیا نقطہ $A$ کے کوآرڈینیٹ $(x_1, y_1, z_1)$ ہیں اور راستے کے انداز کے تناسبی نمبر $a, b, c$ ہیں۔ اگر کسی بھی نقطے $P$ کے کوآرڈینیٹ $(x, y, z)$ ہیں۔ تو

$$ \overrightarrow{{}r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} ; \overrightarrow{{}a}=x_1 \hat{i}+y_1 \hat{j}+z_1 \hat{k} $$

اور $$ \vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k} $$

ان قدروں کو (1) میں شامل کر کے $\hat{i}, \hat{j}$ اور $\hat{k}$ کے مطابق کوآرڈینیٹ کے مطابق مساوی کرتے ہیں، تو یہ حاصل ہوتے ہیں

$$ \begin{equation*} x=x _{1}+\lambda a ; \quad y=y _{1}+\lambda b ;\quad z=z _{1}+\lambda c \tag{2} \end{equation*} $$

یہ راستے کے پیرامیٹرک معادلات ہیں۔ پیرامیٹر $\lambda$ کو (2) میں محو کرتے ہیں، تو یہ حاصل ہوتے ہیں

$$ \begin{equation*} \frac{x-x _{1}}{a}=\frac{y-y _{1}}{b}=\frac{z-z _{1}}{c} \tag{3} \end{equation*} $$

یہ راستے کا دائری معادلہ ہے۔

نوٹ اگر $l, m, n$ راستے کے انداز کوزین ہیں، تو راستے کا معادلہ یہ ہے

$$ \frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n} $$

مثال 6 نقطہ $(5,2,-4)$ سے گزرنے والے اور ویکٹر $3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}$ کے ساتھ براہ راست شروع کرنے والے راستے کے ویکٹر اور دائری معادلات کیا ہوں گے۔

حل ہمیں یہ ملتے ہیں

$$ \vec{a}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k} \text{ and } \vec{b}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k} $$

اس لیے، راستے کا ویکٹر معادلہ یہ ہے

$$ \vec{r}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}) $$

اب، $\vec{r}$ راستے پر کسی بھی نقطہ $P(x, y, z)$ کا موقع ویکٹر ہے۔

اس لیے، $$\quad x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k})$$ $$ =(5+3 \lambda) \hat{i}+(2+2 \lambda) \hat{j}+(-4-8 \lambda) \hat{k} $$

$\lambda$ کو محو کرتے ہیں، تو یہ حاصل ہوتے ہیں

$$ \frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+4}{-8} $$

جو راستے کا دائری معادلہ ہے۔

11.4 دو راستوں کے درمیان زاویہ

اگر $L_1$ اور $L_2$ صفر سے گزرنے والے دو راستے ہیں اور ان کے انداز کے تناسبی نمبر علیحدہ علیحدہ $a_1, b_1, c_1$ اور $a_2, b_2, c_2$ ہیں۔ اگر $P$ $L_1$ پر ایک نقطہ ہے اور $Q$ $L_2$ پر ایک نقطہ ہے۔ جائز راستوں $OP$ اور $OQ$ کو شکل 11.6 میں دیکھیں۔ اگر $\theta$ OP اور OQ کے درمیان زاویہ ہے۔ اب یاد رہے کہ جائز راستے کے جوڑے OP اور OQ ویکٹر ہیں جن کے متغیرات علیحدہ علیحدہ $a_1, b_1, c_1$ اور $a_2, b_2, c_2$ ہیں۔ اس لیے ان کے درمیان زاویہ $\theta$ $\cos \theta=\left|\frac{a _{1} a _{2}+b _{1} b _{2}+c _{1} c _{2}}{\sqrt{a _{1}^{2}+b _{1}^{2}+c _{1}^{2}} \sqrt{a _{2}^{2}+b _{2}^{2}+c _{2}^{2}}}\right|$ کے تحت دیا جاتا ہے۔

$\sin \theta$ کے تحت راستوں کے درمیان زاویہ یہ ہے

$$ \begin{aligned} \sin \theta & =\sqrt{1-\cos ^{2} \theta} \\ & =\sqrt{1-\frac{(a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2)^{2}}{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})}} \\ & =\frac{\sqrt{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})-(a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2)^{2}}}{\sqrt{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})} \sqrt{(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})}} \\ & =\frac{\sqrt{(a_1 b_2-a_2 b_1)^{2}+(b_1 c_2-b_2 c_1)^{2}+(c_1 a_2-c_2 a_1)^{2}}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}} \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}} \end{aligned} $$

نوٹ اگر راستے $L_1$ اور $L_2$ صفر سے نہ گزرتے ہیں، تو ہم صفر سے گزرنے والے راستوں $L_1^{\prime}$ اور $L_2^{\prime}$ کو رکھ سکتے ہیں جو علیحدہ علیحدہ $L_1$ اور $L_2$ کے ساتھ براہ راست شروع کرتے ہیں۔

اگر بجلی کے راستوں $L_1$ اور $L_2$ کے انداز کے تناسبی نمبروں کے بجائے، انداز کوزین، جیسے کہ $l_1, m_1, n_1$ $L_1$ کے لیے اور $l_2, m_2, n_2$ $L_2$ کے لیے، تو (1) اور (2) درج ذیل شکل اختیار کرتے ہیں:

$$ \cos \theta=|l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2| \quad(\text{ as } l_1^{2}+m_1^{2}+n_1^{2}=1=l_2^{2}+m_2^{2}+n_2^{2}) $$

اور $$ \sin \theta=\sqrt{(l_1 m_2-l_2 m_1)^{2}-(m_1 n_2-m_2 n_1)^{2}+(n_1 l_2-n_2 l_1)^{2}} $$

انداز کے تناسبی نمبر $a_1, b_1, c_1$ اور $a_2, b_2, c_2$ والے دو راستے یہ ہیں

(آئی) عمودی یعنی اگر $\theta=90^{\circ}$ (1) کے تحت

$$ a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=0 $$

(آئی) براہ راست شروع کرنے والے یعنی اگر $\theta=0$ (2) کے تحت

$$\frac{\boldsymbol{a} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{a} _{2}}=\frac{\boldsymbol{b} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{b} _{\mathbf{2}}}=\frac{\boldsymbol{c} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{c} _{\mathbf{2}}}$$

اب، ہم راستوں کے معادلات دیتے ہوئے ان کے درمیان زاویہ حاصل کرتے ہیں۔ اگر $\theta$ دو راستوں $\vec{r}=\vec{a} _{1}+\lambda \vec{b} _{1}$ اور $\vec{r}=\vec{a} _{2}+\mu \vec{b} _{2}$ کے درمیان زاویہ ہے۔ دائری فارم میں، اگر $\theta$ دو راستوں کے درمیان زاویہ ہے

تو $$ \begin{aligned} \cos \theta & =\left|\frac{\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2}{\left|\vec{b}_1\right|\left|\vec{b}_2\right|}\right|
\end{aligned} $$

$$ \frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1} \tag{1} $$

اور $$ \frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2} \tag{2} $$

جہاں، $a_1, b _{1,} c_1$ اور $a _{2,}, b_2, c_2$ راستے (1) اور (2) کے علیحدہ علیحدہ انداز کے تناسبی نمبر ہیں، تو

$$ \cos \theta=|\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}} \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}}| $$

مثال 7 درج ذیل زوج راستوں کے درمیان زاویہ کیا ہے

$$ \vec{r}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}) $$

اور $$ \vec{r}=5 \hat{i}-2 \hat{j}+\mu(3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}) $$

حل یہاں $ \vec{b} _ {1}=\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k} $ اور $ \vec{b} _ {2}=3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k} $

دو راستوں کے درمیان زاویہ $\theta$ یہ ہے

$$ \begin{aligned} \cos \theta & = |\frac{ \vec{b} _ {1} \cdot \vec{b} _ {2}}{| \vec{b} _ {1}|| \vec{b} _ {2}|}| = |\frac{(\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}) \cdot(3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k})}{\sqrt{1 + 4+ 4} \sqrt{9 + 4 + 36}}| \\ & =|\frac{3+4+12}{3 \times 7}|=\frac{19}{21} ) \end{aligned} $$

اس لیے $$ \theta=\cos ^{-1}\left(\frac{19}{21}\right) $$

مثال 8 دو راستوں کے درمیان زاویہ حاصل کریں

اور $$ \begin{aligned} & \frac{x+3}{3}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+3}{4} \\ & \frac{x+1}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{2} \end{aligned} $$

حل پہلے راستے کے انداز کے تناسبی نمبر 3، 5، 4 ہیں اور دوسرے راستے کے انداز کے تناسبی نمبر $1,1,2$ ہیں۔ اگر $\theta$ ان کے درمیان زاویہ ہے، تو

$$ \cos \theta=|\frac{3.1+5.1+4.2}{\sqrt{3^{2}+5^{2}+4^{2}} \sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}}}|=\frac{16}{\sqrt{50} \sqrt{6}}=\frac{16}{5 \sqrt{2} \sqrt{6}}=\frac{8 \sqrt{3}}{15} $$

اس لیے، مطلوبہ زاویہ $\cos ^{-1}(\frac{8 \sqrt{3}}{15})$ ہے۔

11.5 دو راستوں کے درمیان زیادہ گہری فاصلہ

اگر دو راستے اس جگہ پر ایک نقطے پر ملتے ہیں، تو ان کے درمیان زیادہ گہری فاصلہ صفر ہوتا ہے۔ اسی طرح، اگر اس جگہ پر دو راستے براہ راست شروع کرنے والے ہوں، تو ان کے درمیان زیادہ گہری فاصلہ عمودی فاصلہ ہوگا، یعنی ایک راستے پر ایک نقطے سے دوسرے راستے پر عمودی طور پر کھینچنے والے راستے کی لمبائی۔

اسی طرح، اس جگہ میں راستے ہوتے ہیں جو ملنے والے ہی نہیں اور بھی براہ راست شروع کرنے والے نہیں۔ درحقیقت میں، ان جیسے راستوں کو غیر مشترک اور مختلف مستویوں میں جگہ پکڑنے والے کہا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر، ہم ایک 1، 3، 2 یونٹ کے سائز کا دو پھیلا ہوا دیکھیں

شکل 11.5 $x, y$ اور $z$-محوروں کے ساتھ شکل 11.5۔

سین کے درمیان گزرنے والے راستہ GE اور راستہ DB ایک نقطے سے گزرتا ہے جو A کے سیٹھ اونچی سین کے ایک کونے سے گزرتا ہے اور دیوار کے درمیان گزرتا ہے۔ یہ راستے چھوٹے ہیں کیونکہ وہ براہ راست شروع کرنے والے نہیں ہیں اور اسی طرح کبھی بھی ملنے والے نہیں۔

دو راستوں کے درمیان زیادہ گہری فاصلہ کو یہ مانتے ہیں کہ وہ ایک راستے کے ایک نقطے کے ساتھ دوسرے راستے کے ایک نقطے کو جوڑنے والا راستہ ہے جس کے ذریعے حاصل کی جانے والی جوڑی کی لمبائی زیادہ گہری ہو۔ چھوٹے راستوں کے لیے، زیادہ گہری فاصلہ کا راستہ علیحدہ علیحدہ دونوں راستوں کے عمودی ہوگا۔

11.5.1 دو چھوٹے راستوں کے درمیان فاصلہ

اب ہم درج ذیل طریقے سے دو چھوٹے راستوں کے درمیان زیادہ گہری فاصلہ حاصل کریں گے: اگر $l_1$ اور $l_2$ دو چھوٹے راستے ہیں جن کے معادلات (شکل. 11.6) یہ ہیں

اور $$ \vec{r} = \vec{a} _ {1}+\lambda \vec{b} _ {1} \tag{1}$$ $$ \vec{r} = \vec{a} _ {2}+\mu \vec{b} _ {2} \tag{2} $$

$l_ {1} $ پر کسی بھی نقطہ $ S $ کو $ \overrightarrow{{}a}_ {1} $ کے موقع ویکٹر کے ساتھ رکھیں اور $ l_ {2} $ پر $ T $ کو $ \overrightarrow{{}a}_ {2} $ کے موقع ویکٹر کے ساتھ۔ تو زیادہ گہری فاصلہ ویکٹر کی شدت یہی ہوگی جو ST کی شدت کے ساتھ زیادہ گہری فاصلہ کی سمت میں پروجیکشن کی شدت کے ساتھ مساوی ہوگی (دیکھیں 10.6.2)۔

اگر $\overrightarrow{{}PQ}$ $l_1$ اور $l_2$ کے درمیان زیادہ گہری فاصلہ ویکٹر ہے، تو یہ علیحدہ علیحدہ $ \vec{b} _1$ اور $ \vec{b} _2$ کے عمودی ہوتا ہے، اس لیے زیادہ گہری فاصلہ کی سمت میں $\overrightarrow{{}PQ}$ کے ساتھ $\hat{n}$ کا یونٹ ویکٹر یہ ہوگا

شکل 11.6

$$ \hat{n} = \frac{ \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}}{| \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}|} \tag{3} $$

تو $$ \overrightarrow{{}PQ}=d \hat{n} $$

جہاں، $d$ زیادہ گہری فاصلہ ویکٹر کی شدت ہے۔ اگر $\theta$ $\overrightarrow{{}ST}$ اور $\overrightarrow{{}PQ}$ کے درمیان زاویہ ہے۔ تو

لیکن $$ \begin{aligned} PQ & = ST|\cos \theta| \\ \cos \theta & = |\frac{\overrightarrow{{}PQ} \cdot \overrightarrow{{}ST}}{|\overrightarrow{{}PQ}||\overrightarrow{{}ST}|}| \\ & = |\frac{d \hat{n} \cdot( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{d ST}| \quad(\text{ since } \overrightarrow{{}ST}= \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1}) \\ & = |\frac{( \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}) \cdot( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{ST| \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}|}| \end{aligned} $$

اس لیے، مطلوبہ زیادہ گہری فاصلہ یہ ہے

یا $$ \begin{aligned} & d = PQ = ST|\cos \theta| \\ & \boldsymbol{{}d} = |\frac{(\overrightarrow{{}b}_ {1} \times \overrightarrow{{}b}_ {2}) \cdot( \vec{a} _ {2} \times \vec{a} _ {1})}{| \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}|}| \end{aligned} $$

دائری فارم

اور $$ l _{1}: \frac{x-x _{1}}{a _{1}}=\frac{y-y _{1}}{b _{1}}=\frac{z-z _{1}}{c _{1}} $$

اور $$ l _{2}: \frac{x-x _{2}}{a _{2}}=\frac{y-y _{2}}{b _{2}}=\frac{z-z _{2}}{c _{2}} $$

$$ \frac{\left|\begin{array}{ccc} x _{2}-x _{1} & y _{2}-y _{1} & z _{2}-z _{1} \\ a _{1} & b _{1} & c _{1} \\ a _{2} & b _{2} & c _{2} \end{array}\right|}{\sqrt{\left(b _{1} c _{2}-b _{2} c _{1}\right)^{2}+\left(c _{1} a _{2}-c _{2} a _{1}\right)^{2}+\left(a _{1} b _{2}-a _{2} b _{1}\right)^{2}}} $$

11.5.2 براہ راست شروع کرنے والے راستوں کے درمیان فاصلہ

اگر دو راستے $l_1$ اور $l_2$ براہ راست شروع کرنے والے ہیں، تو وہ مشترک ہوتے ہیں۔ اگر راستے درج ذیل طریقے سے دیے گئے ہیں

$$ \begin{align*} & \vec{r}=\vec{a} _{1}+\lambda \vec{b} \tag{1}\\ & \vec{r}=\vec{a} _{2}+\mu \vec{b} \tag{2} \end{align*} $$

جہاں، $ \vec{a} _1$ $l_1$ پر $S$ کا موقع ویکٹر ہے اور $ \vec{a} _2$ $l_2$ پر $T$ کا موقع ویکٹر ہے شکل 11.7۔

کیونکہ $l_1, l_2$ مشترک ہیں، اگر $T$ سے راستہ $l_1$ پر عمودی کھینچنے والے راستے کا آخر $P$ ہے، تو راستوں $l_1$ اور $l_2=|TP|$ کے درمیان فاصلہ یہ ہے۔

اگر $\theta$ ویکٹر $\overrightarrow{{}ST}$ اور $\vec{b}$ کے درمیان زاویہ ہے۔ تو

$$ \vec{b} \times \overrightarrow{{}ST}=(|\vec{b}||\overrightarrow{{}ST}| \sin \theta) \hat{n} \ldots \tag{3} $$

جہاں $\hat{n}$ راستوں $l_1$ اور $l_2$ کے مستوی کے عمودی یونٹ ویکٹر ہے۔

لیکن $$ \overrightarrow{{}ST} = \vec{a} _2 - \vec{a} _1 $$

اس لیے، (3) سے ہم حاصل کرتے ہیں $$ \begin{matrix} & \quad \vec{b} \times ( \vec{a} _2 - \vec{a} _1) = \vec{b} , |PT| \hat{n} \quad (\text{since } PT = ST \sin \theta) \\ \text{i.e.,} & |\vec{b} \times ( \vec{a} _2 - \vec{a} _1)| = |\vec{b}| , |PT| \cdot 1 \quad (\text{as } |\hat{n}| = 1) \end{matrix} $$

اس لیے، دیے گئے براہ راست شروع کرنے والے راستوں کے درمیان فاصلہ یہ ہے

$$ d=|\overrightarrow{{}\mathbf{P T}}| = |\frac{\vec{b} \times(\vec{a} _ {2}-\vec{a} _ {1})}{|\vec{b}|}| $$

مثال 9 راستوں $l_1$ اور $l_2$ کے درمیان زیادہ گہری فاصلہ حاصل کریں جن کے ویکٹر معادلات یہ ہیں

$$ \begin{aligned} & \vec{r} =\hat{i}+\hat{j}+\lambda(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \\ \text{ and } \qquad& \vec{r} =2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k}) \end{aligned} $$

حل (1) اور (2) کے ساتھ علیحدہ علیحدہ $\vec{r} = \vec{a} _ {1} + \lambda \vec{b} _ {1} $ اور $ \overrightarrow{{}r} = \overrightarrow{{}a} _ {2} + \mu \overrightarrow{{}b} _ {2} $ کے ساتھ موازی کرتے ہیں، تو یہ حاصل ہوتے ہیں

$ \begin{aligned} & a _{1}=\hat{i}+\hat{j}, b _{1}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k} \\ & a _{2}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k} \text { and } b _{2}=3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k} \end{aligned} $

اس لیے $\qquad a _{2}-a _{1}=\hat{i}-\hat{k}$

اور $\qquad b _{1} \times b _{2}=(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \times(3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k})$

$$ =\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & -5 & 2 \end{array}\right|=3 \hat{i}-\hat{j}-7 \hat{k} $$

تو، $$ \left|b _{1} \times b _{2}\right|=\sqrt{9+1+49}=\sqrt{59} $$

اس لیے، دیے گئے راستوں کے درمیان زیادہ گہری فاصلہ یہ ہے

$$ d=|\frac{(\overrightarrow{{}b}_ {1} \times \overrightarrow{{}b}_ {2}) \cdot(\overrightarrow{{}a}_ {2}-\overrightarrow{{}a}_ {1})}{|\overrightarrow{{}b}_ {1} \times \overrightarrow{{}b}_ {2}|}|=\frac{|3-0+7|}{\sqrt{59}}=\frac{10}{\sqrt{59}} $$

مثال 10 راستوں $l_1$ اور $l_2$ کے درمیان فاصلہ حاصل کریں جن کے معادلات یہ ہیں $$ \begin{aligned} & \vec{r}=\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}) \\ \text{ and } \qquad& \vec{r}=3 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}+\mu(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}) \end{aligned} $$

حل دو راستے براہ راست شروع کرنے والے ہیں (کیونکے؟) ہمیں یہ ملتے ہیں

$$ \overrightarrow{{}a}_ {1}=\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}, \overrightarrow{{}a}_ {2}=3 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k} \text{ and } \vec{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k} $$

اس لیے، راستوں کے درمیان فاصلہ یہ ہے

$$ \begin{aligned} & d =\left|\frac{\vec{b} \times( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{|\vec{b}|}\right| =\left|\frac{ \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 6 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} }{\sqrt{4+9+36}}\right| , \\ &=\frac{|-9 \hat{i}+14 \hat{j}-4 \hat{k}|}{\sqrt{49}}=\frac{\sqrt{293}}{\sqrt{49}}=\frac{\sqrt{293}}{7} \\ \end{aligned} $$

خلاصہ

• راستے کے انداز کوزین یہ ہیں جو راستے کے کوآرڈینیٹ محوروں کی مثبت سمتوں کے ساتھ پیدا کرنے والے زاویوں کے کوسائن ہیں۔

• اگر $l, m, n$ راستے کے انداز کوزین ہیں، تو $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$۔

• نقطوں $P(x_1, y_1, z_1)$ اور $Q(x_2, y_2, z_2)$ کے درمیان جوڑنے والے راستے کے انداز کوزین یہ ہیں

• $ \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $

جہاں $PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}}$

• $\Delta$ راستے کے انداز کے تناسبی نمبر یہ ہیں جو راستے کے انداز کوزین کے تناسبی عدد ہیں۔
• اگر $l, m, n$ راستے کے انداز کوزین اور $a, b, c$ راستے کے انداز کے تناسبی نمبر ہیں تو

$$ l=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} ; m=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} ; n=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $$

• چھوٹے راستے یہ راستے ہیں جو اس جگہ پر نہ براہ راست شروع کرنے والے ہیں نہ ملنے والے۔ وہ مختلف مستویوں میں ہوتے ہیں۔
• چھوٹے راستوں کے درمیان زاویہ یہ ہے جو کسی بھی نقطے سے (ترجیحاً صفر سے) گزرنے والے دو ملنے والے راستوں کے درمیان زاویہ ہے جو علیحدہ علیحدہ چھوٹے راستوں کے ساتھ براہ راست شروع کرتے ہیں۔
• اگر $l_1, m_1, n_1$ اور $l_2, m_2, n_2$ دو راستوں کے انداز کوزین ہیں؛ اور $\theta$ دو راستوں کے درمیان زاویہ ہے؛ تو

$$ \cos \theta=|l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2| $$

اگر $a_1, b_1, c_1$ اور $a_2, b_2, c_2$ دو راستوں کے انداز کے تناسبی نمبر ہیں اور $\theta$ دو راستوں کے درمیان زاویہ ہے؛ تو

$$ \cos \theta=|\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}} \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}}| $$

• ایک دیا گیا نقطہ کے موقع ویکٹر $\vec{a}$ اور ایک دیا گیا ویکٹر $\vec{b}$ کے ساتھ براہ راست شروع کرنے والے راستے کا ویکٹر معادلہ $\vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b}$ ہے۔

• نقطہ $(x_1, y_1, z_1)$ سے گزرنے والے اور انداز کوزین $l, m, n$ والے راستے کا معادلہ $ \frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n} $

• دو نقطوں کے موقع ویکٹر $\vec{a}$ اور $\vec{b}$ کے ساتھ گزرنے والے راستے کا ویکٹر معادلہ $\vec{r}=\vec{a}+\lambda(\vec{b}-\vec{a})$ ہے۔

• $\Delta$ اگر $\theta$ دو راستوں $\vec{r}= \vec{a} _ {1}+\lambda \vec{b} _ {1}$ اور $\vec{r}= \vec{a} _ {2}+\lambda \vec{b} _ {2}$ کے درمیان زاویہ ہے، تو $\cos \theta=|\frac{ \vec{b} _ {1} \cdot \vec{b} _ {2}}{| \vec{b} _ {1}|| \vec{b} _ {2}|}|$

• $\checkmark$ اگر $\frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1}$ اور $\frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2}=\frac{z-z_2}{n_2}$

• دو راستوں کے معادلات ہیں، تو دو راستوں کے درمیان زاویہ $\cos \theta=|l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2|$ کے تحت دیا جاتا ہے۔

• دو چھوٹے راستوں کے درمیان زیادہ گہری فاصلہ یہ ہے جو دونوں راستوں کے عمودی ہونے والا راستے کا جوڑہ۔

• $\vec{r}= \vec{a} _ {1}+\lambda \vec{b} _ {1}$ اور $\vec{r}= \vec{a} _ {2}+\mu \vec{b} _ {2}$ کے درمیان زیادہ گہری فاصلہ

$$ |\frac{( \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}) \cdot( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{| \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}|}| $$

• راستوں کے درمیان زیادہ گہری فاصلہ: $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ اور $ \frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2} \text{ is } $

$$ \frac{ \begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} }{\sqrt{(b_1 c_2-b_2 c_1)^{2}+(c_1 a_2-c_2 a_1)^{2}+(a_1 b_2-a_2 b_1)^{2}}} $$

براہ راست شروع کرنے والے راستوں $\vec{r}= \vec{a} _ {1}+\lambda \vec{b}$ اور $\vec{r}= \vec{a} _ {2}+\mu \vec{b}$ کے درمیان فاصلہ

$$|\frac{\vec{b} \times( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{|\vec{b}|}|$$