شمولیت کو ہموار شکل میں سمجھنے کے لیے صرف ریاضی کے ذریعے ممکن ہے۔ - بیرکهاف

8.1 تعارف

جبریات میں، ہم مختلف جبری شکلوں کے ضلعوں کی صیغے سمجھ چکے ہیں، جن میں توازن، مستطیل، دودھی شکل اور دائرے شامل ہیں۔ ان صیغوں کا اطلاق ریاضی کے بہت سے حقیقی مسائل پر پرلا ہوتا ہے۔ بنیادی جبریات کی صیغے ہمیں بہت سی سادہ شکلوں کے ضلعوں کا حساب کرنے کی اجازت دیتی ہیں۔ لیکن ان کا اطلاق چھلکاوں کے ضلعوں کا حساب کرنے کے لیے کافی نہیں ہے۔ اس ضرورت کے لیے، ہم تکامل کی حسابیات کے کچھ مفاہمتیں ضرور دیکھیں گے۔

پچھلے فصل میں، ہم چھلکے $y=f(x)$، صفوں $x=a$، $x=b$ اور $x$-محور کے درمیان ضلع کا حساب کرنے کے لیے معین تکامل کو چھوٹے اسموں کے مجموعے کی حد کے طور پر سیکھ چکے تھے۔ اسی طرح، اس فصل میں، ہم تکامل کے اطلاق کو سادہ چھلکوں کے تحت ضلع، دائرے، پیڈربولا اور اسٹینڈرڈ فارم کے خطوط اور آرکس کے درمیان ضلع حاصل کرنے کے لیے دیکھیں گے (صرف اسٹینڈرڈ فارم)۔ ہم اگلے کے بارے میں بھی ضلع کا حساب کریں گے، جو اوپر کے بارے میں کہہ دیا گیا ہے۔

ای.ایل. کاوشی (1789-1857)

8.2 سادہ چھلکوں کے تحت ضلع

پچھلے فصل میں، ہم معین تکامل کو چھوٹے اسموں کے مجموعے کی حد کے طور پر اور معین تکامل کو حسابیات کے بنیادی نظریے کے ذریعے حاصل کرنے کے لیے سیکھ چکے ہیں۔ اب، ہم سادہ اور مضبوط طریقے سے ضلع کا حساب کرنے کے لیے چھلکے $y=f(x), x$-محور اور صفوں $x=a$ اور $x=b$ کے درمیان ضلع کے بارے میں غور کریں گے۔ شکل 8.1 سے، ہم چھلکے کے تحت ضلع کو بہت چھوٹے عمودی اسموں کے مجموعے کے طور پر سمجھ سکتے ہیں۔ ایک عشوائی اسم ارتفاع $y$ اور عرض $d x$ پر غور کریں، تو $d A$ (عنصری اسم کا ضلع) $=y d x$، جہاں، $y=f(x)$۔

یہ ضلع عنصری ضلع کے نام سے جانا جاتا ہے، جو ضلع کے درمیان ضلع کے درمیان ایک عشوائی مقام پر موجود ہے، جس کی تعیناتی کسی $x$ کی قیمت کے ذریعے کی جاتی ہے، جو $a$ اور $b$ کے درمیان ہے۔ ہم توسیعی ضلع کے کل ضلع A کو $x$-محور، صفوں $x=a, x=b$ اور چھلکے $y=f(x)$ کے درمیان ضلع کے طور پر سمجھ سکتے ہیں، جس کو PQRSP کے طولے پر عنصری ضلعوں کا مجموعہ کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ رمزیتی طور پر، ہم عبارت دے سکتے ہیں

$$ \mathrm{A}=\int _{a}^{b} d \mathrm{~A}=\int _{a}^{b} y d x=\int _{a}^{b} f(x) d x $$

چھلکے $A$ کے ضلع، جو $x=g(y), y$-محور اور خطوط $y=c$، $y=d$ کے درمیان ہے، درج ذیل طریقے سے حاصل کیا جاتا ہے

$$ \mathrm{A}=\int _{c}^{d} x d y=\int _{c}^{d} g(y) d y $$

یہاں، ہم شکل 8.2 میں دکھائے گئے طور پر أفقی اسموں کا غور کرتے ہیں

شکل 8.2

تبصرہ اگر غور کیے گئے چھلکے کی جگہ $x$-محور کے نیچے ہو، تو اس لیے کہ $f(x)<0$ سے $x=a$ تک $x=b$، جیسے شکل 8.3 میں دکھایا گیا ہے، چھلکے، $x$-محور اور صفوں $x=a, x=b$ کے درمیان ضلع سے منفی نکل جاتا ہے۔ لیکن، ضلع کی صرف عددی قیمت ضرورت ہے۔ اس لیے، اگر ضلع منفی ہو، تو ہم اس کی مطلق قیمت رکھتے ہیں، یعنی $|\int_a^{b} f(x) d x|$۔

شکل 8.3

عام طور پر، ایسا بھی ہو سکتا ہے کہ چھلکے کا کچھ حصہ $x$-محور کے اوپر اور کچھ دوسرا $x$-محور کے نیچے ہو، جیسے شکل 8.4 میں دکھایا گیا ہے۔ اس صورت میں، $A_1<0$ اور $A_2>0$۔ اس لیے، چھلکے $y=f(x), x$-محور اور صفوں $x=a$ اور $x=b$ کے درمیان ضلع A درج ذیل طریقے سے حاصل کیا جاتا ہے $A=|A_1|+A_2$۔

شکل 8.4

مثال 1 دائرے $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ کے حدود میں ضلع حاصل کریں۔

حل شکل 8.5 سے، دیے گئے دائرے کے کل ضلع
$=4$ (ضلع ضلع AOBA کا ضلع، جو چھلکے، $x$-محور اور صفوں $x=0$ اور $x=a$ کے درمیان ہے) [کیونکہ دائرہ $x$-محور اور $y$-محور کے متوازی ہے]

$$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{a} y d x \text{ (taking vertical strips) } \\ & =4 \int_0^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \end{aligned} $$

کیونکہ $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ $\quad y= \pm \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ دے دیتا ہے

شکل 8.5

کیونکہ ضلع AOBA پہلے ربع میں ہے، $y$ موجب رکھا جاتا ہے۔ تکامل کرتے ہوئے، ہم دیے گئے دائرے کے کل ضلع حاصل کرتے ہیں

$ \begin{aligned} & =4[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}]_0^{a} \\ & =4[(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0]=4(\frac{a^{2}}{2})(\frac{\pi}{2})=\pi a^{2} \end{aligned} $

دوسرے طریقے سے، شکل 8.6 میں دکھائے گئے طور پر أفقی اسموں کا غور کرتے ہوئے، دائرے کے ضلع کا کل ضلع

$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{a} x d y=4 \int_0^{a} \sqrt{a^{2}-y^{2}} d y \text{(کیونکہ؟)} \\ & =4[\frac{y}{2} \sqrt{a^{2}-y^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{a}]_0^{a} \\ & =4[(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0] \\ & =4 \frac{a^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a^{2} \end{aligned} $

شکل 8.6

مثال 2 اسلیپس $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ کے حدود میں ضلع حاصل کریں۔

حل شکل 8.7 سے، اسلیپس کے ضلع کے ضلع $ABA^{\prime} B^{\prime} A$

$=4(\begin{matrix} \text{ area of the region } A O B A \text{ in the first quadrant bounded } \\ \text{ by the curve, } x-\text{ axis and theordinates } x=0, x=a\end{matrix} )$

(کیونکہ اسلیپس $x$-محور اور $y$-محور کے متوازی ہے)

$=4 \int_0^{a} y d x \quad$ (عمودی اسموں کے ذریعے)

اب $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $y= \pm \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ دے دیتا ہے، لیکن کیونکہ ضلع AOBA پہلے ربع میں ہے، $y$ موجب رکھا جاتا ہے۔ لہٰذا، ضروری ضلع

$ \begin{aligned} & =4 \int _{0}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \\ & =\frac{4 b}{a}\left[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}\right] _{0}^{a} \text { (کیونکہ) } \\ & =\frac{4 b}{a}\left[\left(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1\right)-0\right] \\ & =\frac{4 b}{a} \frac{a^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a b \text { } \end{aligned} $

شکل 8.7

دوسرے طریقے سے، شکل 8.8 میں دکھائے گئے طور پر أفقی اسموں کا غور کرتے ہوئے، اسلیپس کا ضلع

$$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{b} x d y=4 \frac{a}{b} \int_0^{b} \sqrt{b^{2}-y^{2}} d y \text{ (Why?) } \\ & =\frac{4 a}{b}[\frac{y}{2} \sqrt{b^{2}-y^{2}}+\frac{b^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{b}]_0^{b} \\ & =\frac{4 a}{b}[(\frac{b}{2} \times 0+\frac{b^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0] \\ & =\frac{4 a}{b} \frac{b^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a b \end{aligned} $$

شکل 8.8

مشکل مثالیں

مثال 3 خط $y=3 x+2$، $x$-محور اور صفوں $x=-1$ اور $x=1$ کے درمیان ضلع حاصل کریں۔

حل شکل 8.9 میں دکھایا گیا ہے، خط $y=3 x+2$ $x$-محور پر $x=\frac{-2}{3}$ پر ملتا ہے اور اس کا نقش $x \in(-1, \frac{-2}{3})$ کے لیے $x$-محور کے نیچے ہے اور $x \in(\frac{-2}{3}, 1)$ کے لیے $x$-محور کے اوپر ہے۔

ضروری ضلع $=$ ضلع کا ضلع $ACBA+$ ضلع ADEA کا ضلع

$ \begin{aligned} & =|\int _{-1}^{\frac{-2}{3}}(3 x+2) d x|+\int _{\frac{-2}{3}}^{1}(3 x+2) d x \\ & =|[\frac{3 x^{2}}{2}+2 x] _{-1}^{\frac{-2}{3}}|+[\frac{3 x^{2}}{2}+2 x] _{\frac{-2}{3}}^{1}=\frac{1}{6}+\frac{25}{6}=\frac{13}{3} \end{aligned} $

شکل 8.9

مثال 4 چھلکے $y=\cos x$ کے درمیان ضلع حاصل کریں، جو $x=0$ اور $x=2 \pi$ کے درمیان ہے۔

حل شکل 8.10 سے، ضروری ضلع $=$ ضلع کا ضلع $OABO+$ ضلع کا ضلع $BCDB+$ ضلع DEFD کا ضلع۔

شکل 8.10

اس طرح، ہم ضروری ضلع کو حاصل کرتے ہیں

$ \begin{aligned} & =\int_ 0^{\frac{\pi}{2}} \cos x d x+|\int_ {\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \cos x d x|+\int_ {\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \cos x d x \\ & =[\sin x]_ 0^{\frac{\pi}{2}}+|[\sin x]_ {\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}}|+[\sin x]_ {\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \\ & =1+2+1=4 \end{aligned} $

خلاصہ

چھلکے $y=f(x), x$-محور اور خطوط $x=a$ اور $x=b(b>a)$ کے درمیان ضلع کا ضلع درج ذیل صیغہ سے حاصل کیا جاتا ہے: ضلع $=\int_a^{b} y d x=\int_a^{b} f(x) d x$۔
چھلکے $x=\phi(y), y$-محور اور خطوط $y=c, y=d$ کے درمیان ضلع کا ضلع درج ذیل صیغہ سے حاصل کیا جاتا ہے: ضلع $=\int_c^{d} x d y=\int_c^{d} \phi(y) d y$۔

تاریخی نوٹ

تکامل کی حسابیات کی جڑ قدیم ریاضی کے ترقی کے اوائل دور میں پہنچی ہے اور یہ حسابیات کے تاریخی طور پر تشہیر حاصل کرنے والے قدیم یونانی ریاضیدانوں کے طریقے حوصلہ افزائی کرتا ہے۔ اس طریقے کا استعمال صفحات کے شکل، سطح کے ضلع اور جامد جسموں کے حجم کے حساب کرنے کے مسائل کے حل کے لیے کیا جاتا ہے۔ اس معنی میں، حوصلہ افزائی کا طریقہ تکامل کے ایک قدیم طریقے کے طور پر سمجھا جا سکتا ہے۔ حوصلہ افزائی کے طریقے کی قدیم دور میں بہترین ترقی اسٹیوارڈ (440 ق.م) اور اؾرکمیڈیس (300 ق.م) کے کاموں میں ملتی ہے۔

حسابیات کی نظریے کا منظم طریقہ 17ویں صدی میں شروع ہوا۔ 1665 میں، نیوٹن حسابیات کے کام کا شروع کیا جو اس کے ذریعے وصف کیا گیا تھا جسے فلوکسن کے نظریے کے طور پر ظاہر کیا گیا تھا اور اس نظریے کا استعمال چھلکے پر کسی بھی نقطے پر مماس اور ریڈیس جذبہ کے حساب کرنے میں کیا تھا۔ نیوٹن رکنسر کی بنیادی مفاہمت کو شروع کی، جسے غیر معین تکامل یا مماس کے طریقے کے طور پر بتایا گیا تھا۔

1684-86 میں، لیبنز اؾکٹا اروڈیٹورم پر ایک مضامین پیش کیا جو اس نے اسے سموٹوٹری کے حساب کے طور پر بتایا تھا، کیونکہ اس میں بہت سی لامتناہی چھوٹی ضلعوں کا مجموعہ شامل تھا، جس کا مجموعہ اس نے علامت ’ ’ ’ کے ذریعے ظاہر کیا تھا۔ 1696 میں، اس نے جے۔ برنولی کے ذریعے کے مقتضی پر عمل کیا اور اس مضامین کو کلیکولس انٹیگرل کے طور پر تبدیل کیا۔ اس کا مطابق نیوٹن کے مماس کے طریقے کا مطابق تھا۔

نیوٹن اور لیبنز دونوں کام کے لیے کامل خودکار طریقے اتخاذ کیے تھے جو کامل مختلف تھے۔ لیکن دونوں کی نظریوں نے حقیقی طور پر برابر نتائج حاصل کیے۔ لیبنز معین تکامل کی مفاہمت استعمال کی تھی اور جو کچھ کامل یقینی تھا اس کے یقینی ہے کہ اس نے پہلی بار غیر معین متذبذب اور معین تکامل کے درمیان تعلق کو واضح طور پر سمجھ لیا تھا۔

ختم طور پر، تکامل کی حسابیات کے بنیادی مفاہمتیں اور نظریے، خاص طور پر اس کے تفاضل کی حسابیات کے ساتھ تعلقات، 17ویں صدی کے آخر میں پ.دی۔ فرمٹ، آئی۔ نیوٹن اور جی۔ لیبنز کے کاموں میں تیار کیے گئے۔ لیکن اس حساب کی تصدیق کو حد کی مفاہمت کے ذریعے تیار کیا گیا جو ای.ایل۔ کاوشی کے 19ویں صدی کے اوائل میں تیار کیا گیا تھا۔ آخر میں، لی سوفی کے دیے گئے درج ذیل اقتباس کا ذکر کرنا چاہیے:

“کہا جا سکتا ہے کہ تفاضلی تقسیم اور تکامل کے مفاہمتیں جو جڑ حقیقی طور پر اؾرکمیڈیس کے ذریعے پہنچی ہیں، جن کی تحقیقات کے ذریعے کیے گئے تھے، جیسے کیپلر، ڈیکارٹس، کیوالیری، فرمٹ اور والیس، علم میں مقرر کیے گئے تھے۔ تفاضل کرنے اور تکامل کرنے کو غیر متذبذب عمل کے طور پر کرنے کی دریافت نیوٹن اور لیبنز کی ذمہ داری تھی۔”