“کیلکولس کو کلید بنا کر، ریاضی کو فطرت کے عمل کی تشریح پر کامیابی سے لاگو کیا جا سکتا ہے۔” - وائٹ ہیڈ

6.1 تعارف

باب 5 میں، ہم نے سیکھا ہے کہ مرکب افعال، معکوس مثلثیاتی افعال، ضمنی افعال، اسیی افعال اور لوگارتھمی افعال کی مشتق کیسے نکالی جاتی ہے۔ اس باب میں، ہم مشتق کے اطلاقات کا مطالعہ کریں گے مختلف شعبوں میں، مثلاً انجینئرنگ، سائنس، سماجی علوم، اور بہت سے دیگر میدانوں میں۔ مثال کے طور پر، ہم سیکھیں گے کہ مشتق کو کیسے استعمال کیا جا سکتا ہے (i) مقداروں کی تبدیلی کی شرح معلوم کرنے کے لیے، (ii) کسی نقطہ پر منحنی کے مماس اور عمود کا مساوات معلوم کرنے کے لیے، (iii) کسی دالہ کے گراف پر مڑنے والے نقاط معلوم کرنے کے لیے جو ہمیں ان نقاط کی نشاندہی کرنے میں مدد دے گا جہاں دالہ کی مقامی طور پر سب سے بڑی یا سب سے چھوٹی قدر واقع ہوتی ہے۔ ہم مشتق کا استعمال یہ معلوم کرنے کے لیے بھی کریں گے کہ دالہ کس وقفہ پر بڑھ رہی ہے یا گھٹ رہی ہے۔ آخر میں، ہم کچھ مقداروں کی تقریبی قدر معلوم کرنے کے لیے مشتق کا استعمال کریں گے۔

6.2 مقداروں کی تبدیلی کی شرح

یاد رہے کہ مشتق $\\ \frac{ds}{dt} $ سے ہماری مراد فاصلے $s$ کی وقت $t$ کے لحاظ سے تبدیلی کی شرح ہے۔ اسی طرح، جب بھی ایک مقدار $y$ دوسری مقدار $x$ کے ساتھ تبدیل ہوتی ہے، کسی قاعدے $y=f(x)$ کو پورا کرتے ہوئے، تو $\frac{d y}{d x}$ (یا $f^{\prime}(x)$) $y$ کی $x$ کے لحاظ سے تبدیلی کی شرح ظاہر کرتا ہے اور $\frac{d y}{d x} _{x=x_0}(.$ یا $.f^{\prime}(x_0))$ $y$ کی $x$ کے لحاظ سے تبدیلی کی شرح کو $x=x_0$ پر ظاہر کرتا ہے۔

مزید برآں، اگر دو متغیرات $x$ اور $y$ کسی دوسرے متغیر $t$ کے لحاظ سے تبدیل ہو رہے ہیں، یعنی اگر $x=f(t)$ اور $y=g(t)$، تو زنجیری قاعدے کے مطابق

$$ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d t} / \frac{d x}{d t}, \text{ if } \frac{d x}{d t} \neq 0 $$

اس طرح، $y$ کی $x$ کے لحاظ سے تبدیلی کی شرح کا حساب $y$ اور $x$ دونوں کی $t$ کے لحاظ سے تبدیلی کی شرح استعمال کر کے لگایا جا سکتا ہے۔

آئیے کچھ مثالیں دیکھتے ہیں۔

مثال 1 دائرے کے رقبے کی اس کی رداس $r$ کے لحاظ سے فی سیکنڈ تبدیلی کی شرح معلوم کریں جب $r=5 cm$۔

حل رداس $r$ والے دائرے کا رقبہ A $A=\pi r^{2}$ کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ لہٰذا، رقبہ A کی اس کی رداس $r$ کے لحاظ سے تبدیلی کی شرح $\frac{d A}{d r}=\frac{d}{d r}(\pi r^{2})=2 \pi r$ کے ذریعے دی جاتی ہے۔ جب $r=5 cm, \frac{d A}{d r}=10 \pi$۔ اس طرح، دائرے کا رقبہ $10 \pi cm^{2} / s$ کی شرح سے تبدیل ہو رہا ہے۔

مثال 2 ایک مکعب کا حجم 9 مکعب سینٹی میٹر فی سیکنڈ کی شرح سے بڑھ رہا ہے۔ سطحی رقبہ کتنی تیزی سے بڑھ رہا ہے جب کنارے کی لمبائی 10 سینٹی میٹر ہے؟

حل فرض کریں $x$ ایک طرف کی لمبائی ہے، $V$ حجم ہے اور $S$ مکعب کا سطحی رقبہ ہے۔ پھر، $V=x^{3}$ اور $S=6 x^{2}$، جہاں $x$ وقت $t$ کا دالہ ہے۔

اب $ \qquad \frac{d V}{d t}=9 cm^{3} / s$ (دی گئی)

لہٰذا $ \qquad 9=\frac{d V}{d t}=\frac{d}{d t}(x^{3})=\frac{d}{d x}(x^{3}) \cdot \frac{d x}{d t} \quad(\text{ By Chain Rule })$

یا $ \qquad =3 x^{2} \cdot \frac{d x}{d t} $

اب $ \qquad \frac{d x}{d t}=\frac{3}{x^{2}} \tag{1}$

$$ \begin{array}{rlr} \frac{d S}{d t} & =\frac{d}{d t}\left(6 x^{2}\right)=\frac{d}{d x}\left(6 x^{2}\right) \cdot \frac{d x}{d t} & \text { (By Chain Rule) } \\ & =12 x \cdot\left(\frac{3}{x^{2}}\right)=\frac{36}{x} & \text { (Using (1) ) } \end{array} $$

لہٰذا، جب $ x=10 \mathrm{~cm}, \frac{d S}{d t}=3.6 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} $

مثال 3 ایک پتھر پرسکون جھیل میں گرایا جاتا ہے اور لہریں دائرے کی شکل میں $4 cm$ فی سیکنڈ کی رفتار سے حرکت کرتی ہیں۔ اس لمحے، جب دائرہ نما لہر کا رداس $10 cm$ ہے، تو محصور رقبہ کتنی تیزی سے بڑھ رہا ہے؟

حل رداس $r$ والے دائرے کا رقبہ $A$ $A=\pi r^{2}$ کے ذریعے دیا جاتا ہے۔ لہٰذا، رقبہ A کی وقت $t$ کے لحاظ سے تبدیلی کی شرح ہے

$$ \frac{d \mathrm{~A}}{d t}=\frac{d}{d t}\left(\pi r^{2}\right)=\frac{d}{d r}\left(\pi r^{2}\right) \cdot \frac{d r}{d t}=2 \pi r \frac{d r}{d t} $$

یہ دیا گیا ہے کہ $\frac{d r}{d t}=4 \mathrm{~cm}$

لہٰذا، $ r=10 \mathrm{~cm} $ $ \frac{d \mathrm{~A}}{d t}=2 \pi(10)(4)=80 \pi $

اس طرح، محصور رقبہ $80 \pi cm^{2} / s$ کی شرح سے بڑھ رہا ہے، جب $r=10 cm$۔

نوٹ $\frac{d y}{d x}$ مثبت ہے اگر $y$ بڑھتا ہے جیسے $x$ بڑھتا ہے اور منفی ہے اگر $y$ گھٹتا ہے جیسے $x$ بڑھتا ہے۔

مثال 4 مستطیل کی لمبائی $x$ $3 cm /$ فی منٹ کی شرح سے گھٹ رہی ہے اور چوڑائی $y$ $2 cm /$ فی منٹ کی شرح سے بڑھ رہی ہے۔ جب $x=10 cm$ اور $y=6 cm$، تو (الف) محیط اور (ب) مستطیل کے رقبے کی تبدیلی کی شرحیں معلوم کریں۔

حل چونکہ لمبائی $x$ وقت کے لحاظ سے گھٹ رہی ہے اور چوڑائی $y$ بڑھ رہی ہے، اس لیے ہمارے پاس ہے

$$ \frac{d x}{d t}=-3 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} \text { or } \frac{d y}{d t}=2 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} $$

(الف) مستطیل کا محیط $P$ اس طرح دیا جاتا ہے

$$ \mathrm{P}=2(x+y) $$

لہٰذا $ \frac{d \mathrm{P}}{d t}=2\left(\frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}\right)=2(-3+2)=-2 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} $

(ب) مستطیل کا رقبہ $A$ اس طرح دیا جاتا ہے

$ A=x \cdot y $

لہٰذا $ \begin{aligned} \frac{d \mathrm{~A}}{d t} & =\frac{d x}{d t} \cdot y+x \cdot \frac{d y}{d t} \\ & =-3(6)+10(2)(\text { کیونکہ } x=10 \mathrm{~cm} \text { اور } y=6 \mathrm{~cm}) \\ & =2 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{min} \end{aligned} $

مثال 5 کسی شے کی $x$ اکائیوں کی پیداوار سے وابستہ کل لاگت $C(x)$ روپے میں، اس طرح دی گئی ہے

$$ C(x)=0.005 x^{3}-0.02 x^{2}+30 x+5000 $$

3 اکائیاں پیدا ہونے پر حدی لاگت معلوم کریں، جہاں حدی لاگت سے ہماری مراد پیداوار کی کسی بھی سطح پر کل لاگت کی فوری تبدیلی کی شرح ہے۔

حل چونکہ حدی لاگت کل لاگت کی پیداوار کے لحاظ سے تبدیلی کی شرح ہے، اس لیے ہمارے پاس ہے

$ \begin{aligned} \text{ حدی } \qquad \mathrm{MC} & =\frac{d \mathrm{C}}{d x}=0.005\left(3 x^{2}\right)-0.02(2 x)+30 \\ \text{ جب } \qquad \mathrm{MC} & =0.015\left(3^{2}\right)-0.04(3)+30 \\ & =0.135-0.12+30=30.015 \end{aligned} $

لہٰذا، مطلوبہ حدی لاگت تقریباً ₹ 30.02 ہے۔

مثال 6 کسی مصنوع کی $x$ اکائیوں کی فروخت سے حاصل ہونے والی کل آمدنی روپے میں $R(x)=3 x^{2}+36 x+5$ کے ذریعے دی گئی ہے۔ حدی آمدنی معلوم کریں، جب $x=5$، جہاں حدی آمدنی سے ہماری مراد کسی لمحے فروخت ہونے والی اشیاء کی تعداد کے لحاظ سے کل آمدنی کی تبدیلی کی شرح ہے۔

حل چونکہ حدی آمدنی کل آمدنی کی فروخت ہونے والی اکائیوں کی تعداد کے لحاظ سے تبدیلی کی شرح ہے، اس لیے ہمارے پاس ہے

$ \begin{aligned} \text{ حدی آمدنی } \qquad (MR) & =\frac{d R}{d x}=6 x+36 \end{aligned} $ $ \begin{aligned} \text{ جب } \qquad x & =5, MR=6(5)+36=66 \end{aligned} $

لہٰذا، مطلوبہ حدی آمدنی ₹ 66 ہے۔

6.3 بڑھتے اور گھٹتے ہوئے افعال

اس حصے میں، ہم یہ معلوم کرنے کے لیے تفریق کا استعمال کریں گے کہ آیا کوئی دالہ بڑھ رہی ہے، گھٹ رہی ہے یا نہیں۔

دالہ $f$ پر غور کریں جو $f(x)=x^{2}, x \in \mathbf{R}$ کے ذریعے دی گئی ہے۔ اس دالہ کا گراف ایک پرابولا ہے جیسا کہ شکل 6.1 میں دیا گیا ہے۔

مبدا کے بائیں طرف کی قدریں

جیسے ہم بائیں سے دائیں طرف حرکت کرتے ہیں، گراف کی اونچائی گھٹتی ہے

جیسے ہم بائیں سے دائیں طرف حرکت کرتے ہیں، گراف کی اونچائی بڑھتی ہے مبدا کے دائیں طرف کی قدریں

پہلے مبدا کے دائیں طرف گراف (شکل 6.1) پر غور کریں۔ مشاہدہ کریں کہ جیسے ہم گراف پر بائیں سے دائیں طرف حرکت کرتے ہیں، گراف کی اونچائی مسلسل بڑھتی ہے۔ اس وجہ سے، دالہ کو حقیقی اعداد $x>0$ کے لیے بڑھتی ہوئی کہا جاتا ہے۔

اب مبدا کے بائیں طرف گراف پر غور کریں اور یہاں مشاہدہ کریں کہ جیسے ہم گراف پر بائیں سے دائیں طرف حرکت کرتے ہیں، گراف کی اونچائی مسلسل گھٹتی ہے۔ نتیجتاً، دالہ کو حقیقی اعداد $x<0$ کے لیے گھٹتی ہوئی کہا جاتا ہے۔

اب ہم ایک دالہ کے لیے مندرجہ ذیل تجزیاتی تعریفیں دیں گے جو کسی وقفہ پر بڑھ رہی ہے یا گھٹ رہی ہے۔

تعریف 1 فرض کریں I ایک وقفہ ہے جو حقیقی قدر والی دالہ $f$ کے دائرہ تعریف میں شامل ہے۔ پھر $f$ کو کہا جاتا ہے

(i) I پر بڑھتی ہوئی اگر $x_1<x_2$ میں $I \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ تمام $x_1, x_2 \in I$ کے لیے۔

(ii) $I$ پر گھٹتی ہوئی، اگر $x_1, x_2$ میں $I \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ تمام $x_1, x_2 \in I$ کے لیے۔

(iii) $I$ پر مستقل، اگر $f(x)=c$ تمام $x \in I$ کے لیے، جہاں $c$ ایک مستقل ہے۔

(iv) I پر گھٹتی ہوئی اگر $x_1<x_2$ میں $I \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$ تمام $x_1, x_2 \in I$ کے لیے۔

(v) I پر سخت گھٹتی ہوئی اگر $x_1<x_2$ میں $I \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ تمام $x_1, x_2 \in I$ کے لیے۔

ایسے افعال کی گرافیکی نمائندگی کے لیے شکل 6.2 دیکھیں۔

اب ہم تعریف کریں گے کہ ایک دالہ کب کسی نقطہ پر بڑھ رہی ہے یا گھٹ رہی ہے۔

تعریف 2 فرض کریں $x_0$ ایک حقیقی قدر والی دالہ $f$ کی تعریف کے دائرے میں ایک نقطہ ہے۔ پھر $f$ کو نقطہ $x_0$ پر بڑھتی ہوئی، گھٹتی ہوئی کہا جاتا ہے اگر کوئی کھلا وقفہ I موجود ہو جو $x_0$ کو شامل کرتا ہو اس طرح کہ $f$ بالترتیب I میں بڑھتی ہوئی، گھٹتی ہوئی ہو۔

آئیے اس تعریف کو بڑھتی ہوئی دالہ کے معاملے کے لیے واضح کرتے ہیں۔

مثال 7 دکھائیں کہ دالہ $f(x)=7 x-3$ کے ذریعے دی گئی $\mathbf{R}$ پر بڑھتی ہوئی ہے۔

حل فرض کریں $x_1$ اور $x_2$ $\mathbf{R}$ میں کوئی دو اعداد ہیں۔ پھر

$$ \begin{aligned} x _{1}<x _{2} & \Rightarrow 7 x _{1}<7 x _{2} \\ & \Rightarrow 7 x _{1}-3<7 x _{2}-3 \\ & \Rightarrow f\left(x _{1}\right)<f\left(x _{2}\right) \end{aligned} $$

اس طرح، تعریف 1 کے مطابق، یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ $f$ $\mathbf{R}$ پر سخت بڑھتی ہوئی ہے۔

اب ہم بڑھتے اور گھٹتے ہوئے افعال کے لیے پہلی مشتق کا امتحان دیں گے۔ اس امتحان کے ثبوت کے لیے باب 5 میں پڑھے گئے اوسط قدر کا قضیہ درکار ہے۔

قضیہ 1 فرض کریں $f$ $[a, b]$ پر مسلسل ہے اور کھلے وقفہ $(a, b)$ پر قابل تفریق ہے۔ پھر

(الف) $f$ $[a, b]$ میں بڑھتی ہوئی ہے اگر $f^{\prime}(x)>0$ ہر $x \in(a, b)$ کے لیے

(ب) $f$ $[a, b]$ میں گھٹتی ہوئی ہے اگر $f^{\prime}(x)<0$ ہر $x \in(a, b)$ کے لیے

(ج) $f$ $[a, b]$ میں ایک مستقل دالہ ہے اگر $f^{\prime}(x)=0$ ہر $x \in(a, b)$ کے لیے

ثبوت (الف) فرض کریں $x_1, x_2 \in[a, b]$ اس طرح ہیں کہ $x_1<x_2$۔

پھر، اوسط قدر قضیہ کے مطابق (باب 5 کا قضیہ 8)، ایک نقطہ $c$ موجود ہے جو $x_1$ اور $x_2$ کے درمیان ہے اس طرح کہ

$$ f\left(x _{2}\right)-f\left(x _{1}\right)=f^{\prime}(c)\left(x _{2}-x _{1}\right) $$

یعنی $\begin{array}{ll} f\left(x _{2}\right)-f\left(x _{1}\right)>0 & \left(\text { given } f^{\prime}(c)>0\right) \end{array}$

یعنی $f(x_2)>f(x_1)$

اس طرح، ہمارے پاس ہے $x_1<x_2 \quad f(x_1) \quad f(x_2), \text{ for all } x_1, x_2 \quad[a, b]$

لہٰذا، $f$ $[a, b]$ میں ایک بڑھتی ہوئی دالہ ہے۔

حصے (ب) اور (ج) کے ثبوت اسی طرح کے ہیں۔ انہیں قاری کے لیے مشق کے طور پر چھوڑ دیا گیا ہے۔

تبصرے

ایک اور عمومی قضیہ ہے، جو بیان کرتا ہے کہ اگر $f \phi(x)>0$ کسی وقفہ میں اختتامی نقاط کو چھوڑ کر $x$ کے لیے اور $f$ اس وقفہ میں مسلسل ہے، تو $f$ بڑھتی ہوئی ہے۔ اسی طرح، اگر $f \phi(x)<0$ کسی وقفہ میں اختتامی نقاط کو چھوڑ کر $x$ کے لیے اور $f$ اس وقفہ میں مسلسل ہے، تو $f$ گھٹتی ہوئی ہے۔

مثال 8 دکھائیں کہ دالہ $f$ جو اس طرح دی گئی ہے

$\mathbf{R}$ پر بڑھتی ہوئی ہے۔

$$ f(x)=x^{3}-3 x^{2}+4 x, x \in \mathbf{R} $$

حل نوٹ کریں کہ

$$ \begin{aligned} f^{\prime}(x) & =3 x^{2}-6 x+4 \\ & =3(x^{2}-2 x+1)+1 \\ & =3(x-1)^{2}+1>0, \text{ in every interval of } \mathbf{R} \end{aligned} $$

لہٰذا، دالہ $f$ $\mathbf{R}$ پر بڑھتی ہوئی ہے۔

مثال 9 ثابت کریں کہ دالہ $f(x)=\cos x$ کے ذریعے دی گئی

(الف) $(0, \pi)$ میں گھٹتی ہوئی ہے

(ب) $(\pi, 2 \pi)$ میں بڑھتی ہوئی ہے، اور

(ج) $(0,2 \pi)$ میں نہ تو بڑھتی ہے اور نہ ہی گھٹتی ہے۔

حل نوٹ کریں کہ $f^{\prime}(x)=-\sin x$

(الف) چونکہ ہر $x \in(0, \pi), \sin x>0$ کے لیے، ہمارے پاس $f^{\prime}(x)<0$ ہے اور اس لیے $f$ $(0, \pi)$ میں گھٹتی ہوئی ہے۔

(ب) چونکہ ہر $x \in(\pi, 2 \pi)$ کے لیے، $\sin x<0$، ہمارے پاس $f^{\prime}(x)>0$ ہے اور اس لیے $f$ $(\pi, 2 \pi)$ میں بڑھتی ہوئی ہے۔

(ج) واضح طور پر (الف) اور (ب) کے مطابق، $f$ $(0,2 \pi)$ میں نہ تو بڑھتی ہے اور نہ ہی گھٹتی ہے۔

مثال 10 ان وقفوں کو معلوم کریں جن میں دالہ $f$ جو $f(x)=x^{2}-4 x+6$ کے ذریعے دی گئی ہے (الف) بڑھتی ہوئی ہے (ب) گھٹتی ہوئی ہے

حل ہمارے پاس ہے

$$ f(x)=x^{2}-4 x+6 $$ $ یا \qquad f^{\prime}(x)=2 x-4 $

لہٰذا، $f^{\prime}(x)=0$ $x=2$ دیتا ہے۔ اب نقطہ $x=2$ حقیقی لکیر کو دو غیر مشترک وقفوں میں تقسیم کرتا ہے، یعنی $(-\infty, 2)$ اور $(2, \infty)$ (شکل 6.3)۔ وقفہ $(-\infty, 2), f^{\prime}(x)=2 x$ میں $-4<0$۔

لہٰذا، $f$ اس وقفہ میں گھٹتی ہوئی ہے۔ نیز، وقفہ $(2, \infty), f^{\prime}(x)>0$ میں اور اس لیے دالہ $f$ اس وقفہ میں بڑھتی ہوئی ہے۔

مثال 11 ان وقفوں کو معلوم کریں جن میں دالہ $f$ جو $f(x)=4 x^{3}-6 x^{2}-72 x$ +30 کے ذریعے دی گئی ہے (الف) بڑھتی ہوئی ہے (ب) گھٹتی ہوئی ہے۔

حل ہمارے پاس ہے

$$ \text{ or } \quad \begin{aligned} f(x) & =4 x^{3}-6 x^{2}-72 x+30 \\ f^{\prime}(x) & =12 x^{2}-12 x-72 \\ & =12(x^{2}-x-6) \\ & =12(x-3)(x+2) \end{aligned} $$

لہٰذا، $f^{\prime}(x)=0$ $x=-2,3$ دیتا ہے۔ نقاط $x=-2$ اور $x=3$ حقیقی لکیر کو تین غیر مشترک وقفوں میں تقسیم کرتے ہیں، یعنی $(-\infty,-2),(-2,3)$

شکل 6.4 اور $(3, \infty)$۔

وقفوں $(-\infty,-2)$ اور $(3, \infty), f^{\prime}(x)$ میں مثبت ہے جبکہ وقفہ $(-2,3)$ میں، $f^{\prime}(x)$ منفی ہے۔ نتیجتاً، دالہ $f$ وقفوں $(-\infty,-2)$ اور $(3, \infty)$ میں بڑھتی ہوئی ہے جبکہ دالہ وقفہ $(-2,3)$ میں گھٹتی ہوئی ہے۔ تاہم، $f$ $\mathbf{R}$ میں نہ تو بڑھتی ہے اور نہ ہی گھٹتی ہے۔

مثال 12 ان وقفوں کو معلوم کریں جن میں دالہ $f(x)=\sin 3 x, x \in 0, \frac{\pi}{2}$ کے ذریعے دی گئی (الف) بڑھتی ہوئی ہے (ب) گھٹتی ہوئی ہے۔

حل ہمارے پاس ہے

$f(x) =\sin 3 x $

یا $\quad f(x) =3 \cos 3 x$

لہٰذا، $f^{\prime}(x)=0$ $\cos 3 x=0$ دیتا ہے جو بدلے میں $3 x=\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$ دیتا ہے (کیونکہ $x \in 0, \frac{\pi}{2}$ کا مطلب $3 x \in[0, \frac{3 \pi}{2}]$ ہے)۔ لہٰذا $x=\frac{\pi}{6}$ اور $\frac{\pi}{2}$۔ نقطہ $x=\frac{\pi}{6}$ وقفہ $0, \frac{\pi}{2}$ کو دو غیر مشترک وقفوں $[0, \frac{\pi}{6})$ اور $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}$ میں تقسیم کرتا ہے۔

شکل 6.5

اب، $f^{\prime}(x)>0$ تمام $x \in[0, \frac{\pi}{6})$ کے لیے کیونکہ $0 \leq x<\frac{\pi}{6} \Rightarrow 0 \leq 3 x<\frac{\pi}{2}$ اور $f^{\prime}(x)<0$ تمام $x \in(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$ کے لیے کیونکہ $\frac{\pi}{6}<x<\frac{\pi}{2} \Rightarrow \frac{\pi}{2}<3 x<\frac{3 \pi}{2}$۔

لہٰذا، $f$ $[0, \frac{\pi}{6})$ میں بڑھتی ہوئی ہے اور $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$ میں گھٹتی ہوئی ہے۔

نیز، دی گئی دالہ $x=0$ اور $x=\frac{\pi}{6}$ پر مسلسل ہے۔ لہٰذا، قضیہ 1 کے مطابق، $f$ $ [0, \frac{\pi}{6}]$ پر بڑھتی ہوئی ہے اور $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$ پر گھٹتی ہوئی ہے۔

مثال 13 ان وقفوں کو معلوم کریں جن میں دالہ $f$ جو اس طرح دی گئی ہے

$ f(x)=\sin x+\cos x, 0 \leq x \leq 2 \pi $

بڑھتی ہوئی یا گھٹتی ہوئی ہے۔

حل ہمارے پاس ہے

$$ \begin{array}{lrlr} & f(x) & =\sin x+\cos x, \quad 0 \leq x \leq 2 \pi \\ \text{or }&f^{\prime}(x) & =\cos x-\sin x & \end{array} $$

اب $f^{\prime}(x)=0$ $\sin x=\cos x$ دیتا ہے جو یہ دیتا ہے کہ $x=\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}$ کیونکہ $0 \leq x \leq 2 \pi$

نقاط $x=\frac{\pi}{4}$ اور $x=\frac{5 \pi}{4}$ وقفہ $[0,2 \pi]$ کو تین غیر مشترک وقفوں میں تقسیم کرتے ہیں،

یعنی $[0, \frac{\pi}{4}), \frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}$ اور $(\frac{5 \pi}{4}, 2 \pi]$۔

شکل 6.6

نوٹ کریں کہ $f^{\prime}(x)>0$ اگر $x \in[0, \frac{\pi}{4}) \cup(\frac{5 \pi}{4}, 2 \pi]$

یا $\quad f$ وقفوں $[0, \frac{\pi}{4})$ اور $(\frac{5 \pi}{4}, 2 \pi]$ میں بڑھتی ہوئی ہے

نیز $\quad f^{\prime}(x)<0$ اگر $x \in \frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}$

یا $\quad f$ $\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}$ میں گھٹتی ہوئی ہے

6.4 عظمیٰ اور صغریٰ

اس حصے میں، ہم مختلف افعال کی زیادہ سے زیادہ یا کم سے کم قدریں حساب کرنے کے لیے مشتقات کے تصور کا استعمال کریں گے۔ درحقیقت، ہم کسی دالہ کے گراف کے ‘مڑنے والے نقاط’ معلوم کریں گے اور اس طرح وہ نقاط معلوم کریں گے جہاں گراف مقامی طور پر اپنی بلند ترین (یا کم ترین) سطح تک پہنچتا ہے۔ ایسے نقاط کا علم کسی دی گئی دالہ کا گراف بنانے میں بہت مفید ہے۔ مزید برآں، ہم کسی دالہ کی مطلق عظمیٰ اور مطلق صغریٰ بھی معلوم کریں گے جو بہت سے اطلاقی مسائل کے حل کے لیے ضروری ہیں۔

آئیے مندرجہ ذیل مسائل پر غور کریں جو روزمرہ زندگی میں پیدا ہوتے ہیں۔

(i) سنتری کے درختوں کے باغ سے حاصل ہونے والا منافع $P(x)=a x+b x^{2}$ کے ذریعے دیا جاتا ہے، جہاں $a, b$ مستقل ہیں اور $x$ فی ایکڑ سنتری کے درختوں کی تعداد ہے۔ فی ایکڑ کتنے درخت منافع کو زیادہ سے زیادہ کریں گے؟

(ii) ایک گیند، 60 میٹر اونچی عمارت سے ہوا میں پھینکی جاتی ہے، $h(x)=60+x-\frac{x^{2}}{60}$ کے ذریعے دیے گئے راستے پر سفر کرتی ہے، جہاں $x$ عمارت سے افقی فاصلہ ہے اور $h(x)$ گیند کی اونچائی ہے۔ گیند کتنی زیادہ سے زیادہ اونچائی تک پہنچے گی؟

(iii) دشمن کا ایک اپاچی ہیلی کاپٹر منحنی $f(x)=x^{2}+7$ کے ذریعے دیے گئے راستے پر اڑ رہا ہے۔ ایک سپاہی، نقطہ $(1,2)$ پر رکھا گیا، ہیلی کاپٹر کو اس وقت گولی مارنا چاہتا ہے جب وہ اس کے قریب ترین ہو۔ قریب ترین فاصلہ کیا ہے؟

مندرجہ بالا ہر مسئلے میں، کچھ مشترک ہے، یعنی، ہم دیے گئے افعال کی زیادہ سے زیادہ یا کم سے کم قدریں معلوم کرنا چاہتے ہیں۔ ایسے مسائل سے نمٹنے کے لیے، ہم پہلے رسمی طور پر کسی دالہ کی زیادہ سے زیادہ یا کم سے کم قدروں، مقامی عظمیٰ اور صغریٰ کے نقاط اور ایسے نقاط کا تعین کرنے کے لیے امتحان کی تعریف کرتے ہیں۔

تعریف 3 فرض کریں $f$ ایک دالہ ہے جو وقفہ I پر تعریف شدہ ہے۔ پھر

(الف) $f$ کو I میں زیادہ سے زیادہ قدر رکھنے والا کہا جاتا ہے، اگر I میں ایک نقطہ $c$ موجود ہو اس طرح کہ $f(c)>f(x)$، تمام $x \in I$ کے لیے۔

عدد $f(c)$ کو $f$ کی I میں زیادہ سے زیادہ قدر کہا جاتا ہے اور نقطہ $c$ کو $f$ کا I میں زیادہ سے زیادہ قدر کا نقطہ کہا جاتا ہے۔

(ب) $f$ کو $I$ میں کم سے کم قدر رکھنے والا کہا جاتا ہے، اگر $c$ میں ایک نقطہ $I$ موجود ہو اس طرح کہ $f(c)<f(x)$، تمام $x \in I$ کے لیے۔

عدد $f(c)$، اس معاملے میں، $f$ کی I میں کم سے کم قدر کہلاتا ہے اور نقطہ $c$، اس معاملے میں، $f$ کا $I$ میں کم سے کم قدر کا نقطہ کہلاتا ہے۔

(ج) $f$ کو $I$ میں انتہائی قدر رکھنے والا کہا جاتا ہے اگر I میں ایک نقطہ $c$ موجود ہو اس طرح کہ $f(c)$ یا تو $f$ کی I میں زیادہ سے زیادہ قدر ہے یا کم سے کم قدر ہے۔

عدد $f(c)$، اس معاملے میں، $f$ کی I میں انتہائی قدر کہلاتا ہے اور نقطہ $c$ کو انتہائی نقطہ کہا جاتا ہے۔

تبصرہ شکل 6.7(الف)، (ب) اور (ج) میں، ہم نے مخصوص افعال کے گراف پیش کیے ہیں جو ہمیں کسی نقطہ پر زیادہ سے زیادہ قدر اور کم سے کم قدر معلوم کرنے میں مدد دیتے ہیں۔ درحقیقت، گراف کے ذریعے، ہم کسی دالہ کی زیادہ سے زیادہ/کم سے کم قدر اس نقطہ پر بھی معلوم کر سکتے ہیں جہاں وہ قابل تفریق بھی نہیں ہے (مثال 15)۔

شکل 6.7

مثال 14 زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم قدریں، اگر کوئی ہوں، دالہ $f$ کی معلوم کریں جو اس طرح دی گئی ہے $ f(x)=x^{2}, x \in \mathbf{R} . $

حل دی گئی دالہ کے گراف (شکل 6.8) سے، ہمارے پاس $f(x)=0$ اگر $x=0$۔ نیز $ f(x) \geq 0 \text{, تمام } x \in \mathbf{R} \text{ کے لیے۔ } $

لہٰذا، $f$ کی کم سے کم قدر 0 ہے اور $f$ کے کم سے کم قدر کا نقطہ $x=0$ ہے۔ مزید، دالہ کے گراف سے مشاہدہ کیا جا سکتا ہے کہ $f$ کی کوئی زیادہ سے زیادہ قدر نہیں ہے اور اس لیے $f$ کا $\mathbf{R}$ میں زیادہ سے زیادہ قدر کا کوئی نقطہ نہیں ہے۔

شکل 6.8

نوٹ اگر ہم $f$ کے دائرہ تعریف کو صرف $[-2,1]$ تک محدود کریں، تو $f$ کی نقطہ $x=-2$ پر زیادہ سے زیادہ قدر $(-2)^{2}=4$ ہوگی۔

مثال 15 زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم قدریں معلوم کریں $f$ کی، اگر کوئی ہوں، دالہ کی جو $f(x)=|x|, x \in \mathbf{R}$ کے ذریعے دی گئی ہے۔

حل دی گئی دالہ کے گراف (شکل 6.9) سے، نوٹ کریں کہ

$$ f(x) \geq 0 \text{, for all } x \in \mathbf{R} \text{ and } f(x)=0 \text{ if } x=0 \text{. } $$

لہٰذا، دالہ $f$