ریاضی، جنرال میں، مختصر پٹرنز اور تعلقات کی علم ہے۔ — فیلکس کلائن

2.1 تعارف

فصل 1 میں ہم نے سیکھا تھا کہ ایک وظیفے کا انواع $f$، جس کو $f^{-1}$ کہا جاتا ہے، جبکہ $f$ ایک-ایک اور بھی ہو تو موجود ہوتا ہے۔ بہت سی وظائف ایک-ایک، بھی نہیں ہوتی، اور بھی نہیں ہوتی اور اس لیے ہم ان کے انواع کے بارے میں بات نہیں کر سکتے۔ کلاس XI میں ہم نے سیکھا تھا کہ ترسیمی تفاعلات اپنے قدری مقامی رقبے اور حدودوں کے تحت ایک-ایک نہیں ہوتی اور بھی نہیں ہوتی اور اس لیے ان کے انواع موجود نہیں ہیں۔ اس فصل میں ہم ترسیمی تفاعلات کے رقبے اور حدودوں پر محدودیتوں کے بارے میں سیکھیں گے جو ان کے انواع کی موجودگی کو تضمین دیں گی اور ان کے سلوک کو تصویری تمثیل کے ذریعے دیکھیں گے۔ ان کے علاوہ، کچھ بنیادی خصوصیات بھی بحث کی جائیں گی۔ انواع ترسیمی تفاعلات حساب کے لیے ایک اہم کردار ادا کرتی ہیں کیونکہ یہ کئی تکاملات کی تعریف کے لیے استعمال ہوتی ہیں۔ انواع ترسیمی تفاعلات کے مفاہمت کے مفاہمت بھی سائنس اور میکینیکل انجینئرنگ میں استعمال ہوتی ہیں۔

آریابھٹا

($476-550$ ق م.)

2.2 بنیادی مفاہمت

کلاس XI میں ہم نے ترسیمی تفاعلات کے بارے میں سیکھا تھا، جو درج ذیل ہیں:

سائن تفاعل، یعنی سائن: $\mathbf{R} \rightarrow[-1,1]$

کوسائن تفاعل، یعنی $\cos : \mathbf{R} \rightarrow[-1,1]$

تینگنٹ تفاعل، یعنی $\tan : \mathbf{R}-\{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}$

کوٹینجنٹ تفاعل، یعنی $\cot : \mathbf{R}-\{x: x=n \pi, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}$

سیکنٹ تفاعل، یعنی سیک: $\mathbf{R}-\{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}-(-1,1)$

کوسیکنٹ تفاعل، یعنی $cosec: \mathbf{R}-\{x: x=n \pi, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}-(-1,1)$

ہم نے فصل 1 میں بھی سیکھا تھا کہ $f: X \rightarrow Y$ ہو تو $f(x)=y$ ایک-ایک اور بھی ہو تو ایک وظیفہ $g: Y \rightarrow X$ موجود ہوتا ہے جس کے لیے $g(y)=x$، جہاں $x \in X$ اور $y=f(x), y \in$ Y۔ یہاں، $g=$ کا رقبہ $f$ کی حد اور $g=$ کا رقبہ $f$۔ وظیفہ $g$ کو $f$ کے انواع کہا جاتا ہے اور $f^{-1}$ کے طور پر نشانی ڈالی جاتی ہے۔ ان کے علاوہ، $g$ بھی ایک-ایک اور بھی ہوتا ہے اور $g$ کا انواع $f$ ہے۔ اس طرح، $g^{-1}=(f^{-1})^{-1}=f$۔ ہم بھی یہ حاصل کرتے ہیں

اور $$ (f^{-1} \circ f)(x)=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x $$ $$ (f \circ f^{-1})(y)=f(f^{-1}(y))=f(x)=y $$

کیونکہ سائن تفاعل کا رقبہ تمام حقیقی عددوں کا مجموعہ ہے اور حد ایک بنیادی دائرہ $[-1,1]$ ہے۔ اگر ہم اس کے رقبے کو $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ میں محدود کر دیں تو اس کا حد $[-1,1]$ ہوتا ہے۔ در حقیقت، سائن تفاعل کو کسی بھی حدود $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}], [\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], [\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]$ وغیرہ میں محدود کرنے پر اس کا حد $[-1,1]$ ہوتا ہے۔ اس لیے، ہم اس تفاعل کے انواع کو ان ہر ایک حدود میں تعریف کر سکتے ہیں۔ ہم سائن تفاعل کے انواع کو $\sin ^{-1}$ (ارک سائن تفاعل) کے طور پر نشانی ڈالتے ہیں۔ اس طرح، $\sin ^{-1}$ ایک وظیفہ ہے جس کا رقبہ $[-1,1]$ ہے اور حد $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}],[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ یا $[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]$ وغیرہ ہو سکتی ہے۔ اور اس طرح ہر ایک حدود کے لیے، ہم وظیفہ $\sin ^{-1}$ کا ایک شاخ حاصل کرتے ہیں۔ حد $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ کے شاخ کو مختصر قدری حد کے شاخ کہا جاتا ہے، جبکہ دوسری حدودوں کو حد $\sin ^{-1}$ کے دوسرے شاخوں کے طور پر دیکھا جاتا ہے۔ جب ہم وظیفہ $\sin ^{-1}$ کے بارے میں بات کرتے ہیں، تو ہم اس وظیفے کو درکار ہیں جس کا رقبہ $[-1,1]$ ہے اور حد $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ہے۔ ہم $\sin ^{-1}:[-1,1] \rightarrow[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ لکھتے ہیں

انواع وظائف کی تعریف سے اس سے ملتا ہے کہ $\sin (\sin ^{-1} x)=x$ $-1 \leq x \leq 1$ اور $\sin ^{-1}(\sin x)=x$ $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$۔ دیگر وجوہات میں، اگر $y=\sin ^{-1} x$، تو $\sin y=x$۔

تبصرہ

(i) ہم فصل 1 سے جانتے ہیں کہ $y=f(x)$ ایک انواع وظیفہ ہو تو $x=f^{-1}(y)$۔ اس طرح، $\sin^{-1}$ وظیفہ کی تصویر اصل وظیفے کی تصویر کو $x$ اور $y$ محوروں کو ملا کر حاصل کی جاتی ہے، یعنی اگر $(a, b)$ سائن وظیفے کی تصویر پر ایک نقطہ ہو تو $(b, a)$ انواع سائن وظیفے کی تصویر پر متناظر نقطہ بن جاتا ہے۔ اس طرح، وظیفہ $y=\sin ^{-1} x$ کی تصویر $y=\sin x$ کی تصویر کو $x$ اور $y$ قدمات کو ملا کر حاصل کی جاسکتی ہے۔ $y=\sin x$ اور $y=\sin ^{-1} x$ کی تصاویر دیکھیں گے Fig 2.1 (i)، (ii)، (iii)۔ $y=\sin ^{-1} x$ کی تصویر کا مظبوط حصہ مختصر قدری حد کے شاخ کو ظاہر کرتا ہے۔

(ii) ایسا بھی دکھایا جا سکتا ہے کہ ایک انواع وظیفہ کی تصویر متناظر اصل وظیفے کی تصویر کو $y=x$ کے ذریعے ایک میروری تصویر (یعنی انعکاس) کے طور پر حاصل کی جاسکتی ہے۔ یہ $y=\sin x$ اور $y=\sin ^{-1} x$ کی تصاویر کو ایک ہی محور (Fig 2.1 (iii)) میں دیکھ کر تصور کیا جاسکتا ہے۔

سائن وظیفے جیسے، کوسائن وظیفہ ایک وظیفہ ہے جس کا رقبہ تمام حقیقی عددوں کا مجموعہ ہے اور حد $[-1,1]$ کا مجموعہ ہے۔ اگر ہم کوسائن وظیفے کے رقبے کو $[0, \pi]$ میں محدود کر دیں تو اس کا حد $[-1,1]$ ہوتا ہے۔ در حقیقت، کوسائن وظیفے کو کسی بھی حدود $[-\pi, 0],[0, \pi],[\pi, 2 \pi]$ وغیرہ میں محدود کرنے پر اس کا حد $[-1,1]$ ہوتا ہے۔ اس لیے، ہم اس تفاعل کے انواع کو ان ہر ایک حدود میں تعریف کر سکتے ہیں۔ ہم کوسائن تفاعل کے انواع کو $\cos ^{-1}$ (ارک کوسائن تفاعل) کے طور پر نشانی ڈالتے ہیں۔ اس طرح، $\cos ^{-1}$ ایک وظیفہ ہے جس کا رقبہ $[-1,1]$ ہے اور حد $[-\pi, 0],[0, \pi],[\pi, 2 \pi]$ وغیرہ ہو سکتی ہے۔ اور اس طرح ہر ایک حدود کے لیے، ہم وظیفہ $\cos ^{-1}$ کا ایک شاخ حاصل کرتے ہیں۔ حد $[0, \pi]$ کے شاخ کو وظیفہ $\cos ^{-1}$ کے مختصر قدری حد کے شاخ کہا جاتا ہے۔ ہم یہاں $$ \cos ^{-1}:[-1,1] \rightarrow[0, \pi] . $$ لکھتے ہیں

وظیفہ $y=\cos ^{-1} x$ دیکھیں گے جیسے $y=\sin ^{-1} x$ کی تصویر کے بارے میں بات کی گئی تھی۔ $y=\sin x$ اور $y=\cos ^{-1} x$ کی تصاویر Fig 2.2 (i) اور (ii) میں دی گئی ہیں۔

Fig. 2.2 (i)

Fig 2.2 (ii)

آئےں اب $\csc^{-1} x$ اور $\sec^{-1} x$ کے بارے میں بات کریں:

کیونکہ، $cosec x=\frac{1}{\sin x}$، سیکس تفاعل کا رقبہ مجموعہ $\{x: x \in \mathbf{R}$ اور $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ ہے اور حد ایک مجموعہ $\{y: y \in \mathbf{R}, y \geq 1$ یا $y \leq -1\}$ یعنی مجموعہ $\mathbf{R}-(-1,1)$ ہے۔ یہ بتاتا ہے کہ $y=cosec x$ تمام حقیقی قدریں قبول کرتا ہے جبکہ $-1<y<1$ قبول نہیں کرتا اور $\pi$ کے عددی ملتی ہونے پر تعریف نہیں ہوتا۔ اگر ہم سیکس تفاعل کے رقبے کو $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-\{0\}$ میں محدود کر دیں تو اس کا حد مجموعہ $\mathbf{R}-(-1,1)$ ہوتا ہے۔ در حقیقت، سیکس تفاعل کو کسی بھی حدود $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}]-\{-\pi\},[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-\{0\}$، $[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]-\{\pi\}$ وغیرہ میں محدود کرنے پر اس کا حد تمام حقیقی عددوں کا مجموعہ $\mathbf{R}-(-1,1)$ ہوتا ہے۔ اس طرح $cosec^{-1}$ کو ایک وظیفے کے طور پر تعریف کیا جاسکتا ہے جس کا رقبہ $\mathbf{R}-(-1,1)$ ہے اور حد $[-\frac{3 \pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]-{-\pi}, [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0}, [\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]-{\pi}$ وغیرہ ہو سکتی ہے۔ حد $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0}$ کے متناظر وظیفہ کو $cosec^{-1}$ کے مختصر قدری حد کے شاخ کہا جاتا ہے۔ ہم اس طرح یہ حاصل کرتے ہیں مختصر حد ایسا ہے

$$ cosec^{-1}: \mathbf{R}-(-1,1) \rightarrow[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0} $$

$y=\csc x$ اور $y=\csc^{-1} x$ کی تصاویر Fig 2.3 (i)، (ii) میں دی گئی ہیں۔

ان کے علاوہ، کیونکہ $\sec x=\frac{1}{\cos x}$، $y=\sec x$ کا رقبہ مجموعہ $\mathbf{R}-\left{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}\right}$، $n \in \mathbf{Z}$ ہے اور حد مجموعہ $\mathbf{R}-(-1,1)$ ہے۔ یہ بتاتا ہے کہ سیک (سیکنٹ تفاعل) تمام حقیقی قدریں قبول کرتا ہے جبکہ $-1<y<1$ قبول نہیں کرتا اور $\frac{\pi}{2}$ کے فردی ملتی ہونے پر تعریف نہیں ہوتا۔ اگر ہم سیکنٹ تفاعل کے رقبے کو $[0, \pi]-\left{\frac{\pi}{2}\right}$ میں محدود کر دیں تو اس کا حد مجموعہ $\mathbf{R}-(-1,1)$ ہوتا ہے۔ در حقیقت، سیکنٹ تفاعل کو کسی بھی حدود $[-\pi, 0]-{\frac{-\pi}{2}},[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}},[\pi, 2 \pi]-{\frac{3 \pi}{2}}$ وغیرہ میں محدود کرنے پر اس کا حد $\mathbf{R}-{-1,1}$ ہوتا ہے۔ اس طرح $\sec ^{-1}$ کو ایک وظیفے کے طور پر تعریف کیا جاسکتا ہے جس کا رقبہ $\mathbf{R}-(-1,1)$ ہے اور حد $[-\pi, 0]-{\frac{-\pi}{2}},[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}},[\pi, 2 \pi]-{\frac{3 \pi}{2}}$ وغیرہ ہو سکتی ہے۔ ان ہر ایک حدود کے متناظر، ہم وظیفہ $sec^{-1}$ کے مختصر شاخوں کو حاصل کرتے ہیں۔ حد $[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}}$ کے شاخ کو وظیفہ $sec^{-1}$ کے مختصر قدری حد کے شاخ کہا جاتا ہے۔ ہم اس طرح یہ حاصل کرتے ہیں

$$ \sec ^{-1}: \mathbf{R}-(-1,1) \rightarrow[0, \pi]-\{\frac{\pi}{2}\} $$

وظائف $y=\sec x$ اور $y=\sec^{-1} x$ کی تصاویر Fig 2.4 (i)، (ii) میں دی گئی ہیں۔

آخر میں ہم اب $\tan ^{-1}$ اور $\cot ^{-1}$ کے بارے میں بات کرتے ہیں۔

ہم جانتے ہیں کہ تینگنٹ وظیفہ (تینگنٹ تفاعل) کا رقبہ مجموعہ $\{x: x \in \mathbf{R}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\}$ ہے اور حد $\mathbf{R}$ ہے۔ یہ بتاتا ہے کہ وظیفہ $\frac{\pi}{2}$ کے فردی ملتی ہونے پر تعریف نہیں ہوتا۔ اگر ہم تینگنٹ وظیفے کے رقبے کو $(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ میں محدود کر دیں تو اس کا حد $\mathbf{R}$ ہوتا ہے۔ در حقیقت، تینگنٹ وظیفے کو کسی بھی حدود $(\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}),(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}),(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})$ وغیرہ میں محدود کرنے پر اس کا حد $\mathbf{R}$ ہوتا ہے۔ اس طرح $\tan ^{-1}$ کو ایک وظیفے کے طور پر تعریف کیا جاسکتا ہے جس کا رقبہ $\mathbf{R}$ ہے اور حد $(\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}),(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}),(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})$ اور اس طرح ہو سکتی ہے۔ یہ حدود وظیفہ $\tan ^{-1}$ کے مختصر شاخوں کو دیتی ہیں۔ حد $(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ کے شاخ کو وظیفہ $\tan ^{-1}$ کے مختصر قدری حد کے شاخ کہا جاتا ہے۔ ہم اس طرح یہ حاصل کرتے ہیں

$$ \tan ^{-1}: \mathbf{R} \rightarrow(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $$

وظیفہ $y=\tan x$ اور $y=\arctan x$ کی تصاویر Fig 2.5 (i)، (ii) میں دی گئی ہیں۔

ہم جانتے ہیں کہ کوٹ وظیفہ (کوٹینجنٹ تفاعل) کا رقبہ مجموعہ $\{x: x \in \mathbf{R}$ اور $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ ہے اور حد $\mathbf{R}$ ہے۔ یہ بتاتا ہے کہ کوٹینجنٹ تفاعل $\pi$ کے عددی ملتی ہونے پر تعریف نہیں ہوتا۔ اگر ہم کوٹینجنٹ وظیفے کے رقبے کو $(0, \pi)$ میں محدود کر دیں تو اس کا حد $\mathbf{R}$ ہوتا ہے۔ در حقیقت، کوٹینجنٹ وظیفے کو کسی بھی حدود $(-\pi, 0),(0, \pi),(\pi, 2 \pi)$ وغیرہ میں محدود کرنے پر اس کا حد $\mathbf{R}$ ہوتا ہے۔ اس طرح $\cot ^{-1}$ کو ایک وظیفے کے طور پر تعریف کیا جاسکتا ہے جس کا رقبہ $\mathbf{R}$ ہے اور حد $(-\pi, 0),(0, \pi),(\pi, 2 \pi)$ وغیرہ ہو سکتی ہے۔ یہ حدود وظیفہ $\cot ^{-1}$ کے مختصر شاخوں کو دیتی ہیں۔ حد $(0, \pi)$ کے شاخ کو وظیفہ $\cot ^{-1}$ کے مختصر قدری حد کے شاخ کہا جاتا ہے۔ ہم اس طرح یہ حاصل کرتے ہیں

$$ \cot ^{-1}: \mathbf{R} \rightarrow(0, \pi) $$

$y=\cot x$ اور $y=\cot^{-1} x$ کی تصاویر Fig 2.6 (i)، (ii) میں دی گئی ہیں۔

درج ذیل جدول انواع ترسیمی تفاعلات (مختصر قدری حد) اور ان کے رقبے اور حدودوں کے ساتھ دیکھیں گے۔

نوٹ

1. $\sin ^{-1} x$ کو $(\sin x)^{-1}$ سے انکار نہیں کیا جائے۔ در حقیقت $(\sin x)^{-1}=\frac{1}{\sin x}$ اور اس طرح دوسرے ترسیمی تفاعلات کے لیے۔

2. جبکہ ایک انواع ترسیمی تفاعلات کے شاخ کے بارے میں بات نہیں کی جاتی ہے، ہم اس وظیفے کے مختصر قدری حد کو کہتے ہیں۔

3. ایک انواع ترسیمی تفاعلات کا مقام جو مختصر قدری حد کے حد میں ہوتا ہے، اسے اس انواع ترسیمی تفاعلات کا مختصر قدری مقام کہا جاتا ہے۔

اب ہم کچھ مثالیں دیکھتے ہیں:

مثال 1 $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$ کا مختصر قدری مقام حاصل کریں۔

حل درکار $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})=y$ ہو۔ تو، $\sin y=\frac{1}{\sqrt{2}}$۔

ہم جانتے ہیں کہ مختصر قدری حد کے حد میں $\sin ^{-1}$ کا حد $\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$ ہے اور $\sin (\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}$۔ اس لیے، $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$ کا مختصر قدری مقام $\frac{\pi}{4}$ ہے

مثال 2 $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})$ کا مختصر قدری مقام حاصل کریں

حل درکار $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})=y$ ہو۔ تو،

$$ \cot y=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\cot (\frac{\pi}{3})=\cot (\pi-\frac{\pi}{3})=\cot (\frac{2 \pi}{3}) $$

ہم جانتے ہیں کہ مختصر قدری حد کے حد میں $\cot ^{-1}$ کا حد $(0, \pi)$ ہے اور $\cot (\frac{2 \pi}{3})=\frac{-1}{\sqrt{3}}$۔ اس لیے، $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})$ کا مختصر قدری مقام $\frac{2 \pi}{3}$ ہے

2.3 انواع ترسیمی تفاعلات کی خصوصیات

اس سیکشن میں، ہم انواع ترسیمی تفاعلات کی کچھ اہم خصوصیات کو ثابت کریں گے۔ یہ یاد دلائیں کہ یہ نتائج متناظر انواع ترسیمی تفاعلات کے مختصر قدری حدوں اور جہاں یہ تعریف کیے جاتے ہیں میں درست ہوتی ہیں۔ کچھ نتائج انواع ترسیمی تفاعلات کے رقبے کے تمام قدریں میں درست نہیں ہوتی۔ در حقیقت، یہ صرف $x$ کے کچھ قدریں میں درست ہوتی ہیں جو انواع ترسیمی تفاعلات کے تعریف کے لیے درست ہوتی ہیں۔ ہم $x$ کے ان قدریں رقبے کے بارے میں تفصیلات میں نہیں جاتے کیونکہ یہ بحث اس کتاب کے خارجے سے بڑھ کر ہے۔

$y=\sin ^{-1} x$، تو $x=\sin y$ اور $x=\sin y$، تو $y=\sin ^{-1} x$۔ اس کا مطلب یہ ہے

$$ \sin (\sin ^{-1} x)=x, x \in[-1,1] \text { and } \sin ^{-1}(\sin x)=x, x \in[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $$

مناسب رقبے میں، دوسرے ترسیمی تفاعلات کے لیے بھی یہ ذاتی نتائج حاصل ہوتی ہیں۔ اب ہم کچھ مثالیں دیکھتے ہیں۔

$\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \sin ^{-1} x,-\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ کو ثابت کریں

(i) $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \sin ^{-1} x,-\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

(ii) $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \cos ^{-1} x, 0 \leq x \leq 1$

حل

(i) $x=\sin \theta$ ہو۔ تو $\sin ^{-1} x=\theta$ $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ کے لیے۔ ہم حاصل کرتے ہیں

$$ \begin{alignedat} \sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}}) & =\sin ^{-1}(2 \sin \theta \sqrt{1-\sin ^{2} \theta}) \\ & =\sin ^{-1}(2 \sin \theta \cos \theta)=\sin ^{-1}(\sin 2 \theta)=2 \theta \quad \text{for } \theta \in \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] \\ & = 2 \sin^{-1} x \end{aligned} $$

(ii) $x=\cos \theta$ پر نظر ثانی کریں، تو ہم حاصل کرتے ہیں، $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \cos ^{-1} x$

مثال 4 $\tan ^{-1} \frac{\cos x}{1-\sin x},-\frac{3 \pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$ کو سب سے زیادہ سادہ شکل میں لکھیں۔

حل ہم لکھتے ہیں

$$ \begin{alignedat} \tan ^{-1}(\frac{\cos x}{1-\sin x}) & =\tan ^{-1}[\frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}-\sin ^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}+\sin ^{2} \frac{x}{2}-2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}] \\ & =\tan ^{-1}[\frac{(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2})^{2}}] \\ & =\tan ^{-1}[\frac{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}]=\tan ^{-1}[\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}}] \\ & =\tan ^{-1}[\tan (\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2})]=\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2} + n\pi \text{ for some integer } n \end{aligned} $$

مثال 5 $\cot ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}), x>1$ کو سب سے زیادہ سادہ شکل میں لکھیں۔

حل $x=\sec \theta$ ہو، تو $\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}=\tan \theta$

اس لیے، $\cot ^{-1} \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}=\cot ^{-1}(\cot \theta)=\theta=\sec ^{-1} x$، جو سب سے زیادہ سادہ شکل ہے۔

منفی مثالیں

مثال 6 $\sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5})$ کا قدر حاصل کریں

ہم جانتے ہیں کہ $\sin ^{-1}(\sin x)=x$۔ اس لیے، $\sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5})=\frac{3 \pi}{5}$

لیکن $\quad \frac{3 \pi}{5} \notin[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$، جو $\sin ^{-1} x$ کے مختصر حد ہے

لیکن $\quad \sin (\frac{3 \pi}{5})=\sin (\pi-\frac{3 \pi}{5})=\sin \frac{2 \pi}{5}$ اور $\frac{2 \pi}{5} \in[0, \frac{\pi}{2}]$

اس لیے $\quad \sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5})=\sin ^{-1}(\sin \frac{2 \pi}{5})=\frac{2 \pi}{5}$

خلاصہ

انواع ترسیمی تفاعلات کے رقبے اور حدودوں (مختصر قدری حد) درج ذیل جدول میں دی گئی ہیں:

• $\sin ^{-1} x$ کو $(\sin x)^{-1}$ سے انکار نہیں کیا جائے۔ در حقیقت $(\sin x)^{-1}=\frac{1}{\sin x}$ اور اس طرح دوسرے ترسیمی تفاعلات کے لیے۔
• ایک انواع ترسیمی تفاعلات کا مقام جو اس کے مختصر قدری حد میں ہوتا ہے، اسے اس انواع ترسیمی تفاعلات کا مختصر قدری مقام کہا جاتا ہے۔

کسی انواع ترسیمی تفاعلات کا ایک مقام جو اس کے مختصر قدری حد میں ہوتا ہے، اسے اس انواع ترسیمی تفاعلات کا مختصر قدری مقام کہا جاتا ہے۔ $y=\sin ^{-1} x \Rightarrow x=\sin y$
$x=\sin y \Rightarrow y=\sin ^{-1} x$
$\sin (\sin ^{-1} x)=x$
$\sin ^{-1}(\sin x)=x$ $x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ کے لیے

تاریخی نوٹ

ترسیمی تفاعلات کی مطالعہ پہلے یونان میں شروع ہوا۔ قدیم ہندو علمدار، آریابھٹا (476 ق م)، برہم گپٹا (598 ق م)، بھاسکرا ایک (600 ق م) اور بھاسکرا دوسرے (1114 ق م) نے ترسیمی تفاعلات کے اہم نتائج حاصل کیے۔ یہ تمام علم ہند میں سے عرب میں اور پھر وہاں سے یورپ میں پہنچا۔ یونانیوں نے بھی ترسیمی تفاعلات کی مطالعہ شروع کیا تھا لیکن ان کا طریقہ بہت خراب تھا۔ جب ہندو طریقہ جانا جاتا ہے تو اسے فوراً دنیا بھر میں قبول کیا گیا۔

ہند میں، جو سائن تفاعل، یعنی ایک اونچائی کا سائن، اور سائن تفاعل کی تعریف کا شروع کرنا، سیدھنٹا (سنسکرت آسمانی کتابیں) کے ریاضی کے لیے ایک اہم تبدیلی کا مطالعہ ہے۔

بھاسکرا ایک (تقریباً 600 ق م) نے $90^{\circ}$ سے زیادہ اونچائیوں کے لیے سائن تفاعلات کے قدریں حاصل کرنے کے لیے صیغہ دیا۔ 16 ویں صدی کی ایک ملیمی کتاب یوکٹی بھاسا میں $\sin (A+B)$ کی توسیع کے لیے ایک دلیل ہے۔ بھاسکرا دوسرے نے $18^{\circ}, 36^{\circ}, 54^{\circ}, 72^{\circ}$ وغیرہ کے لیے سائن یا کوسائن کی درست تعبیرات دیں۔

$\sin ^{-1} x, \cos ^{-3} x$، وغیرہ کے لیے $arc \sin x, arc \cos x$، وغیرہ کے لیے نشانیاں آسمانیات قاضی جان فی. دبلیو. ہرشل (1813) نے تجویز کیے۔ تھیلس (تقریباً 600 ق م) کا نام ہمیشہ اونچائی اور دور کے مسائل سے منسلک ہے۔ اس کو ایک مہربان پیرامنتر کی اونچائی کا قیاس کرنے کے لیے میزبان کے چھوٹے پتھر اور ایک معلوم اونچائی کے ساتھ پیرامنتر کے چھوٹے پتھر کے ظلمل کو قیاس کرنے کا اعتراف ہے:

$$ \frac{H}{S}=\frac{h}{S}=\tan \left( \text{sun’s altitude} \right) $$

تھیلس کو ایک دور دراز دریا میں ایک کشتی کا دور بھی حاصل کرنے کے لیے برابر تراثوں کے متناسبیت کے ذریعے کہا جاتا ہے۔ اونچائی اور دور کے مسائل میں برابر تراث کی خصوصیت کا استعمال کرنے کے مسائل بھی قدیم ہندو کتابیں میں پائے جاتے ہیں۔