احتمال کا نظریہ محض منطق کی سائنس ہے جس کا مقداری علاج کیا گیا ہے - سی ایس پائرس

13.1 تعارف

پیری ڈی فرمیٹ $(1601-1665)$

پچھلی کلاسوں میں، ہم نے احتمال کو بے ترتیب تجربے میں واقعات کی غیر یقینی صورت حال کے پیمانے کے طور پر پڑھا ہے۔ ہم نے روسی ریاضی دان، اے این کولموگوروف (1903-1987) کے ذریعہ ترتیب دیے گئے اصولی نقطہ نظر پر بحث کی اور احتمال کو تجربے کے نتائج کے فنکشن کے طور پر سمجھا۔ ہم نے یکساں طور پر ممکن نتائج کی صورت میں اصولی نظریہ اور کلاسیکی احتمال کے نظریہ کے درمیان مساوات بھی قائم کی۔ اس تعلق کی بنیاد پر، ہم نے منفرد نمونہ فضا سے وابستہ واقعات کے احتمالات حاصل کیے۔ ہم نے احتمال کے جمع کے قاعدے کا بھی مطالعہ کیا ہے۔ اس باب میں، ہم کسی واقعے کی مشروط احتمال کی اہم تصویر پر بحث کریں گے جبکہ یہ دیا گیا ہے کہ ایک اور واقعہ رونما ہو چکا ہے، جو بیز کے قضیہ، احتمال کے ضرب کے قاعدے اور واقعات کی آزادی کو سمجھنے میں مددگار ہوگا۔ ہم بے ترتیب متغیر اور اس کے احتمال تقسیم کے ساتھ ساتھ احتمال تقسیم کے اوسط اور تغیر کا بھی ایک اہم تصور سیکھیں گے۔ باب کے آخری حصے میں، ہم ایک اہم منفرد احتمال تقسیم جسے دو رقمی تقسیم کہتے ہیں، کا مطالعہ کریں گے۔ پورے باب میں، ہم یکساں طور پر ممکن نتائج والے تجربات کو لیں گے، جب تک کہ کچھ اور بیان نہ کیا گیا ہو۔

13.2 مشروط احتمال

احتمال میں اب تک، ہم نے واقعات کا احتمال تلاش کرنے کے طریقوں پر بحث کی ہے۔ اگر ہمارے پاس ایک ہی نمونہ فضا سے دو واقعات ہیں، تو کیا ایک واقعہ کے وقوع پذیر ہونے کی معلومات دوسرے واقعہ کے احتمال پر اثر انداز ہوتی ہے؟ آئیے اس سوال کا جواب دینے کی کوشش کرتے ہیں ایک بے ترتیب تجربہ لے کر جس میں نتائج یکساں طور پر ممکن ہیں۔

تین منصفانہ سکے اچھالنے کے تجربے پر غور کریں۔ تجربے کی نمونہ فضا ہے

$$ \mathrm{S}=\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{TTT}\} $$

چونکہ سکے منصفانہ ہیں، ہم ہر نمونہ نقطے کو احتمال $\frac{1}{8}$ تفویض کر سکتے ہیں۔ فرض کریں $E$ واقعہ ‘کم از کم دو سر ظاہر ہوں’ ہے اور $F$ واقعہ ‘پہلا سکہ دم دکھاتا ہے’ ہے۔ پھر

$\mathrm{E}=\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}\}$

یا $\mathrm{F}=\{ \mathrm{THH, THT, TTH, TTT} \}$

لہذا $$ \mathrm{P}(\mathrm{E})=\mathrm{P}(\{\mathrm{HHH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{HHT}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{HTH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\}) $$

$$ =\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2} \text { (क्यों ?) } $$

یا $$ \mathrm{P}(\mathrm{F})=\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{THT}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{TTH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{TTT}\}) $$

$$ =\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2} $$

$\mathrm{E} \cap \mathrm{F}=\{\mathrm{THH}\}$ کے ساتھ

لہذا $\quad \mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})=\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\})=\frac{1}{8}$

اب، فرض کریں ہمیں دیا گیا ہے کہ پہلا سکہ دم دکھاتا ہے، یعنی F واقع ہوتا ہے، تو $E$ کے وقوع کا احتمال کیا ہے؟ $F$ کے وقوع کی معلومات کے ساتھ، ہم یقین رکھتے ہیں کہ وہ حالات جن میں پہلا سکہ دم میں نتیجہ نہیں دیتا، انہیں $E$ کا احتمال تلاش کرتے وقت نہیں سمجھا جانا چاہیے۔ یہ معلومات ہماری نمونہ فضا کو مجموعہ $S$ سے اس کے ذیلی مجموعہ $F$ تک کم کر دیتی ہے واقعہ $E$ کے لیے۔ دوسرے الفاظ میں، اضافی معلومات درحقیقت ہمیں یہ بتاتی ہیں کہ صورت حال کو ایک نئے بے ترتیب تجربے کی حیثیت سے سمجھا جا سکتا ہے جس کی نمونہ فضا صرف ان تمام نتائج پر مشتمل ہوتی ہے جو واقعہ $F$ کے وقوع کے لیے موافق ہیں۔

اب، $F$ کا نمونہ نقطہ جو واقعہ $E$ کے لیے موافق ہے THH ہے۔

اس طرح، $E$ کا احتمال، $F$ کو نمونہ فضا سمجھتے ہوئے $=\frac{1}{4}$،

یا $\quad$ واقعہ $E$ کا احتمال یہ دیے گئے کہ واقعہ $F$ وقوع پذیر ہو چکا ہے $=\frac{1}{4}$

واقعہ $E$ کے اس احتمال کو واقعہ $E$ کا مشروط احتمال کہا جاتا ہے یہ دیے گئے کہ $F$ پہلے ہی وقوع پذیر ہو چکا ہے، اور اسے $P(E \mid F)$ سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

اس طرح $\quad P(E \mid F)=\frac{1}{4}$

نوٹ کریں کہ $F$ کے عناصر جو واقعہ $E$ کو ترجیح دیتے ہیں وہ $E$ اور $F$ کے مشترکہ عناصر ہیں، یعنی $E \cap F$ کے نمونہ نقاط۔

اس طرح، ہم واقعہ $E$ کا مشروط احتمال یہ دیے گئے کہ $F$ وقوع پذیر ہو چکا ہے، اس طرح بھی لکھ سکتے ہیں

$$ \begin{aligned} P(E \mid F) & =\frac{\text{ Number of elementary events favourable to } E \cap F}{\text{ Number of elementary events which are favourable to } F} \\ & =\frac{n(E \cap F)}{n(F)} \end{aligned} $$

نمونہ فضا کے کل ابتدائی واقعات سے عدد اور مقام تقسیم کرتے ہوئے، ہم دیکھتے ہیں کہ $P(EIF)$ کو اس طرح بھی لکھا جا سکتا ہے

$$ P(E \mid F)=\frac{\frac{n(E \cap F)}{n(S)}}{\frac{n(F)}{n(S)}}=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \tag{1} $$

نوٹ کہ (1) صرف اس وقت درست ہے جب $P(F) \neq 0$ یعنی، $F \neq \phi$ (کیوں؟) اس طرح، ہم مشروط احتمال کی تعریف اس طرح کر سکتے ہیں:

تعریف 1 اگر $E$ اور $F$ ایک ہی بے ترتیب تجربے کی نمونہ فضا سے وابستہ دو واقعات ہیں، تو واقعہ $E$ کا مشروط احتمال یہ دیے گئے کہ $F$ وقوع پذیر ہو چکا ہے، یعنی $P(E \mid F)$ اس طرح دیا جاتا ہے

$$ P(EIF)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \text{ provided } P(F) \neq 0 $$

13.2.1 مشروط احتمال کی خصوصیات

فرض کریں $E$ اور $F$ ایک تجربے کی نمونہ فضا $S$ کے واقعات ہیں، تو ہمارے پاس ہے

خصوصیت $1 P(S \mid F)=P(F \mid F)=1$

ہم جانتے ہیں کہ $$ \mathrm{P}(\mathrm{S} \mid \mathrm{F})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{S} \cap \mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{F})}=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{F})}=1 $$

اس طرح $$ P(F \mid F)=\frac{P(F \cap F)}{P(F)}=\frac{P(F)}{P(F)}=1 $$

یا $$ \mathrm{P}(\mathrm{S} \mid \mathrm{F})=\mathrm{P}(\mathrm{F} \mid \mathrm{F})=1 $$

خصوصیت 2 اگر $A$ اور $B$ نمونہ فضا $S$ کے کوئی دو واقعات ہیں اور $F$ $S$ کا ایک واقعہ ہے اس طرح کہ $P(F) \neq 0$، تو

$$ P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F)-P((A \cap B) \mid F) $$

خاص طور پر، اگر $A$ اور $B$ غیر مربوط واقعات ہیں، تو

ہمارے پاس ہے $$ P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F) $$

ہم جانتے ہیں $$ \begin{aligned} P((A \cup B) \mid F) & =\frac{P[(A \cup B) \cap F]}{P(F)} \\ & =\frac{P[(A \cap F) \cup(B \cap F)]}{P(F)} \end{aligned} $$

(سیٹوں کے اجتماع کے تقاطع پر تقسیمی قانون کے ذریعے)

$$ \begin{aligned} & =\frac{P(A \cap F)+P(B \cap F)-P(A \cap B \cap F)}{P(F)} \\ & =\frac{P(A \cap F)}{P(F)}+\frac{P(B \cap F)}{P(F)}-\frac{P[(A \cap B) \cap F]}{P(F)} \\ & =P(A \mid F)+P(B \mid F)-P((A \cap B) \mid F) \end{aligned} $$

جب $A$ اور $B$ غیر مربوط واقعات ہیں، تو

$$ \begin{matrix}
& P((A \cap B) \mid F)=0 \\ \Rightarrow \quad & P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F) \end{matrix} $$

جب $\mathrm{A}$ اور $\mathrm{B}$ غیر مربوط واقعات ہیں، تو $\mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A} \mid F)+\mathrm{P}(\mathrm{B} \mid \mathrm{F})$

خصوصیت $3 P(E^{\prime} \mid F)=1-P(E \mid F)$

خصوصیت 1 سے، ہم جانتے ہیں کہ $P(SIF)=1$

$$ \begin{matrix} \Rightarrow & P(E \cup E^{\prime} \mid F)=1 & \text{ since } S=E \cup E^{\prime} \\ \Rightarrow & P(E \mid F)+P(E^{\prime} \mid F)=1 & \text{ since } E \text{ and } E^{\prime} \text{ are disjoint events } \\ \text{ Thus, } & P(E^{\prime} \mid F)=1-P(E \mid F) & \end{matrix} $$

آئیے اب کچھ مثالیں لیتے ہیں۔

مثال 1 اگر $P(A)=\frac{7}{13}, P(B)=\frac{9}{13}$ اور $P(A \cap B)=\frac{4}{13}$، $P(A \mid B)$ کا اندازہ لگائیں۔

حل ہمارے پاس ہے $P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{4}{13}}{\frac{9}{13}}=\frac{4}{9}$

مثال 2 ایک خاندان کے دو بچے ہیں۔ کیا احتمال ہے کہ دونوں بچے لڑکے ہیں یہ دیے گئے کہ ان میں سے کم از کم ایک لڑکا ہے؟

حل فرض کریں $b$ لڑکے کے لیے اور $g$ لڑکی کے لیے ہے۔ تجربے کی نمونہ فضا ہے

$$ S=\{(b, b),(g, b),(b, g),(g, g)\} $$

فرض کریں $E$ اور $F$ مندرجہ ذیل واقعات ظاہر کرتے ہیں:

E: ‘دونوں بچے لڑکے ہیں’

$F$: ‘کم از کم ایک بچہ لڑکا ہے’

پھر $$E=\{(b, b)\} and F=\{(b, b),(g, b),(b, g)\}$$

اب $$E \cap F=\{(b, b)\}$$

اس طرح $$ P(F)=\frac{3}{4} \text{ and } P(E \cap F)=\frac{1}{4} $$

لہذا $$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3} $$

مثال 3 1 سے 10 تک نمبر والے دس کارڈ ایک ڈبے میں رکھے جاتے ہیں، اچھی طرح ملا دیے جاتے ہیں اور پھر ایک کارڈ بے ترتیبی سے نکالا جاتا ہے۔ اگر یہ معلوم ہو کہ نکالے گئے کارڈ پر نمبر 3 سے زیادہ ہے، تو کیا احتمال ہے کہ یہ ایک جفت عدد ہے؟

حل فرض کریں A واقعہ ‘نکالے گئے کارڈ پر عدد جفت ہے’ اور B واقعہ ‘نکالے گئے کارڈ پر عدد 3 سے زیادہ ہے’۔ ہمیں $P(AlB)$ تلاش کرنا ہے۔

اب، تجربے کی نمونہ فضا ہے $S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$

پھر $$ A=\{2,4,6,8,10\}, B=\{4,5,6,7,8,9,10\} $$

اور $$ A \cap B=\{4,6,8,10\} $$

نیز $$ P(A)=\frac{5}{10}, P(B)=\frac{7}{10} \text{ and } P(A \cap B)=\frac{4}{10} $$

$$ P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{4}{10}}{\frac{7}{10}}=\frac{4}{7} $$

مثال 4 ایک اسکول میں، 1000 طلباء ہیں، جن میں سے 430 لڑکیاں ہیں۔ یہ معلوم ہے کہ $430,10 \%$ لڑکیاں بارہویں جماعت میں پڑھتی ہیں۔ کیا احتمال ہے کہ بے ترتیبی سے چنا گیا طالب علم بارہویں جماعت میں پڑھتا ہے یہ دیے گئے کہ چنا گیا طالب علم لڑکی ہے؟

حل فرض کریں E اس واقعے کو ظاہر کرتا ہے کہ بے ترتیبی سے چنا گیا طالب علم بارہویں جماعت میں پڑھتا ہے اور $F$ واقعہ یہ ہے کہ بے ترتیبی سے چنا گیا طالب علم لڑکی ہے۔ ہمیں $P(EIF)$ تلاش کرنا ہے۔

اب $\quad P(F)=\frac{430}{1000}=0.43$ اور $P(E \cap F)=\frac{43}{1000}=0.043$ (کیوں؟)

پھر $$\quad P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{0.043}{0.43}=0.1$$

مثال 5 ایک پانسہ تین بار پھینکا جاتا ہے۔ واقعات A اور B اس طرح تعریف کیے گئے ہیں:

A: تیسری پھینک پر 4

B: پہلی پھینک پر 6 اور دوسری پھینک پر 5

A کا احتمال تلاش کریں یہ دیے گئے کہ B پہلے ہی وقوع پذیر ہو چکا ہے۔

حل نمونہ فضا کے 216 نتائج ہیں۔

اب

$\mathrm{A} =\left\lbrace \begin{array}{ccccccc} (1,1,4) & (1,2,4) & \ldots & (1,6,4) & (2,1,4)& (2,2,4)& \ldots & (2,6,4) \\
(3,1,4) & (3,2,4) &\ldots & (3,6,4)& (4,1,4)& (4,2,4) &\ldots &(4,6,4) \\ (5,1,4) & (5,2,4) & \ldots & (5,6,4)& (6,1,4)&(6,2,4)& \ldots &(6,6,4) \\ \end{array}\right\rbrace $

$$ \begin{aligned} & B=\{(6,5,1),(6,5,2),(6,5,3),(6,5,4),(6,5,5),(6,5,6)\} \end{aligned} $$

اور $$ A \cap B=\{(6,5,4)\} . $$

اب $$ P(B)=\frac{6}{216} \text{ and } P(A \cap B)=\frac{1}{216} $$

پھر $$ P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{216}}{\frac{6}{216}}=\frac{1}{6} $$

مثال 6 ایک پانسہ دو بار پھینکا جاتا ہے اور ظاہر ہونے والے اعداد کا مجموعہ 6 مشاہدہ کیا جاتا ہے۔ مشروط احتمال کیا ہے کہ عدد 4 کم از کم ایک بار ظاہر ہوا ہے؟

حل فرض کریں $E$ واقعہ یہ ہے کہ ‘عدد 4 کم از کم ایک بار ظاہر ہوتا ہے’ اور $F$ واقعہ یہ ہے کہ ‘ظاہر ہونے والے اعداد کا مجموعہ 6 ہے’۔

پھر، $$ \begin{aligned} & E=\{(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(1,4),(2,4),(3,4),(5,4),(6,4)\} \\ & F=\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\} \end{aligned} $$

اور ہمارے پاس ہے $$ P(E)=\frac{11}{36} \text{ and } P(F)=\frac{5}{36} $$

نیز $$ E \cap F=\{(2,4),(4,2)\} $$

لہذا $$ P(E \cap F)=\frac{2}{36} $$

لہذا، مطلوبہ احتمال $$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{2}{36}}{\frac{5}{36}}=\frac{2}{5} $$

مشروط احتمال کے لیے جو اوپر بحث ہوئی ہے، ہم نے تجربے کے ابتدائی واقعات کو یکساں طور پر ممکن سمجھا ہے اور واقعہ کے احتمال کی متعلقہ تعریف استعمال کی ہے۔ تاہم، ایک ہی تعریف عام صورت میں بھی استعمال کی جا سکتی ہے جہاں نمونہ فضا کے ابتدائی واقعات یکساں طور پر ممکن نہیں ہیں، احتمالات $P(E \cap F)$ اور $P(F)$ کو اس کے مطابق حساب کیا جاتا ہے۔ آئیے مندرجہ ذیل مثال لیتے ہیں۔

مثال 7 ایک سکہ اچھالنے کے تجربے پر غور کریں۔ اگر سکہ سر دکھاتا ہے، اسے دوبارہ اچھالیں لیکن اگر یہ دم دکھاتا ہے، تو ایک پانسہ پھینکیں۔ واقعہ کا مشروط احتمال تلاش کریں کہ ‘پانسہ 4 سے زیادہ عدد دکھاتا ہے’ یہ دیے گئے کہ ‘کم از کم ایک دم ہے’۔

حل تجربے کے نتائج کو مندرجہ ذیل خاکہ نما طریقے سے ظاہر کیا جا سکتا ہے جسے ‘درخت خاکہ’ کہتے ہیں۔

تجربے کی نمونہ فضا اس طرح بیان کی جا سکتی ہے

$ S=\{(H, H),(H, T),(T, 1),(T, 2),(T, 3),(T, 4),(T, 5),(T, 6)\} $

جہاں $(H, H)$ ظاہر کرتا ہے کہ دونوں اچھال سر میں نتیجہ دیتے ہیں اور $(T, i)$ پہلی اچھال کو دم میں نتیجہ دیتا ہے اور عدد $i$ پانسے پر ظاہر ہوتا ہے $i=1,2,3,4,5,6$ کے لیے۔ اس طرح، 8 ابتدائی واقعات کو تفویض کردہ احتمالات

$(H, H),(H, T),(T, 1),(T, 2),(T, 3)(T, 4),(T, 5),(T, 6)$ ہیں $\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}$ بالترتیب

جو شکل 13.2 سے واضح ہے۔

فرض کریں $F$ واقعہ یہ ہے کہ ‘کم از کم ایک دم ہے’ اور $E$ واقعہ یہ ہے کہ ‘پانسہ 4 سے زیادہ عدد دکھاتا ہے’۔

پھر $$ \begin{aligned} & F=\{(H, T),(T, 1),(T, 2),(T, 3),(T, 4),(T, 5),(T, 6)\} \\ & E=\{(T, 5),(T, 6)\} \text{ and } E \cap F=\{(T, 5),(T, 6)\} \end{aligned} $$

اب $$ \begin{aligned} P(F)= & P(\{(H, T)\})+P(\{(T, 1)\})+P(\{(T, 2)\})+P(\{(T, 3)\}) \\ & +P(\{(T, 4)\})+P(\{(T, 5)\})+P(\{(T, 6)\}) \\ = & \frac{1}{4}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{3}{4} \end{aligned} $$

اور $\quad P(E \cap F)=P(\{(T, 5)\})+P(\{(T, 6)\})=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{1}{6}$

لہذا $\quad P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{4}}=\frac{2}{9}$

13.3 احتمال پر ضرب کا قضیہ

فرض کریں $E$ اور $F$ نمونہ فضا $S$ سے وابستہ دو واقعات ہیں۔ واضح طور پر، مجموعہ $E \cap F$ اس واقعے کو ظاہر کرتا ہے کہ دونوں $E$ اور $F$ وقوع پذیر ہو چکے ہیں۔ دوسرے الفاظ میں، $E \cap F$ واقعات $E$ اور $F$ کے ہم وقتی وقوع کو ظاہر کرتا ہے۔ واقعہ $E \cap F$ کو $EF$ کے طور پر بھی لکھا جاتا ہے۔

اکثر ہمیں واقعہ EF کا احتمال تلاش کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، دو کارڈز ایک کے بعد ایک نکالنے کے تجربے میں، ہم واقعہ ‘ایک بادشاہ اور ایک رانی’ کے احتمال میں دلچسپی رکھ سکتے ہیں۔ واقعہ EF کا احتمال مشروط احتمال کا استعمال کرتے ہوئے حاصل کیا جاتا ہے جیسا کہ نیچے حاصل کیا گیا ہے:

ہم جانتے ہیں کہ واقعہ $E$ کا مشروط احتمال یہ دیے گئے کہ $F$ وقوع پذیر ہو چکا ہے، اسے $P(E \mid F)$ سے ظاہر کیا جاتا ہے اور اس طرح دیا جاتا ہے

$$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}, P(F) \neq 0 $$

اس نتیجے سے، ہم لکھ سکتے ہیں

$$ P(E \cap F)=P(F) . P(E \mid F) \tag{1} $$

نیز، ہم جانتے ہیں کہ

$$ \begin{aligned} & P(F \mid E)=\frac{P(F \cap E)}{P(E)}, P(E) \neq 0 \\ & P(F \mid E)=\frac{P(E \cap F)}{P(E)}(\text{ since } E \cap F=F \cap E) \end{aligned} $$

اس طرح، $$ P(E \cap F)=P(E) . P(F \mid E) \tag{2} $$

(1) اور (2) کو ملا کر، ہم پاتے ہیں کہ

$$ \begin{aligned} P(E \cap F) & =P(E) P(F \mid E) \\ & =P(F) P(E \mid F) \text{ provided } P(E) \neq 0 \text{ and } P(F) \neq 0 . \end{aligned} $$

اوپر کا نتیجہ احتمال کے ضرب کے قاعدے کے طور پر جانا جاتا ہے۔

آئیے اب ایک مثال لیتے ہیں۔

مثال 8 ایک برتن میں 10 کالی اور 5 سفید گیندیں ہیں۔ دو گیندیں برتن سے ایک کے بعد ایک بغیر واپسی کے نکالی جاتی ہیں۔ کیا احتمال ہے کہ دونوں نکالی گئی گیندیں کالی ہیں؟

حل فرض کریں $E$ اور $F$ بالترتیب ان واقعات کو ظاہر کرتے ہیں کہ پہلی اور دوسری نکالی گئی گیند کالی ہے۔ ہمیں $P(E \cap F)$ یا $P(EF)$ تلاش کرنا ہے۔

اب $$ P(E)=P(\text{ black ball in first draw })=\frac{10}{15} $$

نیز دیا گیا ہے کہ پہلی نکالی گئی گیند کالی ہے، یعنی واقعہ $E$ وقوع پذیر ہو چکا ہے، اب برتن میں 9 کالی گیندیں اور پانچ سفید گیندیں باقی ہیں۔ لہذا، احتمال کہ دوسری نکالی گئی گیند کالی ہے، یہ دیے گئے کہ پہلی ڈرا میں گیند کالی ہے، کچھ اور نہیں بلکہ $F$ کا مشروط احتمال ہے یہ دیے گئے کہ $E$ وقوع پذیر ہو چکا ہے۔

یعنی $$ P(F \mid E)=\frac{9}{14} $$

احتمال کے ضرب کے قاعدے سے، ہمارے پاس ہے

$$ \begin{aligned} \mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F}) & =\mathrm{P}(\mathrm{E}) \mathrm{P}(\mathrm{F} \mid \mathrm{E})=\mathrm{P}(\mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{F} \mid \mathrm{E}) \cdot \mathrm{P}(\mathrm{G} \mid \mathrm{EF}) \\ & =\frac{10}{15} \times \frac{9}{14}=\frac{3}{7} \end{aligned} $$

احتمال کا ضرب کا قاعدہ دو سے زیادہ واقعات کے لیے اگر $E, F$ اور $G$ نمونہ فضا کے تین واقعات ہیں، تو ہمارے پاس ہے

$$ P(E \cap F \cap G)=P(E) P(F \mid E) P(G \mid(E \cap F))=P(E) P(F \mid E) P(G \mid E F) $$

اسی طرح، احتمال کے ضرب کے قاعدے کو چار یا زیادہ واقعات کے لیے بڑھایا جا سکتا ہے۔

مندرجہ ذیل مثال احتمال کے ضرب کے قاعدے کو تین واقعات کے لیے توسیع کو واضح کرتی ہے۔

مثال 9 تین کارڈز مسلسل، بغیر واپسی کے، 52 اچھی طرح سے ہلائے گئے کارڈز کے پیک سے نکالے جاتے ہیں۔ کیا احتمال ہے کہ پہلے دو کارڈز بادشاہ ہیں اور تیسرا نکالا گیا کارڈ اکہ ہے؟

حل فرض کریں $K$ اس واقعے کو ظاہر کرتا ہے کہ نکالا گیا کارڈ بادشاہ ہے اور $A$ واقعہ یہ ہے کہ نکالا گیا کارڈ اکہ ہے۔ واضح طور پر، ہمیں P (KKA) تلاش کرنا ہے۔

اب $$ P(K)=\frac{4}{52} $$

نیز، $P(K \mid K)$ دوسرے بادشاہ کا احتمال ہے اس شرط کے ساتھ کہ ایک بادشاہ پہلے ہی نکالا جا چکا ہے۔ اب $(52-1)=51$ کارڈز میں تین بادشاہ ہیں۔

لہذا $$ P(K \mid K)=\frac{3}{51} $$

آخر میں، $P(A \mid KK)$ تیسرے نکالے گئے کارڈ کے اکہ ہونے کا احتمال ہے، اس شرط کے ساتھ کہ دو بادشاہ پہلے ہی نکالے جا چکے ہیں۔ اب بائیں 50 کارڈز میں چار اکے ہیں۔

لہذا $$ P(A \mid KK)=\frac{4}{50} $$

احتمال کے ضرب کے قانون سے، ہمارے پاس ہے

$$ \begin{aligned} P(KKA) & =P(K) \quad P(K \mid K) \quad P(A \mid KK) \\ & =\frac{4}{52} \times \frac{3}{51} \times \frac{4}{50}=\frac{2}{5525} \end{aligned} $$

13.4 آزاد واقعات

52 تاش کے پتوں کے ڈیک سے ایک کارڈ نکالنے کے تجربے پر غور کریں، جس میں ابتدائی واقعات کو یکساں طور پر ممکن سمجھا جاتا ہے۔ اگر $E$ اور $F$ واقعات ‘نکالا گیا کارڈ پان کا پتہ ہے’ اور ‘نکالا گیا کارڈ اکہ ہے’ بالترظیر ظاہر کرتے ہیں، تو

$$ P(E)=\frac{13}{52}=\frac{1}{4} \text{ and } P(F)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13} $$

نیز $E$ اور $F$ واقعہ ‘نکالا گیا کارڈ پان کا اکہ ہے’ ہے تاکہ

لہذا $$ \begin{aligned} & P(E \cap F)=\frac{1}{52} \\ & P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{1}{52}}{\frac{1}{13}}=\frac{1}{4} \end{aligned} $$

چونکہ $P(E)=\frac{1}{4}=P(E \mid F)$، ہم کہہ سکتے ہیں کہ واقعہ $F$ کے وقوع نے واقعہ $E$ کے وقوع کے احتمال پر اثر نہیں ڈالا۔

ہمارے پاس بھی ہے $$ P(F \mid E)=\frac{P(E \cap F)}{P(E)}=\frac{\frac{1}{52}}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{13}=P(F) $$

ایک بار پھر، $P(F)=\frac{1}{13}=P(F \mid E)$ ظاہر کرتا ہے کہ واقعہ $E$ کے وقوع نے واقعہ $F$ کے وقوع کے احتمال پر اثر نہیں ڈالا۔

اس طرح، $E$ اور $F$ دو واقعات ہیں اس طرح کہ ان میں سے ایک کے وقوع کا احتمال دوسرے کے وقوع سے متاثر نہیں ہوتا۔

ایسے واقعات کو آزاد واقعات کہتے ہیں۔

تعریف 2 دو واقعات $E$ اور $F$ آزاد کہلاتے ہیں، اگر

$$ \begin{aligned} & P(F \mid E)=P(F) \text{ provided } P(E) \neq 0 \\ & P(E \mid F)=P(E) \text{ provided } P(F) \neq 0 \end{aligned} $$

اور اس طرح، اس تعریف میں ہمیں $P(E) \neq 0$ اور $P(F) \neq 0$ کی ضرورت ہے

اب، احتمال کے ضرب کے قاعدے سے، ہمارے پاس ہے

$$ P(E \cap F)=P(E) \cdot P(F \mid E) \tag{1} $$

اگر $E$ اور $F$ آزاد ہیں، تو (1) بن جاتا ہے

$$ P(E \cap F)=P(E) \cdot P(F) \tag{2} $$

اس طرح، (2) کا استعمال کرتے ہوئے، دو واقعات کی آزادی کو مندرجہ ذیل طور پر بھی تعریف کیا جاتا ہے:

تعریف 3 فرض کریں $E$ اور $F$ ایک ہی بے ترتیب تجربے سے وابستہ دو واقعات ہیں، تو $E$ اور $F$ آزاد کہلاتے ہیں اگر

$$ P(E \cap F)=P(E) . P(F) $$

تبصرے

(i) دو واقعات $E$ اور $F$ غیر آزاد کہلاتے ہیں اگر وہ آزاد نہیں ہیں، یعنی اگر $ P(E \cap F) \neq P(E) . P(F) $

(ii) کبھی کبھار آزاد واقعات اور باہمی طور پر مخصوص واقعات کے درمیان الجھن ہوتی ہے۔ اصطلاح ‘آزاد’ کو ‘واقعات کے احتمال’ کے لحاظ سے تعریف کیا جاتا ہے جبکہ باہمی طور پر مخصوص کو واقعات (نمونہ فضا کے ذیلی مجموعہ) کے لحاظ سے تعریف کیا جاتا ہے۔ مزید برآں، باہمی طور پر مخصوص واقعات کبھی بھی مشترکہ نتیجہ نہیں رکھتے، لیکن آزاد واقعات مشترکہ نتیجہ رکھ سکتے ہیں۔ واضح طور پر، ‘آزاد’ اور ‘باہمی طور پر مخصوص’ کا ایک ہی مطلب نہیں ہے۔

دوسرے الفاظ میں، وقوع کے غیر صفر احتمالات رکھنے والے دو آزاد واقعات باہمی طور پر مخصوص نہیں ہو سکتے، اور اس کے برعکس، یعنی وقوع کے غیر صفر احتمالات رکھنے والے دو باہمی طور پر مخصوص واقعات آزاد نہیں ہو سکتے۔

(iii) دو تجربات آزاد کہلاتے ہیں اگر ہر جوڑے کے واقعات $E$ اور $F$ کے لیے، جہاں $E$ پہلے تجربے سے وابستہ ہے اور $F$ دوسرے تجربے سے وابستہ ہے، واقعات $E$ اور $F$ کے ہم وقتی وقوع کا احتمال جب دو تجربات انجام دیے جاتے ہیں، $P(E)$ اور $P(F)$ کا حاصل ضرب ہے جو دو تجربات کی بنیاد پر الگ الگ حساب کیا جاتا ہے، یعنی $P(E \cap F)=P(E)$۔ $P(F)$

(iv) تین واقعات A، B اور C باہمی طور پر آزاد کہلاتے ہیں، اگر

$$ \begin{aligned} P(A \cap B) & =P(A) P(B) \\ P(A \cap C) & =P(A) P(C) \\ P(B \cap C) & =P(B) P(C) \end{aligned} $$

$$ \text{ and } \quad P(A \cap B \cap C)=P(A) P(B) P(C) $$

اگر تین دیے گئے واقعات کے لیے کم از کم ایک اوپر والا درست نہیں ہے، تو ہم کہتے ہیں کہ واقعات آزاد نہیں ہیں۔

مثال 10 $A$ پانسہ پھینکا جاتا ہے۔ اگر $E$ واقعہ ‘ظاہر ہونے والا عدد 3 کا ضرب ہے’ اور $F$ واقعہ ‘ظاہر ہونے والا عدد جفت ہے’ تو معلوم کریں کہ آیا $E$ اور $F$ آزاد ہیں؟

حل ہم جانتے ہیں کہ نمونہ فضا ہے $S=\{1,2,3,4,5,6\}$

اب $$ E=\{3,6\}, F=\{2,4,6\} \text{ and } E \cap F=\{6\} $$

پھر $$ P(E)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}, P(F)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} \text{ and } P(E \cap F)=\frac{1}{6} $$

واضح طور پر $$ P(E \cap F)=P(E) \cdot P(F) $$

لہذا $\quad E$ اور $F$ آزاد واقعات ہیں۔

مثال 11 ایک غیر جانبدار پانسہ دو بار پھینکا جاتا ہے۔ فرض کریں واقعہ A ‘پہلی پھینک پر طاق عدد’ ہو اور B واقعہ ‘دوسری پھینک پر طاق عدد’ ہو۔ واقعات A اور B کی آزادی چیک کریں۔

حل اگر تجربے کے تمام 36 ابتدائی واقعات کو یکساں طور پر ممکن سمجھا جائے، تو ہمارے پاس ہے

نیز $$ P(A)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2} \text{ and } P(B)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2} $$

$$ P(A \cap B)=P(\text{ odd number on both throws }) $$

$$ =\frac{9}{36}=\frac{1}{4} $$

اب $$ P(A) P(B)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4} $$

واضح طور پر $$ P(A \cap B)=P(A) \times P(B) $$

اس طرح، $\quad A$ اور $B$ آزاد واقعات ہیں

مثال 12 تین سکے ایک ساتھ اچھالے جاتے ہیں۔ واقعہ $E$ ‘تین سر یا تین دم’، $F$ ‘کم از کم دو سر’ اور $G$ ‘زیادہ سے زیادہ دو سر’ پر غور کریں۔ جوڑوں (E,F)، $(E, G)$ اور $(F, G)$ میں سے، کون سے آزاد ہیں؟ کون سے غیر آزاد ہیں؟

حل تجربے کی نمونہ فضا اس طرح دی گئی ہے

$$ S=\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\} $$

واضح طور پر $\quad E=\{HHH, TTT\}, F=\{HHH, HHT, HTH, THH\}$

اور $$ G=\{HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\} $$

نیز $E \cap F=\{HHH\}, E \cap G=\{TTT\}, F \cap G=\{HHT, HTH, THH\}$

لہذا $$ \begin{array}{r} \mathrm{P}(\mathrm{E})=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}, \mathrm{P}(\mathrm{F})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}, \mathrm{P}(\mathrm{G})=\frac{7}{8} \\ \mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})=\frac{1}{8}, \mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{G})=\frac{1}{8}, \mathrm{P}(\mathrm{F} \cap \mathrm{G})=\frac{3}{8} \end{array} $$

اس کے ساتھ ساتھ $$ P(E) \cdot P(F)=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}, P(E) \cdot P(G)=\frac{1}{4} \times \frac{7}{8}=\frac{7}{32} $$ $$ P(F) \cdot P(G)=\frac{1}{2} \times \frac{7}{8}=\frac{7}{16} $$

اس طرح $$ P(E \cap F)=P(E) \cdot P(F) $$

$$ P(E \cap G) \neq P(E) \cdot P(G) $$

اور $$ P(F \cap G) \neq P(F) . P(G) $$

لہذا، واقعات ( $E$ اور $F$ ) آزاد ہیں، اور واقعات $(E$ اور $G)$ اور $(F$ اور $G)$ غیر آزاد ہیں۔

مثال 13 ثابت کریں کہ اگر $E$ اور $F$ آزاد واقعات ہیں، تو واقعات $E$ اور $F^{\prime}$ بھی آزاد ہیں۔

حل چونکہ $E$ اور $F$ آزاد ہیں، ہمارے پاس ہے

$$ P(E \cap F)=P(E) . P(F) \tag{1} $$

شکل 13.3 میں وین خاکے سے، یہ واضح ہے کہ $E \cap F$ اور $E \cap F^{\prime}$ باہمی طور پر مخصوص واقعات ہیں اور نیز $E=(E \cap F) \cup(E \cap F^{\prime})$۔

لہذا $$ P(E)=P(E \cap F)+P(E \cap F^{\prime}) $$

$$ \begin{aligned} P(E \cap F^{\prime})= & P(E)-P(E \cap F) \\ = & P(E)-P(E) \cdot P(F) \\ & (\text{ by }(1)) \\ \text{ or } \qquad= & P(E)(1-P(F)) \\ = & P(E) \cdot P(F^{\prime}) \end{aligned} $$

شکل 13.3

لہذا، $E$ اور $F^{\prime}$ آزاد ہیں

نوٹ اسی طرح کے انداز میں، یہ دکھایا جا سکتا ہے کہ اگر واقعات $E$ اور $F$ آزاد ہیں، تو

(a) $E^{\prime}$ اور $F$ آزاد ہیں،

(b) $E^{\prime}$ اور $F^{\prime}$ آزاد ہیں

مثال 14 اگر $A$ اور $B$ دو آزاد واقعات ہیں، تو $A$ اور $B$ میں سے کم از کم ایک کے وقوع کا احتمال $1-P(A^{\prime}) P(B^{\prime})$ کے ذریعے دیا جاتا ہے

حل ہمارے پاس ہے

$$ \begin{aligned} & P(\text{ at least one of } A \text{ and } B)=P(A \cup B) \\ &=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ &=P(A)+P(B)-P(A) P(B) \\ &=P(A)+P(B)[1-P(A)] \\ &=P(A)+P(B) . P(A^{\prime}) \\ &=1-P(A^{\prime})+P(B) P(A^{\prime}) \\ &=1-P(A^{\prime})[1-P(B)] \\ &=1-P(A^{\prime}) P(B^{\prime}) \\ & \text{ } \end{aligned} $$

13.5 بیز کا قضیہ

غور کریں کہ دو تھیلے I اور II ہیں۔ تھیلا I میں 2 سفید اور 3 سرخ گیندیں ہیں اور تھیلا II میں 4 سفید اور 5 سرخ گیندیں ہیں۔ ایک گیند بے ترتیبی سے ایک تھیلے سے نکالی جاتی ہے۔ ہم کسی بھی تھیلے کے انتخاب کا احتمال (یعنی $\frac{1}{2}$) یا کسی خاص رنگ (مثلاً سفید) کی گیند کسی خاص تھیلے (مثلاً تھیلا I) سے نکالنے کا احتمال تلاش کر سکتے ہیں۔ دوسرے الفاظ میں، ہم اس بات کا احتمال تلاش کر سکتے ہیں کہ نکالی گئی گیند کا رنگ خاص ہے، اگر ہمیں وہ تھیلا دیا جائے جس سے گیند نکالی گئی ہے۔ لیکن، کیا ہم اس بات کا احتمال تلاش کر سکتے ہیں کہ نکالی گئی گیند کسی خاص تھیلے (مثلاً تھیلا II) سے ہے، اگر نکالی گئی گیند کا رنگ دیا گیا ہو؟ یہاں، ہمیں تھیلا II کے منتخب ہونے کا الٹا احتمال تلاش کرنا ہے جب ایک واقعہ اس کے معلوم ہونے کے بعد وقوع پذیر ہوا۔ مشہور ریاضی دان، جان بیز نے مشروط احتمال کا استعمال کرتے ہوئے الٹے احتمال کو تلاش کرنے کا مسئلہ حل کیا۔ ان کے ذریعے تیار کردہ فارمولے کو ‘بیز کا قضیہ’ کہ