دنیا میں بدصورت ریاضیات کے لیے کوئی مستقل جگہ نہیں ہے …۔ ریاضیاتی حسن کی تعریف کرنا شاید بہت مشکل ہو لیکن یہ بات کسی بھی قسم کے حسن کے لیے درست ہے، ہم شاید ایک خوبصورت نظم سے کیا مراد ہے بالکل نہ جانتے ہوں، لیکن یہ ہمیں اسے پہچاننے سے نہیں روکتا جب ہم اسے پڑھتے ہیں۔ – جی ایچ ہارڈی

1.1 تعارف

یاد کریں کہ تعلقات اور تفاعل، دائرہ تعریف، ہم دائرہ اور حیطہ کے تصورات کو کلاس گیارہ میں مختلف قسم کے مخصوص حقیقی قدر والے تفاعل اور ان کے گراف کے ساتھ متعارف کرایا گیا تھا۔ ریاضی میں اصطلاح ‘تعلق’ کا تصور انگریزی زبان میں تعلق کے معنی سے اخذ کیا گیا ہے، جس کے مطابق دو اشیاء یا مقداریں باہم متعلقہ ہیں اگر ان دونوں اشیاء یا مقدروں کے درمیان کوئی پہچاننے والا ربط یا تعلق موجود ہو۔ فرض کریں A کسی اسکول کے بارہویں جماعت کے تمام طلباء کا مجموعہ ہے اور B اسی اسکول کے گیارہویں جماعت کے تمام طلباء کا مجموعہ ہے۔ تو $A$ سے $B$ تک کے تعلقات کی کچھ مثالیں یہ ہیں:

(i) $\{(a, b) \in A \times B: \text{a is brother of b}\}$

(ii) $\{(a, b) \in A \times B: \text{a is sister of b}\}$,

لیژن ڈریکلیٹ (1805-1859)

(iii) $\{(a, b) \in A \times B : \text{age of a is greater than age of b}\}$,

(iv) $\{(a, b) \in A \times B$ : a کے حاصل کردہ کل نمبر b کے حاصل کردہ کل نمبر سے کم ہیں $\}$

(v) $\{(a, b) \in A \times B: a$ اسی محلے میں رہتا ہے جہاں $b\}$ رہتا ہے۔ تاہم، اس سے تجرید کرتے ہوئے، ہم ریاضیاتی طور پر $A$ سے $B$ تک ایک تعلق $R$ کو $A \times B$ کے ایک غیر مخصوص ذیلی مجموعے کے طور پر تعریف کرتے ہیں۔

اگر $(a, b) \in R$، تو ہم کہتے ہیں کہ $a$، تعلق $R$ کے تحت $b$ سے متعلق ہے اور ہم اسے $a R b$ لکھتے ہیں۔ عام طور پر، $(a, b) \in R$، ہم اس بات کی پروا نہیں کرتے کہ آیا $a$ اور $b$ کے درمیان کوئی پہچاننے والا ربط یا تعلق ہے یا نہیں۔ جیسا کہ کلاس گیارہ میں دیکھا گیا، تفاعل تعلقات کی ایک خاص قسم ہیں۔

اس باب میں، ہم مختلف قسم کے تعلقات اور تفاعل، تفاعل کی ترکیب، الٹ جانے والے تفاعل اور ثنائی عملیات کا مطالعہ کریں گے۔

1.2 تعلقات کی اقسام

اس حصے میں، ہم مختلف قسم کے تعلقات کا مطالعہ کرنا چاہیں گے۔ ہم جانتے ہیں کہ کسی مجموعہ $A$ میں ایک تعلق $A \times A$ کا ایک ذیلی مجموعہ ہوتا ہے۔ اس طرح، خالی مجموعہ $\phi$ اور $A \times A$ دو انتہائی تعلقات ہیں۔ مثال کے طور پر، مجموعہ $A=\{1,2,3,4\}$ میں ایک تعلق $R$ پر غور کریں جو $R=\{(a, b): a-b=10\}$ کے ذریعے دیا گیا ہے۔ یہ خالی مجموعہ ہے، کیونکہ کوئی بھی جوڑا $(a, b)$ شرط $a-b=10$ کو پورا نہیں کرتا۔ اسی طرح، $R^{\prime}=\{(a, b):|a-b| \geq 0\}$ پورا مجموعہ $A \times A$ ہے، کیونکہ A $\times$ A میں موجود تمام جوڑے $(a, b)$ شرط $|a-b| \geq 0$ کو پورا کرتے ہیں۔ یہ دو انتہائی مثالیں ہمیں درج ذیل تعریفوں کی طرف لے جاتی ہیں۔

تعریف 1 کسی مجموعہ $A$ میں ایک تعلق $R$، خالی تعلق کہلاتا ہے، اگر $A$ کا کوئی بھی عنصر $A$ کے کسی بھی عنصر سے متعلق نہ ہو، یعنی $R=\phi \subset A \times A$۔

تعریف 2 کسی مجموعہ $A$ میں ایک تعلق $R$، عالمگیر تعلق کہلاتا ہے، اگر $A$ کا ہر عنصر $A$ کے ہر عنصر سے متعلق ہو، یعنی $R=A \times A$۔

خالی تعلق اور عالمگیر تعلق دونوں کو کبھی کبھار معمولی تعلقات بھی کہا جاتا ہے۔

مثال 1 فرض کریں $A$ کسی لڑکوں کے اسکول کے تمام طلباء کا مجموعہ ہے۔ دکھائیں کہ مجموعہ $A$ میں تعلق $R$ جو $R=\{(a, b): a$ $b\}$ کی بہن ہے کے ذریعے دیا گیا ہے، خالی تعلق ہے اور تعلق $R^{\prime}=\{(a, b):$ $a$ اور $b$ کی اونچائیوں کا فرق 3 میٹر سے کم ہے $\}$ عالمگیر تعلق ہے۔

حل چونکہ اسکول لڑکوں کا اسکول ہے، اس لیے اسکول کا کوئی طالب علم کسی دوسرے طالب علم کا بہن نہیں ہو سکتا۔ لہٰذا، $R=\phi$، جو دکھاتا ہے کہ $R$ خالی تعلق ہے۔ یہ بھی واضح ہے کہ اسکول کے کسی بھی دو طلباء کی اونچائیوں کا فرق 3 میٹر سے کم ہونا ضروری ہے۔ یہ دکھاتا ہے کہ $R^{\prime}=A \times A$ عالمگیر تعلق ہے۔

تبصرہ کلاس گیارہ میں، ہم نے تعلق کو ظاہر کرنے کے دو طریقے دیکھے ہیں، یعنی لکیری طریقہ اور سیٹ بنانے والا طریقہ۔ تاہم، مجموعہ $\{1,2,3,4\}$ میں ایک تعلق $R$ جو $R$ $=\{(a, b): b=a+1\}$ کے ذریعے تعریف کیا گیا ہے، کو بہت سے مصنفین $a R b$ اگر اور صرف اگر $b=a+1$ کے طور پر بھی ظاہر کرتے ہیں۔ ہم بھی حسب ضرورت اس علامت کو استعمال کر سکتے ہیں۔

اگر $(a, b) \in R$، تو ہم کہتے ہیں کہ $a$، $b$ سے متعلق ہے اور ہم اسے $a R b$ سے ظاہر کرتے ہیں۔

سب سے اہم تعلقات میں سے ایک، جو ریاضی میں اہم کردار ادا کرتا ہے، مساواتی تعلق ہے۔ مساواتی تعلق کا مطالعہ کرنے کے لیے، ہم پہلے تین قسم کے تعلقات پر غور کرتے ہیں، یعنی انعکاسی، متناسب اور متعدی۔

تعریف 3 کسی مجموعہ $A$ میں ایک تعلق $R$ کہلاتا ہے:

(i) انعکاسی، اگر $(a, a) \in R$، ہر $a \in A$ کے لیے،

(ii) متناسب، اگر $(a_{1}, a_{2}) \in R$ اس بات کی طرف اشارہ کرتا ہے کہ $(a_{2}, a_{1}) \in R$، تمام $a_{1}, a_{2} \in A$ کے لیے۔

(iii) متعدی، اگر $(a_{1}, a_{2}) \in R$ اور $(a_{2}, a_{3}) \in R$ اس بات کی طرف اشارہ کرتا ہے کہ $(a_{1}, a_{3}) \in R$، تمام $a_{1}, a_{2}$، $a_{3} \in A$ کے لیے۔

تعریف 4 کسی مجموعہ $A$ میں ایک تعلق $R$ مساواتی تعلق کہلاتا ہے اگر $R$ انعکاسی، متناسب اور متعدی ہو۔

مثال 2 فرض کریں $T$ ایک مستوی میں تمام مثلثوں کا مجموعہ ہے اور $T$ میں ایک تعلق $R$ اس طرح دیا گیا ہے کہ $R=\{(T_{1}, T_{2}): T_{1}.$، $.T_{2}\}$ کے ہم شکل ہے۔ دکھائیں کہ $R$ ایک مساواتی تعلق ہے۔

حل $R$ انعکاسی ہے، کیونکہ ہر مثلث اپنے آپ کے ہم شکل ہے۔ مزید، $(T_{1}, T_{2}) \in R \Rightarrow T_{1}$، $T_{2} \Rightarrow T_{2}$ کے ہم شکل ہے تو $T_{1} \Rightarrow(T_{2}, T_{1}) \in R$، $R$ کے ہم شکل ہے۔ لہٰذا، $(T_{1}, T_{2}),(T_{2}, T_{3}) \in R \Rightarrow T_{1}$ متناسب ہے۔ اس کے علاوہ، $T_{2}$، $T_{2}$ کے ہم شکل ہے اور $T_{3} \Rightarrow T_{1}$، $T_{3} \Rightarrow(T_{1}, T_{3}) \in R$ کے ہم شکل ہے تو $R$، $ Let L$ کے ہم شکل ہے۔ لہٰذا، $R$ ایک مساواتی تعلق ہے۔

مثال 3 فرض کریں $L$ ایک مستوی میں تمام خطوط کا مجموعہ ہے اور $.L_{2}\}$ میں تعلق $R=\{(L_{1}, L_{2}): L_{1}.$ اس طرح تعریف کیا گیا ہے کہ $R$، $R$ پر عمود ہے۔ دکھائیں کہ $L_{1}$ متناسب ہے لیکن نہ تو انعکاسی ہے اور نہ ہی متعدی۔

حل $(L_{1}, L_{1})$ انعکاسی نہیں ہے، کیونکہ ایک خط $\notin R$ اپنے آپ پر عمود نہیں ہو سکتا، یعنی $(L_{1}, L_{2}) \in R$ $R$۔ R متناسب ہے کیونکہ $L_{1}$

$$ \begin{array}{ll} \Rightarrow & L_{1} \text { is perpendicular to } L_{2} \\ \Rightarrow & L_{2} \text { is perpendicular to } L_{1} \\ \Rightarrow & (L_{2}, L_{1}) \in R . \end{array} $$

$L_{2}$ متعدی نہیں ہے۔ درحقیقت، اگر $L_{2}$، $L_{3}$ پر عمود ہے اور $L_{1}$، $L_{3}$ پر عمود ہے، تو $L_{1}$ کبھی بھی $L_{3}$ پر عمود نہیں ہو سکتا۔ درحقیقت، $(L_{1}, L_{2}) \in R,(L_{2}, L_{3}) \in R$، $(L_{1}, L_{3}) \notin R$ کے متوازی ہے، یعنی $R$ لیکن $\{1,2,3\}$۔

شکل 1.1

مثال 4 دکھائیں کہ مجموعہ $\{(1,1),(2,2), (3,3),(1,2),(2,3)\}$ میں تعلق $R$ جو R=$(1,1),(2,2)$ کے ذریعے دیا گیا ہے، انعکاسی ہے لیکن نہ تو متناسب ہے اور نہ ہی متعدی۔

حل $(3,3)$ انعکاسی ہے، کیونکہ $R$ اور $R$، $(1,2) \in R$ میں پائے جاتے ہیں۔ نیز، $(2,1) \notin R$ متناسب نہیں ہے، کیونکہ $R$ لیکن $(1,2) \in R$۔ اسی طرح، $(2,3) \in R$ متعدی نہیں ہے، کیونکہ $(1,3) \notin R$ اور $R$ لیکن $\mathbf{Z}$۔

مثال 5 دکھائیں کہ صحیح اعداد کے مجموعہ $R=\{(a, b): 2 \text { divides } a-b\}$ میں تعلق $R$ جو $(a-a)$ کے ذریعے دیا گیا ہے، ایک مساواتی تعلق ہے۔

حل $a \in \mathbf{Z}$ انعکاسی ہے، کیونکہ 2، $(a, b) \in R$ کو تقسیم کرتا ہے تمام $a-b$ کے لیے۔ مزید، اگر $b-a$، تو 2، $(b, a) \in R$ کو تقسیم کرتا ہے۔ لہٰذا، 2، $R$ کو تقسیم کرتا ہے۔ لہٰذا، $(a, b) \in R$، جو دکھاتا ہے کہ $(b, c) \in R$ متناسب ہے۔ اسی طرح، اگر $a-b$ اور $b-c$، تو $a-c=(a-b)+(b-c)$ اور $(a-c)$ 2 سے تقسیم ہوتے ہیں۔ اب، $R$ جفت ہے (کیوں؟)۔ لہٰذا، $R$ 2 سے تقسیم ہوتا ہے۔ یہ دکھاتا ہے کہ $\mathbf{Z}$ متعدی ہے۔ اس طرح، $(0, \pm 2),(0, \pm 4)$، $R$ میں ایک مساواتی تعلق ہے۔

مثال 5 میں، نوٹ کریں کہ تمام جفت صحیح اعداد صفر سے متعلق ہیں، کیونکہ $(0, \pm 1),(0, \pm 3)$ وغیرہ، $R$ میں پائے جاتے ہیں اور کوئی طاق صحیح عدد 0 سے متعلق نہیں ہے، کیونکہ $E$ وغیرہ، $O$ میں نہیں پائے جاتے۔ اسی طرح، تمام طاق صحیح اعداد ایک سے متعلق ہیں اور کوئی جفت صحیح عدد ایک سے متعلق نہیں ہے۔ لہٰذا، تمام جفت صحیح اعداد کا مجموعہ $\mathbf{Z}$ اور تمام طاق صحیح اعداد کا مجموعہ $E$، $O$ کے ذیلی مجموعے ہیں جو درج ذیل شرائط کو پورا کرتے ہیں:

(i) $E$ کے تمام عناصر ایک دوسرے سے متعلق ہیں اور $O$ کے تمام عناصر ایک دوسرے سے متعلق ہیں۔

(ii) $E$ کا کوئی بھی عنصر $O$ کے کسی بھی عنصر سے متعلق نہیں ہے اور اس کے برعکس۔

(iii) $\mathbf{Z}=E \cup O$ اور $E$ جدا ہیں اور $O$۔

ذیلی مجموعہ $[0] \neq[1],[0]=[2 r]$ صفر پر مشتمل مساواتی طبقہ کہلاتا ہے اور اسے [0] سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اسی طرح، $[1]=[2 r+1], r \in \mathbf{Z}$ ایک پر مشتمل مساواتی طبقہ ہے اور اسے [1] سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ نوٹ کریں کہ $R$ اور $X$۔ درحقیقت، جو کچھ ہم نے اوپر دیکھا ہے وہ کسی مجموعہ $R$ میں ایک غیر مخصوص مساواتی تعلق $X, R$ کے لیے درست ہے۔ کسی غیر مخصوص مجموعہ $X$ میں ایک غیر مخصوص مساواتی تعلق $A_{i}$ دیا گیا ہو، تو $X$ کو باہمی طور پر جدا ذیلی مجموعوں $A_{i}$ میں تقسیم کرتا ہے جو $i$ کے تقسیمات یا ذیلی تقسیمات کہلاتے ہیں اور درج ذیل شرائط کو پورا کرتے ہیں:

(i) $A_{i}$ کے تمام عناصر ایک دوسرے سے متعلق ہیں، تمام $A_{j}, i \neq j$ کے لیے۔

(ii) $\cup A_{j}=X$ کا کوئی بھی عنصر $A_{i} \cap A_{j}=\phi, i \neq j$ کے کسی بھی عنصر سے متعلق نہیں ہے۔

(iii) $A_{i}$ اور $\mathbf{Z}$۔

ذیلی مجموعے $A_{1}, A_{2}$ مساواتی طبقات کہلاتے ہیں۔ صورت حال کا دلچسپ پہلو یہ ہے کہ ہم الٹا بھی جا سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر، مجموعہ $A_{3}$ کی ایک تقسیم پر غور کریں جو تین باہمی طور پر جدا ذیلی مجموعوں $\mathbf{Z}$ اور $R$ کے ذریعے دی گئی ہے جن کا اجتماع $\mathbf{Z}$ ہے، جہاں

$$ \begin{aligned} & A_{1}=\{x \in \mathbf{Z}: x \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-6,-3,0,3,6, \ldots\} \\ & A_{2}=\{x \in \mathbf{Z}: x-1 \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-5,-2,1,4,7, \ldots\} \\ & A_{3}=\{x \in \mathbf{Z}: x-2 \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-4,-1,2,5,8, \ldots\} \end{aligned} $$

مجموعہ $R=\{(a, b): 3$ میں ایک تعلق $a-b\}$ اس طرح تعریف کریں کہ $R$، $A_{1}$ کو تقسیم کرتا ہے۔ مثال 5 میں استعمال ہونے والے دلائل کی طرح دلائل کی پیروی کرتے ہوئے، ہم دکھا سکتے ہیں کہ $\mathbf{Z}$ ایک مساواتی تعلق ہے۔ نیز، $A_{2}$، صفر سے متعلق تمام صحیح اعداد کے مجموعہ سے مماثل ہے، $A_{3}$، ایک سے متعلق تمام صحیح اعداد کے مجموعہ سے مماثل ہے اور $\mathbf{Z}$، دو سے متعلق تمام صحیح اعداد کے مجموعہ سے مماثل ہے۔ اس طرح، $A_{1}=[0], A_{2}=[1]$ اور $A_{3}=[2]$۔ درحقیقت، $A_{1}=[3 r], A_{2}=[3 r+1]$ اور $A_{3}=[3 r+2]$، تمام $r \in \mathbf{Z}$ کے لیے۔

مثال 6 فرض کریں مجموعہ $R$ میں تعلق $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ اس طرح تعریف کیا گیا ہے کہ R=$\{(a, b) :$ a اور b دونوں یا تو طاق ہیں یا جفت ہیں $\}$۔ دکھائیں کہ $R$ ایک مساواتی تعلق ہے۔ مزید، دکھائیں کہ ذیلی مجموعہ $\{1,3,5,7\}$ کے تمام عناصر ایک دوسرے سے متعلق ہیں اور ذیلی مجموعہ $\{2,4,6\}$ کے تمام عناصر ایک دوسرے سے متعلق ہیں، لیکن ذیلی مجموعہ $\{1,3,5,7\}$ کا کوئی بھی عنصر ذیلی مجموعہ $\{2,4,6\}$ کے کسی بھی عنصر سے متعلق نہیں ہے۔

حل مجموعہ A میں کوئی بھی عنصر $a$ دیا گیا ہو، تو $a$ اور $a$ دونوں یا تو طاق ہونے چاہئیں یا جفت، تاکہ $(a, a) \in R$۔ مزید، $(a, b) \in R \Rightarrow$، $a$ اور $b$ دونوں یا تو طاق ہونے چاہئیں یا جفت $\Rightarrow(b, a) \in R$۔ اسی طرح، $(a, b) \in R$ اور $(b, c) \in R \Rightarrow$، تمام عناصر $a, b, c$، یا تو ایک ساتھ جفت ہونے چاہئیں یا طاق $\Rightarrow(a, c) \in R$۔ لہٰذا، $R$ ایک مساواتی تعلق ہے۔ مزید، ذیلی مجموعہ $\{1,3,5,7\}$ کے تمام عناصر ایک دوسرے سے متعلق ہیں، کیونکہ اس ذیلی مجموعہ کے تمام عناصر طاق ہیں۔ اسی طرح، ذیلی مجموعہ $\{2,4,6\}$ کے تمام عناصر ایک دوسرے سے متعلق ہیں، کیونکہ ان میں سے تمام جفت ہیں۔ نیز، ذیلی مجموعہ $\{1,3,5,7\}$ کا کوئی بھی عنصر ذیلی مجموعہ $\{2,4,6\}$ کے کسی بھی عنصر سے متعلق نہیں ہو سکتا، کیونکہ $\{1,3,5,7\}$ کے عناصر طاق ہیں، جبکہ $\{2,4,6\}$ کے عناصر جفت ہیں۔

1.3 تفاعل کی اقسام

تفاعل کا تصور اور کچھ خاص تفاعل جیسے شناختی تفاعل، مستقل تفاعل، کثیر رقمی تفاعل، ناطق تفاعل، معیاری تفاعل، علامتی تفاعل وغیرہ ان کے گراف کے ساتھ کلاس گیارہ میں دیے گئے ہیں۔

دو تفاعل کی جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم کا بھی مطالعہ کیا گیا ہے۔ چونکہ تفاعل کا تصور ریاضی اور دیگر علوم میں بھی انتہائی اہمیت کا حامل ہے، اس لیے ہم اپنے تفاعل کے مطالعہ کو وہاں سے آگے بڑھانا چاہیں گے جہاں سے ہم پہلے ختم ہوئے تھے۔ اس حصے میں، ہم مختلف قسم کے تفاعل کا مطالعہ کرنا چاہیں گے۔

درج ذیل خاکوں کے ذریعے دیے گئے تفاعل $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ اور $f_{4}$ پر غور کریں۔

شکل 1.2 میں، ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ تفاعل $f_{1}$ کے تحت مجموعہ $X_{1}$ کے مختلف عناصر کی صورتیں مختلف ہیں، لیکن تفاعل $f_{2}$ کے تحت مجموعہ $X_{1}$ کے دو مختلف عناصر 1 اور 2 کی صورت ایک جیسی ہے، یعنی $b$۔ مزید، مجموعہ $X_{2}$ میں کچھ عناصر جیسے $e$ اور $f$ ایسے ہیں جو تفاعل $f_{1}$ کے تحت مجموعہ $X_{1}$ کے کسی بھی عنصر کی صورت نہیں ہیں، جبکہ مجموعہ $X_{3}$ کے تمام عناصر تفاعل $f_{3}$ کے تحت مجموعہ $X_{1}$ کے کچھ عناصر کی صورتیں ہیں۔ اوپر کے مشاہدات درج ذیل تعریفوں کی طرف لے جاتے ہیں:

تعریف 5 ایک تفاعل $f: X \rightarrow Y$ یک-یک (یا داخل کرنے والا) کہلاتا ہے، اگر تفاعل $f$ کے تحت مجموعہ $X$ کے مختلف عناصر کی صورتیں مختلف ہوں، یعنی ہر $x_{1}, x_{2} \in X, f(x_{1})=f(x_{2})$ کے لیے $x_{1}=x_{2}$ کا تقاضا کرتا ہے۔ ورنہ، $f$ کثیر-یک کہلاتا ہے۔

شکل 1.2 (i) اور (iv) میں تفاعل $f_{1}$ اور $f_{4}$ یک-یک ہیں اور شکل 1.2 (ii) اور (iii) میں تفاعل $f_{2}$ اور $f_{3}$ کثیر-یک ہیں۔

تعریف 6 ایک تفاعل $f: X \rightarrow Y$ پوری (یا باہر کرنے والا) کہلاتا ہے، اگر تفاعل $f$ کے تحت مجموعہ $Y$ کا ہر عنصر مجموعہ $X$ کے کسی نہ کسی عنصر کی صورت ہو، یعنی ہر $y \in Y$ کے لیے، مجموعہ $X$ میں ایک عنصر $x$ موجود ہو کہ $f(x)=y$۔

شکل 1.2 (iii)، (iv) میں تفاعل $f_{3}$ اور $f_{4}$ پوری ہیں اور شکل 1.2 (i) میں تفاعل $f_{1}$ پوری نہیں ہے کیونکہ مجموعہ $X_{2}$ میں عناصر $e, f$ تفاعل $f_{1}$ کے تحت مجموعہ $X_{1}$ کے کسی بھی عنصر کی صورت نہیں ہیں۔

شکل 1.2 (i) سے (iv)

تبصرہ $f: X \rightarrow Y$ پوری ہے اگر اور صرف اگر $f=Y$ کا حیطہ۔

تعریف 7 ایک تفاعل $f: X \rightarrow Y$ یک-یک اور پوری (یا دو طرفہ) کہلاتا ہے، اگر $f$ یک-یک اور پوری دونوں ہو۔

شکل 1.2 (iv) میں تفاعل $f_{4}$ یک-یک اور پوری ہے۔

مثال 7 فرض کریں A کسی اسکول میں کلاس $X$ کے تمام 50 طلباء کا مجموعہ ہے۔ تفاعل $f: A \rightarrow \mathbf{N}$ اس طرح تعریف کیا گیا ہے کہ $f(x)=$ طالب علم $x$ کا رول نمبر ہے۔ دکھائیں کہ $f$ یک-یک ہے لیکن پوری نہیں ہے۔

حل کلاس کے دو مختلف طلباء کا ایک جیسا رول نمبر نہیں ہو سکتا۔ لہٰذا، $f$ ضرور یک-یک ہونا چاہیے۔ ہم بغیر کسی نقصان کے یہ فرض کر سکتے ہیں کہ طلباء کے رول نمبر 1 سے 50 تک ہیں۔ اس کا مطلب ہے کہ مجموعہ $\mathbf{N}$ میں 51 کسی بھی طالب علم کا رول نمبر نہیں ہے، لہٰذا 51 تفاعل $f$ کے تحت مجموعہ $X$ کے کسی بھی عنصر کی صورت نہیں ہو سکتا۔ لہٰذا، $f$ پوری نہیں ہے۔

مثال 8 دکھائیں کہ تفاعل $f: \mathbf{N}\rightarrow \mathbf{N}$، جو $f(x)=2 x$ کے ذریعے دیا گیا ہے، یک-یک ہے لیکن پوری نہیں ہے۔

حل تفاعل $f$ یک-یک ہے، کیونکہ $f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow 2 x_{1}=2 x_{2} \Rightarrow x_{1}=x_{2}$۔ مزید، $f$ پوری نہیں ہے، کیونکہ $1 \in \mathbf{N}$ کے لیے، مجموعہ $\mathbf{N}$ میں کوئی $x$ موجود نہیں ہے کہ $f(x)=2 x=1$۔

مثال 9 ثابت کریں کہ تفاعل $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$، جو $f(x)=2 x$ کے ذریعے دیا گیا ہے، یک-یک اور پوری ہے۔ حل $f$ یک-یک ہے، کیونکہ $f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow 2 x_{1}=2 x_{2} \Rightarrow x_{1}=x_{2}$۔ نیز، کوئی بھی حقیقی عدد $y$ مجموعہ $R$ میں دیا گیا ہو، تو مجموعہ $R$ میں $\frac{y}{2}$ موجود ہے کہ $f(\frac{y}{2})=2 .(\frac{y}{2})=y$۔ لہٰذا، $f$ پوری ہے۔

شکل 1.3

مثال 10 دکھائیں کہ تفاعل $f: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$، جو $f(1)=f(2)=1$ اور $f(x)=x-1$ کے ذریعے دیا گیا ہے، ہر $x>2$ کے لیے، پوری ہے لیکن یک-یک نہیں ہے۔

حل $f$ یک-یک نہیں ہے، کیونکہ $f(1)=f(2)=1$۔ لیکن $f$ پوری ہے، کیونکہ کوئی بھی $y \in \mathbf{N}, y \neq 1$ دیا گیا ہو، ہم $x$ کو $y+1$ کے طور پر چن سکتے ہیں کہ $f(y+1)=y+1-1=y$۔ نیز $1 \in \mathbf{N}$ کے لیے، ہمارے پاس $f(1)=1$ ہے۔

مثال 11 دکھائیں کہ تفاعل $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$، جو $f(x)=x^{2}$ کے طور پر تعریف کیا گیا ہے، نہ تو یک-یک ہے اور نہ ہی پوری۔

حل چونکہ $f(-1)=1=f(1), f$ یک-یک نہیں ہے۔ نیز، ہم دائرہ $\mathbf{R}$ میں عنصر -2 دائرہ تعریف $\mathbf{R}$ میں کسی بھی عنصر $x$ کی صورت نہیں ہے (کیوں؟)۔ لہٰذا $f$ پوری نہیں ہے۔

مثال 12 دکھائیں کہ $f: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$، جو اس طرح دیا گیا ہے:

$$ f(x)=\begin{aligned} & x+1, \text { if } x \text { is odd, } \\ & x-1, \text { if } x \text { is even } \end{aligned} $$ یک-یک اور پوری دونوں ہے۔

شکل 1.4

حل فرض کریں $f(x_{1})=f(x_{2})$۔ نوٹ کریں کہ اگر $x_{1}$ طاق ہے اور $x_{2}$ جفت ہے، تو ہمارے پاس $x_{1}+1=x_{2}-1$ ہوگا، یعنی $x_{2}-x_{1}=2$ جو ناممکن ہے۔ اسی طرح، $x_{1}$ کے جفت ہونے اور $x_{2}$ کے طاق ہونے کا امکان بھی اسی طرح کے دلائل استعمال کرتے ہوئے خارج کیا جا سکتا ہے۔ لہٰذا، $x_{1}$ اور $x_{2}$ دونوں یا تو طاق ہونے چاہئیں یا جفت۔ فرض کریں $x_{1}$ اور $x_{2}$ دونوں طاق ہیں۔ تو $f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}+1=x_{2}+1 \Rightarrow x_{1}=x_{2}$۔ اسی طرح، اگر $x_{1}$ اور $x_{2}$ دونوں جفت ہیں، تو پھر بھی $f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}-1=x_{2}-1 \Rightarrow x_{1}=x_{2}$۔ اس طرح، $f$ یک-یک ہے۔ نیز، ہم دائرہ $\mathbf{N}$ میں کوئی بھی طاق عدد $2 r+1$ دائرہ تعریف $\mathbf{N}$ میں $2 r+2$ کی صورت ہے اور ہم دائرہ $\mathbf{N}$ میں کوئی بھی جفت عدد $2 r$ دائرہ تعریف $\mathbf{N}$ میں $2 r-1$ کی صورت ہے۔ اس طرح، $f$ پوری ہے۔

مثال 13 دکھائیں کہ ایک پوری تفاعل $f:\{1,2,3\} \Rightarrow\{1,2,3\}$ ہمیشہ یک-یک ہوتی ہے۔

حل فرض کریں $f$ یک-یک نہیں ہے۔ تو دائرہ تعریف میں دو عناصر، مثلاً 1 اور 2 موجود ہیں جن کی صورت ہم دائرہ میں ایک جیسی ہے۔ نیز، تفاعل $f$ کے تحت 3 کی صورت صرف ایک عنصر ہو سکتی ہے۔ لہٰذا، حیطہ مجموعہ میں ہم دائرہ $\{1,2,3\}$ کے زیادہ سے زیادہ دو عناصر ہو سکتے ہیں، جو دکھاتا ہے کہ $f$ پوری نہیں ہے، جو ایک تضاد ہے۔ لہٰذا، $f$ ضرور یک-یک ہونا چاہیے۔

مثال 14 دکھائیں کہ ایک یک-یک تفاعل $f:\{1,2,3\} \rightarrow\{1,2,3\}$ ضرور پوری ہونی چاہیے۔

حل چونکہ $f$ یک-یک ہے، دائرہ تعریف $\{1,2,3\}$ کے تین عناصر تفاعل $f$ کے تحت ہم دائرہ $\{1,2,3\}$ کے تین مختلف عناصر کی طرف لے جائے جائیں گے۔ لہٰذا، $f$ ضرور پوری ہونا چاہیے۔

تبصرہ مثال 13 اور 14 میں مذکور نتائج کسی بھی غیر مخصوص متناهی مجموعہ $X$ کے لیے بھی درست ہیں، یعنی ایک یک-یک تفاعل $f: X \rightarrow X$ ضرور پوری ہوتی ہے اور ایک پوری تفاعل $f: X \rightarrow X$ ضرور یک-یک ہوتی ہے، ہر متناهی مجموعہ $X$ کے لیے۔ اس کے برعکس، مثال 8 اور 10 دکھاتی ہیں کہ کسی لامتناتی مجموعہ کے لیے، یہ ضروری نہیں ہے۔ درحقیقت، یہ متناهی اور لامتناتی مجموعہ کے درمیان ایک خصوصی فرق ہے۔

1.4 تفاعل کی ترکیب اور الٹ جانے والا تفاعل

تعریف 8 فرض کریں $f: A \rightarrow B$ اور $g: B \rightarrow C$ دو تفاعل ہیں۔ تو تفاعل $f$ اور $g$ کی ترکیب، جسے $g \circ f$ سے ظاہر کیا جاتا ہے، تفاعل $g \circ f: A \rightarrow C$ کے طور پر تعریف کی جاتی ہے جو اس طرح دی جاتی ہے: $$g o f(x)=g(f(x)), \forall x \in A$$

شکل 1.5

مثال 15 فرض کریں $f:\{2,3,4,5\} \rightarrow\{3,4,5,9\}$ اور $g:\{3,4,5,9\} \rightarrow\{7,11,15\}$ تفاعل اس طرح تعریف کیے گئے ہیں کہ $f(2)=3, f(3)=4, f(4)=f(5)=5$ اور $g(3)=g(4)=7$ اور $g(5)=g(9)=11$۔ $g \circ f$ معلوم کریں۔

حل ہمارے پاس $g \circ f(2)=g(f(2))=g(3)=7, g \circ f(3)=g(f(3))=g(4)=7$، $g \circ f(4)=g(f(4))=g(5)=11$ اور $g \circ f(5)=g(5)=11$ ہے۔

مثال 16 $g$ اور $f \circ g$ معلوم کریں، اگر $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ اور $g: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ $f(x)=\cos x$ اور $g(x)=3 x^{2}$ کے ذریعے دیے گئے ہیں۔ دکھائیں کہ $g \circ f \neq f \circ g$۔

حل ہمارے پاس $g \circ f(x)=g(f(x))=g(\cos x)=3(\cos x)^{2}=3 \cos ^{2} x$ ہے۔ اسی طرح، $f \circ g(x)=f(g(x))=f(3 x^{2})=\cos (3 x^{2})$۔ نوٹ کریں کہ $3 \cos ^{2} x \neq \cos 3 x^{2}$،