تمام ریاضی کے سچ رشتوں کو نسبتاً اور شرطی طور پر سمجھا جائے گا - سی. پی. اسٹینمٹز

4.1 تعارف

پچھلے فصل میں ہم نے میٹرکس اور میٹرکس کی جبری خصوصیات کا مطالعہ کیا ہے۔ ہم نے یہ بھی سیکھا ہے کہ جبری مساویوں کا نظام میٹرکس کی صورت میں برآئے جا سکتا ہے۔ یہ معنی ہے کہ ایک لاخاریک نظام جیسے

$$ \begin{aligned} & a _{1} x+b _{1} y=c _{1} \\ & a _{2} x+b _{2} y=c _{2} \end{aligned} $$

میٹرکس کی صورت میں $\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x \\ y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}c_1 \\ c_2\end{vmatrix}$ ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ اب یہ مساویوں کا نظام ایک منفرد حل یا نہیں، اس کا حل $a_1 b_2-a_2 b_1$ نمبر سے ہوتا ہے۔ (یاد رہے کہ $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ یا، $a_1 b_2-a_2 b_1 \neq 0$ پر لاخاریک نظام کا لاخاریک

P.S. لپلاس $(1749-1827)$ مساویوں کا لاخاریک نظام ایک منفرد حل ہوتا ہے)۔ $a_1 b_2-a_2 b_1$ نمبر جو حل کی منفردت کو مقرر کرتا ہے اسے میٹرکس $A=\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}$ سے منسلک کیا جاتا ہے اور اسے میٹرکس A کا معیار یا det A کہا جاتا ہے۔ معیارات انجینئرنگ، سائنس، معاشیات، اجتماعی سائنس، اور دیگر شعبوں میں وسیع تطبیقات رکھتے ہیں۔

اس فصل میں ہم تین ترتیب تک کے معیارات صرف حقیقی درجہ بندیوں کے ساتھ سیکھیں گے۔ اس کے علاوہ، ہم معیارات کی مختلف خصوصیات، حدیثی، کوآفرز اور معیارات کے تین ٹرائینگل کے مساحت کو تلاش کرنے میں کی تطبیقات، مربع میٹرکس کا ملاپ اور مکمل، لاخاریک مساویوں کی مستحکمت اور نامستحکمت، اور مکمل میٹرکس کا استعمال کرتے ہوئے دو یا تین متغیرات والے لاخاریک مساویوں کے حل کا مطالعہ کریں گے۔

4.2 معیار

ہر مربع میٹرکس $A=[a _{i j}]$ کے تین ترتیب $n$، ہم کسی نمبر (حقیقی یا مرکب) کے ساتھ منسلک کر سکتے ہیں جسے مربع میٹرکس A کے معیار کہا جاتا ہے، جہاں $a _{i j}=(i, j)^{\text{th }}$ میٹرکس A کی عنصر ہے۔

یہ ایک فنکشن کی طرح سمجھا جا سکتا ہے جو ہر مربع میٹرکس کے ساتھ ایک منفرد نمبر (حقیقی یا مرکب) کے ساتھ منسلک کرتا ہے۔ $M$ مربع میٹرکس کا مجموعہ، $K$ نمبروں (حقیقی یا مرکب) کا مجموعہ اور $f: M \to K$ جو $f(A)=k$ کے ذریعے معریف کیا جاتا ہے، جہاں $A \in M$ اور $k \in K$، تو $f(A)$ کو $A$ کے معیار کہا جاتا ہے۔ اسے $|A|$ یا $det A$ یا $\Delta$ سے بھی نشانہ بنایا جاتا ہے۔

$A=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$ پر میٹرکس A کا معیار $|A|=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=det(A) $ کے طور پر لکھا جاتا ہے

تبصرے

(i) میٹرکس A کے لیے، $|A|$ کو $A$ کا معیار پڑھا جاتا ہے، نہ کہ $A$ کا موڈولوس۔

(ii) صرف مربع میٹرکس معیار رکھتے ہیں۔

4.2.1 ترتیب ایک والے میٹرکس کا معیار

$A=[a]$ ترتیب 1 والے میٹرکس ہو تو $A$ کا معیار $a$ سے برابر طریقے سے معین کیا جاتا ہے۔

4.2.2 ترتیب دو والے میٹرکس کا معیار

$\text{لیکن}\qquad A=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{21} & a _{22} \end{vmatrix} \text{ ترتیب } 2 \times 2 \text{ والا میٹرکس ہے، $

تو $A$ کا معیار یہی طریقے سے معین کیا جاتا ہے:

$ det(A)=|A|=\Delta=\begin{vmatrix} a _{11} & & a _{12} \\ a _{21} & & a _{22} \end{vmatrix}=a _{11} a _{22}-a _{21} a _{12} $

مثال 1 $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}$ کا ارتکاز کریں۔

حل ہم کے پاس $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}=2(2)-4(-1)=4+4=8$ ہے۔

مثال 2 $\begin{vmatrix}x & x+1 \\ x-1 & x\end{vmatrix}$ کا ارتکاز کریں۔

حل ہم کے پاس

$ \begin{vmatrix} x & x+1 \\ x-1 & x \end{vmatrix}=x(x)-(x+1)(x-1)=x^{2}-(x^{2}-1)=x^{2}-x^{2}+1=1 $

4.2.3 ترتیب $3 \times 3$ والے میٹرکس کا معیار

تین ترتیب والے میٹرکس کا معیار دو ترتیب والے معیارات کی حد میں عبارت میں دے کر حاصل کیا جاتا ہے۔ اسے معیار کے ایک صف (یا ایک کالم) کے ساتھ ارتکاز کے نام سے جانا جاتا ہے۔ تین ترتیب والے معیار کو ارتکاز کرنے کے طریقے 3 صفوں $(R_1, R_2.$ اور $.R_3)$ اور 3 کالموں $(C_1, C_2.$ اور $C_3)$ کے ساتھ ملا کر 6 طریقے ہیں اور یہ ہمیشہ ایک ہی قدر دیتے ہیں جو نیچے دی گئی ہے۔

مربع میٹرکس $A=[a _{i j}] _{3 \times 3}$ کے معیار کا ذکر کریں

$\text{یعنی}\qquad |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $

پہلے صف $(\mathbf{R} _1)$ کے ساتھ ارتکاز

قدم 1 پہلے عنصر $ a _ {11}$ کو $\mathbf{R} _ {1}$ سے ضرب دیں اور پہلے صف $(R_1)$ اور پہلے کالم $(C _ {1})$ کے عناصر کو حذف کر کے میٹرکس $|A|$ کے پہلے کالم $a _ {11}$ کے پاس دیا گیا دو ترتیب والا معیار کے ساتھ ضرب دیں، جہاں $ R _ {1} $ اور $$ \begin{aligned} \Delta & =\frac{1}{2}\left|\begin{array}{rrr} 3 & 8 & 1 \\ -4 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \end{array}\right|=\frac{1}{2}[3(2-1)-8(-4-5)+1(-4-10)] \\ & =\frac{1}{2}(3+72-14)=\frac{61}{2} \end{aligned} $$ ہے۔

$\text{یعنی،}\qquad (-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right| $

قدم 2 $a _{12}$ واں عنصر $R_1$ کو $(-1)^{1+2}[(-1)^{\text{sum of suffixes in } a _{12}}]$ سے ضرب دیں اور پہلے صف $(R_1)$ اور 2 واں کالم $(C_2)$ کے عناصر کو حذف کر کے میٹرکس $|A|$ کے پاس دیا گیا دو ترتیب والا معیار کے ساتھ ضرب دیں، جہاں $a _{12}$ $R_1$ اور $C_2$ ہے۔

یعنی، $\quad(-1)^{1+2} a _{12}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33}\end{vmatrix}$

قدم 3 آٹھواں عنصر $a _{13}$ کو $R_1$ سے ضرب دیں اور پہلے صف $(R_1)$ اور تیسرے کالم $(C_3)$ کے عناصر کو حذف کر کے میٹرکس $|A|$ کے پاس دیا گیا دو ترتیب والا معیار کے ساتھ ضرب دیں، جہاں $a _{13}$ $R_1$ اور $C_3$ ہے۔

یعنی، $\quad(-1)^{1+3} a _{13}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32}\end{vmatrix}$

قدم 4 اب میٹرکس A کے معیار کا ارتکاز، یعنی $|A|$ جو 1، 2 اور 3 میں حاصل کیے گئے تین حصوں کے مجموعے کی طرف سے لکھا جاتا ہے، یہ ہے

$$ \begin{aligned} & \operatorname{det} \mathrm{A}=|\mathrm{A}|=(-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right|+(-1)^{1+2} \quad a _{12}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33} \end{array}\right| \\ & +(-1)^{1+3} a _{13}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32} \end{array}\right| \end{aligned} $$

$ \begin{align*} \text{یا}\qquad |\mathrm{A}|= & a _{11}\left(a _{22} a _{33}-a _{32} a _{23}\right)-a _{12}\left(a _{21} a _{33}-a _{31} a _{23}\right) \\ & +a _{13}\left(a _{21} a _{32}-a _{31} a _{22}\right) \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{32} a _{23}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{31} a _{23}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \tag{1} \end{align*} $

نوٹ ہم تمام چار قدموں کو ایک ساتھ لا رہے گے۔

دوسرے صف $(\mathbf{R} _2)$ کے ساتھ ارتکاز

$$ |A|=\begin{vmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} \end{vmatrix} $$

$R_2$ کے ساتھ ارتکاز کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$ \begin{aligned} |A|= & (-1)^{2+1} a _{21}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{2+2} a _{22}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{13} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +(-1)^{2+3} a _{23}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ = & -a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{32} a _{13})+a _{22}(a _{11} a _{33}-a _{31} a _{13}) \\ & -a _{23}(a _{11} a _{32}-a _{31} a _{12}) \\ |A|= & -a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{32} a _{13}+a _{22} a _{11} a _{33}-a _{22} a _{31} a _{13}-a _{23} a _{11} a _{32} \\ & +a _{23} a _{31} a _{12} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

پہلے کالم $(C_1)$ کے ساتھ ارتکاز

$$ |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $$

$C_1$ کے ساتھ ارتکاز کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$ \begin{aligned} |A|= & a _{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{21}(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +a _{31}(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{22} & a _{23} \end{vmatrix} \\ = & a _{11}(a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32})-a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32})+a _{31}(a _{12} a _{23}-a _{13} a _{22}) \end{aligned} $ $ \begin{aligned} |A|= & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{13} a _{32}+a _{31} a _{12} a _{23} \\ & -a _{31} a _{13} a _{22} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

واضح رہے کہ (1)، (2) اور (3) میں $|A|$ کی قدریں برابر ہیں۔ $|A|$ کی قدریں $R_3, C_2$ اور $C_3$ کے ساتھ ارتکاز کر کے $|A|$ کی قدر (1)، (2) یا (3) میں حاصل کی گئی قدر کے برابر ہونے کا تصدیق کرنا $(-1)^{i+j}$ کا طالب علم کے لیے باقاعدہ کام ہے۔

اس لیے، ہر صف یا کالم کے ساتھ معیار کا ارتکاز ایک ہی قدر دیتا ہے۔

تبصرے

(i) آسان حسابی کے لیے، ہم جس صف یا کالم کے ساتھ معیار کو ارتکاز کریں گے وہ وہ صف یا کالم جس میں زیادہ سے زیادہ صفر کے عناصر ہوں گے۔

(ii) ارتکاز کرتے وقت، $(-1)^{i+j}$ سے ضرب کرنے کے بجائے، ہم +1 یا -1 سے ضرب دے سکتے ہیں جیسے $(i+j)$ جوڑ ہو یا نہ ہو۔

(iii) $A=\begin{vmatrix}2 & 2 \\ 4 & 0\end{vmatrix}$ اور $B=\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 0\end{vmatrix}$ ہوں تو، $A=2 B$ کا تصدیق کرنا آسان ہے۔ اس کے علاوہ $|A|=0-8=-8$ اور $|B|=0-2=-2$۔

دیکھیں کہ، $|A|=4(-2)=2^{2}|B|$ یا $|A|=2^{n}|B|$، جہاں $n=2$ مربع میٹرکس $A$ اور $B$ کی ترتیب ہے۔

عام طور پر، $A=k B$ جہاں $A$ اور $B$ ترتیب $n$ والے مربع میٹرکس ہیں، تو $|A|=k^{n}$ $|B|$، جہاں $n=1,2,3$

مثال 3 معیار $\Delta=\begin{vmatrix}1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 0\end{vmatrix}$ کا ارتکاز کریں۔

حل نوٹ کریں کہ تیسرے کالم میں دو عناصر صفر ہیں۔ اس لیے تیسرے کالم $(C_3)$ کے ساتھ ارتکاز کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$$ \begin{aligned} \Delta & =4\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}-0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}+0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} \\ & =4(-1-12)-0+0=-52 \end{aligned} $$

مثال 4 $\Delta=\begin{vmatrix}0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \\ -\sin \alpha & 0 & \sin \beta \\ \cos \alpha & -\sin \beta & 0\end{vmatrix}$ کا ارتکاز کریں۔

حل $R_1$ کے ساتھ ارتکاز کرتے ہوئے، ہم حاصل کرتے ہیں

$ \begin{aligned} \Delta & =0\begin{vmatrix} 0 & \sin \beta \\ -\sin \beta & 0 \end{vmatrix}-\sin \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & \sin \beta \\ \cos \alpha & 0 \end{vmatrix}-\cos \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & 0 \\ \cos \alpha & -\sin \beta \end{vmatrix} \\ & =0-\sin \alpha(0-\sin \beta \cos \alpha)-\cos \alpha(\sin \alpha \sin \beta-0) \\ & =\sin \alpha \sin \beta \cos \alpha-\cos \alpha \sin \alpha \sin \beta=0 \end{aligned} $

مثال 5 $x$ کے قدریں تلاش کریں جس کے لیے $\begin{vmatrix}3 & x \\ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 4 & 1\end{vmatrix}$۔

حل ہم کے پاس $\begin{vmatrix}3 & x \\ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 4 & 1\end{vmatrix}$ ہے۔

یعنی $\qquad 3-x^{2}=3-8$

$\text{یعنی،}\qquad \begin{aligned} x^{2} & =8 \\ \end{aligned} $

اس لیے $\qquad\ x= \pm 2 \sqrt{2}$

4.3 ٹرائینگل کی مساحت

پچھلے کلاسوں میں ہم نے سیکھا ہے کہ جس ٹرائینگل کے روڈ $(x_1, y_1),(x_2, y_2)$ اور $(x_3, y_3)$ ہیں، اس کی مساحت $\frac{1}{2}[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+.$ $.x_3(y_1-y_2)]$ کی صورت میں دی گئی ہے۔ اب یہ عبارت معیار کی صورت میں لکھی جا سکتی ہے

$$ \Delta=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} x _{1} & y _{1} & 1 \tag{1}\\ x _{2} & y _{2} & 1 \\ x _{3} & y _{3} & 1 \end{array}\right| $$

تبصرے

(i) چونکہ مساحت موجب قدر کا مقام رکھتی ہے، ہم ہمیشہ (1) میں معیار کا مطلق قدر لے لیں گے۔

(ii) مساحت دی گئی ہو تو، حساب کے لیے معیار کے موجب اور منفی قدروں کا استعمال کریں۔

(iii) ثلاثی نقطوں کے ساتھ ٹرائینگل کی مساحت صفر ہوتی ہے۔